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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
ENEM2011
MATAMÁTICA
SETOR I
Módulo 1. Equação do 1º grau e problemas do 1º grau
Equação do 11. º grau
ax + b = 0 , com a ≠ 0 ⇒ V
b
a
=
−





Problemas do 12. º grau
Ler o enunciado e identificar a incógnita.I. 
Relacionar as informações com a incógnita, numa II. 
equação.
Resolver a equação.III. 
Apresentar os resultados.IV. 
Módulo 2. Equação do 2º grau (I)
Fórmula resolutiva (Bhaskara)1. 
ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0
x
b
a
com b ac=
− ±
= −
D
D
2
42,
Existência das raízes2. 
DI. < 0 – Nenhuma raiz real
DII. = 0 – Duas raízes reais e iguais (uma raiz dupla)
DIII. > 0 – Duas raízes reais e distintas
Módulo 3. Equação do 2º grau (II)
Relações de Girard1. 
ax bx c
S x x
b
a
P x x
c
a
2
1 2
1 2
0+ + = ⇒
= + =
−
= ⋅ =







 Obtenção da equação do 22. º grau a partir de 
suas raízes
S x x
P x x
x Sx P
= +
= ⋅





⇒ − + =
1 2
1 2
2 0
Módulo 4. Mudança de variável e equação irracional
Mudança de variável1. 
Substituir a variável de tal forma que a equação fique I. 
do 2º grau.
Resolver a equação.II. 
Retornar à variável inicial.III. 
Equação irracional2. 
Isolar um radical.I. 
Elevar a igualdade, membro a membro, a um determi-II. 
nado expoente de tal forma que se elimine a raiz.
Resolver a equação.III. 
Verificar os resultados, caso o termo tenha sido eleva-IV. 
do a um expoente par.
Enem e Vestibular Dose Dupla 01
Matematica 
Módulo 6. Operações com conjuntos
União de conjuntos1. 
A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B}
Intersecção de conjuntos2. 
A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B}
Diferença de conjuntos3. 
A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B}
Conjunto complementar4. 
C A B para B AA
B = − ⊂
Número de elementos da união de conjuntos5. 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Módulo 7. Conjuntos numéricos
Notação e constituição1. 
Números naturais: I. ¥
Números inteiros: II. 
Números racionais: III. 
Números reais: IV. ¡
Intervalos reais2. 
a b c
x
x x a ou b x c a b c∈ < ≤ <{ } = − ∞ ∪¡ / ] ; [ [ ; [
Módulo 8. Funções: introdução
Produto cartesiano1. 
A × B = {(x, y) / x ∈ A e y ∈ B}
Relação binária2. 
Uma relação binária de A em B é um subconjunto do 
produto cartesiano A × B.
Função3. 
Função é uma relação binária de A em B tal que todo 
elemento de A tem para si um correspondente único no 
conjunto B, que é a sua imagem.
O conjunto A é dito domínio da função – todo elemen-
to do domínio possui imagem e essa imagem, para ele, é 
única – e o conjunto B é dito contradomínio da função – 
nem todo elemento do contra domínio é necessariamente 
imagem de algum elemento do domínio. Os elementos do 
contradomínio que forem imagens determinam o conjunto 
imagem.
Módulo 5. Teoria dos conjuntos
Conceito, notação e apresentaçãoI. 
Relação de pertinênciaII. 
Relação de inclusão e subconjuntoIII. 
Conjunto vazioIV. 
Igualdade de conjuntosV. 
Conjunto de partesVI. 
Enem e Vestibular Dose Dupla 02
Matematica 
Módulo 9· Função: domínio de função real
Função real1. 
É toda função em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos, não vazios, de .
Definição2. 
Quando o domínio e o contradomínio de uma função real não forem especificados, sendo apresentada somente a sen-
tença que a define, diremos:
Domínio de uma função real é o mais amplo subconjunto de a)  para o qual são possíveis todas as operações indica-
das na sentença (lei da função).
Contradomínio de uma função real é o conjunto b)  .
Determinação do domínio3. 
f x
N
E x
D x E x
f x E x n N D x E xn
( )
( )
{ / ( ) }
( ) ( ), * { / ( ) }
= ⇒ = ∈ ≠
= ∈ ⇒ = ∈ ≥


0
02
Módulo 10· Função constante e função do 1o grau
Função constante1. 
Sentença: f(x) = k, k •	 ∈ 
Gráfico: reta paralela ao eixo Ox•	
y
k
0 x
•	D	=		 •		CD	=		 •		Im	=	{	k	}
Função do 12. o grau
Sentença: f(x) = ax + b, com a •	 ≠ 0
Raiz: ax + b = 0 •	 ⇒ x = 
− b
a
Gráfico: •	
reta crescente para a
reta decrescente para a
>
<



0
0
f(x) = ax + b, com a ≠ 0
a > 0
x
y
Raiz
b
b
a
a < 0
y
b
x
Raiz
b
a
Função crescente Função decrescente
D = CD = Im = 
Enem e Vestibular Dose Dupla 03
Matematica 
Módulo 11· Função do 2o grau: introdução
Apresentação1. 
Sentença: f(x) = ax•	 2 + bx + c, com a ≠ 0
Gráfico: parábola•	
Raízes: •	 x
b
a
=
− ± D
2
, com D = b2 – 4ac
Domínio e contradomínio: D = •	  e CD = 
Vértice: V(x•	 v ; yv) com x
b
a
e y
av v
=
−
=
−
2 4
D
Conjunto	Imagem:	a	•	 > 0 →	Im	=	{y	∈  / y ≥ yv}
a < 0 →	Im	=	{y	∈  / y ≤ yv}
Resumo gráfico2. 
D > 0 D = 0 D < 0
a > 0
c
xv
yv
x1 x2
x
y
0
v
c
yv = 0
x
y
x1 x2 xv
c
xv
yv
x
y
0
v
a < 0
c
xv
yv
x1 x2
x
y
0
v
yv = 0
c
x
y
x1 x2 xv
xv
yv
c
c
x
y
0
v
Módulo 12· Função do 2o grau: pontos extremos
Pontos extremos1. 
A função do 2o grau atinge o seu valor extremo na orde-
nada do vértice. Essa ordenada representa o valor mínimo 
quando a função é representada graficamente por uma pa-
rábola de concavidade voltada para cima, e o valor máximo 
quando a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Ordenada do vértice: y3. v
Graficamente, o yv representa o ponto extremo da fun-
ção do 2o grau. Se a > 0, yv é o ponto de mínimo valor da 
função. Se a < 0, yv é o ponto de máximo valor da função.
O valor de yv pode ser obtido, também, substituindo-se 
a variável, na sentença, pelo xv. Assim:
y = f(x ) ou, ainda:
Enem e Vestibular Dose Dupla 04
Matematica 
Enem e Vestibular Dose Dupla 05
Matematica 
Abscissa do vértice: x2. v
Graficamente, o xv é o ponto por onde passa o eixo de 
simetria da parábola. É dado por:
a > 0
v
a < 0
v
v
bx
2a a > 0
v
yv
y
Ponto de mínimo
a < 0
v
yv
y
Ponto de máximo
yv 4a
 –
Módulo 13· Função do 2o grau: exercícios
Aplicação
Situações do cotidiano, nas mais diversas áreas de conhecimento, são resolvidas estudando-se os pontos extremos 
(máximo e mínimo) das raízes, o sinal e a taxa de variação da função do 2o grau.
AResposta: 
C
20 40150
h
16
y
x
f x ax bx c
f x a x x x x
f x a x x
f a
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) (
= + +
= − −
= ⋅ ⋅ −
= ⋅ ⋅
2
1 2
40
20 20 −− =
= −
= − ⋅ ⋅ −
20 16
1
25
1
25
40
)
( ) ( )
a
f x x x
(Unifesp) A figura mostra um arco parabólico, ACB, de 1. 
altura CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm. M é o ponto 
médio de AB:
C
MA B
A altura do arco, em centímetros, em um ponto da base 
que dista 5 cm de M, é:
15a) 
14b) 
13c) 
12d) 
10e) 
Enem e Vestibular Dose Dupla 06
Matematica 
PV2D-09-22
Módulos 14/15· Inequações de 1o e 2o graus
Propriedades das desigualdades1. 
P1: a > b e b > c ⇒ a > c
P2: a > b ⇒ a + c > b + c
Consequência: a + b > c ⇒ a + b – b > c – b 
∴ a > c – b
P3: a > b e c ≠ 0 ⇒ 
a c b c c
a c b c c
⋅ > ⋅ >
⋅ < ⋅ <



 se 
 se 
0
0
Inequação do 12. o grau
ax b
ax b
ax b com
ax b
+ >
+ ≥
+ < ≠
+ ≤






0
0
0 0
0
 a
A resolução de uma inequação do 1o grau é feita com o 
mesmo procedimento matemático de resolução da equação do 
1o grau, respeitando-se as propriedades das desigualdades.
 Inequação do 23. o grau
ax bx c
ax bx c com
ax bx c
ax bx c
2
2
2
2
0
0 0
0
0
+ + >
+ + ≥ ≠
+ + <
+ + ≤







 a
A resolução da inequação do 2o grau é feita com o auxí-
lio da função do 2o grau. Associamos a expressão do 2o grau 
à função do 2o grau, estudamos a sua variação de sinais 
e, posteriormente, selecionamos os valores da variável que 
tornam a sentença verdadeira.
Esses valores determinam o conjunto solução da ine-
quação.
Módulo 16· Inequações: produto e quociente (I)
Apresentação1. 
f(x) g(x)
>
⋅
≥
<
≤






0
0
0
0
 e 
f(x)
g(x)
> 0
0
0
0
≥
<
≤






Resolução2. 
Analisar a variação de sinais de cada uma das fun-a) 
ções.
Determinar a variação de sinais da operação indi-b) 
cada.
Selecionar os valores da variável que tornam a sen-c) 
tença verdadeira e apresentar a solução.
Módulo 17· Inequações: produto e quociente (II)
f x g x e
f x
f g
( ) ( )
>
≥
<
≤






( )
( )
>
≥
<
≤





·
0
0
0
0
0
0
0
0
Módulo 18· Função composta
Conceito1. 
Vamos considerar uma função f definida de um con-
junto A para um conjunto B, de tal maneira que todo ele-
mento de B seja imagem de, pelo menos, um elemento de 
A. Consideremos, também, uma função g definida desse 
conjunto B para um conjunto C. Assim, podemos tomar 
um elemento x do conjunto A que, pela sentença f, deter-
mina uma imagem f(x) no conjunto B. Esta imagem f(x), 
pelo uso da sentença g, pode determinar no conjunto C 
uma imagem g[f(x)]. A sentença resultante dessa subs-
tituição de f(x) na sentença g será chamada de função 
composta de f com g.
Notação2. 
A composição g[f(x)] poderá ser representada por 
(gof)(x), ou gof(x), ou, ainda, simplesmente, gof, que será 
lido g “bola” f.
gof
x
f (x)
f g
A C
B
x f(x) g[f(x)]f g
g[f(x)]
Módulo 19· Tipos de função
Função injetora1. 
Uma função f definida do conjunto A no conjunto B é considerada injetora se elementos distintos de A apresentarem 
imagens distintas em B, ou seja, nenhum elemento de B será imagem de mais de um elemento de A.
f : A → B é injetora ⇔ x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
Função sobrejetora2. 
Uma função f definida do conjunto A no conjunto B é considerada sobrejetora se cada um dos elementos de B for ima-
gem de, pelo menos, um elemento de A, ou seja, se o contradomínio de f for igual ao conjunto imagem.
f : A → B é sobrejetora ⇔ Im(f) = B
Função bijetora3. 
Uma função f definida do conjunto A no conjunto B é considerada bijetora se, e somente se, ela apresentar caracterís-
ticas de função injetora e função sobrejetora.
Enem e Vestibular Dose Dupla 07
Matematica 
Módulo 20· Função inversa
Conceito1. 
Dada a função f, necessariamente bijetora, definida de A 
em B, a sua inversa, de notação f –1 , é a função definida de B 
em A, de tal modo que se (x; y) ∈ f, então (y; x) ∈ f–1.
f
f –1
x y
A = D(f) = CD(f–1) = Im(f–1)
B = D(f–1) = CD(f) = Im(f)
Determinação2. 
A determinação da sentença que define a inversa da 
função f é feita em duas etapas:
Expressar x em função de y.1) 
“Permutar”, para efeito de notação, x com y, 2) 
substituindo por y–1 ou por f–1.
Propriedades3. 
P•	 1: (f
–1)–1 = f
P•	 2: Se f [g(x)] = x, então g = f
–1
P•	 3: Os gráficos de uma função f e sua inversa f
–1 são 
simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, 
ou seja, a reta de equação y = x.
x0
y
f
f –1 
y = x
Módulo 21· Função modular
Interpretação geométrica de 1. 
módulo de um número real
Todo número real pode ser associado a um ponto pertencen-
te a um eixo orientado, de origem O, denominado eixo real.
–2 –1 0 11
2
2
Definimos módulo de um número real como a dis-
tância entre o ponto que o representa no eixo real e 
a origem desse eixo. Sendo módulo uma distância, é 
fácil concluir que apresentará sempre um valor maior 
ou igual a zero. A representação do módulo do número 
real x é dada |x|.
Definição de módulo de um número real2. 
x
x sex
x sex
=
≥
− <



,
,
0
0
Função modular3. 
Sentença: f(x) = |x|•	
Gráfico: semirretas bissetrizes do 1•	 o e do 2o quadrante
Domínio e contradomínio: D = •	 � e CD = �
Conjunto Imagem: •	 �+ (reais não negativos)
Resumo gráfico4. 
45° 45°
0
y
x
f(x) x
Enem e Vestibular Dose Dupla 08
Matematica 
Módulo 22· Equação modular
Introdução1. 
Para resolução das equações modulares, além da definição de módulo e de sua interpretação geométrica, é importante 
observarmos as propriedades decorrentes da definição de módulo.
Propriedades dos módulos2. 
Sendo x e y números reais e a um número real e não negativo, temos:
P•	 1: | x | ≥ 0 para ∀ x real e | x | = 0 ⇔ x = 0
P•	 2: | x | = a ⇔ x = – a ou x = a
P•	 3: | x | = | y | ⇔ x = –y ou x = y
P•	 4: | x · y | = | x | · | y |
P•	 5: | x : y | = | x | : | y |, com y ≠ 0
P•	 6: x
nn 22 = | x |, para n ∈  *
P•	 7: | x | < a ⇒ –a < x < a
P•	 8: | x | > a ⇒ x < –a ou x > a
Módulo 23· Inequação modular
Introdução1. 
Para resolução das inequações modulares, assim como 
ocorreu com as equações modulares, além da definição de 
módulo e de sua interpretação geométrica, são importantes 
as propriedades dos módulos, em especial duas delas, que 
recordaremos a seguir.
Propriedades dos módulos2. 
P•	 7: |x| < a ⇒ – a < x < a 
P•	 8: |x| > a ⇒ x < – a ou x > a 
Módulo 24· Equação exponencial
a a E x E x
a b Logaritmo
E x E x
E x E x
1 2
1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( )
= ⇒ ( ) = ( )
= ⇒




Para as bases positivas, distintas e diferentes de 1
Módulo 25· Função exponencial
Apresentação1. 
Sentença: f(x) = a•	 x, com a > 0 e a ≠ 1.
Domínio e contradomínio: D = •	 � e CD = �.
Conjunto imagem: •	 �*+ (reais positivos).
Resumo gráfico2. 
a > 1 0 < a < 1
x
0
y
1
x
0
y
1
crescente decrescente
Módulo 26· Inequação exponencial
a
a a E x E x
a a E x E x
E x E x
E x E x
>
> ⇔ ( ) > ( )
< ⇔ ( ) < ( )




( ) ( )
( ) ( )
1
1 2
1 2
1 2
1 2
0 1
1 2
1 2
1 2
1 2
< <
> ⇔ ( ) < ( )
< ⇔ ( ) > ( )


 ( ) ( )
( ) ( )
a
a a E x E x
a a E x E x
E x E x
E x E x
Para a ∈ , a > 0 e a ≠ 1
Enem e Vestibular Dose Dupla 09
Matematica 
Módulo 27· Logaritmos: definição
Definição e nomenclatura1. 
log N a N
N
a base
aritmo
a = ⇔ =
−
−
−




a
a
a
logaritmando
log
 Decorrências da definição2. 
loga1 = 0 logaa
n = n
logaa = 1 a N
a Nlog =
Módulo 28· Logaritmos: condições de existência
 Condições de existência1. 
log N a N
N
a
a
a = ⇔ =
>
>
≠




a a
0
0
1
Logaritmo neperiano2. 
•	dn x = loge x, sendo e = 2,718282... O número e é irra-
cional. Ele é dito número de Euler.
•	 A	notação	do	logaritmo	neperiano	de	x	pode	ser	dn x.
Módulo 29· Logaritmos: propriedades
Garantidas	as	 condições	de	existência	dos	 logaritmos,	
tem-se:
P•	 1: loga(N · M) = logaN + logaM
P•	 2: loga
N
M




= logaN – logaM
P•	 3: logaB
n = n ·logaB
P•	 4: loga B n
n = 1 · logaB
P•	 5: loganB = 
1
n
· logaB 
Módulo 30· Logaritmos: equações logarítmicas
Equação logarítmica1. 
Garantidas	as	condições	de	existência	dos	logaritmos,	
tem-se:
log •	 a E(x) = a ⇔ E(x) = aa
log •	 a E1(x) = Log a E2(x) ⇔ E1(x) = E2(x)
Cologaritmo2. 
colog •	 a N = – log a N = loga 
1
N




Antilogaritmo3. 
antilog •	 a a = N ⇔ log a N = a
Módulo 31· Logaritmos: mudança de base
Garantidas	as	condições	de	existência	dos	 logaritmos,	
tem-se:
log N
log N
log aa
c
c
=
Consequências	da	mudança	de	base:
log N
log a
a N N
a
N
c a c
=
⋅ =
1
log log log
Enem e Vestibular Dose Dupla 10
Matematica 
Módulo 32· Logaritmos: função logarítmica
Apresentação1. 
Sentença:	f(x)	=	log	•	 a x, com a > 0 e a ≠ 1
Domínio: D = •	 ¡*+
Contradomínio e conjunto imagem: CD = •	 ¡ e Im = ¡
Resumo gráfico2. 
a > 1
y
0 1
x
crescente
0 < a < 1
y
0 1
x
decrescente
Módulo 33· Logaritmos: inequação logarítmica
Garantidas	as	condições	de	existência	dos	logaritmos,	tem-se:
a
log E x log E x E x E x
log E x log E x E x
a a
a a
>
> ⇔ >
< ⇔
1 1 2 1 2
1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )) ( )<


 E x2
0 1 1 2 1 2
1 2 1
< <
> ⇔ <
< ⇔
a
log E x log E x E x E x
log E x log E x E
a a
a a
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (( ) ( )x E x>


 2
Para a ∈ ¡, a > 0 e a ≠ 1
Módulo 34· Progressão aritmética: definição e 
termo geral
Definição1. 
a•	 n = an–1 + r, sendo n ∈ ¡* e r a razão da PA
Classificação2. 
r > 0: progressão aritmética crescente•	
r < 0: progressão aritmética decrescente•	
r = 0: progressão aritmética constante•	
Termo geral3. 
a•	 n = a1 + (n – 1) · r, com n ∈ ¡*
Artifícios4. 
PA	com	três	termos:	(a	–	r,	a,	a	+	r)	•	 → razão: r
PA com quatro termos: (a – 3r, a – r, a + r, a + 3r) •	 → 
razão: 2r
PA com cinco termos: (a – 2r, a – r, a, a + r, a + 2r) •	
→ razão: r
Propriedade5. 
Sejam	a,	b	e	c	três	termos	consecutivos	de	uma	PA.	Tem-
se que:
b
a c= +
2
•	 (O termo médio é a média aritmética dos 
outros dois termos.)
Módulo 35· Progressão aritmética: soma dos termos
Termos equidistantes dos extremos1. 
Considere-se a PA: a1, a2, a3, ... ap, ... aq, ... an – 2, an – 1, an. 
Os termosap e aq serão ditos equidistantes dos extremos se, e 
somente se, p + q = n + 1. 
A soma de dois termos equidistantes dos extremos é 
igual à soma desses extremos.
p + q = n + 1 •	 ⇒ ap + aq = an + a1
Soma dos n primeiros termos da PA2. 
Seja Sn	a	notação	que	representa	a	soma	dos	n	primeiros	
termos de uma progressão aritmética. Assim:
S
a a n
n
n=
+ ⋅( )1
2
•	 
Enem e Vestibular Dose Dupla 11
Matematica 
Módulo 36· Progressão geométrica: 
definição e termo geral
Definição1. 
a•	 n = an–1 · q, sendo n ∈* e r a razão da PG.
Classificação2. 
a•	 1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1: progressão geomé-
trica crescente.
a•	 1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1: progressão geomé-
trica decrescente.
q = 1: progressão geométrica constante•	
q < 0: progressão geométrica alternante•	
a•	 1 = 0 ou q = 0: progressão geométrica singular
Termo geral3. 
a•	 n = a1 · q
n–1, com n ∈*.
Artifícios4. 
PG	com	três	termos:•	 a
q
a a q; ; ⋅




→ razão: q
PG com quatro termos:•	
a
q
a
q
a q a q
3
3; ; ;⋅ ⋅




 → razão: q2
PG com cinco termos:•	 a
q
a
q
a a q a q
2
2; ; ; ;⋅ ⋅




→ razão: q
Propriedade5. 
Sejam	a,	b	 e	 c	 três	 termos	 consecutivos	de	uma	PG.	
Tem-se que:
b a c b a c= ⋅ ⇒ = ⋅2•	 (O termo médio é a média geo-
métrica dos outros dois termos.)
Módulo 37· Progressão geométrica: soma dos termos
Seja Sn a notação que representa a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica. Assim:
S
a q
qn
n
=
⋅ −( )
−( )
1 1
1
, para q ≠ 1 Sn = a1 · n, para q = 1
Módulo 38· Progressão geométrica convergente
Condição1. 
– 1 < q < 1, ou seja, | q | < 1
Limite da soma dos infinitos termos2. 
S
a
q∞
=
−
1
1
 
Módulo 39· Números complexos: apresentação
Forma algébrica1. 
z = a + bi, com a ∈ e b ∈
a é a parte real •	 → a = Re(z).
bi é a parte imaginária.•	
b é o coeficiente da parte imaginária •	 → b = Im(z).
i é a unidade imaginária •	 → i2 = – 1.
b = 0 •	 ⇒ z é um número real.
a = 0 e b •	 ≠ 0 ⇒ z é um número imaginário puro.
Igualdade de números complexos 2. 
na forma algébrica
a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d
Adição e subtração de números 3. 
complexos na forma algébrica
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Multiplicação de números 4. 
complexos na forma algébrica
(a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Número complexo conjugado5. 
z = a + bi ⇒ z a – bi
Enem e Vestibular Dose Dupla 12
Matematica 
Módulo 40· Números complexos: divisão
Divisão de números complexos 1. 
na forma algébrica
a bi
c di
a bi c di
c di c di
a bi c di
c d
+( )
+( ) =
+( ) ⋅ −( )
+( ) ⋅ −( ) =
+( ) ⋅ −( )
+2 2
Potências, de expoente natural, 2. 
da unidade imaginária 
i0 = 1 i1 = i i2 = –1 i3 = – i
in = ir, sendo r o resto da divisão do número natural n 
por 4.
Módulo 41· Números complexos: forma trigonométrica
Plano complexo – Plano de Argand-Gauss1. 
Re(z)
Im(z)
 = arg(z)
 = |z|
b
0 a
P (a, b)
r•	 = |z| = a b2 2+ (módulo de z)
cosq
r
q
r
= =
a
e sen
b
 •	 
 (q → argumento de z, 0 ≤ q < 2p)
P •	 → afixo de z
Propriedades dos módulos2. 
1ª) |z| = |z|
2ª) |z · w| = |z| · |w|
3ª) |zn| = |z|n
4ª) z
w
z
w
= , para w ≠ 0
Número complexo na forma trigonométrica3. 
z = r · (cos q + i · sen q)
Módulo 42· Números complexos: operações 
 na forma trigonométrica
Multiplicação e divisão1. 
z1 = r1 · (cos q1 + i sen q1) e z2 = r2 · (cos q2 + i sen q2)
z1 · z2 = r1 · r2 · [cos(q1 + q2) + i sen(q1 + q2)] 
z
z
1
2
1
2
=
r
r
 · [cos(q1 – q2) + i sen(q1 – q2)]
Potenciação2. 
z = r · (cos q + i sen q)
zn = rn · [cos(n · q) + i sen(n · q)]
Enem e Vestibular Dose Dupla 13
Matematica 
Módulo 43· Polinômios: introdução
Apresentação1. 
P(x) = a0x
n + a1x
n–1 + a2x
n–2 + ... + an–1x + an
a•	 0, a1, a2, ..., an–1 e an → constantes não nulas (coe-
ficientes)
x •	 → um número qualquer real ou não real (variável)
n, n – 1, n – 2, ..., 1, 0 •	 → expoentes da variável (nú-
meros naturais)
a•	 0x
n, a1x
n–1, a2x
n–2, ..., an–1x, an → termos do polinô-
mio (monômios)
Grau do polinômio2. 
Grau do monômio de maior grau. O grau do monômio é 
igual ao expoente da variável.
Valor numérico do polinômio3. 
Dado o polinômio P(x), o seu valor numérico para x = a, 
a -
titui, no polinômio, a variável x por a e efetuam-se as opera-
ções indicadas.
Polinômio nulo4. 
Um polinômio é dito identicamente nulo, ou simples-
mente nulo, quando apresenta valor numérico zero para 
qualquer valor atribuído à variável. Não se define grau para 
polinômio nulo.
Raiz do polinômio5. 
Valor da variável para o qual o valor numérico do poli-
nômio é zero.
Polinômios idênticos6. 
Dois polinômios são ditos idênticos quando apresentam 
o mesmo valor numérico para qualquer que seja o valor atri-
buído à variável.
Módulo 44· Polinômios: divisão
Divisão de polinômios1. 
P x D x
R x Q x
P x D x Q x R x
G G G
R
P D Q
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
(
 
 
 
 
 
 
= ⋅ +
= +
xx ou G GR D) ≡ <




 0 
Divisão por (x – a) 2. 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini
A divisão de um polinômio P(x) pelo binômio do 1º grau 
(x – a) é efetuada de uma forma mais simples usando-se o 
dispositivo prático de Briot-Ruffini.
Teorema do resto3. 
P(x) ÷ (x – a) ⇒ R = P(a)
Teorema de D’Alembert4. 
P(x) é divisível por (x – a) ⇔ P(a) = 0
Módulo 45· Polinômios: critérios de divisibilidade
11. o critério
P(x) é divisível por (x – a) ⇔ P(a) = 0.
22. o critério
P(x) é divisível por (x – a) · (x – b) ⇔ P(a) = 0 e P(b) = 0.
33. o critério
P(x) será divisível por (x – a)2 se, e somente se, P(x) for 
divisível por (x – a) e o quociente dessa divisão for, tam-
bém, divisível por (x – a).
Critério geral
P(x) será divisível por D(x) se, e somente se, as raízes de 
D(x) forem também raízes de P(x).
Enem e Vestibular Dose Dupla 14
Matematica 
Módulo 46· Equações algébricas: introdução
Apresentação1. 
Equação algébrica, ou equação polinomial, é um polinô-
mio igualado a zero.
P(x) = a0x
n + a1x
n–1 + a2x
n–2 + ... + an–1x + an = 0
Raiz ou solução2. 
É o valor da variável que anula o polinômio. Resolver 
uma equação polinomial é obter todas as suas raízes e apre-
sentá-las reunidas num conjunto que pode ser chamado de 
conjunto solução ou conjunto verdade.
Multiplicidade de uma raiz3. 
Em algumas equações polinomiais, um mesmo núme-
ro é raiz várias vezes. Nesses casos, esse número é dito 
raiz múltipla. Multiplicidade de uma raiz é o número de 
vezes que um mesmo número é raiz da equação. Quando 
o número é raiz uma única vez, ele é dito raiz simples 
da equação.
Módulo 47· Equações algébricas: teorema 
fundamental da álgebra e teorema da decomposição
Teorema fundamental da álgebra1. 
Toda equação algébrica de grau n, n ∈ *, admite pelo 
menos uma raiz, real ou não real.
Consequência – Toda equação algébrica de grau n, •	
n ∈ *, admite exatamente n raízes (reais ou não reais 
– múltiplas ou distintas).
Teorema da decomposição2. 
Todo polinômio
P(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an
apresentado na forma
P(x) = a0 · (x –x1) · (x – x2) · (x – x3) ... (x – xn
x1, x2, x3,... xn são as raízes da equação P(x) = 0.
Observação3. 
Dado o polinômio
P(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an
será uma de suas raízes.
Módulo 48· Equações algébricas: relações de Girard
a x a x
a
a0 1 1
1
0
0+ = ⇒ =
−



•	
a x a a
x x
a
a
x x
a
a
0
2
1 2
1 2
1
0
1 2
2
0
0+ + = ⇒
+ =
−
⋅ =






•	
 •	 a x a x a x a
x x x
a
a
x x x x x x
a
a
x
0
3
1
2
2 3
1 2 3
1
0
1 2 1 3 2 3
2
0
1
0+ + + = ⇒
+ + =
−
⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅ xx x
a
a2 3
3
0
⋅ =
−










Enem e Vestibular Dose Dupla 15
Matematica 
Módulo 49· Equações algébricas: teorema 
das raízes complexas não reais
Seja a equação algébrica a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + a3xn–3 + ... + an = 0, de coeficientes reais.
Se o número complexo, não real, z = a + bi for uma raiz dessa equação, então o seu conjugado, z = a – bi, também será 
raiz da equação.
ConsequênciaNuma equação algébrica, de coeficientes reais e grau ímpar, pelo menos uma de suas raízes é real.
Módulo 50· Equações algébricas: pesquisa 
de raízes racionais
Dada a equação a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an = 0, de coeficientes inteiros, caso ela admita raízes racionais, 
essas serão da forma 
p
q
, sendo p divisor de an e q divisor de a0.
Defi nição1. 
Matriz é uma tabela de números distribuídos de manei-
ra organizada em linhas e colunas.
Apresentação2. 
A
a a a
a a a
a a a
ou A
a an
n
m m mn
=












=
11 12 1
21 22 2
1 2
11 12

  

 aa
a a a
a a a
n
n
m m mn
1
21 22 2
1 2

  













 
Operações com matrizes4. 
Igualdade de matrizes•	
Adição e subtração de matrizes•	
Multiplicação de uma matriz por uma constante•	
Mutiplicação de matrizes•	
Propriedades5. 
P1: (A · B) · C = A · (B · C)
P2: A · (B + C) = A · B + A · C
P3: (B + C) · A = B · A + C · A
P4: A · I = I · A = A
P5: A · 0 = 0 · A = 0
P6: (a · A) · B = A · (a · B) = a · (A · B) 
P7: (A · B)
t = Bt · At
 Módulo 51· Matrizes: conceitos e operações
Tipos de matrizes3. 
Matriz linha•	
Matriz coluna•	
Matriz nula•	
Matriz quadrada•	
 – Matriz diagonal
 – Matriz identidade
Matriz transposta•	
Matriz oposta•	
Matriz simétrica•	
Matriz antissimétrica•	
Módulo 52· Definição e cálculo de determinantes 
de matrizes de ordens 1, 2 e 3
Definição1. 
Determinante é um número associado a uma matriz quadra-
da, calculado com auxílio da tabela que representa a matriz.
Apresentação2. 
A
a a a
a a a
a a a
A
an
n
n n nn nxn
=












⇒ =
11 12 1
21 22 2
1 2
1

  

det
11 12 1
21 22 2
1 2
a a
a a a
a a a
n
n
n n nn


  













Cálculo3. 
Matriz quadrada de ordem 1•	
Matriz quadrada de ordem 2•	
Matriz quadrada de ordem 3 – regra de Sarrus •	
Enem e Vestibular Dose Dupla 16
Matematica 
Módulo 53· Determinantes: teoremas de Laplace 
e Jacobi
Teorema de Laplace1. 
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n é dado pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer, 
linha ou coluna, pelos seus respectivos cofatores.
Teorema de Jacobi2. 
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n não se altera quando a uma de suas filas soma-se uma outra fila, 
paralela à primeira, previamente multiplicada por uma constante.
Módulo 54· Determinantes: propriedades, regra 
de Chió e teorema de Binet
Propriedades1. 
O determinante é nulo quando a matriz apresenta:
P•	 1: uma fila nula;
P•	 2: duas filas paralelas iguais;
P•	 3: duas filas paralelas proporcionais;
P•	 4: o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta (det A = det A
t);
P•	 5: o determinante de uma matriz troca de sinal quando se permuta a posição de duas de suas filas paralelas quais-
quer;
P•	 6: o determinante de uma matriz fica multiplicado pela constante a quando se multiplica uma única das filas da 
matriz pela constante a;
Consequência: det(•	 a · A) = an · det A, sendo n a ordem da matriz A;
P•	 7: composição ou decomposição de determinantes;
 
1
2
3
1
2
3
1
2
3
a x
b y
c z
d x
e y
f z
a d x
b e y
c f z
+ =
+
+
+
;
P•	 8: o determinante de uma matriz quadrada que apresenta todos os elementos de um mesmo lado da diagonal prin-
cipal iguais a zero, matriz triangular, é igual ao produto dos elementos dessa diagonal principal.
Teorema de Binet2. 
Para as matrizes quadradas A e B, de mesma ordem, tem-se:
det(A · B) = det A · det B
Determinante de Vandermonde3. 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a b c d
a b c d
a b c d
b a c a c b d a d b d c= − − − − − −( )( )( )( )( )( )
Regra de Chió4. 
Dada uma matriz quadrada de ordem n, a regra de Chió apresenta uma outra matriz quadrada, de ordem (n – 1), com 
o mesmo determinante da primeira.
Enem e Vestibular Dose Dupla 17
Matematica 
Módulo 55· Matriz inversa
Definição1. 
Dada a matriz A, quadrada e de ordem n, a sua inversa, de mesma ordem e com notação A–1 , é a matriz tal que 
A · A–1 = A–1 · A = I.
Existência2. 
Dada a matriz A, quadrada e de ordem n, temos:
•	det	A	=	0	⇒ E A–1. Nesse caso, a matriz A é dita matriz singular.
•	det	A ≠ 0 ⇒ $ A–1. Nesse caso, a matriz A é dita matriz não singular.
Determinação3. 
Dada a matriz A, quadrada e de ordem n, com det A ≠ 0, temos:
A
A
AdjA−1
1
= ⋅
detPropriedades4. 




P A A
P A A
P A B B A
P At t
1
1 1
2
1 1
3
1 1 1
4
:
:
:
:det
− −
− −
− − −
−
( ) =
( ) = ( )
⋅( ) = ⋅
11 1=
det A
Observação5. 
Dada a matriz A, quadrada e de ordem n, e a sua inversa, representada por B, temos:
b
A
cof ai j j i= ⋅
1
det
( )
Módulo 56· Sistemas lineares: regra de Cramer
Apresentação1. 
Equação linear: equação na qual as incógnitas apre-•	
sentam expoente igual a 1.
Sistema linear: é um conjunto de m (m •	 ≥ 1) equações 
lineares com n incógnitas.
Solução de um sistema linear: conjunto ordenado •	
que é solução de todas as equações desse sistema, simul-
taneamente.
Classificação2. 
determinado uma única solução
possível
indeterminado infinitas soluçõesSistema linear
impossível não admite solução
→ 
  → 
 →
Sistema normal3. 
Chama-se sistema normal aquele que admite n (n ≥ 1) 
equações e n incógnitas, cujo determinante D é diferente 
de zero. O determinante D é formado pelos coeficientes das 
incógnitas que devem ser colocadas na mesma ordem em 
todas as equações.
O sistema normal é sempre possível e determinado.
Regra de Cramer4. 
Com o uso da regra de Cramer, a incógnita a é determi-
nada por a a=
D
D
, sendo Da o determinante D quando se 
substituem os coeficientes da incógnita a pelos termos in-
dependentes das equações. O uso da regra de Cramer só é 
possível na resolução do sistema chamado normal.
Módulo 57· Sistemas lineares: método do escalonamento
Apresentação1. 
Um sistema linear é dito escalonado quando, de uma equação para a outra, diminui o número de incógnitas.
Procedimento para o escalonamento de um sistema linear2. 
Um sistema linear não tem alteração no seu conjunto solução quando:
troca-se a ordem de suas equações;•	
multiplicam-se ou dividem-se os coeficientes de uma de suas equações por uma constante não nula;•	
soma-se a uma de suas equações uma outra equação, previamente multiplicada por uma constante.•	
Enem e Vestibular Dose Dupla 18
Matematica 
Módulo 58 · Sistemas lineares: classificação, discussão 
e sistema linear homogêneo
Classificação1. 
Se o determinante D for diferente de zero, num sistema •	
linear com o número de equações igual ao número de incóg-
nitas, o sistema é possível e determinado (sistema normal).
Caso o determinante D seja igual a zero ou o número •	
de equações seja diferente do número de incógnitas, deve-
se escalonar o sistema e, então, ele será:
possível e indeterminado, se o número de incógnitas –
passar a ser maior que o número de equações;
impossível, se apresentar uma sentença falsa. –
Sistema linear homogêneo (SLH)2. 
Sistema linear homogêneo é aquele em que o termo •	
independente de todas as equações é igual a zero.
Propriedade do SLH•	
Todo sistema linear homogêneo é possível, pois a –
n-ênupla (0, 0, 0,..., 0) é sempre solução. Ela é chamada 
também de solução trivial ou imprópria do sistema.
Quando o SLH é indeterminado, além da solução tri- –
vial, ele admite outras infinitas soluções que são as chama-
das soluções próprias do sistema.
Enem e Vestibular Dose Dupla 19
Matematica 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
ENEM2011
MATAMÁTICA
SETOR II
Módulo 1. Produtos notáveis
Produto da soma pela diferença: (a + b) · (a – b) = a•	 2 – b2
Quadrado da soma: (a + b)•	 2 = a2 + 2ab + b2
Quadrado da diferença: (a – b)•	 2 = a2 – 2ab + b2
Cubo da soma: (a + b)•	 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Cubo da diferença: (a – b)•	 3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Módulo 2. Fatoração
ax + bx = x(a + b)
mx + nx + my + ny = x(m + n) + y(m + n) = (m + n)(x + y)
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Trinômioquadrado perfeito
Fator comum
Agrupamento
Diferença de quadrados
Outros casos
Trinômio do 2•	 o grau → ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2), em que x1 e x2 são raízes de ax2 + bx + c = 0
Soma de cubos •	 → a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
Diferença de cubos •	 → a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
Módulo 3. Porcentagem
Definição e cálculo1. 
Porcentagem é uma fração de denominador centesimal.
25
25
100
0 25
100
% ,
%
= =
=i i
Porcentagem – Lucro2. 
Lucro ou prejuízo percentual
Preço de custo + Lucro = Preço de venda
Preço de custo – Prejuízo = Preço de venda
Módulo 4. Aumentos e descontos percentuais
Aumento percentual1. 
Sendo: V – valor inicial, p% – porcentagem de aumento; 
A – aumento; VA – valor após o aumento, temos:
V V A V p deV V
P
V V V
P
A A= + = + = + ⋅ ⇒ = ⋅ +



% 100
1
100
Assim, 1,24 · V é o valor inicial V mais um aumento 
de 24%.
Desconto percentual2. 
Sendo: V – valor inicial; p% – porcentagem de desconto; 
D – desconto; VD – valor após o desconto, temos: 
V V D V p de V V
P
V V V
P
A D= − = − = − ⋅ ⇒ = ⋅ −



% 100
1
100
Assim, 0,76 · V é o valor inicial com um desconto de 
24%.
Enem e Vestibular Dose Dupla 20
Matematica 
Módulo 5. Porcentagem: exercícios
Porcentagem é uma fração de denominador centesimal.
25
25
100
0 25
100
% ,
%
= =
=i i
Lucro ou prejuízo percentual1. 
Preço de custo + Lucro = Preço de venda
Preço de custo – Prejuízo = Preço de venda
Aumentos e descontos2. 
Se p é uma parte de V, qual porcentagem de V que p 
representa?
p
V
⋅ 100%
Se Vi era o valor inicial e Vf é o valor final, qual foi a 
variação percentual?
valor final valor inicial
valor inicial
−
⋅ 100%
Quem aumenta p% determina o valor final, multiplican-
do o valor inicial por qual fator?
1
100
+


p
Quem reduz p% determina o valor final, multiplicando 
o valor inicial por qual fator?
1
100
−


p
Módulo 6. Múltiplos e divisores
n = m · k, m ∈ ¢, k ∈ ¢
n é múltiplo de m.
m é divisor ou fator de n. 
a é no par ⇔ a = 2k, k ∈ ¢
a é no ímpar ⇔ a = 2k + 1, k ∈¢
Módulo 7. MDC e MMC de números
MDC: Produto dos divisores comuns às decomposições 
com os seus menores expoentes.
MMC: Produto de todos os divisores, comuns ou não, 
com os seus maiores expoentes.
Módulo 8. Múltiplos e divisores: exercícios
n = m · k, m ∈ ¢, k ∈ ¢
n é múltiplo de m.
m é divisor ou fator de n.
a é no par ⇔ a = 2k, k ∈ ¢
a é no ímpar ⇔ a = 2k + 1, k ∈¢
MDC e MMC de números
MDC: Produto dos divisores comuns às decomposições 
com os seus menores expoentes.
MMC: Produto de todos os divisores, comuns ou não, 
com os seus maiores expoentes.
Enem e Vestibular Dose Dupla 21
Matematica 
Enem e Vestibular Dose Dupla 22
Matematica 
Módulo 9· Estudo dos ângulos
Definição e medida de um ângulo1. 
O
A
B
a = med (AOB) = AÔB
Opostos pelo vértice (OPV)2.3. 
C
B
A
D
O
AÔD e BÔC (a = b)
Classificação quanto à posição2. 
Consecutivos2.1. 
O
A
B
C
AÔB e BÔC; AÔB e AÔC; BÔC e AÔC
Adjacentes2.2. 
O
A
B
C
AÔB e BÔC
Classificação quanto à soma 3. 
das medidas a e b 
• Complementares: a + b = 90°
• Suplementares: a + b = 180°
Bissetriz de um ângulo4. 
O
A
C
B
2
2
 
OC

 é bissetriz de AÔB.
Módulo 10· Ângulos: retas paralelas cortadas por uma 
transversal
Classificação1. 
5
8 7
6
4
3
1
2
t
s
r
Colaterais internos: 3 e 6; 4 e 5
Colaterais externos: 1 e 8; 2 e 7
Alternos internos: 3 e 5; 4 e 6
Alternos externos: 1 e 7; 2 e 8 
Correspondentes: 1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8
Propriedades2. 
r e s são paralelas (r // s). t
r
s
 r e s não são paralelas (r s).
t
r
s
Enem e Vestibular Dose Dupla 23
Matematica 
Módulo 11· Estudo dos triângulos
Classificação1. 
Quanto aos lados1.1. 
Escaleno• 
Isósceles• 
Equilátero• 
Quanto aos ângulos1.2. 
Retângulo• 
Acutângulo• 
Obtusângulo• 
Soma das medidas dos ângulos internos2. 
A
CB
A
B C
 
A B C  + + = °180
Medida do ângulo externo3. 
e A
C
B
A
B C
1
e3
e2
 
ê
ê
ê
1
2
3
= +
= +
= +
B C
A C
A B
 
 
 
Soma das medidas dos ângulos externos4. 
e A
C
B
1
e3
e2
 
ê ê ê1 2 3 360+ + = °
Módulo 12· Pontos notáveis: baricentro e ortocentro
Baricentro1. 
Baricentro é o encontro das medianas.
AM1, BM2 e CM3 são medianas.
G é o baricentro do DABC.
A
M3 M2
M1
G
B C
Ortocentro2. 
Ortocentro é o encontro das retas suportes das alturas.
AH1, BH2 e CH3 são alturas.
O é o ortocentro do DABC. 
H3
H2
H1
A
B C
O
Posições do ortocentro3. 
D acutângulo – interno ao triângulo
D obtusângulo – externo ao triângulo
D retângulo – vértice do ângulo reto do triângulo
Enem e Vestibular Dose Dupla 24
Matematica 
Propriedade da mediana4. 
Área do DABM1 = Área do DACM1
A
B CM1
Propriedade de uma ceviana qualquer5. 
 
S
BS AH
S
SC AH
S
S
BS
SC
ABS
ACS
ABS
ACS
=
×
=
×






\ =
2
2
 
 
A
B H S C
 
Propriedades do baricentro6. 
A
M3 M2
M1
S
S S
SS
S
G
B C
S S S S S S
S
S S AG G
AGM AGM BGM BGM CGM CGM
ABC
ACG CGM
2 3 1 3 1 2
1
6
2 2
= = = = = =
= ⇒ = MM
S S BG GM
S S CG GM
BCG CGM
BCG BGM
1
2
3
2 2
2 2
2
3
= ⇒ =
= ⇒ =
Módulo 13· Pontos notáveis: incentro e circuncentro
Incentro1. 
Incentro é o encontro das bissetrizes internas.
AS1, BS2 e CS3 são bissetrizes internas. 
I é o incentro do DABC.
(I equidista dos lados do DABC.)
A
B C
S3
S2
S1
I
Circuncentro2. 
Circuncentro é o encontro das mediatrizes.
t1, t2 e t3 são mediatrizes.
O é o circuncentro do DABC.
(O equidista dos vértices do DABC.)
t2
t3
t1
M3
M1
M2
O
A
B C
Posições do circuncentro3. 
D acutângulo – interno ao triângulo
D obtusângulo – externo ao triângulo
D retângulo – ponto médio da hipotenusa
Módulo 14· Congruência de triângulos
Definição1. 
A
B C
D
E F
D DABC DEF A D B E C F
AB DE AC DF BC EF
≡ ⇔ ≡ ≡ ≡
≡ ≡ ≡




     ; ;
; ;
Casos de congruência2. 
1• o caso: LLL
2• o caso: LAL
3• o caso: ALA
4• o caso: LAA0
Caso especial de congruência de triângulos retângulos: 
HC (hipotenusa – cateto)
Módulo 15· Quadriláteros notáveis
Classificação1. 
Trapézio
A D
B C
AD // BC
Paralelogramo
A
DB
C
AB // CD e AC // BD
Retângulo
A D
B C
A B C D   = = = = °90
Losango
A
DB
C
AB = BC = CD = DA
Quadrado
A
B C
D
A B C D
e
AB BC CD DA
   = = = = °
= = =





90
Propriedades2. 
1a) Paralelogramo: ângulos opostos congruentes
2a) Paralelogramo: lados opostos congruentes
3a) Paralelogramo: diagonais cortam-se ao meio
4a) Losango: paralelogramo com diagonais perpendiculares
5a) Losango: paralelogramo com diagonais nas bissetrizes
6a) Retângulo: paralelogramo com diagonais congruentes
Enem e Vestibular Dose Dupla 25
Matematica 
Módulo 16· Ângulos na circunferência (I)
Ângulo central1. 
O
A
B
a
a
Definição
Ângulo inscrito2. 
A
B
aP
Propriedade
a
2
A B
Arco capaz
b > a e γ < a 
A B
C
O
OC
AB
=
2
C
D
B
A
a + γ = 180° e b + q = 180°
Consequências da propriedade
Ângulo de segmento3. 
A
B
a
P
O
a
2
Propriedade
Consequências da propriedade
O 
Ângulo de vértice interno4. 
A
B
a
b
P
C
D
x
x
x a + b
2
Propriedade
O
Ângulo de vértice externo5. 
x a – b
2
Propriedade
A
B
a b P
C
D
x
O
Enem e Vestibular Dose Dupla 26
Matematica 
Módulo 17· Ângulos na circunferência (II)
Posições entre reta e circunfêrencia1. 
O O O
Reta externa Reta tangente Reta secante
T
r
A
B
Propriedade importante
Circunferências tangentes internamente2.3. 
1 2O O
d ,
O1
r1
O2 r2
1 2O O 1 2 1 2
d , r r , com r r
OM AB AM MB = 
O
A M B
R R
Posições entre duas circunferências2. 
Circunferências externas2.1. 
Circunferências secantes2.4. 
1 2O O
d ,
O1
r1
O2r2
1 21 2 O O 1 2 1 2
r – r d , r r , com r r
O1 r1 O2r2
1 2O O
d ,
1 2O O 1 2
d , r r
Circunferências internas
2.5. 
 
1 2O O
d ,
O1
r1
O2
r2
1 2O O 1 2 1 2
d , r – r , com r r
Enem e Vestibular Dose Dupla 27
Matematica 
Circunferências tangentes externamente2.2. 
1 2O O 1 2
d , r r
1 2O O
d,
O1 r1 O2
r2
Módulo 18· Estudo dos polígonos
Elementos1. 
A
B
C
D
E
Vértice
Lado
Diagonal
Número de diagonais2. 
d
n n
=
−( )3
2
Onde n= número de lados do polígono
Soma dos ângulos internos de um polígono 3. 
convexo
S ni = −( )2 180· º
Soma dos ângulos externos de um polígono 4. 
convexo
Se = 360º
Módulo 19· Polígonos regulares
Lados congruentes (equilátero) e ângulos congruentes 
(equiângulo)
ae
ae
ae
ae + ai = 180º
ae
ai
ai
ai ai
ai
e
360ºa
n
(n – 2) 180ºai
n
ae
Onde n = número de lados do polígono.
Importante
Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circun-
ferência.
A
B
CD
 360º
n
  
360ºm(AB) m(BC) m(CD) ...
n
Enem e Vestibular Dose Dupla 28
Matematica 
Módulo 20· Teoremas de Tales e da bissetriz interna
Teorema de Tales1. 
t1 t1t2 t2
a ad d
r
s
t
u
b b e
c cf f
r
s
t
u
e
r // s // t // u
a
d
b
e
c
f
a b c
d e f
= = =
+ +
+ +
Teorema da bissetriz interna (TBI)2. 
S
a
Bissetriz
C B
A
c
x y
b
b
x
c
y
=
Módulo 21· Semelhança de triângulos
Definição1. 
B
A
Ca
bc
E
D
F
d
ef
∆ ∆ABC DEF
A D B E C F
e
a
d
b
e
c
f
k
~ ⇔
=
= = =







� � � � � �
Módulo 23· Relações métricas na circunferência
P
A
B
C
D
A
C
D
B P P
A
B
T
PA × PB = PC × PD PA × PB = PC × PD PA × PB = (PT)2
Enem e Vestibular Dose Dupla 29
Matematica 
Segmentos tangentes
Duas retas tangentes a uma circunferência por um ponto externo
P
t1
t2
B
A
PA = PB
Módulo 24· Relações métricas no triângulo retângulo
A
h
B C
H
c b
nm
a
h
b
AH = altura relativa à hipotenusa
BH = projeção ortogonal do cateto AB sobre a hipote-
nusa BC 
CH = projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipote-
nusa BC
b2 = a · n e c2 = a · m
h2 = m · n
b · c = a · h
b2 + c2 = a2 (Teorema de Pitágoras)
Módulo 25· Tangência
Propriedades importantes
OA r⊥1) 
A
O
r
PA = PB4) 
P
A
B
Enem e Vestibular Dose Dupla 30
Matematica 
O2) 1O2 = R + r
O1 O2
R r
O3) 1O2 = R – r
O1
O2
R
r
AM = MB5) 
A BM
O
Módulo 26· Teorema dos senos
A
R
bc
aB C
a
sen A
b
senB
c
senC
R
  
= = = 2
Observação
Todo triângulo é inscritível em uma circunferência.
Os lados de um triângulo são proporcionais aos senos 
dos ângulos opostos numa razão igual ao diâmentro da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
Módulo 27· Teorema dos cossenos
A
B C
c b
a
B
A
C


a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos Â
b2 = a2 + c2 – 2 · a · c · cos B
c2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cos C
Em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um 
lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros 
dois lados, menos duas vezes o produto dessas medidas pelo 
cosseno do ângulo por eles formado.
Natureza de um triângulo•	
Se a é o maior lado de um triângulo, então:
a2 = b2 + c2 ⇒ ∆ retângulo
a2 < b2 + c2 ⇒ ∆ acutângulo
a2 > b2 + c2 ⇒ ∆ obtusângulo
Enem e Vestibular Dose Dupla 31
Matematica 
Módulo 28· Relações métricas nos polígonos regulares
Polígonos regulares: principais apótemas
 Triângulo equilátero Quadrado Hexágono regular
R
O
a
d
d
R
O
a
a
RR
O
d
d
 
R
e
a
R
=
= =
l
l
3
3
2
3
6 
R
e
a
=
=
l
l
2
2
2 
R
e
a
=
=
l
l 3
2
Obs.: O apótema a de um polígono regular é o raio da circunferência inscrita.
Módulo 29· Circunferência e arcos
Medida de arcos em graus1. 
A
B
med AB( ) = a
a = medida em graus do ângulo central AOBˆ 
Medida de arcos em radianos2. 
A
B
R
R
med AB
R
( )
l
=
l = comprimento do AB
 R = raio
Comprimento de uma circun­3. 
fe rência
R
O
C = 2pR
Enem e Vestibular Dose Dupla 32
Matematica 
Módulo 30· Áreas das regiões elementares
Área de um quadrado1. 
a
a
a a S = a
2
 
Área de um retângulo2. 
b
a
 
S = a · b
Área de um paralelogramo3. 
h
b
 
S = b · h
Área de um triângulo4. 
h
b
 
S
b h
=
⋅
2
Área de um trapézio5. 
h
B
b
 
S
B b
h=
+
⋅
( )
2
Área de um losango6. 
 
d1
d2
 
S
d d
=
⋅1 2
2
Figuras planas equivalentes7. 
Figuras planas equivalentes são figuras que têm a mes-
ma área.
Enem e Vestibular Dose Dupla 33
Matematica 
Módulo 31· Expressões de área de um triângulo
1. A área S de um triângulo de lados com medidas b e 
c e ângulo compreendido com medida a é:
B
CA b
c a
S
 
2
=
⋅ ⋅b c sen a
2. A área S de um triângulo de lados com medidas a, b 
e c e semiperímetro p é: 
B
CA b
c
a
S p p a p b p c= ⋅ − − −( )( )( ) (Fórmula de Heron)
em que p
a b c
=
+ +
2
3. A área S de um triângulo de semiperímetro p e raio 
da circunferência inscrita r é:
A
CB a
c b
r
S = p · r
4. A área S de um triângulo de lado r com medidas a, b 
e c e com raio da circunferência circunscrita R é:
A
CB a
c b
R
S
a b c
R
=
⋅ ⋅
4
Módulo 32· Área do círculo e de suas partes (I)
Círculo1. 
 A = p R
2
R
120°
 
A
R
=
p 2
3
Enem e Vestibular Dose Dupla 34
Matematica 
Setor circular2. 
R
R
 
360 2°



p
a
R
Asetor
Exemplos importantes
Coroa circular3. 
R
r
 
A = pR2 – pr2
A R r= −p( )2 2
R
60°
 
A
R
=
p 2
6
R
 
A
R
=
p 2
4
 
Segmento circular4. 
R
R
 
A = Asetor – Atriângulo
Observação 
A
R R sen
tri nguloâ =
⋅ ⋅ a
2
Módulo 33· Área do círculo e de suas partes (II) 
Círculo1. 
 A = p R
2
R
120°
 
A
R
=
p 2
3
Enem e Vestibular Dose Dupla 35
Matematica 
Setor circular2. 
R
R
 
360 2°



p
a
R
Asetor
Exemplos importantes
R
60°
 
A
R
=
p 2
6
R
 
A
R
=
p 2
4
 
Coroa circular3. 
R
r
 
A = pR2 – pr2
A R r= −p( )2 2
Segmento circular4. 
R
R
 
A = Asetor – Atriângulo
Observação 
A
R R sen
tri nguloâ =
⋅ ⋅ a
2
Módulo 34· Razão entre áreas
Razão entre áreas de dois triângulos semelhantes1. 
A
B C
h1
b1
 
A’
B’ C’
h2
b2
∆ ∆ABC A B C
b
b
h
h
K raz o K
 ’ ’ ’
( )1
2
1
2
2= = = de semelhan a e 
S
S
1
2
ã ç
Área do triângulo ABC = S1 Área do triângulo A’B’C’ = S2
Conclusão: a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança.
Enem e Vestibular Dose Dupla 36
Matematica 
Módulo 35· Postulados e determinação
Postulados da existência1. 
Existem ponto, reta e plano.•	
P r
Ponto P
Reta r Plano 
Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.•	
A
B
CD
E
Observação: os pontos A, B e C pertencem a uma mesma 
reta, portanto eles são colineares.
Num plano, bem como fora dele, existem infinitos •	
pontos.
B
A C
E
D
F
G
Observação: os pontos A, B e C pertencem a um mesmo 
plano, portanto eles são coplanares.
Determinação de uma reta2. 
Dois pontos distintos•	
(Dois pontos distintos determinam uma única reta.)
A
B
Determinação de um plano3. 
Três pontos não colineares•	
A B
P
 = (A, B, P)
Uma reta r e um ponto P fora dela•	
r
P
 = (r, P)
Módulo 36· Posições relativas de duas retas
Oblíquas
Perpendi-
culares
s
r
P
C
on
co
rr
en
te
s
P
ar
al
el
as
Distintas
Coincidentes
r
s
r = s
Retas
coplanares
r
sP
 
Ortogonais
Não ortogonais
Retas
reversas
s 
r
s 
P
r’ r
Enem e Vestibular Dose Dupla 37
Matematica 
Módulo 37· Posições relativas de uma 
reta e um plano e entre dois planos
Reta e plano1. 
Reta secante ao plano (concorrente)1.1. 
r
P
r ∩ a = {P}
Reta contida no plano1.2. 
r
r ∩ a = r
Reta paralela ao plano1.3. 
Planos secantes (concorrentes)2.3. 
r
a ∩ b = r
Perpendicularismo3. 
Reta e plano perpendiculares (r 3.1. ⊥ a) 
r
s
t
r
r ∩ a = ∅
Enem e Vestibular Dose Dupla 38
Matematica 
Dois planos2. 
Planos paralelos distintos2.1. 
a ∩ b = ∅
Planos paralelos coincidentes2.2. 
 = 
a ∩ b = a = b
Planos perpendiculares (3.2. a ⊥ b)
Existe em a uma reta perpendicular a b.
r
∃r, r ⊂ a / r ⊥ b ⇒ a ⊥ b
Projeções4. 
Projeção ortogonal de um ponto4.1. 
Dados um ponto P e um plano a, denomina-se P’ a pro-jeção ortogonal de P em a, obtida pela intersecção de uma 
reta r, passando por P, perpendicular a a.
r
P
P’
PV2D-09-52
Módulo 38· Poliedros
Poliedro convexo1. 
Face
Ângulo
poliédrico
Vértice
Aresta
Teorema de Euler2. 
 
V – A + F = 2
A – número de arestas de um poliedro
F – número de faces de um poliedro
V – número de vértices de um poliedro
n – número de arestas em cada face de um poliedro
m – número de arestas em cada vértice de um poliedro
Fórmulas auxiliares2.1. 
A
n F
A
m V
=
⋅
=
⋅
2 2
Enem e Vestibular Dose Dupla 39
Matematica 
Soma dos ângulos das faces2.2. 
S = (V – 2) · 360°
Poliedros de Platão3. 
Todas as faces têm um mesmo número (n) de arestas.•	
Todos os vértices têm um mesmo número (m) de •	
arestas.
São convexos.•	
Existem apenas cinco poliedros de Platão:•	
Tetraedro –
Hexaedro –
Octaedro –
Dodecaedro –
Icosaedro –
Poliedros regulares4. 
Os poliedros regulares são os poliedros de Platão que 
têm como faces polígonos regulares.
Tetraedro regular Hexaedro regular
Octaedro regular Dodecaedro regular
Icosaedro regular
Módulo 39· Prismas (I)
Paralelepípedo1. 
reto-retângulo1.1. 
(ortoedro)1.2. 
D
a
c b
D a b c= + +2 2 2
At = 2(ab + ac + bc)
A
l
 = 2(ac + bc)
V = abc
Cubo2. 
a
df
D
d af = 2
A
l
 = 4a2
Af = a
2
D a= 3
At = 6a
2
V = a3
Enem e Vestibular Dose Dupla 40
Matematica 
Módulo 40· Prismas (II)
Prisma1. 
Base
Altura // 
Prisma reto2. 
Área lateral (A•	 d)
 
Ad = soma das áreas das faces
Área total (A•	 t)
 
At = Ad + 2 · Ab
Volume (V)•	
 
V = Ab · h
Aresta lateral
(altura)
Aresta de base
Face
Af
Ab
Prisma regular3. 
É o prisma que, além de ser reto, tem por base um po-
lígono regular.
Base
Módulo 41· Pirâmides (I)
Elementos1. 
Altura
Vértice
Aresta lateral
Face lateral
Aresta da base
Base
A
B C
D
F E
Área lateral (Ad)
Ad = soma das áreas das faces laterais
Área total (At) Volume
At = Ad + Ab
 
V A hb= ⋅
1
3
Enem e Vestibular Dose Dupla 41
Matematica 
Pirâmide regular2. 
V
B C
A D
EF
h
Uma pirâmide é chamada de pirâmide regular se, e so-
mente se, a base é um polígono regular e a projeção ortogo-
nal do vértice sobre o plano da base é o centro dessa base.
Apótema de uma pirâmide regular3. 
h
Apótema da pirâmide (m)
Apótema da base (a)
Apótema de uma pirâmide regular é o segmento cujas 
extremidades são o vértice da pirâmide e o ponto médio de 
uma aresta da base.
Cálculo do apótema:
m2 = h2 + a2
Módulo 42· Pirâmides (II)
Resumo
h
Apótema da pirâmide (m)
Apótema da base (a)
 
m2 = h2 + a2
Área lateral (A
l
)
A
l
 = soma das áreas das faces
Área total (At)
At = Al + Ab
Volume
V A hb= ⋅
1
3
Módulo 43· Cilindros
Cilindro reto ou de revolução1. 
r
Eixo
 
r
h Altura
Base
Enem e Vestibular Dose Dupla 42
Matematica 
Fórmulas2. 
Área da base
Ab = πr2
Área lateral
A
l
 = 2πrh
Área total
At = Al + 2 · Ab
At = 2πr · (r + h)
Volume
V = Ab · h
V = πr2 · h
Cilindro equilátero3. 
2r
h = 2r
h = 2r
Cilindro equilátero
 
r
r
r
r
h
h
h = 2r
r
Secção meridiana
(quadrado)
r
Cone reto ou de revolução1. 
h
g
r
Eixo
 
Geratriz
g
Vértice
h
g
r
g2 = r2 + h2
Fórmulas
Superfície lateral
A superfície lateral é equivalente a um setor circular de 
raio g e arco 2πr.
Módulo 44· Cones
Área da base (Ab)
Ab = πr2
Área lateral (Ad)
A
l
 = πrg
Área total (At)
At = Al + Ab
At = πr · (r + g)
Volume (V)
V A h
V r h
b= ⋅
= ⋅
1
3
1
3
2π
gg
2 r
θ π= 2 r
g
Cone equilátero2. 
Cone equilátero
g = 2r g = 2r
2r
g = 2r
Secção meridiana (triângulo equilátero)
g
Base
h
r
r
r
g = 2r
Enem e Vestibular Dose Dupla 43
Matematica 
Módulo 45· Esfera
Superfície esférica1. 
Conjunto de pontos do espaço que mantém sempre a 
mesma distância (R) de um ponto (centro).
Esfera2. 
Sólido limitado pela superfície esférica
R Raio
Centro
Área da superfície esférica
As = 4·p·R2
Volume da esfera
V R= 4
3
3p
Secção plana3. 
Toda secção plana de uma esfera é um círculo.
M r A 
d R 
O 
Área da secção plana
A = p · r2
M r A 
d R 
O 
R2 = d2 + r2
Elementos da esfera4. 
Polo
Polo
Paralelo
Equador
Meridiano
P2
P1
e
O
R
Módulo 46· Sólidos semelhantes
 Razões1. Razão entre medidas lineares
a
a
H
h
k1
2
= =
Razão entre áreas
A
A
kB
b
= 2
Razão entre volumes
V
V
k1
2
3=
Enem e Vestibular Dose Dupla 44
Matematica 
Módulo 47· Introdução à Geometria Analítica
O sistema cartesiano1. 
 
y
yp
P 
0 x
Eixo das ordenadas
Eixo das
abscissas
xp
xp = obscissa de P
yp = ordenada de P
Os quadrantes2. 
y
0 x
1º quadrante
(+, +)
2º quadrante
(–, +)
4º quadrante
(+, –)
3º quadrante
(–, –)
Simetria4. 
0
y
x
P2 (–a, b) P (a, b)
P3 (–a, –b) P1 (a, –b)
P1 = simétrico de P em relação ao eixo x
P2 = simétrico de P em relação ao eixo y
P3 = simétrico de P em relação à origem
Distância entre dois pontos5. 
yB
AyA
xA xB x
y
d
B
xB – xA
yB – yA
0
d x x y y
d x y
B A B A= −( ) + −( )
= ( ) + ( )
2 2
2 2D D
Enem e Vestibular Dose Dupla 45
Matematica 
Os quadrantes2. 
y
0 x
1º quadrante
(+, +)
2º quadrante
(–, +)
4º quadrante
(+, –)
3º quadrante
(–, –)
As bissetrizes dos quadrantes3. 
y
0 x
PP (–x, x) PI (x, x)
Bissetriz dos
quadrantes
ímpares
Bissetriz dos
quadrantes
pares
Distância entre dois pontos5. 
yB
AyA
xA xB x
y
d
B
xB – xA
yB – yA
0
d x x y y
d x y
B A B A= −( ) + −( )
= ( ) + ( )
2 2
2 2D D
Ponto médio de um segmento6. 
yB
AyA
xA xB x
y
M
B
xM
yM
0
x
x x
y
y y
M
A B
M
A B=
+
=
+
2 2
Módulo 48· 
Área do triângulo de vértices1. 
Regra prática para o cálculo de D.
xA xB xC
yA yB yC
–
+
yA
xA
+ +
– –
A (xA, yA), B (xB, yB) e C (xC, yC)
S emque
x y
x y
x y
A A
B B
C C
= =
1
2
1
1
1
D D,
Condição de alinhamento de três pontos2. 
x y
x y
x y
A B e C alinhados
A A
B B
C C
1
1
1
0= ⇔ ,
Área do polígono convexo de N vértices3. 
A(xA, yA), B (xB, yB) , ... , N(xN, yN)
S
p
=
D
2
–
+
xA xB xC xN xA...
yA yB yC yAyN...
– – – –
+ + ++
Observação – Dp montado na sequência anti-horária
Área de polígonos
Enem e Vestibular Dose Dupla 46
Matematica 
Exercícios de Aplicação
Definição1. 
Um conjunto de pontos é um lugar geométrico (LG) 
quando todos os seus pontos, e apenas eles, têm uma certa 
propriedade comum.
Equação de um LG2. 
É uma equação nas incógnitas x e y, cujas soluções são 
os pares (x, y) dos pontos do LG.
Como achar a equação de um LG3. 
Consideremos um ponto P(x, y) genérico.•	
Aplicamos ao ponto P a propriedade característica •	
do LG.
Intersecção de dois lugares geométricos4. 
Resolvemos o sistema determinado pelas equações dos 
dois lugares geométricos.
(Unifesp) A parábola y = x1. 2 – tx + 2 tem vértice no 
ponto (xt, yt). O lugar geométrico dos vértices da parábola, 
quando t varia no conjunto dos números reais, é:
uma parábola.a) 
uma elipse.b) 
um ramo de uma hipérbole.c) 
uma reta.d) 
duas retas concorrentes.e) 
(Fuvest-SP) O conjunto dos pontos (x, y) do plano car-2. 
tesiano que satisfazem t2 – t – 6 = 0, em que t = |x – y|, 
consiste de:
uma reta.a) 
duas retas.b) 
quatro retas.c) 
uma parábola.d) 
duas parábolas.e) 
Módulo 50· Teoria angular
Inclinação e coeficiente angular de uma reta1. 
y
0 x
r
r
ar = inclinação de r
mr = tgar = coeficiente angular de r
y
0 x
t
t
at = 90° = inclinação de t
∃mt, pois não é definida tg 90°
y
0 x
u
au = 0° = inclinação de u
mu = 0 = coeficiente angular de u
Cálculo do coeficiente angular2. 
 
y
0 x
r
yB
yA
xB xA
yA – yB
A
B
xA – xB
m m tg
y y
x x
y
xr AB
A B
A B
= = =
−
−
=a D
D
Condição de alinhamento para três pontos3. 
C
y
x0
B
A
xA = xB = xc
= 90oA 
B 
C 
r
y
0 x
mAB = mBC
Módulo 49· Lugar geométrico
Enem e Vestibular Dose Dupla 47
Matematica 
Módulo 51· Equação fundamental da reta
Reta não paralela ao eixo 0y1. 
y
x
O (x0, y0)
m = tg 
0
y – y0 = m (x – x0)
Reta paralela ao eixo 0y2. 
y
xO (x0, y0)
0
x = x0
Módulo 52· Formas de equação da reta
Equação fundamental da reta1. 
y – y0 = m (x – x0)
Equação geral da reta2. 
ax + by + c = 0
a = 0 e b ≠ 0: reta paralela ao eixo x.
b = 0 e a ≠ 0: reta paralela ao eixo y.
c = 0: reta passa pela origem.
Equação segmentária da reta3. 
y
xp
q
0
x
p
y
q
+ = 1
Equação reduzida da reta4. 
y
x
q
0
y = mx + q
m = coeficiente angular (m = tga)
q = coeficiente linear
Equações paramétricas de uma reta5. 
x f t
y g t
= ( )
= ( )




, em que t ∈¡
Enem e Vestibular Dose Dupla 48
Matematica 
Módulo 53· Posições relativas entre retas
Paralelas1. 
Sendo (r)y = m1x + q1e (s) y = m2x + q2, temos:
y
x
q2
q1
s
r
 
y
x
q1 = q2
r s
Concorrentes2. 
Sendo (r)y = m1x + q1 e (s)y = m2x + q2, temos:
y
x
rs
P
m1 m2
 
Observações:
1a) Para se obter P, resolvemos o sistema com as duas 
equações.
2a) Se m1 · m2 = – 1, r e s são perpendiculares.
Paralelas distintas
m1 = m2 e q1 ≠ q2
Paralelas coincidentes
m1 = m2 e q1 = q2
Módulo 54· Desigualdades
Desigualdades na forma reduzida1. 
y
x
y
x
y > mx + q
y
x
y
x
y < mx + q
Desigualdades na forma geral2. 
ax + by + c > 0 ou ax + by + c < 0
Constrói-se o gráfico da reta ax + by + c = 01) 
Toma-se um ponto P(x2) 0, y0) não pertencente à reta.
Substituem-se as coordenadas de P na expressão 3) 
ax + by + c
Se ax4) 0 + by0 + c > 0, temos:
ax + by + c > 0 para os pontos do semiplano de P;•	
ax + by + c < 0 para os pontos do semiplano que não •	
tem P.
Se ax5) 0 + by0 + c < 0, temos:
ax + by + c < 0 para os pontos do semiplano de P;•	
ax + by + c > 0 para os pontos do semiplano que não •	
tem P.
Casos particulares3. 
 
x = x0 
x0 
x
y
x < x0 x > x0 
y = y0 
y
x
y > y0 
y < y0 
y0 
Enem e Vestibular Dose Dupla 49
Matematica 
Módulo 55· Equações da circunferência
Equação reduzida1. 
y
x
R
b
a
Centro C (a, b) e raio R
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
Observações2. 
(x – a)2 + (y – b)2 = k
k > 0 → Equação de circunferência
k = 0 → Equação do ponto (a, b)
k < 0 → Equação de um conjunto vazio 
Equação geral3. 
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
a
D
b
E
R a b F= − = − = + −
2 2
2 2 2; ;
Reconhecimento4. 
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Para que a equação represente uma circunferência, de-
vemos ter:
A = B 1) ≠ O
C = O2) 
R3) 2 > O 
Lembrar que, para obter R2, devemos dividir a equação 
por A, de modo que fique na forma geral. 
Módulo 56· Distância entre ponto e reta
Distância de ponto a reta 1. 
sem fórmula especial
r
t
P
P'
d
1) Obtemos a equação da reta t, que passa por P e é 
perpendicular a r. 
Obtemos o ponto P’, intersecção de r e t.1) 
Obtemos a distância entre P e P’, que é a distância 2) 
procurada. 
Equação de reta conhecendo um ponto4. 
A (xA, yA)
d
r
P (x0, y0)
Dados: ponto A, ponto P e d
Pedido: equação de r
Escrevemos a equação fundamental da reta r com o 1) 
ponto A conhecido, deixando m como incógnita.
y – yA = m (x – xA)
Enem e Vestibular Dose Dupla 50
Matematica 
Fórmula para cálculo da 2. 
distância de ponto a reta
(r) ax + by + c = 0
P (x0, y0)
d
 d
ax by c
a b
=
+ +
+
0 0
2 2
Distância entre retas paralelas3. 
P
d
r
s
Obtemos um ponto qualquer da reta r.1) 
Calculamos a distância entre P e a reta s.2) 
Colocamos a equação de r na forma geral.2) 
Calculamos m usando a fórmula da distância entre 3) 
ponto e reta, já que conhecemos P e d.
Equação de reta conhecendo a declividade5. 
d
rP (x0, y0)
mr = m
Dados: mr, ponto P e d
Pedido: equação de r
Escrevemos a equação reduzida de r, conhecendo m 1) 
e deixando q como incógnita.
y = mx + q
Colocamos a equação de r na forma geral.2) 
Calculamos q usando a fórmula da distância entre 3) 
ponto e reta, já que conhecemos P e d.
Módulos 57/58· Posições relativas
Ponto e circunferência1. 
P(x0, y0) e (λ) (x – a)2 + (y – b)2 = R2
C P
P 
CP
P é externo a 
C P
P é interno a 
(x0 – a)
2 + (y0 – b)
2 – R2 = 0 (x0 – a)
2 + (y0 – b)
2 – R2 > 0 (x0 – a)
2 + (y0 – b)
2 – R2 < 0
Reta e circunferência2. 
(r) ax + by + c = 0 (λ) (x – a)2 + (y – b)2 = R2
Tangente Secante Externa
dC,r = R
ou
ax + by + c = 0 ax + by + c = 0 ax + by + c = 0
dC,r < R dC,r > R
Enem e Vestibular Dose Dupla 51
Matematica 
Duas circunferências3. 
(λ1) centro C1 e raio R1 (λ2) centro C2 e raio R2 
 Externas Tangentes externamente Secantes
d > R1 + R2 d = R1 + R2 |R1 – R2| < d < R1 + R2 
 
 Tangente internamente Internas Concêntricas 
 d = |R1 – R2| d < |R1 – R2| d = 0 
 
Enem e Vestibular Dose Dupla 52
Matematica 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
ENEM2011
MATAMÁTICA
SETOR III
Módulo 1. Radiciação
a ∈ +; b ∈  + e n ∈  *
a b b an n= ⇔ =
a ∈*– ; b ∈ *– ; n ∈ * e n é ímpar
a b b an n= ⇔ =
Importante:
Para a ∈ *+ , b ∈  *+ e m, n, p ∈ , temos:
P a b a b
P
a
b
a
b
P a a
P a a
P a
n n n
n
n
n
n m mn
mn n m
m pn p
1
2
3
4
5
:
:
:
:
:
⋅ = ⋅
=
( ) =
=
=
⋅
⋅⋅ aam
n
a a2 = a a
m
n mn=
Módulo 2. Racionalização de denominadores
A
a
A
a
a
a
= ⋅
n> m
A
a
A
a
a
amn mn
n mn
n mn
= ⋅
−
−
A
a b
A
a b
a b
a b+
=
+
⋅
−
−
A
a b
A
a b
a b
a b−
=
−
⋅
+
+
Módulo 3. Razões trigonométricas no triângulo 
retângulo (I)
a
b
Cate
to op
osto
Cateto adjacente
c
C
AB
sen
catetooposto
hipotenusa
b
a
catetoadjacente
hipotenu
α
α
= =
=cos
ssa
c
a
tg
catetooposto
catetoadjacente
b
c
tg
sen
c
=
= = ⇒ =α α α
αcos
cose αα α
α
α
= = ⇒ =
=
hipotenusa
catetooposto
a
b sen
c
hipotenusa
ca
cosec
se
1
ttetoadjacente
a
c
catetoadjacente
catetoopo
= ⇒ =
=
sec
cotg
α
α
α
1
cos
ssto
c
b tg sen
= ⇒ = =cotgα
α
α
α
1 cos
α b
α b
α b
α b
+ = ⇒
=
=
=




90º
cos
sec
sen
tg
cosec
cotg
Enem e Vestibular Dose Dupla 53
Matematica 
45°
d
d
d d  2
30°
60° 60°
d d
 3
2

2

2
Módulo 4. Razões trigonométricas no triângulo 
retângulo (II)
30º 45º 60º
sen
1
2
2
2
3
2
cos 3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1 3
Enem e Vestibular Dose Dupla 54
Matematica 
Módulo 5· Identidades trigonométricas
cos 
sen cosec cossec2 = 1 + cotg2 
sec2 = 1 + tg2 sec 
cotg 
tg 
sen2 + cos2 = 1
1
tg 
cotg =sen 
cos 
tg =
cos 
sen 
e cotg = 
1sec
cos
1cossec
sen
Módulo 6· Medidas de arcos e ângulos
Medida de um arco em graus•	
Os submúltiplos do grau•	
Adição e subtração de medidas de arcos em graus, minutos e segundos•	
Medida de um arco em grados•	
Medida de um arco em radianos•	
Conversões de unidades de medidas de arcos•	
As velocidades dos movimentos dos ponteiros de um relógio•	
Módulo 7· Seno, cosseno e tangente 
no ciclo trigonométrico
 Ciclo trigonométrico
A' A
B'
B
raio
= 1
O
 
180° 0°
270°
90°
O
2o Q 1o Q
3o Q 4o Q
360°
 
0
O 2
2o Q 1o Q
3o Q 4o Q
2
3
2
 Seno Cosseno Tangente
1
–1
–1 ≤ sen ≤ 1
sen 
 
1
–1
–1 ≤ cos ≤ 1
cos 
 
1
– ∞ < tg < + ∞ 
0
tg 
Enem e Vestibular Dose Dupla 55
Matematica 
Módulo 8· Redução ao primeiro quadrante
180° – 
( – )
180° + 
( + )
360° – 
(2 – )
2o quadrante
P1 ( – )
T
P ( )
A
T1
O
sen (p – a) = sen a
cos (p – a) = – cos a
tg (p – a) = tg a
3o quadrante
P2 ( + )
T ≡ T2
P ( )
A
O
sen (p + a) = – sen a
cos (p + a) = – cos a
tg (p + a) = tg a
4o quadrante
T
P ( )
A
O
T3
P3 (2 – ) ≡ (– )
sen (2p – a) = – sen a
cos (2p – a) = cos a
tg (2p – a) = – tg a
 ou
sen (–a) = – sen a
cos (–a) = cos a
tg (–a) = – tg a
Lembrar: 
sen
tg
p
a a
p
a a
p
a a
2
2
2
−



=
−



=
−



=


cos
sec
cotg
cosec







Enem e Vestibular Dose Dupla 56
Matematica 
Módulo9· Equações trigonométricas na primeira volta
sen x1
 – 
 
a
0
–1
cos x1
2 – 
 + 
a–1 0
a
tg x
0
I. Equação na forma sen x = a II. Equação na forma cos x = a III. Equação na forma tg x = a 
sen x = a cos x = a tg x = a ou
x = 
x = – 
ou
x = 
x = 2 – 
ou
x = 
x = + 
Módulo 10· Adição e subtração de arcos
 
sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a
sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a
 
cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b
cos (a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b
tg a b tg a tg b
tg a tg b
tg a b tg a tg b
tg a tg b
( ) ( )+ = +
− ⋅
− = −
+ ⋅1 1
Módulos 11/12· Arco duplo
sen (a + a) = sen a · cos a + sen a · cos a = 2 sen a · cos a
sen (2a) = 2 sen a · cos a
cos (a + a) = cos a · cos a – sen a · sen a = cos2 a – sen2 a
cos (2a) = cos2 a – sen2 a
tg (a + a) = 
tg a tg a
tg a tg a
tg a
tg a
+
− ⋅
=
−1
2
1 2
tg a
tga
tg a
( )2
2
1 2
=
−
Importante:
cos (2a) = cos2 a – sen2 a = 1 – 2 sen2 a = 2 cos2 a – 1
Módulo 13· Transformação em produto
a b p
a b q
a
p q
e b
p q+ =
− =
⇒ =
+
=
−
2 2
 
+
+ = ⋅ + ⋅
− = ⋅ − ⋅
sen a
b s
en
a b
se
n b
a
sen a b sena b sen b a( )
cos cos
( ) cos cos
+ + − = ⋅sen a b sen a b sena b( ) ( ) cos2
 
−
+ = ⋅ + ⋅
− = ⋅ − ⋅
sen a
b s
en
a b
se
n b
a
sen a b sena b sen b a( )
cos cos
( ) cos cos
+ − − = ⋅sen a b sen a b sen b a( ) ( ) cos2
senp senq sen
p q p q
+ = ⋅
+



⋅
−



2
2 2
cos
 
senp senq sen
p q p q
− = ⋅
−



⋅
+



2
2 2
cos
Enem e Vestibular Dose Dupla 57
Matematica 
Módulo 14· Arcos trigonométricos: determinação
Como achar a 11. a determinação
Arco em graus •	
Arco em radianos •	
Com extremidade em M•	
M
x = a + 2kπ, k ∈ 
 
Com extremidade em M e N (dia-•	
metralmente opostos)
N
M
x = a + kπ, k ∈ 
Com extremidade em P•	 1, P2,..., Pn 
(vértices de um polígono regular)
P1
P2P3
P4
Pn
Pn–1
x k
n
k= + ⋅ ∈a
π2
, 
Expressão geral dos arcos2. 
Módulo 15· Equações trigonométricas em 
I. sen x = sen a
sen x 
 – 
x = a + k · 2 π
ou
x = (π – a) + k · 2π;
k ∈ 
II. cos x = cos a
cos x 
x = ± a + k · 2 π;
k ∈ 
III. tg x = tg a
tg x
x = a + k · π;
k ∈ 
 Equações da forma
Enem e Vestibular Dose Dupla 58
Matematica 
Módulo 16· Inequações trigonométricas em 
66 6
5
6
5
tg x = 1 tg x > 1
1 12
sen x = 2
1 sen x > 2
1
2
1
2
1
2
1
cos x = 2
1
2
1
cos x > 2
1
3
4
4
3
3
5
4
5
4
3
4
3
x k x k∈ + ⋅ < < + ⋅ / π π π π
6
2
5
6
2
x k x k∈ − + ⋅ < < + ⋅ / π π π π
3
2
3
2
x k x k∈ + < < + / π π π π
4 2
Módulo 17· Funções trigonométricas
Função seno1. 
– 0 2
1
y
x
– 1 Senoide
2
3
2
5
2
 
2
x 0
π
2 π
3
2
π
2π
cos x 1 0 – 1 0 1
Domínio →  
Imagem → [–1; 1]
Período → 2π
Função par → cos (–x) = cos x
Enem e Vestibular Dose Dupla 59
Matematica 
x 0
π
2 π
3
2
π
2π
sen x 0 1 0 – 1 0
Domínio → 
Imagem → [–1; 1]
Período → 2π
Função ímpar → sen (–x) = –sen x
Função cosseno2. 
– 2
2
3
2
5
2
0
y
x
– 1
Cossenoide
1
2
Função tangente3. 
– 2
2
3
2
5
2
0
y
x
Tangentoide
2
x 0
π
2
π
3
2
π
2π
tg x 0 E 0 E 0
Domínio →  − +




∈π π
2
k k  
Imagem →  
Período → π
Função ímpar → tg (– x) = – tg x
Módulo 18· Funções trigonométricas: generalização
 Gráficos de funções trigonométricas
Função f(x) = a + sen x1) 
Período = 2
Imagem = [a – 1, a + 1]
 
2
3
2
a + 1
a – 1
y
a
x
Deslocam-se
a unidades 
20
Função f(x) = sen (mx)3) 
Período =
2
m
Imagem = [– 1, 1]
 2
2
3
2
2
m
0 x
Modifica-se o
período 
–1
1
m
y
Enem e Vestibular Dose Dupla 60
Matematica 
Função f(x) = b sen x2) 
Período = 2
Imagem = [– b, b]
y
2
2
3
2
b
– b
x
Modifica-se a imagem
1
– 1
0
Função f(x) = sen (x + n)4) 
Período = 2
Imagem = [– 1, 1]
 
– n 
2 – n 
2
2
3
2
x
Deslocam-se n
unidades 
 1
– 1
– n 
y
0
Função f(x) = a + b sen (mx + n) (b 5) ≠ 0 e m ≠ 0)
 Período = 
2π
m
 Imagem = [a – b, a + b]
Função f(x) = a + b cos (mx + n) (b 6) ≠ 0 e m ≠ 0)
 Período = 
2π
m
 Imagem = [a – b, a + b]
Função f(x) = a + b tg (mx + n)7) 
 Domínio = x mx n k k∈ + ≠ + ∈




 / ,
π π
2
 Período = π
m
 Imagem = 
Módulos 19/20· Princípio fundamental da contagem (I)
Fatorial1. 
Sendo n um número natural maior que 1, a função fato-
rial de n(n!) é o produto de todos os naturais de n até 1.
Assim, n! = n · (n – 1) · (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1
O símbolo n! também pode ser lido como n fatorial.
Em particular, definimos:
0! = 1 e 1! = 1
Propriedade do fatorial2. 
n! = n · (n – 1)!
n! = n · (n – 1) · (n – 2)!
Princípio fundamental da contagem3. 
Se um acontecimento pode ter o número de possibili-
dades de ocorrência analisado em etapas sucessivas e inde-
pendentes, de modo que:
n1 = nº de possibilidades de ocorrência da 1a etapa,
n2 = nº de possibilidades de ocorrência da 2a etapa,
n3 = nº de possibilidades de ocorrência da 3a etapa,
nk = n
o de possibilidades de ocorrência da k-ésima eta-
pa, então o acontecimento poderá ocorrer de 
n1 · n2 · n3 · ... · nk modos diferentes.
Princípio da preferência4. 
Para evitar impasses no cálculo do número de possi-
bilidades, devemos sempre priorizar o estudo das etapas 
com maiores restrições, isto é, com menores números de 
possibilidades.
Exercícios característicos de contagem5. 
1o tipo – Formação de números
O número com n algarismos que começa por zero, na •	
verdade, tem (n – 1) algarismos.
Quando as condições impostas geram impasses na •	
contagem, devemos dividir o problema em dois ou mais ca-
sos.
Números múltiplos de 5 têm unidade 0 ou 5.•	
Números múltiplos de 3 têm algarismos com soma •	
múltipla de 3.
Quando estamos contando os números com pelo me-•	
nos dois algarismos repetidos, é mais fácil contar todos os 
números com ou sem repetição e subtrair a quantidade de 
números com algarismos distintos.
2o tipo – Comissões com cargos definidos
Enem e Vestibular Dose Dupla 61
Matematica 
Módulo 21· Princípio fundamental da contagem (II)
Princípio fundamental da contagem1. 
Se um acontecimento pode ter o número de possibili-
dades de ocorrência analisado em etapas sucessivas e inde-
pendentes, de modo que:
n1 = n
o de possibilidades de ocorrência da 1a etapa,
n2 = n
o de possibilidades de ocorrência da 2a etapa,
n3 = n
o de possibilidades de ocorrência da 3a etapa,
nk = n
o de possibilidades de ocorrência da k-ésima eta-
pa, então o acontecimento poderá ocorrer de 
n1 · n2 · n3 · ... · nk modos diferentes.
Princípio da preferência2. 
Para evitar impasses no cálculo do número de possi-
bilidades, devemos sempre priorizar o estudo das etapas 
com maiores restrições, isto é, com menores números de 
possibilidades.
Exercícios característicos de contagem3. 
3o tipo – Anagramas sem repetição de letras
Para calcular o número de anagramas de uma palavra •	
de n letras, sendo que x dessas letras permanecem juntas 
numa determinada ordem, devemos considerar as x letras 
como uma única letra e, assim, permutar (n – x + 1) letras.
Para calcular o número de anagramas de uma palavra •	
de n letras, sendo que x dessas letras permanecem juntas, 
devemos considerar as x letras como uma única letra e, em 
seguida, considerar a permutação das x letras. Assim, o 
total será (n – x + 1)! · x!.
n elementos podem trocar de ordem de n! modos.1) 
O princípio fundamental da contagem (PFC) prevê a 2) 
troca de ordem de todos os elementos.
Para desprezar a troca de ordem de n elementos, 3) 
considerada no PFC, devemos dividir por n! o número 
obtido com o PFC.
Exercícios característicos de contagem
4o tipo – Anagramas com repetição de letras
Quando a palavra da qual desejamos contar os anagra-•	
mas apresenta letras repetidas, consideramos inicialmente 
como se a ela não tivesse repetição; em seguida, desprezamos 
a troca de ordem das letras que se repetem, usando o PDO.
Módulo 22 · Princípio do desprezo da ordem (I)
5o tipo – Ocupação de lugares definidos
Para efetuar a contagem, podemos utilizar dois ra-•	
ciocínios:escolher elementos para os lugares ou escolher 
lugares para os elementos.
Quando houver mais lugares do que elementos para •	
ocupar os lugares, complementamos os elementos com fan-
tasmas e, depois de utilizarmos o princípio fundamental 
da contagem, desfazemos as trocas de lugares dos fantas-
mas, usando o princípio do desprezo da ordem.
Módulo 23· Princípio do desprezo da ordem (II)
n elementos podem trocar de ordem de n! modos. –
O princípio fundamental da contagem (PFC) prevê a –
troca de ordem de todos os elementos.
Para desprezar a troca de ordem de n elementos, con- –
siderada no PFC, devemos dividir por n! o número obtido 
com o PFC.
Exercícios característicos de contagem
6o tipo – Comissões sem cargos definidos
Na contagem das comissões em que os integrantes •	
não têm cargos definidos, inicialmente consideramos 
como se a ordem no agrupamento ficasse associada a al-
gum cargo e, posteriormente, desprezamos a troca de or-
dem (PDO), pelo fato de os cargos não existirem.
7o tipo – Distribuição em grupos
Para estudar o número de modos pelos quais n ele-•	
mentos podem ser distribuídos em grupos, imaginamos os 
n elementos em fila e os associamos à ordem na fila dos 
grupos que queremos formar. Não podemos nos esquecer de 
utilizar o princípio do desprezo da ordem em duas situa-
ções: nos grupos em que os elementos não ocupam cargos e 
nos grupos iguais que não se diferenciam por cargos.
8o tipo – Figuras geométricas
Quando agrupamos pontos para formar figuras geo-•	
métricas, devemos ficar atentos à necessidade ou não da 
utilização do princípio do desprezo da ordem. 
Assim: AB
 
 e BA
 
 são semirretas diferentes.
 AB
 
 e BA
 
 são as mesmas retas.
 DABC e DBCA são os mesmos triângulos.
Enem e Vestibular Dose Dupla 62
Matematica 
Módulo 24· Fórmulas de contagem
Arranjos1. 
São agrupamentos que diferem pela natureza e pela or-
dem de seus elementos: A
n
n pn p,
!
!
=
−( )
An,0 = 1
Combinações2. 
São agrupamentos que diferem apenas pela natureza de 
seus elementos: C
A
p
n
n p pn p
n p
,
,
!
!
! !
= =
−( ) ⋅
Cn,0 = 1
Permutações3. 
São agrupamentos que diferem apenas pela ordem de 
seus elementos: Pn = n!
Módulo 25· Números binomiais
Definição1. 
n
p
n
n p p
n p




=
−( ) ≥( )
!
! !
Note que: 
n
p
Cn p




= , 
Números binomiais complementares2. 
n
p
n
n p




=
−




Relação de Stifel3. 
n
p
n
p
n
p




+
+




=
+
+



1
1
1
Igualdade4. 
Se
n
p
n
q




=




, então:
p = q ou p + q = n
Enem e Vestibular Dose Dupla 63
Matematica 
Triângulo de Pascal5. 
n n n n n n n
0 1 2 3 4 5 n
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
Linha 0
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
Linha 5
Linha 6
C
ol
un
a 
0
C
ol
un
a 
1
C
ol
un
a 
2
C
ol
un
a 
3
C
ol
un
a 
4
C
ol
un
a 
5
C
ol
un
a 
n
Linha 0 1
1 1
1 12
1 3 13
1 6 4 14
1 10 10 5 15
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
Linha 5
C
ol
un
a 
0
C
ol
un
a 
1
C
ol
un
a 
2
C
ol
un
a 
3
C
ol
un
a 
4
C
ol
un
a 
5
Propriedades6. 
P1) Em qualquer linha, dois binomiais equidistantes 
dos extremos são complementares e, portanto, iguais.
Consideremos, como exemplo, a linha 5.
1 5 10 10 5 1
5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
P2) A soma de dois binomiais consecutivos de uma 
mesma linha é igual ao binomial situado imediatamente 
abaixo do binomial da direita.
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
1
1 1
1 2 1
1 3 + 3 1
1 4 6 4 + 1
1 5 10 10 5 1
P3) A soma de todos os binomiais da linha n do 
triângulo de Pascal é 2n.
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
1=20
1+1=21
1+2+1=22
1+3+3+1=23
1+4+6+4+1=24
1+5+10+10+5+1=25
P4) A soma dos elementos de uma coluna do triângulo 
de Pascal (começando no primeiro elemento da coluna) 
é igual ao elemento que está avançado uma linha e uma 
coluna sobre a última parcela.
n
n
n
n
n
n
n k
n
n k
n




+
+



+
+



+ +
+



=
+ +
+


1 2 1
1
...

+



=
+ +
+



=
∑
ou
n p
n
n k
np
k
0
1
1
Enem e Vestibular Dose Dupla 64
Matematica 
Módulo 26· Binômio de Newton
Desenvolvimento do binômio1. 
( )x a
n
x a
n
x a
n
xn n
T
n
T
n+ =




+




+




−
0 1 2
0 1
1 2
    
−−
−
+ +




+ =




+
2 2 0
3 1
a
n
n
x a
x a
n
p
a x
T
n
T
n p n
n
    
...
( ) pp
p
n
=
∑
0
Observações2. 
No desenvolvimento do binômio (x + a)n, segundo expo-
entes decrescentes de x, temos:
1a) o desenvolvimento de um binômio de grau n tem 
n + 1 termos;
2a) a soma dos expoentes de a e x, em qualquer termo, 
é o grau n do binômio;
3a) o expoente de x, no primeiro termo, é n e vai 
decrescendo, de um em um, até atingir zero no último termo;
4a) o expoente de a, no primeiro termo, é zero e vai 
crescendo, de um em um, até atingir n no último termo;
5a) os coeficientes dos termos extremos são iguais a um 
n
e
n
n0












;
6a) o coeficiente de qualquer termo é um número 
binomial de “numerador” n e “denominador” igual ao 
número de termos precedentes. Assim, o coeficiente do 6o 
termo é 
n
5




;
7a) os coeficientes do desenvolvimento de (x + a)n são 
os elementos da linha n do triângulo de Pascal;
8a) a soma dos coeficientes do desenvolvimento de 
(x + a)n é 2n.
Desenvolvimento de um 3. 
binômio segundo Newton
( ) ...x a
n
x a
n
x a
n
n
n n
T
n
T
+ =




+




+ +
−
−
0 1 1
0 1 1
1 2
    



+




−
+
x a
n
n
x an
T
n
Tn n
1 1 0
1
    
Termo geral (com expoentes 4. 
decrescentes para x)
T
n
k
x ak
n k k
+
−=



1
Módulo 27· Probabilidades: conceito
Conceitos iniciais1. 
Experimento aleatório•	
Espaço amostral•	
Evento de experimento•	
Tipos de eventos2. 
Evento elementar•	
Evento certo•	
Evento impossível•	
Evento complementar•	
Probabilidade teórica e 3. 
probabilidade estatística
Probabilidade teórica de um evento A4. 
P A
n A
n U
n mero de casos favor veis a A
n mero de casos poss v
( )
( )
( )
= =
ú á
ú í eeis
Propriedades das probabilidades5. 
P1) Probabilidade de um evento impossível: P(∅) = 0
P2) Probabilidade de um evento certo: P(U) = 1
P3) Valores possíveis de probabilidade de um evento A: 
 0 ≤ P(A) ≤ 1
P4) Probabilidade de não acontecer um evento A: 
 P(A) = 1 – P(A)
Módulo 28· Probabilidades: adição
Probabilidade da união1. 
U
A B
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Eventos mutuamente exclusivos2. 
Se A ∩ B = ∅, dizemos que A e B são eventos mutua-
mente exclusivos, e então:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Probabilidade num espaço 3. 
amostral não equiprovável
Sejam U = {a1, a2, a3, ..., an} e P(a1), P(a2), ..., P(an) 
probabilidades de ocorrência dos resultados a1, a2, ..., an, 
respectivamente. 
P(a1) + P(a2) + ... + P(an) = 1
Enem e Vestibular Dose Dupla 65
Matematica 
Módulo 29· Probabilidades: multiplicação
Probabilidade condicional1. 
Notação: P(A/B) = probabilidade de ocorrer o evento A, 
dado que o evento B já ocorreu.
U
A B
P A B
n A B
n B
( / )
( )
( )
=
∩
Consequência:
P A B
n A B
n
n B
n
( / )
( )
( )
=
∩
∪( )
∪( )
⇒
 
P A B
n A B
P B
( / )
( )
=
∩
( )
Probabilidade da intersecção2. 
P(A ∩ B) = P(A) · P(B/A)
ou ainda
P(A ∩ B) = P(B) · P(A/B)
Eventos independentes3. 
Dois eventos são independentes se, e somente se:
P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)
Observação:
Se A independe de B, é imediato que B independe de A.
Assim: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Enem e Vestibular Dose Dupla 66
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Enem e Vestibular Dose Dupla 67
Matematica