Micro-Chap4

Prévia do material em texto

Microeconomia: Princ´ıpios Ba´sicos
Cap´ıtulo 4. Utilitdade
Escola de Po´s-Graduac¸a˜o em Economia 2009
Mestrado em Financ¸as e Economia Empresarial
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 1 / 26
To´picos cobertos
1 Utilidade cardinal
2 Elaborac¸a˜o de um func¸a˜o de utilidade
3 Alguns exemplos de func¸o˜es de utilidade
4 Utilidade marginal
5 Utilidade marginal e TMS
6 Utilidade de transporte urbano
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 2 / 26
Utilidade ordinal
A func¸a˜o de utilidade e´ um modo de atribuir um nu´mero a cada
poss´ıvel cesta de consumo, de modo que se atribuam a`s cestas mais
preferidas nu´meros maiores que os atribu´ıdos a`s menos preferidas
Uma func¸a˜o de utilidade u : R2+ → [−∞,∞) representa uma
relac¸a˜o de prefereˆncia � quando
x � y ⇐⇒ u(x) > u(y)
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 3 / 26
Utilidade ordinal
A u´nica propriedade de uma atribuic¸a˜o de utilidade que interessa
(em termos econoˆmicos) e´ o modo como ela ordena as cestas de
bens
Na Tabela abaixo as treˆs func¸o˜es de utilidade descrevem as
mesmas prefereˆncias: A � B, B � C e A � C
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 4 / 26
Transformac¸a˜o montoˆnica
Uma func¸a˜o f : [−∞,∞)→ [−∞,∞) e´ estritamente crescente (ou
monotoˆnica positiva) quando
∀(u1, u2), u1 > u2 =⇒ f(u1) > f(u2)
I Exemplos: f(u) = 3u+ 17 e f(u) = u3 ou a elevac¸a˜o de u a
qualquer poteˆncia impar
I Quando f e´ diferencia´vel, f ′(u) > 0 e´ uma condic¸a˜o suficiente para
ser estritamente crescente
Se u e´ uma func¸a˜o de utilidade, a nova func¸a˜o f ◦ u definida por
[f ◦ u](c) = f [u(x)]
e´ uma transformac¸a˜o montoˆnica (positiva) de u
As func¸o˜es u e f ◦ u representem a mesma relac¸a˜o de prefereˆncia
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 5 / 26
Transformac¸a˜o montoˆnica
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 6 / 26
Utilidade cardinal
As teorias da utilidade cardinal partem do pressuposto de que o
tamanho da diferenc¸a de utilidade entre duas cestas de bens e´ de
alguma significaˆncia
Para sabermos se uma pessoa prefere uma cesta de bens a outra,
baste lhe oferecermos a possibilidade de escolha entre as duas
cestas e observarmos qual a escolhida
Como saber se uma pessoa gosta duas vezes mais de uma cesta do
que de outra?
I Disposto a pagar por ela duas vezes o que estou disposto a pagar
pela outra (depende da riqueza e dos prec¸os relativos)
I Disposto a percorrer o dobro do caminho, esperar o dobro do
tempo, ou me arriscar o dobro para consegui-la
Teorias de utilidade cardinal na˜o ajudam para descrever o
comportamento da escolha (demanda no mercado): so´ precisamos
saber qual de um conjunto de cestas e´ a preferida
So´ levaremos em considerac¸a˜o a utilidade ordinal
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 7 / 26
Elaborac¸a˜o de uma func¸a˜o de utilidade
Nem todos os tipos de prefereˆncias podem se representados
Se uma prefereˆncia e´ representada por uma func¸a˜o de utilidade,
enta˜o ela e´ completa e transitiva
Qualquer prefereˆncia que na˜o seja (completa e transitiva) na˜o
pode ser representada por uma utilidade: A prefereˆncia � sobre
{A,B,C} definida por A � B, B � C e C � A
Sobre algumas condic¸o˜es “razoa´veis” satisfeitas por uma
prefereˆncia, podemos encontrar uma func¸a˜o de utilidade que
representa essa prefereˆncia
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 8 / 26
Elaborac¸a˜o de uma func¸a˜o de utilidade
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 9 / 26
Alguns exemplos de func¸o˜es de utilidade
Considera uma func¸a˜o de utilidade u que representa uma
prefereˆncia �
Para cada constante k, o conjunto de todas as cestas x verificando
u(x) = k e´ chamado n´ıvel
Para cada valor diferente da constante, tem-se uma curva de
indiferenc¸a distinta
Se x e´ uma cesta, a curva de indiferenc¸a de x e´ o n´ıvel associado a`
constante u(x), i.e.,
{x ∈ R2+ : u(x) = u(x)}
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 10 / 26
Alguns exemplos de func¸o˜es de utilidade
Suponhamos que u(x1, x2) = x1x2
A curva de indiferenc¸a t´ı´ıca tem a fo´rmula
x2 =
k
x
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 11 / 26
Exemplo: substitutos perfeitos
A func¸a˜o de utilidade u(x1, x2) = x1 + x2 representa uma
prefereˆncia tal que o consumidor aceita substituir o bem 1 pelo
bem 2 a uma taxa de 1 por 1
Se o consumidor exija duas unidades do bem 2 para compensa´-lo
pela desisteˆncia de uma unidade do bem 1, a prefereˆncia pode ser
representada por a func¸a˜o u(x1, x2) = 2x1 + x2
As prefereˆncias por substitutos perfeitos em geral podem ser
representadas por uma func¸a˜o de utilidade da forma
u(x1, x2) = ax1 + bx2
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 12 / 26
Exemplo: complementares perfeitos
A func¸a˜o u(x1, x2) = min{x1, x2} e´ uma func¸a˜o de utilidade
poss´ıvel para descrever os complementares perfeitos
I Como costuma acontecer, qualquer transformac¸a˜o monotoˆnica
tambe´m seria va´lida
Quando o consumidor sempre consome duas colheres de ac¸u´car
para cada x´ıcara de cha´, uma func¸a˜o de utilidade poss´ıvel e´
u(x1, x2) = min{x1, (1/2)x2} onde x1 e´ o nu´mero de x´ıcaras
Em geral a func¸a˜o de utilidade que descreve prefereˆncias
complementares perfeitas e´ dada por
u(x1, x2) = min{ax1, bx2}
onde a e b sa˜o nu´meros positivos que indicam as proporc¸o˜es nas
quais os bens sa˜o consumidos
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 13 / 26
Exemplo: prefereˆncias quasi-lineares
Suponhamos que um consumidor tenha curvas de indiferenc¸a que
sejam traduc¸o˜es verticais umas das outras
Todas as curvas de indiferenc¸a sa˜o apenas verso˜es “deslocadas” de
uma curva de indifereˆncia
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 14 / 26
Exemplo: prefereˆncias quasi-lineares
Esse tipo de prefereˆncia pode ser representado por uma func¸a˜o u
do tipo
u(x1, x2) = v(x1) + x2
Essa func¸a˜o e´ linear no bem 2 mas possivelmente na˜o linear no
bem 1
Da´ı o nome de quase-linear
I u(x1, x2) =
√
x1 + x2 ou u(x1, x2) = ln(x1) + x2
As func¸o˜es de utilidade quase-lineares na˜o sa˜o realistas, mas sa˜o
bem fa´ceis de lidar
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 15 / 26
Exemplo: prefereˆncias Cobb-Douglas
Outra func¸a˜o de utilidade comunamente usada e´ a func¸a˜o de
Cobb-Douglas
u(x1, x2) = xc1x
d
2
onde c e d sa˜o nu´meros positivos que descrevem as prefereˆncias do
consumidor
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 16 / 26
Exemplo: prefereˆncias Cobb-Douglas
As prefereˆncias de Cobb-Douglas tem curvas de indiferenc¸a bem
comportadas: monotoˆnicas e convexas
Transformac¸o˜es monotoˆnicas da func¸a˜o de Cobb-Douglas
representam a mesma prefereˆncias
Se extrairmos o logaritmo natural, obtemos
v(x1, x2) = c ln(x1) + d ln(x2)
Elevando a` poteˆncia 1/(c+ d) obtemos
w(x1, x2) = xa1x
1−a
2
onde a = c/(c+ d)
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 17 / 26
Utilidade marginal
Imaginemos um consumidor que consuma uma cesta de bens
(x1, x2)
Quando oferecemos um pouco mais, ∆x1, do bem 1, A taxa de
variac¸a˜o
UM1 =
∆U
∆x1
=
x1 + ∆x1, x2)− u(x1, x2)
∆x1
e´ chamada de utilidade marginal
Observe que
lim
∆x1→0
∆U
∆x1
=
∂u
∂x1
(x1, x2)
A utilidade marginal na˜o tem, por si mesma, nenhum conteu´do
comportamental
Como podemos calcular a utilidade marginal a partir de um
comportamento de escolha do consumidor? Na˜o podemos
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 18 / 26
Utilidade marginal e TMS
Imaginemos uma variac¸a˜o de consumo de cada bem (−∆x1,∆x2),
onde ∆xi > 0, que mantenha a utilidade constante
−UM1 ∆x1 + UM2 ∆x2 = ∆U = 0
A taxa marginal de substituic¸a˜o do bem 2 por o bem 1:
TMS2,1 = −∆x2∆x1 = −
UM1
UM2
Rigorosamente, temos que passar ao limite
TMS2,1(x) = −
∂u
∂x1
(x)
∂u
∂x2
(x)
Os economistas costumam referir-sea` TMS pelo valor absoluto
dela
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 19 / 26
Utilidade marginal e TMS
A func¸a˜o de utilidade (e a utilidade marginal) na˜o sa˜o
determinadas de um u´nico modo
Uma transformac¸a˜o monotoˆnica da utilidade na˜o modifica as
prefereˆncias
v(x) = f [u(x)] onde f e´ estritamente crescente
A raza˜o das utilidades marginais (a TMS) independe da
transformac¸a˜o especif´ıca da func¸a˜o de utilidade que se queira
utilizas
Nos temos
VM`(x) =
∂v
∂x`
(x) = f ′[u(x)]× ∂u
∂x`
(x) = f ′[u(x)]×UM`(x)
em seguida
VM1(x)
VM2(x)
=
UM1(x)
UM2(x)
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 20 / 26
Utilidade marginal e TMS
Embora as utilidades marginais sejam alteradas pelas
transformac¸o˜es monotoˆnicas
A TMS (a raza˜o das utilidades marginais) independe da forma
especif´ıca escolhida para representar as prefereˆncias
A TMS pode ser medida mediante a observac¸a˜o do
comportamento real do consumidor
I Encontramos essa taxa de intercaˆmbio quando o consumidor quer
ficar onde esta´ (prec¸os ao equ´ılibrio)
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 21 / 26
TMS da utilidade Cobb–Douglas
Se escolhermos a representac¸a˜o logar´ıtmica, onde
u(x1, x2) = c ln(x1) + d ln(x2)
Teremos
∂u
∂x1
(x) =
c
x1
e
∂u
∂x2
(x) =
d
x2
A Taxa marginal de substituic¸a˜o e´
TMS2,1 = − c
d
× x2
x1
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 22 / 26
Utilidade do transporte urbano
O exame das escolhas que os consumidores fazem permite-nos
avaliar uma func¸a˜o de utilidade capaz de descrever seu
comportamento
Nas grandes cidades, as pessoas podem escolher entre utilizar o
transporte pu´blico ou dirigir seu pro´prio carro
Cada alternativa pode ser encarada como representativa de uma
cesta com diferentes caracter´ısticas
I tempo de viagem, tempo de espera, custos em dinheiro, conforto,
convenieˆncia
Uma alternativa corresponde a uma cesta (x1, x2, . . . , xn) com os
valores de n caracter´ısticas diferentes
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 23 / 26
Utilidade do transporte urbano
Suponhamos que as prefereˆncias do consumidor t´ıpico em relac¸a˜o
as caracter´ısticas possam ser representadas por
U(x1, x2, . . . , xn) = β1x1 + β2x2 + . . . βnxn
Observando as escolhas de diversos consumidores podemos usar
te´cnicas estat´ısticas para estimar os coeficientes β`
Trabalhos empiricos mostraram que
U(TW,TT,C) = −0, 147× TW − 0, 0411× TT− 2, 24× C
onde
I TW = tempo de percurso a pe´
I TT = tempo total de viagem, em minutos
I C = custo total de viagem, em do´lares
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 24 / 26
Utilidade do transporte urbano
O consumidor t´ıpico considera o tempo percorrido a pe´ cerca de
treˆs vezes mais oneroso do que o tempo de viagem
O consumidor estaria disposto a aumentar em treˆs minutos o
tempo total da viagem para reduzir em um minuto a caminhada
A TMS de substituic¸a˜o entre o tempo e o custo indicas as
possibilidades de substituic¸a˜o entre as duas varia´veis
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 25 / 26
Utilidade do transporte urbano
O usua´rio tipico atribuiu a cada minuto de tempo de viagem um
valor de 0, 0411/2, 22 = 0, 0183 do´lar, ou 1,10 do´lar por hora
O sala´rio por hora de usua´rio t´ıpico em 1967 era de 2,85 do´lares
As estimativas de func¸a˜o de utilidade podem ser muito valiosas
para determinar se vale ou na˜o a pena promover alterac¸o˜es no
sistem de transporte pu´blico
I O usua´rio t´ıpico estaria propenso a pagar aproximadamente 0,37
do´lar para reduzir em 20 minutos o tempo de viagem
I Esse nu´mero nos da´ uma medida do benef´ıcio de aumentar a
frequ¨eˆncia de circulac¸a˜o dos oˆnibus
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 26 / 26
	Main Talk