Micro-Chap5

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Microeconomia: Princ´ıpios Ba´sicos
Cap´ıtulo 5. Escolha
Escola de Po´s-Graduac¸a˜o em Economia 2009
Mestrado em Financ¸as e Economia Empresarial
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 1 / 38
To´picos cobertos
1 Escolha o´tima
2 Demanda do consumidor
3 Alguns exemplos
4 Estimativa das func¸o˜es de utilidade
5 Implicac¸o˜es da condic¸a˜o da TMS
6 Escolha de impostos
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Escolha o´tima
Definition
A escolha x = (x1, x2) e´ uma escolha o´tima quando o conjunto de
cestas y = (y1, y2) que ele prefere estritamentea a x na˜o intercepta o
conjunto das cestas que o consumidor pode adquirirb
aI.e., a cesta y e´ situada acima da curva de indiferenc¸a de x
bI.e., as cestas que se localizam abaixo da reta orc¸amenta´ria
Suponha que x seja uma escolha o´tima:
Para cada cesta y � x temos p · y = p1 · y1 + p2 · y2 > m
No ponto o´timo, a curva de indiferenc¸a na˜o pode cruzar a reta
orc¸amenta´ria
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Escolha o´tima
Quando a curva de indiferenc¸a tem uma linha tangencial, numa
escolha o´tima interior, a curva de indiferenc¸a tangencia a reta
orc¸amenta´ria
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Escolha o´tima
A curva de indiferenc¸a na˜o tem linha tangencial: ela apresenta
uma quebra no ponto de escolha o´tima
Esse caso na˜o tem importaˆncia econoˆmica
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Escolha o´tima
O o´timo occora no ponto em que o consumo de um bem e´ zero: o´timo
de fronteira
As inclinac¸o˜es da curva de indiferenc¸a e da reta orc¸amenta´ria sa˜o
diferentes
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Escolha o´tima
Se eliminamos os “gostos bizarros” cujas curvas de indiferenc¸a na˜o
teˆm linha tangencial
Se nos restringimos apenas aos o´timos interiores
Encontramos uma condic¸a˜o necessa´ria que a escolha o´tima deve
satisfazer
I Se a escolha o´tima envolver o consumo de um pouco de ambos os
bens (interior)
I A curva de indiferenc¸a necessariamente tangenciara´ a reta
orc¸amenta´ria (as inclinac¸o˜es sa˜o iguais)
Sera´ essa condic¸a˜o de tangeˆncia suficiente para que a cesta seja
o´tima?
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Escolha o´tima
Temos 3 cestas onde a condic¸a˜o de tangeˆncia e´ satisfeita, todas
interiores, mas so´ 2 sa˜o o´timas
A tangeˆncia e´ apenas uma condic¸a˜o necessa´ria para alcanc¸ar o o´timo,
mas na˜o suficiente
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Escolha o´tima
Ha´ um caso importante onde a condic¸a˜o de tangeˆncia e´ suficiente:
o das prefereˆncias convexas
Em geral pode haver mais de uma cesta o´tima
Se as curvas de indiferenc¸a forem estritamente convexas, i.e., na˜o
tiverem nenhum segmento plano, havera´ apenas uma escolha
o´tima em cada reta orc¸amenta´ria
A condic¸a˜o de tangeˆncia se traduz da forma seguinte: A TMS tem
de igualar-se a` inclinac¸a˜o da reta orc¸amenta´ria num o´timo interior
∂u
∂x1
(x)
∂u
∂x2
(x)
=
p1
p2
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Escolha o´tima
O mercado oferece uma taxa de troca de p1/p2:
I Se o consumidor desistir de uma quantidade ε do bem 1
I Ele podera´ comprar (p1/p2)ε unidades do bem 2
I Se o consumidor desistir de uma quantidade ε do bem 2
I Ele podera´ comprar (p2/p1)ε unidades do bem 1
Se a TMS do bem 2 por o bem 1 for menor que p1/p2 o
consumidor certamente desejaria abrir ma˜o de ε unidades do
bem 1 para adquirir (p1/p2)ε unidades do bem 2
Se a TMS do bem 2 por o bem 1 for maior que p1/p2 o
consumidor certamente desejaria abrir ma˜o de ε unidades do
bem 2 para adquirir (p2/p1)ε unidades do bem 1
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Demanda do consumidor
A escolha o´tima dos bens 1 e 2, num determinado conjunto de
prec¸os e de renda, e´ chamada cesta demandada do consumidor
d(p,m) ≡ {x ∈ B(p,m) : B(p,m) ∩ P (x) = ∅}
onde
B(p,m) = {y ∈ R2+ : p · y 6 m} e P (x) = {y ∈ R2+ : y � x}
Quando os prec¸os e a renda variam, a escolha o´tima do
consumidor tambe´m varia
A func¸a˜o d : (p,m) 7→ d(p,m) e´ chamada func¸a˜o de demanda
Quando a demanda e´ uma func¸a˜o, temos
d(p,m) = {(x1(p,m), x2(p,m)}
x`(p,m) e´ a demanda de unidades do bem ` do consumidor
dependo dos prec¸os como da renda
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Substitutos perfeitos
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Substitutos perfeitos
Nesse caso a demanda e´ definida por
d(p,m) =

{(m/p1, 0)} quando p1 < p2
R(p,m) quando p1 = p2
{(0,m/p2)} quando p1 > p2
onde R(p,m) e´ a reta orc¸amenta´ria
R(p,m) = {x ∈ R2+ : p · x = m}
Se dois bens sa˜o substitutos perfeitos, o consumidor comprara´ o que for
mais barato
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Complementares perfeitos
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Complementares perfeitos
A escolha o´tima tem de situar-se sempre na diagonal: “pessoas
com dois pe´s compram sapatos aos pares”
Suponhamos que x = (x1, x2) e´ uma escolha o´tima
Sabemos que o consumidor compra a mesma quantidade do bem 1
e do bem 2, i.e., x1 = x2 = x
Temos que satisfazer a restric¸a˜o orc¸amenta´ria
p1x1 + p2x2 = m
Obtemos
x1 = x2 = x =
m
p1 + p2
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Neutros e males
No caso do bem neutro, o consumidor gasta todo o seu dinheiro no
bem do qual gosta e na˜o compra nada do bem neutro
O mesmo ocorre quando a mercadoria e´ um mal
Se os prec¸os sa˜o positivos, a mercadoria 1 e´ um bem, e a
mercadoria 2 e´ um mal, as func¸o˜es de demanda sera˜o
x1(p,m) =
m
p1
e x2(p,m) = 0
E se o prec¸o do mal e´ negativo?
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Bens discretos
Suponhamos que o bem 1 seja um bem discreto enquanto o bem 2
seja dinheiro para ser gasto em todas as outras coisas
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Prefereˆncias coˆncavas
Se voceˆ tem dinheiro para comprar sorvete e azeitonas mas na˜o gosta de
consumi-los juntos, gastara´ todo o seu dinheiro em um ou em outro
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Prefereˆncias Cobb–Douglas
Suponhamos que a func¸a˜o de utilidade seja da forma
Cobb–Douglas
u(x1, x2) = xc1x
d
2
As escolhas o´timas sa˜o
x1(p,m) =
c
c+ d
× m
p1
e x2(p,m) =
c
c+ d
× m
p2
A frac¸a˜o da renda que o consumidor gasta no bem 1 e´
p1x1(p,m)
m
=
p1
m
× c
c+ d
× m
p1
=
c
c+ d
A frac¸a˜o da renda que o consumidor gasta no bem 1 e´ d/(c+ d)
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Prefereˆncias Cobb–Douglas
O consumidor Cobb–Douglas gasta sempre uma frac¸a˜o fixa de sua
renda em cada bem
E´ conveniente escolher a representac¸a˜o
v(x1, x2) = xa1 × x1−a2
Podemos interpretar a como a frac¸a˜o da renda gasta no bem 1
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Estimativa das func¸o˜es de utilidade
Vimos va´rias formas diferentes de prefereˆncias e func¸o˜es de
utilidade
Examinamos os tipos de comportamento de demanda gerados por
essas prefereˆncias
Na vida real temos de fazer o contra´rio:
I Observar o comportamento de demanda
I Descobrir que tipo de prefereˆncias gerou o comportamento
observado
Suponhamos que observamos as escolhas feitas por um consumidor
em diferentes n´ıveis de prec¸os e renda
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Estimativa das func¸o˜es de utilidade
A frac¸a˜o da renda gasta em cada bem ` e´ definida por s` = p`x`/m
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Estimativa das func¸o˜es de utilidade
Embora apresentem pequenas variac¸o˜es, as frac¸o˜es de gastos sa˜o
relativamente constantes
Parece que a func¸a˜o de utilidade da forma
u(x1, x2)= x
1/4
1 × x3/42
ajusta-se bem a esses dados
Uma func¸a˜o de utilidade dessa forma geraria um comportamento
de escolha semelhante ao observado
Parece que o consumidor maximize a func¸a˜o u dada acima
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Estimativa das func¸o˜es de utilidade
Agora podemos avaliar o impacto de sugesto˜es de mudanc¸as na
pol´ıtica econoˆnica
Suponhamos que o governo planeje impor um sistema de impostos
que levasse o consumidor a enfrentar prec¸os (2, 3) com uma renda
de 200
De acordo com nossas estimativas, a cesta demanda seria
x̂1 =
1
4
× 200
2
= 25 e x̂2 =
3
4
× 200
3
= 50
A utilidade estimada dessa cesta e´
u(x̂1, x̂2) = 251/4 × 503/4 ≈ 42
A nova pol´ıtica tributa´ria deixara´ o consumidor melhor do que
estava no ano 2, mas em situc¸a˜o pior do que a do ano 3
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Estimativa das func¸o˜es de utilidade
Na realidade, a situac¸a˜o na˜o ta˜o simples
Na˜o temos dados detalhados sobre as escolhas individuais de
consumo
Podemos encontrar dados sobre grupos de pessoas: adolescentes,
famı´lias de classe me´dia, idosos
As prefereˆncias desses grupos sa˜o refletidos nos seus padro˜es de
consumo
Os dados podem nos permitir de estimar uma func¸a˜o de utilidade
para cada grupo que descreva os padro˜es de consumo e utilizar
essa func¸a˜o estimada para prever a demanda e avaliar as propostas
de pol´ıtica econoˆmica
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Implicac¸o˜es da condic¸a˜o da TMS
Nos mercados bem-organizados, em geral todos se defrontam com
aproximadamente os mesmos prec¸os: tomemos como exemplo dois
bens, a manteiga e o leite
Se todos otimizarem e estiverem numa soluc¸a˜o interior, enta˜o
todos devera˜o ter a mesma taxa marginal de subsituic¸a˜o para
manteiga e o leite
Todos ajustara˜o seu consumo dos bens ate´ que sua pro´pria
avaliac¸a˜o marginal “interna” dos dois bens se iguale a` avaliac¸a˜o
“externa” que o mercado faz desses bens
Suponhamos que o prec¸o do leite seja $1 por litro e o da manteiga
$2 por quilo
A taxa marginal de substituic¸a˜o para todas as pessoas que
consomem leite e manteiga tem de ser 2
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Implicac¸o˜es da condic¸a˜o da TMS
Suponhamos agora que um inventor descubra um novo me´todo de
transformar leite em manteiga
I para cada 3 litros de leite introduzidos na ma´quina, obtemos 1 quilo
de manteiga
Havera´ mercado para essa ma´quina?
Se, ao contra´rio, o inventor conseguisse transformar 1 quilo de
manteiga em 3 litros de leite? Havera´ mercado para esse invento?
O primeiro invento na˜o e´ lucrativo: ele produz $2 a partir de $3
O segundo invento e´ lucrativo: ele produz $3 com apenas $2
O fato importante e´ que os prec¸os sa˜o indicadores do valor
marginal que as pessoas atribuem a`s coisas
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Escolha de impostos
Se o governo quiser obter determinada receita, seria melhor
coleta´-la atrave´s do imposto sobre a quantidade de um bem ou do
imposto sobre a renda?
Suponhamos que a restric¸a˜o orc¸amenta´ria original seja
p1x1 + p2x2 = m
Se taxarmos o consumo do bem 1 com uma al´ıquota t, a nova
restric¸a˜o orc¸amenta´ria sera´
(p1 + t)x1 + p2x2 6 m
A escolha o´tima x? tem de satisfazer a restric¸a˜o orc¸amenta´ria
(p1 + t)x?1 + p2x
?
2 = m
A receita arrecadada por esse imposto sera´ R? = tx?1
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Escolha de impostos
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Escolha de impostos
Imaginemos agora um imposto sobre a renda que arrecada a
mesma quantidade de receita
A nova reta orc¸amenta´ria seria
p1x1 + p2x2 = m−R? = m− tx?1
A inclinac¸a˜o dessa nova reta e´ a mesma da reta original
A nova reta passa por a cesta x?
A escolha x? na˜o sera´ o´timo porque no ponto x? a TMS e´
(p1 + t)/p2
Isso implica que algum ponto na reta orc¸amenta´ria sera´ preferido a
x?
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Escolha de impostos
O imposto de renda e´ realmente superior ao imposto sobre a
quantidade
Com ele podemos obter a mesam receita de um consumidor e
ainda deixa´-lo em melhor situac¸a˜o do que com o imposto sobre a
quantidade
Este resultado tem va´rias limitac¸o˜es:
I Para qualquer consumidor, ha´ um imposto de renda que arrecada a
mesma quantidade de recursos que seria arrecadada pelo imposto
sobre a quantidade e que, mesmo assim, deixa o consumidor em
situac¸a˜o melhor
I A quantidade desse imposto de renda sera´ em geral diferente para
cada pessoa
I Um imposto de renda uniforme para todos na˜o e´ necessariamente
melhor do que um imposto uniforme sobre a quantidade
I Partimos do pressuposto do que a renda do consumidor na˜o se
altera quando estabelecemos um imposto sobre a renda: existem
problemas de incentivos
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Apeˆndice
Como solucionar o problema de maximizac¸a˜o das prefereˆncias e
obter as func¸o˜es de demanda
Em geral representamos as prefereˆncias pela func¸a˜o de utilidade
x 7→ u(x)
Uma cesta x e´ otima quando
x ∈ argmax{u(x˜) : x˜ ∈ B(p,m)}
Se a escolha o´tima e´ interior e a func¸a˜o de utilidade diferencia´vel,
temos
∂u
∂x1
(x)
∂u
∂x2
(x)
=
p1
p2
A escolha o´tima tambe´m deve satisfazer a restric¸a˜o orc¸amenta´ria
p1x1 + p2x2 = m
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Apeˆndice
A restric¸a˜o orc¸amenta´ria permite obter x2 em func¸a˜o de x1
x2 = f(x1) onde f(x1) =
m
p2
− p1
p2
x1
Obtemos um novo problema de maximizac¸a˜o
argmax{u(x˜1, f(x˜1)) : x˜1 ∈ [0,m/p1]}
Se a soluc¸a˜o e´ interior, i.e., x1 ∈ (0,m/p1), a condic¸a˜o de primeira
ordem nos fornecera´
∂u
∂x1
(x1, f(x1)) + f ′(x1)× ∂u
∂x2
(x1, f(x1)) = 0
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Apeˆndice
Dado que
f ′(x1) = −p1
p2
Obtemos a equac¸a˜o
∂u
∂x1
(x)
∂u
∂x2
(x)
=
p1
p2
Essa e´ exatamente a condic¸a˜o de TMS: a inclinac¸a˜o da curva de
indiferenc¸a tem de ser igual a` inclinac¸a˜o da linha orc¸amenta´ria
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Apeˆndice
Uma outra forma de resolver esse problema e´ com o emprego dos
multiplicadores de Lagrange
Esse me´todo comec¸a por definir uma func¸a˜o auxiliar conhecida
como Lagrangiana
L(x, λ) = u(x1, x2) + λ(m− p1x1 − p2x2)
A nova varia´vel λ e´ chamada de multiplicador de Lagrange
O teorema de Lagrange diz que se x? maximiza a func¸a˜o u sobre a
restric¸a˜o orc¸amenta´ria, enta˜o existe λ? tal que x? maximiza
L(x, λ?) sem restric¸a˜o orc¸amenta´ria e verificando a condic¸a˜o
λ?(m− p1x?1 − p2x?2) = 0
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 35 / 38
Apeˆndice
Se a escolha x? e´ o´tima e interior, ela deve satisfazer as treˆs
condic¸o˜es de primeira ordem
∂L
∂x1
(x?, λ?) =
∂u
∂x1
(x?)− λ?p1 = 0
∂L
∂x2
(x?, λ?) =
∂u
∂x2
(x?)− λ?p2 = 0
∂L
∂λ
(x?, λ?) = −p1x?1 − p2x?2 +m = 0
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 36 / 38
Apeˆndice: Cobb–Douglas
Consideramos a func¸a˜o de utilidade de Cobb–Douglas
u(x1, x2) = xc1 × xd2
Podemos substituir por outra representac¸a˜o
u(x1, x2) = c ln(x1) + d ln(x2)
Queremos resolver o problema seguinte:
max
(x1,x2)∈R2+
c ln(x1) + d ln(x2)
de modo que
p1x1 + p2x2 = m
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 37 / 38
Apeˆndice: Cobb–Douglas
A condic¸a˜o de TMS e´
c
d
× x2
x1
=
p1
p2
Usando a restric¸a˜o orc¸amenta´ria, optemos a equac¸a˜o
c(m− p1x1) = dp1x1
Temos enta˜o
x1 =
c
c+ d
× m
p1
e
x2 =
c
c+ d
× m
p2
V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Microeconomia Outubro, 2009 38 / 38
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