2TVC-1o-2011-Fila-A

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UFJF – ICE – Departamento de Matemática 
Cálculo I – Segunda Avaliação – 28/05/2011 – FILA A 
Aluno (a):__________________________________________ Matrícula:__________ Turma: ____ 
 
Instruções Gerais: 
1- A prova pode ser feita a lápis, exceto o quadro de respostas das questões de múltipla escolha, que deve ser 
preenchido à caneta azul ou preta. 
2- Não é permitido sair da sala durante a aplicação da prova. 
3- Não é permitido o uso de calculadora. 
4- Permanência mínima de 30 minutos na sala. 
5- A prova tem duração de duas horas e meia. 
 
1ª Parte: Questões de Múltipla Escolha 
 
1- Considere as seguintes afirmativas sobre a função 
RRf :
 
definida por 
222 3)( 469  xxxxf
. 
 
I) A função f é contínua em R. 
II) A função f possui pelo menos uma raiz no intervalo 
 1 ,0
. 
III) 


)(lim xf
x
 
Marque a alternativa CORRETA: 
a) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
b) Todas as afirmativas são falsas. 
c) As afirmativas I e II são verdadeiras e a afirmativa III é falsa. 
d) As afirmativas I e III são verdadeiras e a afirmativa II é falsa. 
e) As afirmativas II e III são verdadeiras e a afirmativa I é falsa. 
 
2- Seja 
RxxxgRRg  todopara ,)( que talfunção uma : 2
. 
Marque a alternativa INCORRETA: 
a) 
0)0( g
. 
b) 
0
)(
lim
0

 x
xg
x
. 
c) A derivada da função g em x = 0 é 0, ou seja, 
0)0(' g
. 
d) A função g é contínua em x = 0. 
e) A equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto 
 )0( ,0 g
 é 
0 yx
. 
 
3- Marque a alternativa CORRETA: 
a) Se a função f é contínua, então f é derivável. 
b) Se 

 )(
)(
lim
xg
xf
x
 então, 
0
)(
)(
lim 
 xf
xg
x
. 
c) Se g é uma função definida no intervalo 
 ba ,
 tal que 
)(0)( bgag 
, então g possui pelo menos uma raiz 
real. 
d) A função 













 0 se , 1
0 se , 
1
cos.
)(
x
x
x
x
xf
 é contínua em x = 0. 
e) Se 
0)(lim 

xf
ax
, então 
  0)().(lim 

xgxf
ax
. 
 
4- Da Trigonometria temos que 
2
cos.
2
2
qpqp
sensenqsenp


. Então, podemos afirmar que 
ax
senasenx
ax 


lim
 é: 
a) 0 b) 1 c) 
sena
 d) 
acos
 e) 
tga
 
Valor: 40 pontos 
Questão/Alternativa A B C D E 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
 
 2 
5- Seja 
 
2 se , 
2 se , 
2
8
)(por definida função a :
3










xa
x
x
x
xfRRf
, onde 
Ra
. 
Para que a função f seja contínua em x = 2, podemos afirmar que: 
a) 
Ra
 é um número primo. 
b) 
Ra
 é múltiplo de 5. 
c) 
Ra
 é divisor de 60. 
d) 
Ra
 não é inteiro. 
e) 
8a
. 
 
6- A derivada da função 
  34.22
13
2
)( 42
23



 xxxx
xx
x
xf
 em x = 0 é igual a: 
 
a) – 1 b) 0 c) 6 d) 15 e) 16 
 
 
7- Considere a função f definida por 






1 se , 75
1 se , 
)(
2 xxx
xbax
xf
 , onde a e b são reais. 
Determine os valores de a e b que tornam a função f derivável e marque a alternativa que corresponde ao 
produto ab. 
a) – 18 b) – 6 c) 0 d) 6 e) 18 
 
 
8- A figura abaixo representa uma função 
)(xfy 
 e as retas r e s tangentes ao gráfico da função f nos 
pontos 
   4 ,0 e 2 ,1
, respectivamente. 
 
 
 
Marque a alternativa CORRETA: 
a) A derivada da função f em x = 1 é negativa. 
b) A derivada da função f em x = 1 é positiva. 
c) A derivada da função f em x = 0 é igual a zero. 
d) A derivada da função f em x = 0 é positiva. 
e) A derivada da função f em x = 0 é negativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
2ª Parte: Questões Discursivas 
 
9- Calcule os limites abaixo (Sem utilização de derivada). 
 
a) 








14cos
2
lim
2
x
x
xsen
x

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)  
1
163
lim
3
43
1 

 x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
10
51
lim
2
5
 

 x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valor: 30 pontos 
 4 
d) 
1
23
lim
30 

 xx e
xsenxsen
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
25
2 10
lim
2
24
 

 x
xx
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 24
 4
3
1lim









x
x x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
10- Seja f a função definida por 






1 se ,22
1 se ,3
)(
2
xx
xx
xf
 . 
 
a) A função f é contínua em x = – 1? Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A função f é derivável em x = – 1? Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abscissa x = – 1, se existir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) A função f é contínua em x = 1? Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Determine as derivadas laterais 
)1('f
 e 
)1('f
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) A função f é derivável em x = 1? Justifique sua resposta. 
 
 
Valor: 30 pontos