M- ¦ódulo 10

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10.1 - Definição de Domínio de Estudo
Domínio de estudo (= subpopulação = 
pequena área) é um subconjunto Ud da 
população, para o qual queremos obter 
estimativas separadas, a partir de uma 
amostra selecionada da população inteira.
10 – Estimação para Domínios Exemplos de Aplicação:
1) Estimação da renda média dos homens 
com mais de 40 anos que residem no RJ, a 
partir de uma AAS de moradores do RJ.
2) Estimação da receita total de fazendas com 
produção de café, a partir de uma AAS 
retirada de toda a população de fazendas.
3) Estimação da proporção de crianças 
infectadas por uma doença em uma região, a 
partir de uma AAS dos habitantes da região.
4) Estimação do salário médio de profissionais 
de estatística recém-formados que falam 
inglês, a partir de uma AAS de recém 
formados em cursos da área de exatas.
Obs: domínio ≠ estrato (veremos mais 
à frente este outro conceito).
10.2 - Definição da Variável d
O tratamento matemático do problema de 
estimação para domínios envolve a definição 
de uma variável binária que chamaremos d.
d é uma variável binária, definida para todas 
as unidades da população, que indica a 
pertinência (d=1) ou não (d=0) ao domínio Ud.
Formalmente:
di = 1, se i∈Ud,
ai = 0, se i∉Ud, ∀ i∈U. 
Note que a definição da variável d 
corresponde à criação de uma coluna de 
“uns” e “zeros” na planilha do cadastro.
Exemplo 10.1 - No exemplo 6.2, considere 
que Ud é a classe das fazendas cuja área é
maior do que 2.500 hectares. Defina d.
2
Solução - a população do exemplo era:
35
54
23
22
31
yi (em 1.000 
hectares)
U
A terceira coluna abaixo representa os 
valores de d:
3
5
2
2
3
yi
15
14
03
02
11
diU
10.3 - Notação e Definição dos Parâmetros
Formalmente, o domínio Ud pode ser 
definido como Ud = {i∈∈∈∈U: di=1}.
Amostra no domínio sd = Ud∩∩∩∩s (não 
confundir a amostra sd com o domínio Ud).
A expressão do tamanho do domínio Nd, em 
termos dos valores de d, é:
.dN
Ui
id ∑
∈
=
Parâmetros:
Por simplicidade, trataremos aqui apenas 
do problema de estimar a média e o total.
Seja yid = yidi, ∀ i∈U. Vamos escrever os 
parâmetros-alvo como função de yid, ao 
invés de escrevê-los como função de yi.
Total de Ud: 
.yyY
Ui
id
Ui
id
d
∑∑
∈∈
==
Média de Ud:
.
d
y
N
YY
Ui
i
Ui
id
d
d
d
∑
∑
∈
∈
==
Ponto-chave a ser notado: a média em um 
domínio pode ser encarada como uma 
razão populacional, com y = yd e x = d.
3
10.4 - Estimação da Média em um Domínio
A teoria para estimação de uma razão 
populacional R já foi estudada.
Em particular, vimos que, sob AAS:
.
x
y
Rˆ
si
i
si
i
AAS
∑
∑
∈
∈
=
Conclui-se que, sob AAS, 
o estimador de é:
.
d
y
Yˆ
si
i
si
id
d ∑
∑
∈
∈
=
dY
este estimador, evidentemente, “herda” 
as propriedades do estimador de R.
= nd (tamanho da 
amostra no domínio)
A variância do estimador de uma razão é:
.
1-N
)Rx - (y
Xn
1
N
n1)Rˆ(V Ui
2
ii
2AAS
∑
∈





−≅
Conclui-se que a variância do estimador da 
média em Ud é dada pela seguinte expressão:
.
1N
)dYy(
Dn
1
N
n1)Yˆ(V
2
Ui
idid
2d
−
−






−≅
∑
∈
N
N
N
d
D dUi
i
==
∑
∈
O estimador da variância é:
.
1-n
)xRˆ - (y
xn
1
N
n1)Rˆ(v si
2
ii
2AAS
∑
∈





−≅
Assim, o estimador da variância do estimador 
da média em Ud é:
.
1n
)dYˆy(
dn
1
N
n1)Yˆ(v
2
si
idid
2d
−
−






−≅
∑
∈
n
n
n
d
d dsi
i
==
∑
∈
Exemplo 10.2 - Na situação do exemplo 
10.1, considere que foi selecionada a AAS: 
s = (1,2,4). Se as receitas destas fazendas 
são, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 
2.000,00 e R$ 3.000,00, estime, a partir 
desta amostra, a receita média das 
fazendas com área maior do que 2.500 
hectares, com as estimativas de variância:
.000.300)Yˆ(v ,2Yˆ:R dd ==
10.5 - Estimação do Total em um Domínio
Devemos dividir em dois casos:
Caso 1 – Nd conhecido
Caso 2 – Nd desconhecido
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Caso 1 - Nd conhecido
Estimador do Total em Ud:
Variância e Estimador da Variância do 
Estimador de Total:
ddd YˆNYˆ =
).Yˆ(vN)Yˆ(v d2dd =).Yˆ(VN)Yˆ(V d2dd =
Caso 2 - Nd desconhecido
Solução - estimar Nd:
∑
∈
=
si
id d
n
NNˆ
estimador não viciado, sob AAS.
O estimador de Yd torna-se:
∑
∑
∑
∑
∈
∈
∈
∈
===
si
id
si
i
si
id
si
iddd y
n
N
d
y
d
n
NYˆNˆYˆ
este é o estimador simples de total sob 
AAS, e portanto as fórmulas de variância 
são aquelas obtidas no módulo 5.
Variância teórica:
Estimador da variância:
.
n
y
y
1n
1
s ,
n
s
N
n1N)Yˆ(v
2
si
si
id
id
2
d
2
d2
d ∑
∑
∈
∈








−
−
=





−=
.
N
y
y
1N
1S ,
n
S
N
n1N)Yˆ(V
2
Ui
Ui
id
id
2
d
2
d2
d ∑
∑
∈
∈








−
−
=





−=
Exemplo 10.3 - Na situação do exemplo 
10.2, estime a receita total das fazendas 
com área maior do que 2.500 hectares, 
reportando as estimativas de variância, 
considerando:
a) Nd conhecido (=?).
b) Nd desconhecido.
Respostas:
.81,814.814.4)Yˆ(v ,666.6Yˆ )b
.000.700.2)Yˆ(v ,000.6Yˆ )a
dd
dd
==
==