ATIVIDADE - AULA 05

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO 
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS AMBIENTAIS 
ENGENHARIA CIVIL 
ENGENHARIA DOS TRANSPORTES 
ERIC AMARAL FERREIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
KEVERSSON LUAN DE OLIVEIRA ALVES 
 
 
DATA DE ENTREGA: 09/03/2021 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE – AULA 05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIMOEIRO DO NORTE – CE 
2021 
 
 
 
 
• Pesquisar métodos de expansão de matrizes O/D. 
 
Esse é um recorte do artigo Profa Vânia Barcellos Gouvêa campos, onde tem como título 
PLANEJAMENTO DE TRANSPORTES: CONCEITOS E MODELOS DE ANÁLISE. 
 
 
 
7 - MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DE VIAGENS 
 
 
 
A etapa de Geração de viagens fornece os totais de viagens produzidas (Pi) e de 
viagens atraídas (Aj) por zona de tráfego, supondo-se que a região de estudo seja 
dividida em n zonas de tráfego, os modelos de distribuição de viagens determinam 
a parcela destas viagens (tij) entre as zonas de tráfego . Ou seja define-se uma 
matriz conforme a figura 3. 
 
I/j z1 z2 ----- zn-1 zn Produção 
z1 t11 t12 ----- tn-1 tn P1 
z2 t21 t22 ----- t2n-1 t2n P2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
zn-1 tn-1,1 tn-1,2 ----- tn-1,n-1 tn-1,n Pn-1 
zn tn1 tn,2 ---- tn,n-1 tn,n Pn 
Atração A1 A2 ---- An-1 An 
 
Figura 3 - Matriz de Viagens 
 
De uma forma geral a distribuição é feita com base na potencialidade de cada 
zona de gerar viagens, na atratividade das zonas de destino e na distancia, 
tempo ou custo de transporte entre cada par de zonas de origem e destino. 
Desta forma os modelos de distribuição de viagens podem ser definidos pela 
seguinte expressão: 
 
tij = f (variáveis sócio-econômicas entre i e j; viagens produzidas em i; 
atraídas para j; separação espacial ou custo entre i e j) 
 
onde tij representa o número de viagens entre i e j no intervalo de tempo 
considerado. 
Os modelos de distribuição de viagens podem ser grupados da seguinte forma: 
_ Modelos de fator de Crescimento 
_ Modelos Gravitacionais 
 
 
 
 
32 
Objetivo: estimar o número de viagens entre pares de zonas de tráfego, criando 
uma matriz O/D de viagens futuras a partir dos dados do ano base e das 
projeções viagens produzidas e atraídas. 
 
P 
7.1-Modelos de Fator de Crescimento 
 
Os modelos de fator de crescimento têm a seguinte forma geral: 
 
 
(d.1) 
 
 
 
onde : t’ij = núm. de viagens futuras entre as zonas i e j; 
fij = fator de expansão; 
tij = num de viagens atuais entre as zonas i e j 
 
A aplicação destes métodos exige, a determinação preliminar de uma matriz de 
origem e destino das viagens no ano base ( viagens atuais). 
 
 
 
7.1.1 Método do Fator de Crescimento Uniforme 
 
 
Neste método o fator é único para todas as zonas de tráfego que pode ser obtido 
de duas formas: 
 
1- Utilizando-se um fator de crescimento com base em estudos estatísticos ou 
curvas de crescimento. 
Por exemplo, pode-se estatisticamente avaliar que o número de viagens na 
região de estudo crescerá 20% no período de estudo, bastando então multiplicar 
os valores da matriz por F=1.2. 
 
2- Utilizando-se um fator que avalie a relação entre o número de viagens 
produzidas atualmente e as projetadas para o futuro para cada zona de 
tráfego. Fazendo-se: 
 
 
' 
fi = 
 i 
Pi 
 
onde: Pi = produção de viagens atualmente na zona i; 
P’i = produção de viagens estimadas na zona i; 
 
33 
t’ij = fij . tij 
 
ij ij i j 
 
O método do fator de crescimento uniforme só deve ser utilizado para um 
horizonte de projeto de 1 a 2 anos e em regiões já bastante desenvolvidas e 
densamente ocupadas. 
 
 
 
Utiliza-se um fator de crescimento para cada par de origem e destino (i,j) definido 
pela média dos fatores de crescimento da zona de (i) e o fator de crescimento da 
zona de destino(j): 
 
fij = ½(fi + fj) 
 
onde: 
 
 
fi = P’i /Pi fj = P’j/Pj 
P’i ou j - viagens futuras produzidas na zona origem i ou j, projetadas pelo modelo 
de geração; 
Pi ou j - viagens produzidas atualmente pela zona i ou j na primeira iteração e o 
total de viagens estimadas pelo modelo a partir da segunda iteração. 
 
Ao aplicarmos este processo verifica-se que a partir da primeira iteração o total de 
viagens produzidas ou atraídas para cada zona não se ajusta à estimativa original 
de viagens produzidas e atraídas no futuro. Para ajustar estes valores, aplica-se 
um procedimento iterativo até que os valores obtidos sejam equivalentes aos 
projetados. 
 
O processo pode ser escrito matematicamente da seguinte forma: 
 
 
t1 = t0 (f + f )/2 (na primeira iteração) 
e 
(na k-ésima iteração) (d.2) 
 
 
 
 
 
34 
tkij = tij
k-1(fi
k-1 + fj
k-1)/2 
7.1.2 Método do Fator Médio de Crescimento 
 
P 
Este método converge vagarosamente e faz-se necessário especificar um critério 
de encerramento das iterações, expresso em termos de um limite para o valor de 
fik, definido por intervalos: 
 
0,95 fik  1,05 
ou 
0,90 fik  1,10 
 
 
 
 
Este método representa um aprimoramento dos dois métodos anteriores e 
consequentemente um aumento na complexidade dos cálculos necessários. 
Também como o método anterior requer um procedimento iterativo. 
 
Trata-se de um método bastante utilizado para zonas externas, ou melhor, 
movimentos externos/externos. 
 
Considera que o número de viagens que saem de uma zona i para uma zona j é 
proporcional ao número de viagens totais atuais que saem da zona i modificado 
pelo fator de crescimento da zona j. 
 
O método compreende as seguintes etapas: 
 
 
Passo 1: Calcular o fator de crescimento da zona de tráfego: 
 
 
* 
fi = 
 i 
Pi 
onde: Pi* - estimativa do total de viagens produzidas na zona i para o ano de 
projeto 
Pi - viagens atuais na primeira iteração e viagens calculadas a partir 
da segunda iteração. 
 
 
 
 
 
35 
7.1.3 - Método de Fratar 
 
t = 
 i ij j 
ij 
t  f ij j 
 
Passo 2 : Estimar as viagens entre zonas de tráfego utilizando a seguinte 
expressão: 
 
(d.3) 
 
 
 
 
Passo 3 : Montar a nova Matriz, fazendo-se: 
 
1o) tij = ½(tij’ + tji’) (t’ é o valor calculado na iteração) 2o) 
a soma dos novos valores de Pi e voltando ao passo 1. 
O processo termina quando o fator fi estiver dentro de um intervalo especificado 
previamente e de acordo com a precisão que se deseja. 
 
Como se pode observar o método de Fratar considera apenas os fatores 
relacionados a produção e portanto deve ser utilizado em matrizes que têm valores 
iguais ou próximos de produção e atração. E nestes casos a matriz resultante de 
viagens é uma matriz simétrica onde tij = tji. 
 
 
 
 
 
Utilizado para fazer a distribuição de viagens considerando tanto o fator de 
crescimento da produção quanto o da atração. Este método também é conhecido 
como Fratar Balanceado. 
 
O método requer uma série de correções até que a soma das linhas convirjam para 
o total de produção de cada linha e a soma das colunas para o total de atração. 
 
Fórmula Geral: 
T’ij = tij . ai . bj 
onde: 
tij = num. de viagens no ano base produzido pela zona 1 e atraído pela zona j. 
 
36 
7.1.4 - Fator de Crescimento Duplo (Furness) 
 
t t 
T’ij = num. de viagens calculado produzido pela zona i e atraído pela zona j. 
ai = fator de balanceamento da linha i; 
bj = fator de balanceamento da coluna j. 
 
Como se necessita de algumas iterações para se chegar a uma solução a técnica 
empregada pode ser representada matematicamente da seguinte forma: 
 
( d.4) 
 
 
onde: 
a = 
Pi
 
 
 
 
b = 
Aj
 
 
 
i n j n 
k k 
ij ij 
i j 
 
 
 
P’i - estimativa do total de viagens produzidas na zona i para o ano de projeto 
Pi - viagens atuais na primeira iteração e viagens calculadas a partir da segunda 
iteração. 
 
 
Procedimento Geral: 
 
 
1º) Faz-se ai = 1,0 
2º)Calcula-se o fator de crescimento por coluna bj. 
3º)Calcula-se a matriz de viagens utilizando-se a expressão d.4 
4º)Calcula-se o total por linha P’i e o fator ai.5º)Recalcula-se a matriz multiplicando-se os valores obtidos em 3 por ai. 
6º)Se os valores encontrados para Pi e Aj são iguais aos projetados então pare, 
caso contrário volte a 2. 
 
 
 
Vantagens e Limitações dos Métodos de Fator de Crescimento 
 
 
• É um método de fácil entendimento e faz uso direto da matriz de viagens 
observadas e de projeções de viagens produzidas e atraídas. 
 
37 
Tij
k+1 
= (Tij
k
.bj ) ai 
 
• Sua vantagem é também sua limitação, pois estes métodos são mais indicados 
para planejamento de curto prazo. 
 
A principal limitação, entretanto, é que os métodos não levam em consideração 
mudanças nos custos de transporte devido a melhoramentos ou restrições 
(congestionamentos) na rede. Além do que seu uso ‘e bastante limitado na 
análise de opções envolvendo novos modos de transporte, novos links, políticas 
de preço e novas zonas de tráfego. 
 
 
7.2- Modelo Gravitacional 
 
A base conceitual deste modelo é a lei gravitacional de Newton que diz: 
 
 
 
Este modelo foi inicialmente concebido para avaliar o número de interações ou 
fluxos de comunicação entre dois centros quaisquer relacionando população e 
distância. 
 
Assume-se pelo pressuposto do modelo que a probabilidade de interação entre 
qualquer par de indivíduos nos dois centros é sempre igual e pode ser medido da 
seguinte forma: 
 
Iij= (Ppi. Ppj)/ dijy 
 
onde: 
Iij = num. de interações esperadas entre os centros i e j; 
Ppi = população do centro i (cidade, bairro, etc.); 
Ppj = população do centro j; 
dij = distância entre os centros i e j; 
y = potência definida para a região estudada. 
 
 
38 
“a força de atração entre dois corpos é diretamente proporcional ao produto das 
massas dos dois corpos e inversamente proporcional ao quadrado das distâncias 
entre eles” 
 
t = k ij 
Pi Aj 
c ij 
R 
= 
 
A sua aplicação em transporte considera a hipótese que o número de viagens 
produzidas pela zona i e atraída pela zona j é proporcional: 
 
 ao número total de viagens produzidas pela zona i ; 
 ao número total de viagens atraídas pela zona j; 
 a uma função de impedância que relacione a separação espacial ou custo de 
viagem entre as zonas de tráfego; 
 
A vantagem deste modelo em relação aos outros é que neste se considera além da 
atração o efeito da separação espacial ou facilidade de iteração entre as regiões 
definida pela função de impedância. 
 
 
 
7.2.1 Expressão Geral 
 
Por analogia a lei de Newton, a equação do modelo gravitacional toma a seguinte 
forma: 
 
(d.5) 
 
onde: 
tij - num. de viagens com origem em i e destino em j; 
k e c - parâmetros a serem calibrados utilizando os dados do ano base; 
Pi - total de viagens produzidas pela zona i; 
Aj - total de viagens atraídas pela zona j; 
Rij - variável de impedância entre as zonas i e j; 
 
Na maioria dos modelos considera-se uma função de fricção (fij) definido como: 
 
 
1 
fij c 
ij 
e nestes casos a expressão (d.5) passa a ser : tij = k. Pi.Aj.fij (d.6) 
 
Uma impedância significa qualquer tipo de oposição ao movimento e pode ser 
definida por uma variável ou por um conjunto de variáveis tais como: 
 
39 
 
 
• distância 
• tempo de viagem 
• custo de transporte 
 
A constante c é definida por calibração do modelo e, não precisa ser 
necessariamente um valor inteiro, em diferentes estudos o valor de c ficou ente 
0,6 e 3,5. 
 
Quando a impedância é definida por um conjunto destas variáveis dá-se o nome de 
custo generalizado ( a ser visto posteriormente). 
 
 
 
7.2.2 - Expressão Simplificada do Modelo 
 
Uma simplificação da expressão geral pode ser feita para que se tenha apenas 
um parâmetro de calibração. Partindo-se da restrição de equilíbrio: 
 
Pi = 
 
 
 tij 
j=1 
(d.7) 
 
e substituindo-se d.6 na expressão geral, tem-se : 
 
 
 
 tij 
j =1 
 
 
= k  Pi   Aj  f ij 
j 
 
 
 Pi = k  Pi   Aj  f ij 
j 
 
 n 
−1 
e consequentemente, obtém-se: k =  Aj fij  (d.8) 
 j  
 
Substituindo o valor de k na expressão geral obtém-se a fórmula clássica do 
modelo: 
 
 
(d.9) 
 
 
O valor numérico da expressão entre colchetes não será alterado se 
multiplicarmos ou dividirmos todos os termos por uma constante. Isto implica que 
 
n 
n n n 
 
 
ij I  n 
= P  
j
 
 A . f 
 
 
ij 
  A j . f ij  
 
 
 
 
 
40 
 
t = P  
 
 
 
 
j ij ij 
ij I  n 
 
  A j . f ij . Kij  
 
 
 
 
o valor da atração pode ser definido como um valor de atratividade relativa entre as 
zonas. 
 
Para incorporar os efeitos das variáveis sócio-econômicas na calibração do 
modelo, introduz-se um fator kij , definido como um fator que incorpora algumas 
modificações de variáveis não considerados pelo modelo tais como as 
modificações de uso do solo, renda e etc. Associando-se este fator à expressão 
do modelo obtém-se : 
 
 
(d.10) 
 
 
 
 
 
A expressão final do modelo (d.9) considera apenas uma restrição que no caso é 
dada pela produção de viagens (Pi). Esta restrição porém pode também ser dada 
em função da atração de viagens (Aj). Neste caso deve-se substituir as variáveis 
e a expressão toma a seguinte forma: 
 
 
 
 
 
t 
ij 
 
 
= Aj  
 
Pi . f ij 
 
 
 n 
 
(d.9a) 
 
 Pi . f  ij  
 i  
 
A expressão (d.9) que utiliza a restrição de produção é mais usual pois considera- 
se que os dados de produção são ma maioria das vezes mais precisos e 
confiáveis. 
 
 
Existem também exemplos de utilização de ambas as restrições, neste caso o 
modelo tem dois valores de balanceamento: 
 
 
ai = n b j = n 
 
 Aj f ij 
j =1 
 Pi f ij 
i =1 
 
1 
1 
 
 
 
 
41 
 
T 
A expressão final do modelo então passa a ser: 
 
tij = ai bj PiAjfij (d.10) 
 
E a calibração deste modelo é feita em função dos fatores de balaceamento: 
 
 
a = 
1 
b = 
1
 
i 
 b A f j  a P f 
j i ij 
j 
i i ij 
i 
 
 
 
Estes fatores, conforme se pode observar, são interdependentes isto significa que 
para o cálculo de um conjunto necessita-se dos valores dos outros. Isto sugere 
um processo iterativo análogo ao de Furness que assume um conjunto de valores 
para o fator de impedância e inicia o processo fazendo todos os bj =1. 
 
 
 
Uma forma de calibração do modelo ( expressão d.9) bastante utilizada é aquela 
que se faz com base nos tempos de viagem entre as zonas de tráfego para se 
definir o fator de fricção referente a estes tempos. 
 
 
Procedimento: 
 
 
1º) agrupa-se as zonas de tráfego segundo um conjunto de intervalos de tempo. 
Para tanto são utilizadas duas matrizes de dados atuais: uma matriz de viagens 
entre zonas de tráfego e uma matriz de tempo de viagem entre zonas. 
2º) arbitra-se um valor inicial para Fk0 = 1,00 
3º) calcula-se a distribuição com base nestes valores; 
4º) Prossegue-se as iterações até que os valores calculados sejam 
aproximadamente iguais aos valores observados. Fazendo-se: 
T 0 
F n = F n−1 k 
k k n 
k 
 
 
 
42 
7.2.3 - Calibração do Modelo (I) 
 
onde : 
k - é o número de intervalos de tempos considerados, tomando-se como 
base o valor zero e o maior tempo de viagem observado; 
Tk0 - total de viagens observadas por intervalo k; 
Tkn - total de viagens calculadas por intervalo k na iteração n-1; 
 
 
 
 
 
Uma outra forma de se calibrar o modelo, considera o fator de fricção como sendo 
a inversa de uma variável de impedância elevada a um expoente que deve ser 
calibrado. Ou seja : 
Fij = Rij
-c
 
 
 
fazendo-se ln Fij = -c ln Rij o parâmetro c representa a inclinação da reta 
relacionando o fator de fricção e a impedância interzonal. 
 
O processo de calibração compreende as seguintes etapas: 
1º) Define-se os intervalos de tempo e a distribuição acumulada das viagens 
nestes intervalos; 
2º) arbitra-se um valor para c = 2,00; 
3º) calcula-se a nova matriz de viagens com base no valor de c e verifica-se a 
distribuição acumulada; se esta forigual a inicial, pare; caso contrário vá para 
4; 
4º) Obter um novo fator de fricção fazendo-se: 
 
 
F*= Fn-1. F(observado)/F(calculado) 
a partir deste valor calcula-se um novo valor de c e volta-se a 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
7.2.4 - Calibração do Modelo (II) 
 
3 e 
 
 
Na maioria das vezes a calibração do modelo gravitacional apresenta distorções 
em relação aos valores da matriz observada, para um melhor ajustamento da matriz 
utiliza-se o fator sócio-econômico (kij). Considera-se que este fator representa 
algumas características socio-economicas da região não captadas pelo fator de 
fricção. O cálculo deste fator é feito a partir dos valores obtidos da matriz final da 
calibração (com os dados atuais) em relação a matriz observada, da seguinte 
forma: 
 
(d.11) 
 
 
onde: 
Rij= razão entre o valor tij observado e o calculado; 
Xi= razão entre tij observado e o total de viagens produzidas por i (Pi); 
 
 
 
Em alguns modelos de transporte a utilização de duas ou mais variáveis pode 
melhor explicar as decisões dos usuários em fazer, ou não, uma viagem, ou 
escolher um ou outro transporte, nestes casos, o custo generalizado é considerado 
como um valor de impedância que inclui todas estas variáveis. Este custo é 
tipicamente definido por uma função linear de atributos de viagem medidos por 
coeficientes que definem a relativa importância dada a esses atributos pelo usuário. 
 
Suponhamos, para exemplificar, que a função custo generalizada seja dada por: 
 
 
CG = w1. C + w2. tv + w .t 
onde: 
c = custo direto de viagem 
tv= tempo gasto dentro do veículo 
te= tempo total de esperas e transferências 
w1,w2,w3 = pesos 
 
44 
7.2.5 - Cálculo do fator Sócio-econômico 
k = R 
1− X i 
ij i ij 
7.2.6 - Custo Generalizado