Resolução lajes nervuradas 2-4 - Corrigido

Prévia do material em texto

ESCOLA DO MAR, CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
Curso de ENGENHARIA CIVIL 
Disciplina ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 2 
 
Conteúdo criado para aulas em Ambiente Digital em caráter excepcional – versão R0 
Professora Flávia Gelatti 
 
Resolução do exercício de lajes nervuradas 
 
A planta de forma está reproduzida abaixo, bem como os dados da estrutura: 
 
 
C 35; 
Cobrimento: 2,5 cm; 
Altura das paredes: 2,8 m; 
Espessura das paredes: 15cm; 
𝛾 𝑐𝑜𝑛𝑐. : 25 𝑘𝑁/𝑚³; 
𝛾 𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 : 13 𝑘𝑁/𝑚³; 
Enchimento: EPS; 
Carga acidental: 2,0 kN/m²; 
Carga de revestimentos: 1,5 kN/m². 
 
 
 
L3 
 
 ESCOLA DO MAR, CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
Curso de ENGENHARIA CIVIL 
Disciplina ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 2 
 
Conteúdo criado para aulas em Ambiente Digital em caráter excepcional – versão R0 
Professora Flávia Gelatti 
 
Cada uma das lajes acima possui dimensões particulares representadas pelos detalhes abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pede-se que analise, dimensione e detalhe as três lajes descritas de acordo com os critérios da 
NBR 6118/2014 e 6120/2019. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 - Detalhe de corte e em 
planta da laje L1 
Figura 2 - Detalhes de corte e em planta da laje L2 e L3 
 
 ESCOLA DO MAR, CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
Curso de ENGENHARIA CIVIL 
Disciplina ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 2 
 
Conteúdo criado para aulas em Ambiente Digital em caráter excepcional – versão R0 
Professora Flávia Gelatti 
 
Parte 2 – Dimensionamento 
 
Antes de iniciar vale reproduzir a grelha de momentos fletores de cálculo: 
 
Figura 3 - Grelha de momentos fletores (valores de cálculo em kN.m/m) 
 
 
 
 
 
 
 
31,22 kN.m/m 
9,27
 kN
.m
/m
 
My=6,60 
kN.m/m 
Mx=17,54 kN.m/m 
M=27,89 kN.m/m 
 
 ESCOLA DO MAR, CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
Curso de ENGENHARIA CIVIL 
Disciplina ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 2 
 
Conteúdo criado para aulas em Ambiente Digital em caráter excepcional – versão R0 
Professora Flávia Gelatti 
1) Momentos fletores positivos 
 
Iniciando pelos momentos positivos, seguem as lajes L1 e L3. 
 
 
o Laje L1 
 
a) Maior momento 
 
Como esta laje é bidirecional, é preciso dimensionar a armadura para os dois 
momentos fletores calculados. Como as duas armaduras serão executadas na 
forma em alturas diferentes é preciso fazer essa diferenciação no momento do 
cálculo. Por isso se inicia pelo dimensionamento do maior momento, com maior 
d (altura útil), para em seguida dimensionar o menor momento que terá menor 
altura útil. 
 
Figura 4 - Representação de uma nervura da laje. Armadura do maior momento fletor (Asx) 
sob a armadura do menor momento fletor (Asy) 
 
Conforme apresentado no esquema acima, o dimensionamento da armadura de 
uma laje nervurada é feito com base na nervura, dado que é sua seção 
transversal que vai suportar os esforços e é região inferior que comportará a 
armadura de tração. 
Portanto, o dimensionamento da nervura da laje deve ser feito com o 
correspondente momento fletor ao qual a nervura deve ser responsável. Isso 
significa que o momento fletor calculado em kN.m/m deve ser ajustado para a 
unidade kN.m/nervura. 
Isso é feito multiplicando o momento fletor pela largura de influência da nervura 
sendo dimensionada. A largura de influência da nervura (bf) é igual a largura da 
nervura (bw) mais metade da distância dela até a próxima nervura (L0 / 2) nas 
suas duas direções: 
Asy 
Asx 
dx 
dy 
 
 ESCOLA DO MAR, CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
Curso de ENGENHARIA CIVIL 
Disciplina ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 2 
 
Conteúdo criado para aulas em Ambiente Digital em caráter excepcional – versão R0 
Professora Flávia Gelatti 
𝑏𝑓 = 𝑏𝑤 +
𝑙0
2
+
𝑙0
2
 
 
 
Figura 5 - Largura de influência da nervura (bf) 
Assim, a sequência de dimensionamento se torna: 
𝑏𝑓𝐿1 = 𝑏𝑤 +
𝑙0
2
+
𝑙0
2
= 9 + 20 + 20 = 49 𝑐𝑚 
 
O momento fletor considerado para cálculo será: 
𝑀𝑑 = 17,54 𝑘𝑁.
𝑚
𝑚
= 17,54 ∗ 0,49 = 8,6 𝑘𝑁.𝑚/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
𝑑𝑥 = ℎ − 𝑐 −
∅
2
 = 20 − 2,5 − 0,5 = 17 𝑐𝑚 
O cálculo da linha neutra é realizado como de praxe, porém agora para o 
momento positivo utiliza-se a largura de influência da nervura: 
𝑥 = 1,25 ∗ 17.
(
 
 
 
 
1−
√
1 −
860
0,425 ∗
3,5
1,4 ∗ 49⏟
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 
𝑏𝑓
∗ 172
)
 
 
 
 
= 0,62 𝑐𝑚 
 
Conforme foi discutido na aula teórica, estamos realizando um 
dimensionamento de seção T. Para que as hipóteses do dimensionamento 
sejam válidas é preciso que seja atendida a condição de Caso 1 na posição da 
linha neutra. 
 
 ESCOLA DO MAR, CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
Curso de ENGENHARIA CIVIL 
Disciplina ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 2 
 
Conteúdo criado para aulas em Ambiente Digital em caráter excepcional – versão R0 
Professora Flávia Gelatti 
 
Figura 6 - Representação da condição do Caso 1: 0,8*x ≤ hf 
 
0,8 ∗ 𝑥 ≤ ℎ𝑓 → 0,8 ∗ 0,62 < 4 𝑐𝑚 ∴ 𝐶𝑎𝑠𝑜 1 
Verificada esta condição, resta garantir que seja armadura simples: 
𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45 ∗ 17𝑐𝑚 = 7,65 𝑐𝑚 ∴ 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 
 
A área de aço é calculada para a nervura, sendo então: 
𝐴𝑠 =
0,68 ∗
3,5
1,4 ∗ 49 ∗ 0,62
43,5
= 1,19 𝑐𝑚2/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
 
Assim como para a laje maciça, é preciso verificar a condição de armadura 
mínima na seção transversal: 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,00164 ∗ (9 ∗ 16 + 49 ∗ 4) = 0,56 𝑐𝑚
2/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
 
Comparando os valores conclui-se que será adotada o As calculado. A NBR 
6118/2014 permite que seja adotado 0,67*As,min. Porém, foi optado por 
atender 100% do As,min calculado. 
Agora é preciso transformar essa área de aço numa quantidade de uma bitola 
comercial. Note que agora não será definido um espaçamento, pois a armadura 
ficará confinada no fundo da nervura. 
Será escolhido duas barras de diâmetro 10,0 mm por nervura: 2 ɸ 10,0 mm por 
nervura. 
 
b) Menor momento 
 
Atende o mesmo procedimento anterior, atentando apenas para o correto valor 
da altura útil da armadura: 
 
 
 ESCOLA DO MAR, CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
Curso de ENGENHARIA CIVIL 
Disciplina ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 2 
 
Conteúdo criado para aulas em Ambiente Digital em caráter excepcional – versão R0 
Professora Flávia Gelatti 
 
𝑀𝑑 = 6,6 𝑘𝑁.
𝑚
𝑚
= 6,6 ∗ 0,49 = 3,23 𝑘𝑁.𝑚/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
Será adotada a mesma bitola que para a armadura principal: 
𝑑𝑦 = ℎ − 𝑐 − ∅ −
∅
2
 = 20 − 2,5 − 1 − 0,5 = 16 𝑐𝑚 
𝑥 = 1,25 ∗ 16.
(
 
 
 
 
1−
√
1 −
323
0,425 ∗
3,5
1,4
∗ 49⏟
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 
𝑏𝑓
∗ 162
)
 
 
 
 
= 0,24 𝑐𝑚 
 
Da mesma forma é preciso verificar a condição do Caso 1: 
0,8 ∗ 𝑥 ≤ ℎ𝑓 → 0,8 ∗ 0,24 < 4 𝑐𝑚 ∴ 𝐶𝑎𝑠𝑜 1 
 
A condição de armadura simples também é verificada: 
𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45 ∗ 17𝑐𝑚 = 7,65 𝑐𝑚 ∴ 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 
 
A área de aço resulta em: 
𝐴𝑠 =
0,68 ∗
3,5
1,4
∗ 49 ∗ 0,24
43,5
= 0,46 𝑐𝑚2/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
Que é inferior ao As,min, sendo este o valor adotado: 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,00164 ∗ (9 ∗ 16 + 49 ∗ 4) = 0,56 𝑐𝑚
2/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
 
Finalmente, será escolhido uma barra de diâmetro 10,0 mm por nervura: 1 ɸ 
10,0 mm por nervura. 
 
 
 
 
 
 
 
 ESCOLA DO MAR, CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
Curso de ENGENHARIA CIVIL 
Disciplina ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 2 
 
Conteúdo criado para aulas em Ambiente Digital em caráter excepcional – versão R0 
Professora Flávia Gelatti 
 
o Laje L3 
 
Como é uma laje unidirecional, há apenas um momento fletor. A sequência 
segue a esplanada anteriormente. 
 
 
𝑀𝑑 = 27,89 𝑘𝑁.
𝑚
𝑚
= 27,89 ∗ 0,49 = 13,67 𝑘𝑁.𝑚/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
 
Como o momento fletor é considerável, a bitola a considerar é 12,5 mm: 
𝑑 = ℎ − 𝑐 −
∅
2
 = 20 − 2,5 − 0,625 = 16,9 𝑐𝑚 
 
𝑥 = 1,25 ∗ 16,9.
(
 
 
 
 
1−
√
1 −
1367
0,425 ∗
3,5
1,4 ∗ 49⏟
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 
𝑏𝑓
∗ 16,92
)
 
 
 
 
= 1,0 𝑐𝑚 
 
Da mesma forma é preciso verificar a condição do Caso 1: 
0,8 ∗ 𝑥 ≤ ℎ𝑓 → 0,8 ∗ 1,0 < 4 𝑐𝑚 ∴ 𝐶𝑎𝑠𝑜 1 
 
A condição de armadura simples também é verificada: 
𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45 ∗ 16,9𝑐𝑚 = 7,6 𝑐𝑚 ∴ 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 
 
A área de aço resulta em: 
𝐴𝑠 =
0,68 ∗
3,5
1,4 ∗ 49 ∗ 1,0
43,5
= 1,91 𝑐𝑚2/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
Sendo que é maior que o As,min. 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,00164 ∗ (9 ∗ 16 + 49 ∗ 4) = 0,56 𝑐𝑚
2/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
 
Finalmente, será escolhido uma barra de diâmetro 16,0 mm por nervura: 1 ɸ 
16,0 mm por nervura. 
 
 
 
 
 ESCOLA DO MAR, CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
Curso de ENGENHARIA CIVIL 
Disciplina ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 2 
 
Conteúdo criado para aulas em Ambiente Digital em caráter excepcional – versão R0 
Professora Flávia Gelatti 
 
 
2) Momentos fletores negativos 
 
Seguem os momentos das lajes L1 e L2. 
 
o Laje L1 
 
Agora o momento fletor negativo a região comprimida está na alma da seção. 
Isso significa que para efeito de hipóteses de cálculo, a seção transversal tem 
APENAS A LARGURA DA NERVURA. Portanto, a largura bw no dimensionamento 
será a largura da nervura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento fletor considerado para cálculo será: 
𝑀𝑑 = 31,22 𝑘𝑁.
𝑚
𝑚
= 31,22 ∗ 0,49 = 15,3 𝑘𝑁.𝑚/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
Cabe notar que o momento utilizado é a parcela resistida pela nervura, que 
continua tendo a mesma largura de influência. Apenas o bw no 
dimensionamento é alterado. 
𝑑 = ℎ − 𝑐 −
∅
2
 = 20 − 2,5 − 0,625 = 16,9 𝑐𝑚 
𝑥 = 1,25 ∗ 16,9.
(
 
 
 
 
1−
√
1−
1530
0,425 ∗
3,5
1,4 ∗ 9⏟
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 
 𝑑𝑎 𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎
∗ 16,92
)
 
 
 
 
= 7,11 𝑐𝑚 
 
 
 
Figura 7 - Região comprimida no momento 
negativo 
 
 ESCOLA DO MAR, CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
Curso de ENGENHARIA CIVIL 
Disciplina ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 2 
 
Conteúdo criado para aulas em Ambiente Digital em caráter excepcional – versão R0 
Professora Flávia Gelatti 
A condição de armadura simples é verificada: 
𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45 ∗ 16,9𝑐𝑚 = 7,6 𝑐𝑚 ∴ 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 
 
A área de aço resulta em: 
𝐴𝑠 =
0,68 ∗
3,5
1,4
∗ 9 ∗ 7,11
43,5
= 2,5 𝑐𝑚2/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
Sendo que é maior que o As,min. 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,56 𝑐𝑚
2/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
 
A transformação em uma linguagem de execução é distinta dos momentos 
positivos. Agora a armadura será disposta na capa da laje, e portanto será locada 
sobre a viga que separa as laje, ao longo de todo seu comprimento. 
Isso implica que será escolhida uma bitola comercial e será definido o 
espaçamento com que a armadura será disposta – igual ao procedimento 
realizado para lajes maciças. 
 
 
Figura 8 - Armadura negativa, visão lateral 
 
 
Figura 9 - Armadura negativa, visão em seção transversal 
 
É preciso fazer a correção da área de aço por nervura, para área de aço por 
METRO LINEAR, o que permite fazer definição de uma bitola comercial e seu 
respectivo espaçamento: 
 
 
 ESCOLA DO MAR, CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
Curso de ENGENHARIA CIVIL 
Disciplina ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 2 
 
Conteúdo criado para aulas em Ambiente Digital em caráter excepcional – versão R0 
Professora Flávia Gelatti 
49 𝑐𝑚 → 2,5 𝑐𝑚2 
100 𝑐𝑚 → 𝑥 𝑐𝑚2 
∴ 5,10 𝑐𝑚2/𝑚 
 
 
Para diâmetro de 8,0 mm: 
𝑆8,0 𝑚𝑚 =
100 ∗ 0,5
5,1
= 9,8 𝑐𝑚 
 
Sendo adotado então 9 cm. Esse espaçamento atende ao limite da NBR 6118 
conforme: 
 
𝑆𝑚á𝑥 ≤
20 𝑐𝑚
40 𝑐𝑚
 
 
A armadura negativa entre as lajes L1 e L3 será ɸ 8,0 mm a cada 9 cm. 
 
o Laje L2 
 
O momento fletor considerado para cálculo será: 
𝑀𝑑 = 9,27 𝑘𝑁.
𝑚
𝑚
= 9,27 ∗ 0,49 = 4,54 𝑘𝑁.𝑚/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
𝑑 = ℎ − 𝑐 −
∅
2
 = 16 − 2,5 − 0,5 = 13 𝑐𝑚 
𝑥 = 1,25 ∗ 13.
(
 
 
 
 
1−
√
1−
454
0,425 ∗
3,5
1,4 ∗ 9⏟
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 
 𝑑𝑎 𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎
∗ 132
)
 
 
 
 
= 3,02 𝑐𝑚 
 
A condição de armadura simples é verificada: 
𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45 ∗ 13 = 5,85 𝑐𝑚 ∴ 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 
 
A área de aço resulta em: 
𝐴𝑠 =
0,68 ∗
3,5
1,4 ∗ 9 ∗ 3,02
43,5
= 1,06 𝑐𝑚2/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
 
 ESCOLA DO MAR, CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
Curso de ENGENHARIA CIVIL 
Disciplina ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 2 
 
Conteúdo criado para aulas em Ambiente Digital em caráter excepcional – versão R0 
Professora Flávia Gelatti 
Sendo que é maior que o As,min. 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,56 𝑐𝑚
2/𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎 
Repetindo o procedimento de correção da área de aço para metro: 
49 𝑐𝑚 → 1,06 𝑐𝑚2 
100 𝑐𝑚 → 𝑥 𝑐𝑚2 
∴ 2,16 𝑐𝑚2/𝑚 
 
Para diâmetro de 8,0 mm: 
𝑆8,0 𝑚𝑚 =
100 ∗ 0,5
2,16
= 23,2 𝑐𝑚 
 
Esse espaçamento deve ser reduzido para atender o limite da NBR 6118 
conforme: 
 
𝑆𝑚á𝑥 ≤
20 𝑐𝑚
40 𝑐𝑚
 
 
A armadura negativa entre as lajes L1 e L2 será ɸ 8,0 mm a cada 20 cm.