AD1_GAI_2021_1_GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Anaĺıtica I
1a Avaliação a Distância
1o Semestre de 2021
Código da disciplina: Matemática, Engenharia de Produção e Engenharia Mete-
reológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Questão 1 [3,5 pontos] Dados os pontos A = (−1, 1), Q = (3,−3) e B = (n + 6, n), considere
o triângulo ABC onde o ponto Q pertence ao lado AC para responder as seguintes questões:
(a) [2,0 pontos] Encontre as coordenadas B e C sabendo que o ponto Q é equidistante de todos
os vértices do triângulo e o vértice C se encontra no quarto quadrante. A solução é única?
(b) [1,5 ponto] Indique qual é o vértice do triângulo mais próximo do centro do ćırculo de equação
x2 + y2 − 4x+ 12y + 39 = 0.
Resolução
(a) Dado que o ponto Q é equidistante dos vértices do triângulo ABC, temos que:
d(A,Q) = d(B,Q)√
(3 + 1)2 + (−3− 1)2 =
√
(n+ 6− 3)2 + (n+ 3)2
√
32 =
√
2(n+ 3)2
16 = (n+ 3)2
=⇒ 4 = n+ 3 ou − 4 = n+ 3
=⇒ 1 = n ou − 7 = n
Assim temos duas soluções para as coordenadas do vértice B=(7,1) e B = (−1,−7).
Como o vértice C se encontra no quarto quadrante, então deve se encontrar na reta que contém
os pontos A e Q e além disso, o ponto Q deve ser o ponto médio entre A e C, assim podemos
supor que se C = (c1, c2) temos que
(3,−3) = (c1 + (−1)2 ,
c2 + 1
2 )
=⇒ 3 = c1 − 12 e − 3 =
c2 + 1
2
=⇒ 7 = c1 e − 7 = c2.
Assim C = (7,−7).
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(b) Primeiramente completando quadrados na equação do ćırculo podemos determinar o centro é
P = (2,−6), pois
x2 + y2 − 4x+ 12y + 39 = 0
(x− 2)2 + (y + 6)2 = 1
Para o primeiro caso quando o triângulo possui vértice B = (7, 1), temos
d(A,P ) =
√
(2− (−1))2 + (−6− 1) =
√
58
d(B,P ) =
√
(2− 7)2 + (−6− 1) =
√
74
d(C,P ) =
√
(2− 7)2 + (−6− (−7)) =
√
26
O vértice mais próximo é o vértice C.
Para o segundo caso quando o triângulo possui vértice B = (−1,−7), temos
d(A,P ) =
√
(2− (−1))2 + (−6− 1) =
√
58
d(B,P ) =
√
(2− (−1))2 + (−6− (−7)) =
√
10
d(C,P ) =
√
(2− 7)2 + (−6− (−7)) =
√
26
O vértice mais próximo é o vértice B.
Questão 2 [3,0 pontos] Considere o hexágono regular ABCDEF de centro O. Sem utilizar
coordenadas, calcule
−→
AB +−→AC +−−→AD +−→AE +−→AF em função de −→AO.
Figura 1: Hexágono Regular ABCDEF .
Resolução: Note que
−→
AB +−→AE = −−→AD = 2−→AO,
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−→
AC +−→AF = −−→AD = 2−→AO,
−−→
AD = 2−→AO.
Logo,
−→
AB +−→AC +−−→AD +−→AE +−→AF = 6−→AO.
Questão 3 [3,5 pontos] Uma parede inclinada, apoiada no solo em um ponto C, é determinada pela
diagonal CD de um retângulo, cujos lados medem 1 metro e
√
5 metros, e uma rampa é delimitada
pelos pontos A e B de tal modo que A é o ponto de contato da rampa com o solo e B, o ponto
de contato da rampa com a parede, é o ponto médio da diagonal CD, como ilustrado no diagrama
abaixo.
Tome um sistema de eixos coordenados com origem no ponto C e considere que os vetores
−→
AB e−−→
CD são perpendiculares.
(a) [2,5 pontos] Determine as coordenadas do ponto A neste sistema de eixos coordenados.
(b) [1,0 ponto] Determine o ângulo entre os vetores
−−→
CD e
−→
CA.
Resolução:
(a) Consideremos que C = (0, 0).
Assim, D = (−1,
√
5).
Logo,
−−→
CD = (−1,
√
5).
Como B é o ponto médio da diagonal CD, temos que:
B =
(
−1 + 0
2 ,
√
5 + 0
2
)
=
(
−1
2 ,
√
5
2
)
.
Como devemos representar por A um ponto que estava no solo, como também ocorre para C,
consideremos que A = (a, 0), para algum número real a.
Assim,
−→
AB =
(
−1
2 − a,
√
5
2
)
.
Dado que
−→
AB e
−−→
CD são perpendiculares, temos que 〈
−→
AB,
−−→
CD〉 = 0.
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Logo, 〈
(
−1
2 − a,
√
5
2
)
, (−1,
√
5)〉 = 0.
Então,
1
2 + a+
√
5
2 ×
√
5 = 0.
Portanto, a = −1− 52 = −3.
Dáı, A = (−3, 0).
(b) Seja θ o ângulo entre os vetores
−−→
CD e
−→
CA.
Temos que
−→
CA = (−3, 0).
Logo,
||
−→
CA|| =
√
(−3)2 + 02 = 3.
||
−−→
CD|| =
√
(−1)2 + (
√
5)2 =
√
6.
Além disto, 〈
−−→
CD,
−→
CA〉 = 〈(−1,
√
5), (−3, 0)〉 = 3.
Logo,
cos θ = 〈
−−→
CD,
−→
CA〉
||
−−→
CD|| × ||
−→
CA||
= 3√
6× 3
=
√
6
6 .
Então, θ = arccos(
√
6
6 ).
• Poderia ter sido escolhido tomar o eixo OY na direção do vetor
−→
CA, em vez de
fazer isso para o eixo OX. As coordenadas seriam diferentes, mas a resolução seria
análoga e também correta.
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Observação: A saber arccos(
√
6
6 ) é aproximadamente 66 graus. Costuma-se dizer, em alguns
meios que lidam com trabalhos em altura e escalada, que esta parede tem inclinação negativa,
o que naturalmente é uma questão de referência, mas importante, pois uma tentativa de es-
calá-la ou descer por ela de rapel pode fazer o corpo pendular. O interessante é que, por uma
ilusão de ótica, para quem estiver na rampa, ela pareceria uma parede vertical.
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