SE 2019 - Aula 32 - Geometria Analítica I

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Curso Sala de Ensino 
Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
Telefone: 3587-8376 
 
 
 
 1 
 
 
 
Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
Profº. Carlos Henrique(Bochecha) – Aula 32 – Geometria Analítica I 
 
1. (Upf 2018) Na figura abaixo, está representado um triângulo retângulo em 
que os vértices A e B pertencem ao gráfico da função f, definida por 
xf(x) 2 2.−= − 
 
 
 
Como indica a figura, a abscissa do ponto B é 1, a ordenada do ponto A é 
2 e os pontos A e C tem a mesma abscissa. A medida da área do 
triângulo ABC é 
a) 
21
2
 b) 
3
2
 c) 6 d) 12 e) 
21
4
 
 
2. (Eear 2017) Seja ABC um triângulo tal que A(1,1), B(3, 1)− e 
C(5, 3). O ponto _____ é o baricentro desse triângulo. 
a) (2,1). b) (3, 3). c) (1, 3). d) (3,1). 
 
3. (Enem (Libras) 2017) Foi utilizado o plano cartesiano para a representação 
de um pavimento de lojas. A loja A está localizada no ponto A(1; 2). No 
ponto médio entre a loja A e a loja B está o sanitário S, localizado no ponto 
S(5;10). 
 
Determine as coordenadas do ponto de localização da loja B. 
a) ( 3; 6)− − b) ( 6; 3)− − c) (3; 6) d) (9;18) e) (18; 9) 
 
4. (Eear 2017) O triângulo ABC formado pelos pontos A (7, 3), 
B ( 4, 3)− e C ( 4, 2)− − é 
a) escaleno 
b) isósceles 
c) equiângulo 
d) obtusângulo 
 
5. (Pucrj 2017) Assinale o valor da área do quadrado de vértices ( 2, 9),− 
(4, 6), (1, 0) e ( 5, 3).− 
a) 20 b) 25 c) 45 d) 45 e) 60 
e) 60 
e) 60 
e) 60 
e) 60 
e) 60 
 
6. (Upf 2017) Na figura a seguir, está representado, num referencial xy, um 
triângulo AOB. 
 
Sabe-se que: 
 
1. a semirreta AO é a bissetriz do 2º quadrante; 
2. a semirreta OB é a bissetriz do 1º quadrante; 
3. a ordenada do ponto B excede em 3 unidades a ordenada do ponto A; 
4. a área do triângulo AOB é igual a 10. 
 
As coordenadas dos pontos A e B são: 
a) 
1 1
A ,
2 2
 
− 
 
 e 
7 7
B ,
2 2
 
 
 
 
b) A( 1,1)− e B(4, 4) 
c) A( 2, 2)− e B(5, 5) 
d) A( 3, 3)− e B(6, 6) 
e) A( 4, 4)− e B(7, 7) 
 
7. (Uece 2016) O volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos 
X, da região do plano limitada pelo triângulo com vértices nos pontos 
(6,0), (8,0) e (8,9) é igual a 
u.v. unidade de volume 
a) 81 u.v. b) 72 u.v. c) 64 u.v. d) 54 u.v. 
 
 
8. (Pucrj 2016) Sejam os pontos A (0, 0)= e B (3, 4).= 
 
a) Qual é a distância entre A e B? 
 
b) Sabemos que a área do triângulo ABC é igual a 4 e que o vértice C 
pertence à reta de equação x y 2.+ = Determine o ponto C. 
 
 
9. (Enem PPL 2016) Observou-se que todas as formigas de um formigueiro 
trabalham de maneira ordeira e organizada. Foi feito um experimento com 
duas formigas e os resultados obtidos foram esboçados em um plano 
cartesiano no qual os eixos estão graduados em quilômetros. As duas 
formigas partiram juntas do ponto O, origem do plano cartesiana xOy. 
Uma delas caminhou horizontalmente para o lado direito, a uma velocidade de 
4 km h. A outra caminhou verticalmente para cima, à velocidade de 
3 km h. 
Após 2 horas de movimento, quais as coordenadas cartesianas das posições 
de cada formiga? 
a) (8; 0) e (0; 6). b) (4; 0) e (0; 6). c) (4; 0) e (0; 3). 
d) (0; 8) e (6; 0). e) (0; 4) e (3; 0). 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
10. (Eear 2016) O triângulo determinado pelos pontos A( 1, 3),− − 
B(2,1) e C(4, 3) tem área igual a 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 
 
 
11. (Enem 2016) Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea 
que receberá uma rede de canos para o transporte de água de uma fonte 
(F) até o reservatório de um novo bairro (B). 
Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto de 
construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria outros bairros 
ou uma semicircunferência que contornaria esses bairros, conforme ilustrado 
no sistema de coordenadas xOy da figura, em que a unidade de medida 
nos eixos é o quilômetro. 
 
 
 
Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a 
construção de 1m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto 
que 1m de construção de galeria via semicircunferência demora 0,6 h. Há 
urgência em disponibilizar água para esse bairro. 
 
Use 3 como aproximação para π e 1,4 como aproximação para 2. 
 
O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, 
para atender às necessidades de água do bairro, é de 
a) 1.260. b) 2.520. c) 2.800. d) 3.600. e) 4.000. 
 
 
12. (Fgv 2016) O comprimento do segmento determinado pelos pontos de 
intersecção das parábolas de equações 
2y x 8x 3= − + e 
2y 4x 2x 3= − + + é: 
a) 2 37 b) 3 41 c) 
7
43
2
 d) 
5
39
2
 e) 4 45 
 
13. (Enem 2015) Devido ao aumento do fluxo de passageiros, uma empresa 
de transporte coletivo urbano está fazendo estudos para a implantação de um 
novo ponto de parada em uma determinada rota. A figura mostra o percurso, 
indicado pelas setas, realizado por um ônibus nessa rota e a localização de 
dois de seus atuais pontos de parada, representados por P e Q. 
 
Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser instalado, nesse 
percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as distâncias 
percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q 
sejam iguais. 
 
De acordo com os dados, as coordenadas do novo ponto de parada são 
a) (290; 20). b) (410; 0). c) (410; 20). d) (440; 0). e) (440; 20). 
 
 
14. (Pucmg 2015) Quando representados no sistema de coordenadas xOy, 
o ponto B é o simétrico do ponto A( 3,2)− em relação à origem O; por 
sua vez, o ponto C é o simétrico de B em relação ao eixo x. Com base 
nessas informações, é CORRETO afirmar que a medida da área do triângulo 
ABC é igual a: 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 
 
15. (G1 - ifsul 2015) Sejam as funções reais de variável real: f(x) x 1= + e 
2g(x) x 4.= + 
 
É correto afirmar, em relação aos seus gráficos, que 
a) não possuem pontos em comum. 
b) possuem apenas um ponto em comum. 
c) possuem dois pontos em comum. 
d) possuem todos os pontos em comum. 
 
 
16. (Ufu 2015) Em relação a um sistema de coordenadas x0y (x e y em 
metros), o triângulo PQR tem ângulo reto no vértice R (3, 5),= base 
PQ paralela ao eixo x e está inscrito no círculo de centro C(1,1). A área 
desse triângulo, em metros quadrados, é igual a 
a) 40. b) 8 20. c) 4 20. d) 80. 
 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Utilize as informações a seguir para a(s) questão(ões) abaixo. 
 
O Sr. Antônio resolveu construir um poço em seu sítio. Ele passou ao 
engenheiro o esquema abaixo, indicando a posição da piscina e do vestiário 
em relação à localização da casa. 
 
 
 
 
17. (Insper 2015) O Sr. Antônio disse ao engenheiro que queria o poço numa 
localização que estivesse à mesma distância da casa, da piscina e do 
vestiário. Para atendê-lo o engenheiro deve construir o poço na posição, em 
relação à casa, dada por, aproximadamente, 
a) 4,2 m para o leste e 13,8 m para o norte. 
b) 3,8 m para o oeste e 13,1m para o norte. 
c) 3,8 m para o leste e 13,1m para o norte. 
d) 3,4 m para o oeste e 12,5 m para o norte. 
e) 3,4 m para o leste e 12,5 m para o norte. 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
18. (Uea 2014) Num plano cartesiano, sabe-se que os pontos A, B (1, 2) e 
C (2, 3) pertencem a uma mesma reta, e que o ponto A está sobre o eixo Oy. 
O valor da ordenada de A é 
a) 0. 
b) 3. 
c) – 1. 
d) 2. 
e) 1. 
 
19. (G1 - ifsp 2014) Um triângulo é desenhado marcando-se os pontosA(3;5), 
B(2;– 6) e C(–4;1) no Plano Cartesiano. O triângulo A’B’C’ é o simétrico do 
triângulo ABC em relação ao eixo y. Um dos vértices do triângulo A’B’C’ é 
a) ( 3 ; 5 ). 
b) ( –2 ; 6 ). 
c) (– 2 ; – 1 ). 
d) ( – 4 ; 5 ). 
e) ( 4 ; 1 ). 
 
20. (Enem PPL 2014) Um construtor pretende murar um terreno e, para isso, 
precisa calcular o seu perímetro. O terreno está representado no plano 
cartesiano, conforme a figura, no qual foi usada a escala 1: 500. Use 2,8 
como aproximação para 8. 
 
De acordo com essas informações, o perímetro do terreno, em metros, é 
a) 110. b) 120. c) 124. d) 130. e) 144. 
 
 
21. (Pucrj 2013) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices 
de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 2 
e) 3 
 
 
22. (Fgv 2012) No plano cartesiano, M(3, 3), N(7, 3) e P(4, 0) são os pontos 
médios respectivamente dos lados AB , BC , e AC de um triângulo ABC. 
A abscissa do vértice C é: 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 0 
 
 
23. (Unioeste 2012) Dado o ponto A(–2, 4), determine as coordenadas de 
dois pontos P e Q, situados, respectivamente, sobre as retas y 3x= e 
y –x,= de tal modo que A seja o ponto médio do segmento PQ. 
a) P(1,3) e Q(–5,5). 
b) P(2,6) e Q(4,–4). 
c) P(0,0) e Q(–5,5). 
d) P(1,3) e Q(4,–4). 
e) P(2,6) e Q(0,0). 
 
 
24. (Fgv 2012) Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices 
consecutivos são, respectivamente, (1, 4), (–2, 6) e (0, 8). A soma das 
coordenadas do quarto vértice é: 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
 
25. (Enem 2011) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região 
plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo 
tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-
se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em 
quilômetros. 
 
 
 
A reta de equação y x 4= + representa o planejamento do percurso da 
linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da 
cidade. No ponto P ( 5,5)= − , localiza-se um hospital público. A 
comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma 
estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha 
reta, não fosse maior que 5 km. 
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que 
isso seja automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de 
uma estação no ponto 
a) ( 5,0)− . 
b) ( 3,1)− . 
c) ( 2,1)− . 
d) (0,4) . 
e) (2,6) . 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão 
identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o 
quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para 
a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. 
Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da 
catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não 
mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da 
câmara de vereadores. 
 
 
 
 
26. (Unicamp 2011) Sabendo que a distância real entre a catedral e a 
prefeitura é de 500 m, podemos concluir que a distância real, em linha reta, 
entre a catedral e a câmara de vereadores é de 
a) 1500 m. b) 500 5 m. c) 1000 2 m. d) 500 + 500 2 m. 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
27. (Enem 2010) A figura a seguir é a representação de uma região por meio 
de curvas de nível, que são curvas fechadas representando a altitude da 
região, com relação ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em 
graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo 
vertical. A escala em tons de cinza desenhada à direita está associada à 
altitude da região. 
 
 
 
Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a 
partir do ponto X (20; 60).= O helicóptero segue o percurso: 
 
0,8 L 0,5 N 0,2 O 0,1 S 0,4 N 0,3 L →  →  →  →  →  
 
De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cuja altitude 
é 
a) menor ou igual a 200 m. 
b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. 
c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. 
d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. 
e) maior que 800 m. 
 
28. (Uff 2010) 
 
 
A palavra “perímetro” vem da combinação de dois elementos gregos: o 
primeiro, perí, significa “em torno de”, e o segundo, metron, significa “medida”. 
O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordenadas (−1, 0), (9, 0), (8, 5) e 
(1, 5) 
a) 10 + 29 26+ b) 16 + 29 26+ c) 22 + 26 
d) 17 + 2 26 e) 17 + 29 26+ 
 
29. (Ibmecrj) Considere o triângulo ABC, onde A (2, 3), B (10, 9) e C (10, 3) 
representam as coordenadas dos seus vértices no plano cartesiano. Se M é o 
ponto médio do lado AB, então, a medida de MC vale: 
a) 2 3 b) 3 c) 5 d) 3 2 e) 6 
 
30. (Uerj) As trajetórias A e B de duas partículas lançadas em um plano 
vertical xoy estão representadas a seguir. 
 
Suas equações são, respectivamente, y = 21 x
2
 
− 
 
+ 3x e y = 21 x
2
 
− 
 
+ x, 
nas quais x e y estão em uma mesma unidade u. Essas partículas atingem, 
em um mesmo instante t, o ponto mais alto de suas trajetórias. 
A distância entre as partículas, nesse instante t, na mesma unidade u, 
equivale a: 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 20 
 
31. (Pucrj) Os pontos (0,8), (3,1) e (1,y) do plano são colineares. O valor de y 
é igual a: 
a) 5 b) 6 c) 17/3 d) 11/2 e) 5,3 
 
32. (Ufrj) Sejam A (1, 0) e B (5, 4 3 ) dois vértices de um triângulo 
equilátero ABC. O vértice C está no 2° quadrante. 
Determine suas coordenadas. 
 
33. (Ufrj) Sejam M1 = (1, 2), M2 = (3, 4) e M3 = (1,-1) os pontos médios dos 
lados de um triângulo. 
Determine as coordenadas dos vértices desse triângulo. 
 
34. (Fuvest) Sejam A = (1, 2) e B = (3, 2) dois pontos do plano cartesiano. 
Nesse plano, o segmento AC é obtido do segmento AB por uma rotação de 
60°, no sentido anti-horário, em torno do ponto A. 
As coordenadas do ponto C são: 
a) (2, 2 + 3 ). 
b) 
5
1 3,
2
+ 
c) (2, 1 + 3 ). 
d) (2, 2 - 3 ). 
e) (1 + 3 , 2 + 3 ). 
 
35. (Ufrgs 2013) Considere os gráficos das funções f e g, definidas por 
( ) 2f x x x 2= + − e ( )g x 6 x,= − representadas no mesmo sistema 
de coordenadas cartesianas, e os pontos A e B, interseção dos gráficos das 
funções f e g, como na figura abaixo. 
 
A distância entre os pontos A e B é 
a) 2 2. b) 3 2. c) 4 2. d) 5 2. e) 6 2. 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 1: [E] 2: [D] 3: [D] 4: [A] 5: [D] 6: [C] 7: [D] 
 
8: a) =d 5 ( ) ( )− 162b) C 2,0 ou C ,7 7 9: [A] 10: [A] 11: [B] 12: [A] 
 
13: [E] 14: [D] 15: [A] 16: [C] 17: [C] 18: [E] 19: [E] 20: [C] 21: [B] 22: [C] 
 
23: [A] 24: [B] 25: [B] 26: [B] 27: [A] 28: [E] 29: [C] 30: [D] 31: [C] 
 
32: C = (-3, 4 3 ) 33: (x1, y1) = (-1, -3), (x2, y2) = (3, 7) e (x3, y3) = (3, 1) 
 
34: [A] 35: [E] 
 
 
 
 
 5 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [E] 
 
Do enunciado e do gráfico, temos: 
( ) ( )A BA x , 2 , B 1, y e ( )A BC x , y . 
 
Como ( )AA x , 2 é um ponto da função ( )
−= −xf x 2 2, 
−
−
−
= −
=
=
= −
A
A
A
x
x
x2
A
2 2 2
4 2
2 2
x 2
 
 
Como ( )BB 1, y é um ponto da função ( )
−= −xf x 2 2, 
−= −
= −
1
B
B
y 2 2
3
y
2
 
Assim, os pontos ( )
3
A 2, 2 , B 1,
2
 
− − 
 
 e 
3
C 2, ,
2
 
− − 
 
 formam o 
triângulo ABC, retângulo no vértice C. 
A área do triângulo ABC é dada por: 
( )
 
= +  +  
 
=
ABC
ABC
3 1
S 1 2 2
2 2
21
S
4
 
 
Resposta da questão 2: [D] 
 
Sabendo que as coordenadas do baricentro correspondem à média aritmética 
simples das coordenadas dos vértices do triângulo, vem 
 
1 3 5 1 1 3
, (3,1).
3 3
+ + − + 
= 
 
 
 
Resposta da questão 3: [D] 
 
Tem-se que 
 
BB B
B
x 91 x 2 y, (5,10)
y 182 2
=+ + 
=    
=  
 
 
Portanto, podemos concluir que B (9,18).= 
 
Resposta da questão 4: [A] 
 
Calculando os quadrados das medidas dos lados do triângulo ABC, 
encontramos 
 
2 2 2d (A, B) ( 4 7) (3 3) 121,= − − + − = 
 
2 2 2d (A, C) ( 4 7) ( 2 3) 146= − − + − − = 
e 
2 2 2d (B, C) ( 4 4) ( 2 3) 25= − + + − − = 
 
Portanto, sendo 
 
2 2 2d (A, C) d (A, B) d (B, C),= + 
 
podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo escaleno. 
 
 
 
Resposta da questão 5: [D] 
 
Do enunciado, temos: 
 
 
 
Assim, a área do quadrado acima é dada por: 
( ) ( )
2
ABCD C,D
2 2
ABCD
ABCD
ABCD
A d
A 4 1 6 0
A 9 36
A 45
=
= − + −
= +
=
 
 
Resposta da questão 6: [C] 
 
Calculando: 
 
 
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
x 2 x 3 2
S 10 x 2 x 2 3 2 20 2x 6x 20 0
2
x ' 5 (não convém)
2x 6x 20 0 x 3x 10 0
x '' 2
A x, x 2, 2
B (x 3), (x 3) 5, 5
 + 
= =   + =  + − =
= −
+ − =  + − = 
=
= − = −
= + + =
 
 
Resposta da questão 7: [D] 
 
Conforme dados do enunciado, o sólido gerado será um cone com base de 
raio R igual a distância das coordenadas y dos pontos (8, 0) e (8, 9) – 
R portanto será igual a 9 – e altura igual a distância das coordenadas x 
entre os pontos (6, 0) e (8, 0) – a altura portanto será igual a 2. Assim, o 
volume do cone gerado será: 
2 2
cone cone
1 1
V R h 9 2 V 54
3 3
π π π=    =    → = 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
Resposta da questão 8: 
 a) Calculando: 
2 2d (3 0) (4 0) 25 d 5= − + − = → =
 
 
b) Calculando: 
( )
( ) ( )
C x, 2 x
D
A 4
2
6 3x 4x 8 x 23 4
A 8
26 3x 4x 8 xx 2 x
7
162C 2,0 ou C ,
7 7
−
= =
− − = → =
= = → 
− − = − → = −− 
−
 
 
Resposta da questão 9: [A] 
 
Após 2 horas, a formiga que caminhou horizontalmente para o lado direito 
caminhou 8 km (velocidade de 4 km h). Assim sua coordenada será 
(8; 0). 
Após 2 horas, a formiga que caminhou verticalmente para cima caminhou 6 
km (velocidade de 3 km h). Assim sua coordenada será (0; 6). 
 
Resposta da questão 10: [A] 
 
Utilizando a regra de Sarrus para o cálculo do determinante, temos: 
1 3 1 1 3
D 2 1 1 2 1
4 3 1 4 3
D 1 12 6 4 3 6 2 D 2
− − − −
=
= − − + − + + = −  = −
 
 
Logo, a área do triângulo será dada por: 
1
A | 2 | 1
2
=  − = 
 
Resposta da questão 11: [B] 
 
O raio da circunferência que passa pelos pontos B e F, com centro em O, 
é dado por 
2 21 ( 1) 2 km 1.400 m.+ − =  
 
Em consequência, o tempo via segmento de reta é igual a 
2 1.400 1 2.800 h,  = e o tempo via semicircunferência é 
1.400 0,6 2.520 h.π    
 
A resposta é, portanto, 2.520 horas. 
 
Resposta da questão 12: [A] 
 
Calculando: 
( ) ( )
2 2 2
2 2
x 0 y 3
4x 2x 3 x 8x 3 5x 10x 0 ou
x 2 y 9
d 0 2 3 ( 9) 148 2 37
=  =
− + + = − +  − = 
=  = −
= − + − − = =
 
 
Resposta da questão 13: [E] 
 
A distância entre os pontos P e Q no percurso indicado é igual a 
 
(550 30) (320 20) 820.− + − = 
Logo, a distância entre T e os pontos P e Q deverá ser de 
820
410.
2
= 
Portanto, como 30 410 440 550,+ =  segue-se que 
T (440, 20).= 
 
Resposta da questão 14: [D] 
 
Representando os pontos A, B e C num sistema cartesiano, temos: 
 
Podemos escrever que a área S do triângulo ABC será dada por: 
6 4
S 12
2

= = 
 
Resposta da questão 15: [A] 
 
Analisando as duas funções dadas, percebe-se que f(x) é uma reta (função 
do primeiro grau) e g(x) é uma parábola (função do segundo grau). Pode-se 
verificar se estas possuem pontos em comum igualando as funções: 
2 2
2
x 4 x 1 x x 3 0
( 1) 4 1 3
11
+ = + → − + =
 = − −  
 = −
 
 
Como 0  as funções não possuirão pontos reais em comum (apenas 
raízes imaginárias). 
 
Outra maneira de chegar a mesma conclusão seria desenhar seus gráficos: 
1
2
f(x) 0 x 1 x 1 P ( 1, 0)
f(x) 1 x 1 x 0 P (0 ,1)
→ = + → = − → −
→ = + → = →
 
2 2 2
v v vértice
g(x) 0 x 4 x 4 ou 0 4 1 4 16
0 16
x 0 ; y 4 P (0 , 4)
2 4
→ = + → = −  = −   →  = −
−
= − = = − = →
 
 
Como em g(x) tem-se 2x 4,= − esta função não possui raízes reais 
( 0).  Ainda assim, com as coordenadas do vértice e sabendo que 
a 0, pode-se esboçar a parábola, que teria concavidade para cima e 
vérticeP (0, 4). Assim, pelo gráfico pode-se deduzir que as duas funções 
não possuirão pontos reais em comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
 
 
 
Resposta da questão 16: [C] 
 
 
 
2 2PM MQ MR (3 1) (5 1) 20 (raios)
PQ 2 20
= = = − + − =
= 
 
 
Portanto, a área do triângulo PRQ será dada por: 
2 20 4
A 4 20
2

= = 
 
Resposta da questão 17: [C] 
 
Sejam C(0, 0), V( 8, 20),− P(12, 24) e A(x, y), respectivamente, 
os pontos que indicam as posições da casa, do vestiário, do poço e da 
piscina. Tem-se que 
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
d(A, C) d(A, V) d(A, P) x y (x 8) (y 20) (x 12) (y 24)
x y (x 8) (y 20)
(x 8) (y 20) (x 12) (y 24)
2x 5y 58
5x y 32
x 3,8 m
y 13,1m
= =  + = + + − = − + −
+ = + + −

+ + − = − + −
− = −

+ =



 
 
Portanto, a piscina deverá ser construída, em relação à casa, na posição dada 
por, aproximadamente, 3,8 metros para leste e 13,1 metros para o norte. 
 
Resposta da questão 18: [E] 
 
O ponto A é da forma (0, k), como os pontos A, B e C estão alinhados, 
temos: 
0 k 1
1 2 1 0 2k 3 4 k 0 k 1
2 3 1
=  + − − =  = 
 
Resposta da questão 19: [E] 
 
Considerando que o simétrico de um ponto P( x,y) em relação ao eixo y é 
P’(–x,y), temos: 
A(3,5), então A’=(–3,5) 
B(2,–6), então B’(–2,–6) 
C(–4,1), então C’(4,1) 
 
Logo, a alternativa [E] é a correta. 
 
Resposta da questão 20: [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
Dada a escala de 1: 500 e sendo as coordenadas em centímetros, 
podemos concluir que cada centímetro na figura corresponde a 5 metros. 
Assim, queremos calcular o valor de 
 
5 (d(A, B) d(B, C) d(C, D) d(D, E) d(E, A)). + + + + 
 
É fácil ver que d(A, B) 6cm,= d(C, D) 3cm,= d(D, E) 8cm= e 
d(E, A) 5cm.= Além disso, temos 
 
2 2d(B, C) (9 7) (4 6) 8 2,8cm.= − + − =  
 
Portanto, o resultado é 
 
5 (6 2,8 3 8 5) 124 m. + + + + = 
 
Resposta da questão 21: [B] 
 
Como o triângulo ABC é equilátero, segue que 
 
2 2AC AB ( 1 1) (0 0) 2.= = − − + − = 
 
Resposta da questão 22: [C] 
 
 
 
D é ponto médio de PN, logo: 
 
D
7 4 11
x .
2 2
+
= = 
 
D é ponto médio de CM, logo: 
 
C
C
x 3 11
x 8.
2 2
+
=  = 
 
Resposta da questão 23: [A] 
 
O ponto P pertence à reta y =3x, logo P(a, 3.a). 
 
O ponto Q pertence à reta y = –x, portanto Q(b, –b). 
 
Sabendo que A é ponto médio de PQ, temos: 
 
a b
2 a b 4
2
3a b
4 3a b 8
2
+
= −  + = −
−
=  − =
 
 
Resolvendo um sistema com as equações acima, encontramos a = 1 e b = –5. 
 
Portanto, P(1,3) e Q(–5,5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
Resposta da questão 24: [B] 
 
 
 
M é o ponto médio das diagonais do paralelogramo da figura. 
Na diagonal AC, temos: 
 
M
M
1 0 1
x
2 2
4 8 12
y 6
2 2
+
= =
+
= = =
 
 
Logo, M(1/2, 6) 
 
Na diagonal BD, temos: 
 
D
D
D
D
x 2 1
x 3
2 2
y 6
6 y 6
2
−
=  =
+
=  =
 
 
Logo, temos D(3, 6) e 3 + 6 = 9. 
 
Resposta da questão 25: [B] 
 
Os únicos pontos das opções das respostas que pertencem à reta são B (-
3,1), D (0,4) e E (2,6); 
Calculando agora a distância de P a cada um deles, temos: 
( )
22
P,Bd ( 5 ( 3)) 5 1 20 5= − − − + − =  
( )
22
P,Dd ( 5 0)) 5 4 26 5= − − + − =  
( )
22
P,Ed ( 5 2)) 5 6 50 5= − − + − =  
 
Logo, o ponto (-3,1) atende às condições do problema. 
 
Resposta da questão 26: [B] 
 
Sejam A(1,1) e B(5, 3), respectivamente, as coordenadas da catedral e 
da câmara de vereadores. Assim, a distância entre os pontos A e B é 
2 2
ABd (5 1) (3 1) 20 2 5.= − + − = = 
Como a catedral dista 2 unidades da prefeitura, segue que a escala do gráfico 
é 
2 1
.
500 250
= Portanto, a distância real entre a catedral e a câmara é 
250 2 5 500 5 m. = 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão27: [A] 
 
Esboço do trajeto descrito pelo avião 
 
 
 
Resposta da questão 28: [E] 
2 2 2
2 2 2
x 5 2 x 29
y 5 1 y 26
= +  =
= +  =
 
Logo 
P 7 10 29 26
P 17 29 26
= + + +
= + +
 
 
 
Resposta da questão 29: [C] 
)6,6(
2
93,
2
102
2
yy
,
2
xx
M BABA =




 ++=




 ++
= 
 .525)63()610(MC 22 ==−+−= 
 
30: [D] 31: [C] 32: C = (-3, 4 3 ) 
 
Resposta da questão 33: 
 (x1, y1) = (-1, -3) 
(x2, y2) = (3, 7) 
(x3, y3) = (3, 1) 
 
Resposta da questão 34: [A] 
 
Resposta da questão 35: [E] 
 
As abscissas dos pontos A e B são tais que 
2
2
A B
f(x) g(x) x x 2 6 x
x 2x 8 0
(x 2) (x 4) 0
x 4 e x 2.
=  + − = −
 + − =
 −  + =
 = − =
 
 
Logo, Ay 6 ( 4) 10= − − = e By 6 2 4.= − = 
 
Portanto, a distância entre A e B é igual a 
 
2 2( 4 2) (10 4) 6 2.− − + − =