Aula 4 - Cálculo de Pilares 2

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Dimensionamento de Pilares: 
Parte 2 – Aula 4
Estruturas em Concreto Armado – Prof. Guilherme Lúcio
Prof. Guilherme Lúcio
MATERIAL 
DA AULA
Dimensionamento de Pilares
▪ EM UMA LAJE 
COM:
▪ E q=10kN/m2
Prof. Guilherme Lúcio
6,0m 6,0m 6,0m
4m
4m
Dimensionamento de Pilares
▪O ESFORÇO DE CÁLCULO DO PILAR ENTÃO DEVE SER DADO POR:
Nd = Nk . γc . γn
Onde γc = 1,4 e γn é resumido na tabela:
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Dimensionamento de Pilares
▪DEFINIDA A ESTIMATIVA DE CARREGAMENTO NO PILAR, PODE-
SE DETERMINAR UM PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ÁREA 
NECESSÁRIA PARA ESSE PILAR ATRAVÉS DAS FÓRMULAS 
ABAIXO, PARA EDIFICAÇÕES DE PEQUENO PORTE
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Dimensionamento de Pilares Intermediários
▪O PRIMEIRO PASSO PARA REALIZAR O 
DIMENSIONAMENTO DO PILAR É 
DEFINIR O SEU COMPRIMENTO 
EFETIVO NAS DUAS DIREÇÕES
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3,5m
50cm
50cm
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪CALCULAM-SE ENTÃO AS ESBELTEZES EM X E Y
▪ EM PILARES RETANGULARES O ÍNDICE DE ESBELTEZ PODE SER 
SIMPLIFICADO POR:
▪ONDE ℎ É A DIMENSÃO DO PILAR NA DIREÇÃO CONSIDERADA
▪MAS ANTES DE CLASSIFICAR O PILAR QUANTO À ESBELTEZ, É 
NECESSÁRIO DEFINIR OS ESFORÇOS DE 1ª ORDEM
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𝜆 =
3,46 𝑙𝑒𝑓
ℎ
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪CALCULAR MOMENTOS MÍNIMOS
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Dimensionamento de Pilares de Borda
▪PARA O CASO DE PILARES DE BORDA TEMOS A SEGUINTE 
CONFIGURAÇÃO
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EXCENTRICIDADE DE 
1ª ORDEM
FLEXÃO COMPOSTA 
NORMAL
COMO AS VIGAS NÃO
EQUILIBRAM O PILAR EM 
UMA DIREÇÃO EXISTE 
MOMENTO INICIAL, OU SEJA 
EXISTE MOMENTO DE 1ª 
ORDEM NA DIREÇAÕ 
DESEQUILIBRADA
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪A NBR 6118/2014 PERMITE APROXIMAR OS MOMENTOS 
INICIAIS DA SEGUINTE MANEIRA:
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𝑀𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 =
3𝑟𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
4𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 + 6𝑟𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
. 𝑀𝑒𝑛𝑔
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪A NBR 6118/2014 PERMITE APROXIMAR OS MOMENTOS 
INICIAIS DA SEGUINTE MANEIRA:
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3,0m 3,0m 3,0m
2,5m
2,5m
2,5m
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪A NBR 6118/2014 PERMITE APROXIMAR OS MOMENTOS 
INICIAIS DA SEGUINTE MANEIRA:
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𝑀𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 =
3𝑟𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
4𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 + 6𝑟𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
. 𝑀𝑒𝑛𝑔
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪O OBJETIVO DE CALCULAR A ESBELTEZ DO PILAR NAS DUAS 
DIREÇÕES É CLASSIFICÁ-LO QUANTO A ESBELTEZ E ASSIM 
DETERMINAR SE É NECESSÁRIA A CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS 
LOCAIS DE 2ª ORDEM E SE É POSSÍVEL USAR MÉTODOS 
APROXIMADOS NO CÁLCULO DOS ESFORÇOS TOTAIS, 
RELEMBRANDO:
▪PILAR CURTO
▪PILAR MODERADAMENTE ESBELTO
▪PILAR ESBELTO
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𝜆 ≤ 𝜆1
𝜆1 < 𝜆 ≤ 90
90 < 𝜆
NÃO CONSIDERAR 
EFEITOS DE 2ª ORDEM CONSIDERAR 
EFEITOS DE 2ª 
ORDEM
CONSIDERAR 
EFEITOS DE 2ª 
ORDEM
PODE USAR 
MÉTODOS 
APROXIMADOS
PODE USAR 
MÉTODOS 
APROXIMADOS
NÃO PODE USAR 
MÉTODOS 
APROXIMADOS
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪PARA CLASSIFICAR O PILAR EM RELAÇÃO A SUA ESBELTEZ É 
NECESSÁRIO ENTÃO CALCULAR A ESBELTEZ DE COMPARAÇÃO
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𝜆1 =
25 + 12,5.
𝑒1
ℎ
𝛼𝑏
ONDE: 𝑒1 =
𝑀𝑑1
𝑁𝑠𝑑
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪ E O COEFICIENTE 𝜶𝒃 É DADO POR
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PILARES 
CONTRAVENTADOS
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM CURVATURA APROXIMADA
▪ ESSE MÉTODO USA UMA EXPRESSÃO APROXIMADA PARA 
APROXIMAR A CURVATURA QUE O PILAR IRÁ TER QUANDO 
DEFORMAR E ASSIM DETERMINAR OS EFEITOS LOCAIS DE 2ª 
ORDEM
▪ INICIALMENTE CALCULA-SE UMA FORÇA NORMAL 
ADIMENSIONAL
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Dimensionamento de Pilares de Borda
▪CALCULA-SE A CURVATURA APROXIMADA:
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1
𝑟
≤
0,005
ℎ
0,005
ℎ(𝜈 + 0,5)
BIZU 1: A LETRA GREGA 𝜈
LÊ-SE “NI” REMETE A 
FORÇA NORMAL “Nd”
BIZU 2: SE NO SEGUNDO 
TERMO (𝜈 + 0,5) FOR 
MAIOR QUE 1 A 
CURVATURA SERÁ DADA 
POR ESSE TERMO
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪COM A CURVATURA APROXIMADA DO PILAR CALCULAM-SE AS 
EXCENTRICIDADES DE 2ª ORDEM NAS DUAS DIREÇÕES
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𝑒2 =
𝑙𝑒𝑓
2
10
.
1
𝑟
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪ E FINALMENTE CALCULAM-SE OS MOMENTOS TOTAIS DE 
CÁLCULO NAS DUAS DIREÇÕES
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𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 𝛼𝑏𝑀1𝑑,𝐴 +𝑁𝑑 . 𝑒2
Momento de 1ª ordem
Momento de 2ª ordem
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪DE POSSE DOS ESFORÇOS FINAIS DE CÁLCULO UTILIZAM-SE 
ÁBACOS PARA DETERMINAR A ÁREA DE AÇO DO PILAR 
CONSIDERADO
▪PARA A ENTRADA DE DADOS NOS ÁBACOS É PRECISO 
INCICIALMENTE DETERMINAR TRÊS VALORES NUMÉRICOS
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𝑑′
ℎ
𝜈
𝜇 =
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡
𝐴𝑐ℎ𝑓𝑐𝑑
Esforço normal 
adimensional (já 
calculamos)
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪O FATOR d’ É A DISTÂNCIA DA BORDA DO 
ELEMENTO ATÉ O CG DA BARRA 
LONGITUDINAL MAIS PRÓXIMA
▪PARA ISSO PRECISAMOS DETERMINAR O 
COBRIMENTO, O DIÂMETRO DA BARRA 
TRANSVERSAL (ESTRIBO) E O DIÂMETRO 
DA BARRA LONGITUDINAL
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𝑑′ = 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 +
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔
2
+ 𝜙𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪ALGUMAS DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
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𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔,𝑚𝑖𝑛 = 10,0𝑚𝑚
𝜙𝑙𝑜𝑛𝑔,𝑚𝑎𝑥 =
1
𝑏
𝜙𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠,𝑚𝑖𝑛 ≥ ቐ
5,0𝑚𝑚
1
4
𝜙𝑙
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪APÓS O CÁLCULO DE d’/h CALCULA-SE O ESFORÇO DE 
MOMENTO ADIMENSIONAL
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𝜇 =
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡
𝐴𝑐ℎ𝑓𝑐𝑑
BIZU 1: A LETRA GREGA 
𝜇 LÊ-SE “MI” REMETE AO 
MOMENTO “Md”
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪COM OS VALORES DE d’/h ESCOLHE-SE UM ÁBACO COM UMA 
CONFIGURAÇÃO DESEJADA DE ARMADURAS, NO CASO EM 
QUESTÃO ESCOLHI O ÁBACO GENÉRICO A-4
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CONFIGURAÇÃO 
GENÉRICA DE 
ARMADURAS
Dimensionamento de 
Pilares de Borda
▪COLOCO OS VALORES 
CALCULADOS DE “MI” E 
“NI” NO ÁBACO PARA 
ACHAR A CURVA ω
(ÔMEGA) QUE 
REPRESENTA A TAXA 
MECÂNICA DE 
ARMADURA
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“MI” μ=0,15
“NI”ν=0,57
“OMEGA” ω=0,30
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪COM A TAXA MECÂNICA DE ARMADURA CALCULA-SE A 
ARMADURA NECESSÁRIA ATRAVÉS DA FÓRMULA:
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𝐴𝑆 =
𝜔𝐴𝑐𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
Dimensionamento de Pilares de Borda
▪A NORMA BRASILEIRA TAMBÉM DEFINE UMA ARMADURA 
MÍNIMA, QUE DEVE SER CALCULADA PARA COMPARAR COM A 
ÁREA DE AÇO ENCONTRADA PELO ÁBACO
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𝐴𝑆,𝑚𝑖𝑛 ≥ ൞
0,004. 𝐴𝑐
0,15
𝑁𝑑
𝑓𝑦𝑑
Dimensionamento de Pilares de Borda
TAREFA DE CASA Nº2
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FAZER PLANILHA E FLUXOGRAMA DO PROCESSO DE CÁCULO DE 
UM PILAR DE BORDA ATÉ ENCONTRAR OS VALORES DE “MI” E 
“NI”
OS DADOS DE ENTRADA DEVEM SER:
• DIMENSÕES b E h
• COMPRIMENTO EFETIVO lef
• RESISTÊNCIA DO DO CONCRETO fck
• CARREGAMENTO NO PILAR Nk
OS DADOS DE SAÍDA 
DEVEM SER:
• “MI”
• “NI”