Mínimos Quadrados - Exercícios de Regressão

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Instituto de Economia - UFRJ 
Estatística II – 2015.2 
Prof. Ary Barradas 
Monitora: Ana Paula S. Delfino 
Lista de Exercícios F – Mínimos Quadrados (MQ) 
Conceitos importantes 
Regressão 
 
 
 
Os valores reais dos parâmetros da regressão são desconhecidos, então faremos uma estimativa 
usando a seguinte notação: 
 ̂ 
 ̂ 
 
Como temos uma base com n valores observados para X e Y estaremos estimando na verdade: 
 ̂ ̂ 
 Onde i indica cada uma das n observações da base de 
dados e cada e passa a se chamar resíduo. 
O método dos Mínimos Quadrados (MQ) minimiza a soma dos resíduos, ou seja, ∑ 
 Dado que ̂ ̂ a função que queremos minimizar é a seguinte: 
 ( ̂ 
̂) ∑ ̂ 
̂ 
Para minimizar devemos igualar a primeira derivada a zero: 
 
 ̂ 
 = 2 ∑( ̂ ̂ ) = 0 
 
 ̂ 
 = 2 ∑( ̂ ̂ ) 
 Dividindo ambos os lados das equações acima por -2 temos: 
∑( ̂ ̂ ) (1) 
∑( ̂ ̂ ) (2) 
Da equação (1) temos: 
2 
 
∑( ̂ ̂ ) ∑ ̂ ̂ ∑ = 0 ̂ ∑ ̂ ∑ 
 ̂ 
∑ 
 
 ̂ 
∑ 
 
 
 Dado que 
∑ 
 
 ̅ e 
∑ 
 
 ̅ , temos que: 
 
 ̂ = ̅ - ̂ ̅ 
Substituindo ̂ na equação (2) temos: 
∑( ̂ ̂ ) 
∑( ̅ 
̂ ̅ ̂ ) 
∑ - ̅ ∑ - ̂ ̅ ∑ - ̂ 
Multiplicando ̅ ∑ por 
 
 
 e ̂ ̅ ∑ por 
 
 
 temos: 
∑ - ̅ ∑ 
 
 
 - ̂ ̅ ∑ 
 
 
 - ̂ ∑ 
∑ - ̅
∑ 
 
 - ̂ ̅ 
∑ 
 
 - ̂ ∑ 
Dado que 
∑ 
 
 ̅ e 
∑ 
 
 ̅ , temos que: 
∑ - ̅ ̅ - ̂ ̅ ̅ - ̂ ∑ 
∑ - ̅ ̅ = ̂ 
̅̅ ̅+ ∑ ) 
 ̂ 
∑ ̅ ̅
∑ ̅ 
 
 
 Desenvolvendo ̂ temos: 
Numerador: 
∑ ̅ ̅ = ∑ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 
∑ - ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ∑ 
 
 
 =∑ - ̅ ∑ ̅ ∑ ̅
∑ 
 
 
∑ - ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ ̅ = ∑ ̅ ̅ + ̅ ̅) 
∑ ̅ ̅ ̅ ) =∑ ̅ ̅ 
3 
 
 
Denominador: 
∑( 
 ) ̅ ∑( 
 ) - 2n ̅ + n ̅ ∑( 
 ) ̅
∑ 
 
 ∑ ̅ = 
∑( 
 ) ̅ ∑ ∑ ̅ ∑ 
 ̅ ̅ = ∑ ̅ 
Logo ̂ também pode ser escrito como: 
 
 ̂ 
∑ ̅ ̅ 
∑ ̅ 
 
 
Gabarito 
1. Uma fábrica produz X unidades de produtos a um custo Y, de acordo com a tabela abaixo. 
Unidade 
produzidas 
Custo 
12 80 
4 44 
6 51 
11 70 
8 61 
 
a) Determine a equação de regressão por mínimos quadrados. 
 
 - ̅ - ̅ ( - ̅)² ( - ̅)*( - ̅ 
12 80 3,8 18,8 14,44 71,44 
4 44 -4,2 -17,2 17,64 72,24 
6 51 -2,2 -10,2 4,84 22,44 
11 70 2,8 8,8 7,84 24,64 
8 61 -0,2 -0,2 0,04 0,04 
Média 8,2 61,2 
Soma 0,0 0,0 44,8 190,8 
 
Calculando ̂ : ̂ 
∑ ̅ ̅ 
∑ ̅ 
 = 
 
 
 = 4,26 
 
 
Calculando ̂ : ̂= ̅ - ̂ ̅ = 61,2 - 4,26x8,2 = 26,28 
 
Regressão: Y = 26,28 + 4,26X 
4 
 
 
b) Quais os significados econômicos dos coeficientes da regressão? 
 
Resposta: O coeficiente de X indica, que média, cada unidade produzida de X aumenta o custo 
em 4,26 unidades monetária, ou seja, o custo variável é de 4,26. A constante indica que produzir 
nenhuma unidade do produto X tem um custo de 26,28 unidades monetárias, ou seja, o custo fixo 
de produção é de 26,28. 
 
c) Qual a previsão de custo de se produzir 10 unidade de produtos? 
 
Resposta: Y = 26,28 + 4,26X = 26,28 + 42,60= 68,88. O custo é de 68,88 unidades monetárias. 
 
2. Uma agência de empregos faz anúncios uma vez por semana na seção de classificados de um 
determinado jornal. Desconfia-se que o número de respostas aos anúncios está relacionado com o 
número de linhas utilizadas no anúncio. Foram selecionados 14 anúncios e o número de linhas 
utilizadas e de respostas a cada um deles é dado pela na tabela abaixo. 
Número de linhas Número de respostas 
3 1 
4 3 
5 6 
6 7 
8 7 
10 10 
12 13 
14 16 
16 19 
a) Determine a equação de regressão por mínimos quadrados. 
 
 - ̅ - ̅ ( - ̅)² ( - ̅)*( - ̅ 
3 1 -5,7 -8,1 32,1 45,96 
4 3 -4,7 -6,1 21,8 28,52 
5 6 -3,7 -3,1 13,4 11,41 
6 7 -2,7 -2,1 7,1 5,63 
8 7 -0,7 -2,1 0,4 1,41 
10 10 1,3 0,9 1,8 1,19 
12 13 3,3 3,9 11,1 12,96 
14 16 5,3 6,9 28,4 36,74 
16 19 7,3 9,9 53,8 72,52 
Média 8,7 9,1 
Soma 0,0 0,0 170,0 216,3 
 
Calculando ̂ : 
 
 ̂ 
∑ ̅ ̅ 
∑ ̅ 
 = 
 
 
 = 1,27 
5 
 
 
Calculando ̂ : 
 
 ̂= ̅ - ̂ ̅ = 9,1 - 1,27x8,7 = -1,92 
 
 
b) Qual o significado do coeficiente angular? 
Resposta: O número de respostas, em média, aumenta 1,27 unidades a cada unidade de aumento 
de linhas utilizadas no anúncio. 
 
 
3. A tabela abaixo indica o valor y do aluguel e a idade x de cinco casas. 
 
X Y 
10 4 
13 3 
5 6 
7 5 
20 2 
 
a) Encontre a reta de MQ 
 - ̅ - ̅ ( - ̅)² ( - ̅)*( - ̅ 
10 4 -1 0 1 0 
13 3 2 -1 4 -2 
5 6 -6 2 36 -12 
7 5 -4 1 16 -4 
20 2 9 -2 81 -18 
Média 11 4 
Soma 0,0 0,0 138 -36 
 
Calculando ̂ : 
 
 ̂ 
∑ ̅ ̅ 
∑ ̅ 
 = 
 
 
 = -0,26 
 
Calculando ̂ : 
 
 ̂= ̅ - ̂ ̅ = 4 – (-0,26x11) = 6,87 
 
b) Qual o significado do coeficiente angular nesse caso 
 
Resposta: O valor médio do aluguel diminui 0,26 unidades a cada ano de aumento da idade da casa 
 
c) E do coeficiente linear? 
6 
 
Resposta: O valor médio estimado do aluguel de casas recém-construídas (idade zero) é 6,87 
unidades 
4. Em uma amostra de 10 famílias obtivemos as seguintes informações. 
 
Renda (em 
Salários 
mínimos) 
Gasto com 
alimentação 
(em salários 
mínimos) 
 - ̅ - ̅ ( - ̅)² ( - ̅)*( - ̅ 
3 1,5 -60,8 -24,45 3696,6 1486,6 
5 2 -58,8 -23,95 3457,4 1408,3 
10 6 -53,8 -19,95 2894,4 1073,3 
20 10 -43,8 -15,95 1918,4 698,6 
30 15 -33,8 -10,95 1142,4 370,1 
50 20 -13,8 -5,95 190,4 82,1 
70 25 6,2 -0,95 38,4 -5,9 
100 40 36,2 14,05 1310,4 508,6 
150 60 86,2 34,05 7430,4 2935,1 
200 80 136,2 54,05 18550,4 7361,6 
Média 63,8 25,95 
Soma 0 0 40629,6 15918,4 
 
a) Preencha a tabela acima. 
 
b) Estime o modelo linear por MQ através dos valores de soma e média da tabela utilizando duas 
formulas diferentes para calcular o coeficiente de x. 
 
 - ̅ - ̅ ( - ̅)² ( - ̅)*( - ̅ * 
3 1,5 -60,8 -24,5 3696,6 1486,6 4,5 9 
5 2 -58,8 -24,0 3457,4 1408,3 10 25 
10 6 -53,8 -20,0 2894,4 1073,3 60 100 
20 10 -43,8 -16,0 1918,4 698,6 200 400 
30 15 -33,8 -11,0 1142,4 370,1 450 900 
50 20 -13,8 -6,0 190,4 82,1 1000 2500 
70 25 6,2 -0,9 38,4 -5,9 1750 4900 
100 40 36,2 14,1 1310,4 508,6 4000 10000 
150 60 86,2 34,1 7430,4 2935,1 9000 22500 
200 80 136,2 54,1 18550,4 7361,6 16000 40000 
Média 63,8 25,95 
Soma 0,0 0,0 40629,6 15918,4 32474,5 81334 
 
Forma 1 para se calcular ̂ : ̂ 
∑ ̅ ̅ 
∑ ̅ 
 = 
 
 
 = 0,39 
 
7 
 
Forma 2 para se calcular ̂ : ̂ 
∑ ̅ ̅
∑( 
 ) ̅ 
 = 
 
 
 = 0,39 
Calculando ̂ : 
 
 ̂= ̅ - ̂ ̅ = 25,95 – 0,39*63,8= 0,95 
 
Resposta: Portanto, a regressão em ambas as formas de calcular é Y= 0,95 + 0,39X 
 
 
c) Qual a previsão de gastos com alimentação para uma família com renda de 170 salários mínimos? 
 
Resposta: Y= 0,95 + 0,39X = Y= 0,95 + 0,39*170= 67,55. Isto é 67,55 unidades 
monetárias. 
 
 
5. Ao fazer uma amostragem obtivemos as seguintes informações: 
∑ = 214.680 n=10 ̅ = 170 ̅= 115,1 ∑ = 322.000 
a) Estime os paramentos da regressão por MQ a partir das informações acima? 
 
Calculando ̂ : 
 
 ̂ 
∑ ̅ ̅
∑( 
 ) ̅ 
 = 
 
 
 = 0,58Calculando ̂ : 
 
 ̂= ̅ - ̂ ̅ = 115,1– 0,58*170= -66,3