Resistência dos Materiais I - Notas de Aula

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
ESCOLA POLITÉCNICA 
Departamento de Estruturas 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flávia Moll de Souza Judice 
 
 
 
 
 
 
 
2016 
 
Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
1
SUMÁRIO 
 
I – Introdução .................................................................................................................. 2 
II – Tração e Compressão .............................................................................................. 4 
III – Cisalhamento Puro .................................................................................................. 13 
IV – Torção ..................................................................................................................... 15 
V – Propriedades Geométricas das Figuras Planas ........................................................ 19 
VI – Tensões em Vigas ................................................................................................... 22 
VII – Flexão Composta ................................................................................................... 32 
VIII – Energia de Deformação ......................................................................................... 37 
IX – Análise de Tensões ................................................................................................. 42 
Bibliografia ...................................................................................................................... 52 
 
 
 
 
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2
I – INTRODUÇÃO 
 
 A Resistência dos Materiais, também conhecida como Mecânica dos Sólidos ou 
Mecânica dos Corpos Deformáveis, tem por objetivo prover métodos simples para a análise 
dos elementos mais comuns em estruturas. 
 O desenvolvimento histórico da Resistência dos Materiais é uma combinação de 
teoria e experiência. Homens famosos, como Leonardo da Vinci (1452-1519) e Galileu 
Galilei (1564-1642) fizeram experiências para determinar a resistência de fios, barras e 
vigas, sem que tivessem desenvolvido teorias adequadas (pelos padrões de hoje) para 
explicar os resultados atingidos. Outros, como Leonhard Euler (1707-1783), desenvolveram 
teorias matemáticas muito antes de qualquer experiência que evidenciasse a importância do 
seu achado. 
 O curso aqui apresentado inicia com a discussão de alguns conceitos fundamentais, 
tais como tensões e deformações, para em seguida, investigar o comportamento de 
elementos estruturais simples sujeitos à tração, à compressão e ao cisalhamento. 
 
 
Sistema Internacional de Unidades (SI): 
 
Quantidade Símbolo 
Dimensional 
Unidade 
Básica 
Comprimento L metro (m) 
Tempo T segundo (s) 
Massa M quilograma (kg) 
Força F Newton (N) 
 
 A força é derivada das unidades básicas pela segunda lei de Newton. Por definição, 
um Newton é a força que fornece a um quilograma massa a aceleração de um metro por 
segundo ao quadrado. A equivalência entre unidades é 2m/s 1kg 1N 1 ⋅= . 
 
Outras unidades derivadas do SI: 
 
Quantidade Unidade Básica 
Área metro quadrado (m2) 
Tensão Newton por metro quadrado (N/m2) 
ou Pascal (Pa) 
 
Prefixos de Unidades: 
 
Prefixo Símbolo Fator 
Giga G 109 
Mega M 106 
Quilo k 103 
Deci d 10-1 
Centi c 10-2 
Mili m 10-3 
Micro µ 10-6 
Nano n 10-9 
 
 
 
 
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3
 Na prática, muitas vezes prefere-se usar o quilonewton (kN), o quilopascal (kPa), o 
megapascal (MPa) ou o gigapascal (GPa). 
 
 
2232
1
cm/kgf 1m/kN10N/mm 1 MPa1
tf 1kN 10
kgf 01N 1
≈==
≈
≈
−
 
 
 
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4
II – TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
 
1 – Tensões e deformações 
 
 Seja a barra com seção transversal constante e comprimento L, submetida às forças 
axiais P que produzem tração, conforme mostra a figura. 
 
 
 
 O diagrama de esforços normais para a barra carregada da figura acima é constante 
e igual a P. 
 A tensão, uniformemente distribuída na seção transversal da barra, devida à ação da 
força P, é dada por: 
 
 
A
P
σ = 
 
onde σ (sigma) é a tensão normal na seção transversal da barra. 
 
 O alongamento total da barra é designado pela letra δ (delta). O alongamento 
específico ou alongamento relativo ou deformação (alongamento por unidade de 
comprimento) é dado por: 
 
 
L
δ
ε = 
 
sendo ε (epsilon) a deformação e L o comprimento inicial da barra. 
 
 
2 – Teste de tração. Diagrama Tensão-Deformação 
 
 A relação entre as tensões e as deformações, para um determinado material, é 
encontrada por meio de um teste de tração. 
 Um corpo-de-prova, em geral uma barra de seção circular, é colocado na máquina 
de testar e sujeito à tração. 
 A força atuante e os alongamentos resultantes são medidos à proporção que a carga 
aumenta. 
 As tensões são obtidas dividindo-se as forças pela área da seção transversal da 
barra e a deformação específica dividindo-se o alongamento pelo comprimento ao longo do 
qual ocorre a deformação. 
 A figura seguinte mostra, esquematicamente, o ensaio na máquina universal de 
tração e compressão. 
 
L 
δ P 
P 
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5
 
 
 
 A forma típica do diagrama tensão-deformação do aço é mostrada na figura seguinte. 
Nesse diagrama, as deformações axiais encontram-se representadas no eixo horizontal e as 
tensões correspondentes no eixo das ordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No trecho de 0 a A, as tensões são diretamente proporcionais às deformações e o 
diagrama é linear. Além desse ponto, a proporcionalidade já não existe mais e o ponto A é 
chamado de limite de proporcionalidade.2 
1 – cilindro e êmbolo 
2 – bomba hidráulica (medidor de vazão) 
3 – mesa (chassi) móvel 
4 – corpo de prova para tração 
5 – corpo de prova para compressão 
6 – mesa (chassi) fixo 
7 – manômetro (medidor de pressão) 
8 – fluido hidráulico 
x 
x 
1 
7 
3 4 
5 
6 
8 
 1 2 3 4 5 6 
 7 x10−4 (ε) 
50 
100 
200 
250 
300 
350 
150 
 σ 
(MPa) 
A 
B 
D
 
E 
E
* 
F 
O 
C 
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6
 Com o aumento da carga, as deformações crescem mais rapidamente do que as 
tensões, passando a aparecer uma deformação considerável sem que haja aumento 
apreciável da força de tração. Esse fenômeno é conhecido como escoamento do material e 
a tensão no ponto B é denominada tensão de escoamento. 
 Na região BC, diz-se que o material tornou-se plástico e a barra pode deformar-se 
plasticamente, da ordem de 10 a 15 vezes o alongamento ocorrido até o limite de 
proporcionalidade. 
 No ponto C, o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento da carga, 
acarretando acréscimo de tensão para um aumento de deformação, atingindo o valor 
máximo ou tensão máxima no ponto D. Além desse ponto, maior deformação é 
acompanhada por uma redução da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do corpo-de-
prova no ponto E do diagrama (tensão de ruptura). 
 Durante o alongamento da barra, há contração lateral, que resulta na diminuição da 
área da seção transversal. Isto não tem nenhum efeito no diagrama tensão-deformação até 
o ponto C. Porém, deste ponto em diante, a redução da área faz com que a tensão 
verdadeira seja sempre crescente (como indicado na linha pontilhada até E´). 
 É a favor da segurança adotar-se como valor das tensões limites aquelas calculadas 
como se a área se mantivesse com seu tamanho original, obtendo-se valores para a tensão 
ligeiramente menores do que os reais. 
 Alguns materiais não apresentam claramente no diagrama tensão-deformação todos 
os pontos anteriormente citados. Para que se possa determinar o ponto de escoamento 
desses materiais, convencionou-se adotar uma deformação residual de 0,2%. A partir dessa 
deformação, traça-se uma reta paralela ao trecho linear AO, até atingir a curva tensão-
deformação. 
 A presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande 
deformação plástica, é uma das características do aço. 
 
 
 a) diagrama σ x ε típico de b) diagrama σ x ε típico de 
 material dúctil material frágil 
 
 
 Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer grandes deformações antes 
da ruptura, sendo classificados como dúcteis. Por outro lado, materiais frágeis ou 
quebradiços quebram com valores relativamente baixos das deformações. 
 As cerâmicas, o ferro fundido, o concreto, certas ligas metálicas e o vidro são 
exemplos desses materiais. 
 É possível traçar diagramas análogos aos de tração, para vários materiais sob 
compressão, estabelecendo-se tensões características, tais como limite de 
proporcionalidade, escoamento e tensão máxima. 
 Para o aço, verificou-se que as tensões do limite de proporcionalidade e do 
escoamento são, aproximadamente, as mesmas na tração e na compressão. 
 Para muitos materiais quebradiços, as tensões características em compressão são 
muito maiores que as de tração. 
 
 
 
0 
σ 
ε 
0 
σ 
ε 
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3 – Elasticidade 
 
 Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento dos materiais, quando 
carregados por tração (ou compressão). 
 Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto é, a carga é 
gradualmente reduzida até zero, a deformação sofrida durante o carregamento 
desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a 
retornar à forma original, é denominada elasticidade. 
 Quando o material volta completamente à forma original, diz-se que é perfeitamente 
elástico. Se o retorno não for total, diz-se que é parcialmente elástico. Nesse caso, a 
deformação que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação 
permanente. 
 O processo de carregamento e descarregamento do material pode ser repetido 
sucessivamente, para valores cada vez mais altos de tração. À tensão cujo 
descarregamento acarrete uma deformação residual permanente, chama-se limite elástico. 
 Para os aços e alguns outros materiais, os limites elástico e de proporcionalidade 
são aproximadamente coincidentes. Materiais semelhantes à borracha possuem uma 
propriedade – a elasticidade – que pode continuar muito além do limite de 
proporcionalidade. 
 
3.1 – Lei de Hooke 
 
 Os diagramas tensão-deformação da maioria dos materiais apresentam uma região 
inicial de comportamento elástico e linear. 
 A relação linear entre a tensão e a deformação, no caso de uma barra em tração, 
pode ser expressa por: 
 
 εσ ⋅= E 
 
onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade do 
material. 
 
 Este é o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensão-deformação e é 
diferente para cada material. O módulo de elasticidade é também conhecido como módulo 
de Young e a equação anterior é chamada de Lei de Hooke. 
 Quando uma barra é carregada por tração simples, a tensão axial é 
A
P
=σ e a 
deformação específica é 
L
δ
ε = . 
 Combinando estas expressões com a lei de Hooke, tem-se que o alongamento da 
barra é 
AE
LP
⋅
⋅
=δ . 
 Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é 
diretamente proporcional à carga e ao seu comprimento e inversamente proporcional ao 
módulo de elasticidade e à área da seção transversal. 
 O produto AE ⋅ é conhecido como rigidez axial da barra. 
 A flexibilidade da barra é definida como a deformação decorrente de uma carga 
unitária. Da equação anterior, vemos que a flexibilidade é AE
L
⋅
. 
 De modo análogo, a rijeza da barra é definida como a força necessária para produzir 
uma deformação unitária. Então, a rijeza é igual a LAE ⋅ , que é o inverso da flexibilidade. 
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 Vários casos que envolvem barras com carregamento axial podem ser solucionados 
aplicando-se a expressão: 
AE
LP
⋅
⋅
=δ . 
 
 
4 – Deformações de Barras Carregadas Axialmente 
 
 A figura mostra uma barra carregada axialmente. O procedimento para determinação 
da deformação da barra consiste em obter a força axial em cada parte da barra (AB, BC e 
CD) e, em seguida, calcular separadamente o alongamento (ou encurtamento) de cada 
parte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A somaalgébrica dessas variações de comprimento dará a variação total de 
comprimento da barra, tal que: 
 
 ∑
=
⋅
⋅
=
n
1i ii
ii
AE
LPδ 
 
 O mesmo método pode ser usado quando a barra é formada por partes com 
diferentes seções transversais. 
 
 
4.1 – Princípio da Superposição 
 
 É geralmente usado para determinar a tensão ou o deslocamento em determinado 
ponto do elemento quando este está sujeito a carregamento complexo. 
 
 De acordo com o princípio da superposição, pode-se determinar a tensão ou o 
deslocamento resultante em um ponto subdividindo-se a carga em componentes e 
determinando-se separadamente, para cada componente individual que atua sobre o corpo, 
a tensão ou o deslocamento provocados pela carga sobre o elemento. Em seguida, somam-
se algebricamente as contribuições. 
 
 Para que seja válida a aplicação do princípio da superposição, as seguintes 
condições devem ser atendidas: 
 
1) A carga deve ser linearmente relacionada à tensão ou ao deslocamento a 
determinar; 
2) A carga não deve mudar significativamente a geometria ou a configuração original do 
elemento. 
 
P
P
a 
b 
2P 
2P 
A 
B 
C 
D 
L1 
L2 
L3 
P 
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onde: 
 
 21 ddd ≠≠ 
 
 2211 dPdPdP ⋅+⋅≠⋅ 
 
 
5 – Coeficiente de Poisson. Variação volumétrica 
 
 Conforme foi dito anteriormente, quando uma barra é tracionada, o alongamento 
axial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura torna-se menor e seu 
comprimento cresce. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante, dentro da 
região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson; dada por: 
 
 0,5)(0 
axial deformação
lateral deformação
≤≤= νν 
 
 Para os materiais que têm as mesmas propriedades elásticas em todas as direções, 
denominados isotrópicos, Poisson achou ν = 0,25. 
 Para fins práticos, o valor numérico de ν é o mesmo, independentemente do material 
estar sob tração ou compressão. 
 Conhecendo-se o coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade do material, 
pode-se calcular a variação do volume da barra tracionada. Tal variação é mostrada na 
figura seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P P 
δδδδllll 
δδδδa L 
1 
1 
1 
ε 
ν.ε 
ν.ε 
P P 
d d1 d2 
P P1 
≠ + 
P2 
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 Inicialmente, o cubo que tinha dimensões unitárias, sofre alongamento na direção da 
força P e encurtamento das arestas na direção transversal. Assim, a área da seção 
transversal do cubo passa a ser ( )21 εν ⋅− e o volume passa a ser ( ) ( )211 ενε ⋅−⋅+ . 
 
 Desenvolvendo a expressão, chega-se a: 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )32222
22
2
221'V
211'V
11'V
ενενεενεν
ενενε
ενε
⋅+⋅⋅−+⋅+⋅⋅−=
⋅+⋅⋅−⋅+=
⋅−⋅+=
 
 
 Desprezando-se os termos de ordem superior, obtém-se: 
 
 ( )ενε ⋅⋅−+= 21'V 
 
 A variação do volume é dada pela diferença entre os volumes final e inicial: 
 
 ( ) ( )νεενε∆ ⋅−⋅=−⋅⋅−+==− 21121VV'V 
 
 A variação do volume unitário é expressa por: 
 
 ( )νε∆ ⋅−⋅= 21
V
V
 
 
 A equação anterior pode ser usada para calcular a variação do volume de uma barra 
tracionada, desde que se conheçam a deformação ε e o coeficiente de Poisson ν. 
 Como não é razoável admitir-se que um material diminua de volume quando 
tracionado, pode-se concluir que ν é sempre menor do que 0,5. 
 
Conclusão: Quando 0=ν , não há contração lateral. Quando 5,0=ν , o material é 
perfeitamente tracionável (não há variação volumétrica). 
 
 
6 – Tensão Admissível ou Tensão-Limite 
 
 Para permitir sobrecargas acidentais, bem como para levar em conta certas 
imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na análise 
da estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurança. 
 
 Para os materiais dúcteis, tem-se 
1
y
>γ
σ
. 
 Para os materiais frágeis, tem-se 
1
u
>γ
σ
. 
 
 No concreto armado, 15,1aço =γ e 4,1conc =γ . 
 
 
 
 
 
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7 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas 
 
 Haverá casos em que as equações de equilíbrio não são suficientes para se chegar 
às solicitações da estrutura. As equações a mais, necessárias para solucionar o problema, 
são encontradas nas condições de deformação. 
 Um exemplo de estrutura estaticamente indeterminada é mostrado na figura 
seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A barra AB tem as extremidades presas a suportes rígidos e está carregada com 
uma força F em um ponto intermediário C. 
 
 As reações RA e RB aparecem nas extremidades da barra, porém suas intensidades 
não podem ser calculadas apenas pela Estática. A única equação fornecida pelo equilíbrio 
é: 
 
 FRR BA =+ 
 
 Sabe-se, porém, que a variação de comprimento da barra é nula; logo: 
 
 0∆L∆L 0∆L 21 =+∴= 
 
 
( ) 0
AE
LFR
AE
LR 2A1A
=
⋅
⋅−
+
⋅
⋅
 
 
 0LFLRLR 22A1A =⋅−⋅+⋅ 
 
 ( ) 221A LFLLR ⋅=+⋅ 
 
 ( ) L
LF
LL
LFR 2
21
2
A ⋅=+
⋅
= 
 
 
L
LF
L
LFFR 12B ⋅=⋅−= 
 
 O diagrama real do esforço normal é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEN 
F 
A 
R
L1 L2 
C B 
R
+ 
RA 
RA-F 
+ 
- 
+ 
L
LF 2⋅ 
DEN 
L
LF 1⋅
 
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8 – Tensões Térmicas 
 
 Como é sabido, as dimensões dos corpos sofrem alterações em função da variação 
de temperatura. 
 Quando a estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme da 
temperatura não acarreta nenhuma tensão, já que a estrutura é capaz de se expandir ou se 
contrair livremente. 
 Por outro lado, a variação de temperatura em estruturas estaticamente 
indeterminadas produz tensões nos elementos, denominadas tensões térmicas. 
 A propriedade física que estabelece a relação de proporcionalidade entre a variação 
da dimensão longitudinal de uma peça e a variação de temperatura correspondente é 
denominada coeficiente de dilatação térmica αααα. 
 Seja a barra da figura restringida pelosapoios A e B. 
 Com a variação de temperatura, a barra tende a se deformar. Porém, os apoios 
impedem essa deformação e surgem reações nos apoios iguais a R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O diagrama de esforço normal é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como a variação de comprimento da barra é nula, tem-se: 
 
 0∆L∆L TN =+ ∆ 
 
 0∆TL
AE
LR
- =⋅⋅+
⋅
⋅
α 
 
 AE∆TR ⋅⋅⋅= α 
 
 E∆T
A
R
x ⋅⋅−=
−
= ασ 
- 
R 
DEN 
A 
B 
L 
R 
R 
0T >∆ 
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13 
III – CISALHAMENTO PURO 
 
 Vimos que as forças axiais provocam tensões normais nos elementos estruturais. 
 
 No entanto, pode ocorrer que as forças atuantes no elemento estejam inclinadas com 
relação à sua seção transversal. Nesse caso, essas forças podem ser decompostas em 
componentes paralelas e perpendiculares ao plano de corte considerado. A componente 
normal N à seção transversal do elemento irá provocar tensão normal σ (sigma) e a 
componente V pertencente ao plano da seção transversal irá provocar tensão de 
cisalhamento τ (tau). 
 
Conclusão: as tensões normais resultam de esforços perpendiculares ao plano de corte, 
enquanto as tensões de cisalhamento resultam de esforços paralelos a esse mesmo plano. 
 
 Consideremos duas chapas A e B ligadas pelo rebite CD. 
 
 
 
 
 
 
onde a área da seção transversal do rebite é denominada por A. 
 
 Sob a ação da força F, surgem esforços cortantes (tangenciais) à seção transversal 
do rebite e, portanto, tensões de cisalhamento τ �cuja intensidade média é 
A
F
med =τ . 
 
 A fim de visualizar as deformações produzidas por uma tensão de cisalhamento, 
consideremos o cubo elementar (elemento infinitesimal) submetido à tensão de 
cisalhamento τ na sua face superior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como não há tensões normais agindo sobre o elemento, seu equilíbrio na direção 
horizontal só é possível se, na face inferior, existir tensão de cisalhamento igual e em 
sentido contrario à da face superior. Além disso, essas tensões de cisalhamento irão 
produzir momento que deve ser equilibrado por outro momento originado pelas tensões que 
atuam nas faces verticais. Portanto, essas tensões de cisalhamento devem ser também 
iguais a τ para que o elemento permaneça em equilíbrio. 
 
 Um elemento sujeito apenas às tensões de cisalhamento mostradas na figura 
anterior é dito em cisalhamento puro. 
 
Conclusão: 
 
a) As tensões de cisalhamento que agem em um elemento ocorrem aos pares, iguais e 
opostos; 
τ 
τ 
τ 
τ 
C 
F 
D 
A B 
F 
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14 
b) As tensões de cisalhamento existem sempre em planos perpendiculares entre si. 
Tais tensões são iguais em intensidade e têm sentidos opostos que se “aproximam” 
ou se “afastam” da linha de interseção dos planos. 
 
 A deformação do elemento infinitesimal está representada na figura abaixo, que 
mostra a face frontal do cubo submetido a cisalhamento puro. Como não há tensões 
normais agindo no elemento, os comprimentos das arestas ab, bc, cd e ac não variam, 
porém o quadrado de lado abcd transforma-se no paralelogramo representado em tracejado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O ângulo no vértice c, que media 2
pi
 antes da deformação, fica reduzido a γpi −2 . 
Ao mesmo tempo, o ângulo no vértice a ficará aumentado para γpi +2 . O ângulo γ é a 
medida da distorção do elemento provocada pelo cisalhamento, e é denominado 
deformação de cisalhamento. Pela figura, nota-se que a deformação de cisalhamento γ é 
igual ao deslizamento horizontal da aresta superior em relação à aresta inferior, dividido pela 
distância entre essas duas arestas (altura do elemento). 
 
 A determinação das tensões de cisalhamento τ em função das deformações de 
cisalhamento γ pode ser feita a partir de um teste de cisalhamento puro, obtendo-se o 
diagrama tensão-deformação de cisalhamento do material, cujo aspecto é muito semelhante 
ao diagrama tensão-deformação obtido do ensaio de tração. 
 
 Assim, se o material tiver uma região elástica-linear, o diagrama tensão-deformação 
de cisalhamento será uma reta e as tensões de cisalhamento serão proporcionais às 
deformações de cisalhamento: 
 
 γτ ⋅= G 
 
onde G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento do material, também conhecido como 
módulo de elasticidade transversal. 
 
 O módulo de elasticidade transversal relaciona-se com o módulo de elasticidade 
longitudinal do material de acordo com a seguinte expressão: 
 
 ( )ν+⋅= 12
EG 
τ 
τ 
τ 
τ 
a b 
c d 
γ γ 
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15 
IV – TORÇÃO 
 
1 – Torção em Barras de Seção Circular 
 
 Seja a barra de seção transversal circular submetida ao momento torsor T em suas 
extremidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Durante a torção, haverá rotação em torno do eixo longitudinal, de uma extremidade 
da barra em relação à outra. 
 Considerando-se fixa a extremidade esquerda da barra, a da direita gira num ângulo 
φ (em radianos) em relação à primeira. Ao mesmo tempo, uma linha longitudinal na 
superfície da barra, tal como nn, gira num pequeno ângulo para a posição nn´. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Analisando um elemento retangular abcd de largura dx na superfície da barra, nota-
se que, sob a ação da torção, este elemento sofre distorção e os pontos b e d movem-se 
para b´ e d´, respectivamente. Os comprimentos dos lados do elemento não variam durante 
esta rotação, porém os ângulos dos vértices não continuam retos. 
 Tem-se, então, que o elemento encontra-se em estado de cisalhamento puro e que 
a deformação de cisalhamento γ é igual a: 
ab
´bb
=γ . 
 Chamando de dφ o ângulo de rotação de uma seção transversal em relação à outra, 
chega-se a φdR´bb ⋅= . 
 Sabendo que a distância ab é igual a dx, então: 
dx
dR φγ ⋅= . 
 Quando uma barra de seção circular (eixo) está sujeita a torção pura, a taxa de 
variação dφ do ângulo de torção é constante ao longo do comprimento dx da barra. Esta 
constante é o ângulo de torção por unidade de comprimento, designado porθ . 
 Assim, tem-se: 
 
T 
n 
n´ 
τ 
τ 
L 
x dx 
T 
φ 
n 
R 
a 
dφ 
dx 
γ 
c 
b 
d 
d´ 
b´ 
R 
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________________________________________________________________________________________________Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
16 
 
L
RR φθγ ⋅=⋅= 
 
 As tensões de cisalhamento τ que agem nas faces laterais do elemento têm os 
sentidos mostrados na figura anterior. 
 A intensidade da tensão de cisalhamento é obtida pela Lei de Hooke: 
 
 
L
RGRGG φθγτ ⋅⋅=⋅⋅=⋅= 
onde G é o módulo de elasticidade transversal do material, igual a ( )ν+⋅ 12
E
. 
 
 O estado de tensão no interior de um eixo pode ser determinado de modo análogo, 
bastando substituir R por r, tal que a deformação de cisalhamento é: 
 
 
L
rr
φθγ ⋅=⋅= 
 
e a tensão de cisalhamento é: 
 
 
L
rGrG φθτ ⋅⋅=⋅⋅= 
 
 Essas equações mostram que a deformação e a tensão de cisalhamento variam 
linearmente com o raio r, tendo seus valores máximos na superfície do eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O momento torsor de todas as forças em relação ao centróide da seção transversal 
é: 
 
 JGdArGdArGdArT
A
2
A
2
A
⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ∫∫∫ θθθτ 
onde J é o momento de inércia polar da seção transversal, igual a ∫ ⋅
A
2 dAr . 
 Para uma seção circular, o momento de inércia polar com relação aos eixos que 
passam pelo centróide é: 
 
 
32
dJ
4
⋅
=
pi
 
 
onde d é o diâmetro da seção transversal. 
 
 
r 
τ 
R 
d
A 
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________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
17 
 Tem-se, então: 
 
 
JG
T
L ⋅
==
φθ 
 
 A expressão anterior mostra que o ângulo de torção por unidade de comprimento é 
diretamente proporcional ao momento torsor e inversamente proporcional ao produto JG ⋅ , 
conhecido como módulo de rigidez à torção do eixo. 
 Substituindo θ na equação da tensão de cisalhamento, tem-se: 
 
 
J
rT ⋅
=τ 
 
 Logo, a tensão máxima de cisalhamento é: 
 
 
J
RT
max
⋅
=τ 
 
 
2 – Torção em Barras de Seção Circular Vazada 
 
 Conforme visto anteriormente, a tensão de cisalhamento numa barra de seção 
circular é máxima na superfície e nula no centro. Conseqüentemente, grande parte do 
material trabalha com tensões bem inferiores à admissível. Se a redução de peso e a 
economia de material forem fatores importantes, é preferível usar eixos vazados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A análise da torção de barras de seção circular vazada assemelha-se à de barras de 
seção circular cheia. Assim, a tensão de cisalhamento em um ponto qualquer da seção 
transversal é: 
 
 
J
rT ⋅
=τ , com 21 rrr ≤≤ 
 
onde: ( )
32
ddJ
4
i
4
e −⋅
=
pi
 
 
 
 
 
 
r2 
r1 
r1 
τ 
r2 
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________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
18 
3 – Eixos Estaticamente Indeterminados 
 
 Quando as equações da estática são insuficientes para a determinação dos esforços 
internos de torção, é preciso levar em conta as condições de deformação da estrutura. 
 
Exemplo: Um eixo AB bi-engastado de seção transversal circular tem 250 mm de 
comprimento e 20 mm de diâmetro. No trecho de 125 mm a partir da extremidade B, o eixo 
tem seção vazada com diâmetro interno de 16 mm. Pede-se determinar o momento torsor 
em cada apoio quando um torque de 120 Nm é aplicado no ponto médio de AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A barra é estaticamente indeterminada, porque existem dois momentos torsores 
desconhecidos, AT e BT , e apenas uma equação de equilíbrio: 
 
 120TT BA =+ 
 
 Devido aos engastes, o ângulo de torção φ total é nulo e, para equilibrar o momento 
torsor aplicado, os trechos AC e BC do eixo giram em sentidos opostos, tal que 21 φφ = . 
 Tem-se, então: 
 
 
2
2B
1
1A
JG
LT
JG
LT
⋅
⋅
=
⋅
⋅
 
 
( )
AA4
44
A
1
2
B T59,0T
2032
162032T
J
JT ⋅=⋅
⋅
−⋅
=⋅=
pi
pi
 
 
 Logo: 
 
 
Nm 5,44T
Nm 5,75T
120T59,0T
B
A
AA
=
=
=⋅+
 
 
125 mm 
125 mm 
120 N.m 
B 
A 
C 
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________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
19 
V – PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS FIGURAS PLANAS 
 
1 – Tensões Normais Devidas ao Momento Fletor 
 
 
 
 
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________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
20 
 
 
 
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________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
21 
 
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________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
22 
VI – TENSÕES EM VIGAS 
 
1 – Tensões Normais Devidas ao Momento Fletor 
 
 Seja a viga biapoiada sujeita às cargas P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os diagramas de esforços solicitantes são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na parte central, a viga está sujeita apenas ao momento fletor, caracterizando a 
flexão pura. 
 A ação do momento fletor faz com que a viga se curve, conforme mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
L 
P P 
a 
P P 
- P 
DEC 
P.a DMF 
P 
Q = 0 
ρ 
dx 
dθ 
M
 
 
 
M
 
 
 
a b 
S0 S1 
y 
O 
 
 
S0 S1 
dx x z 
y 
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________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de AulaResistência dos Materiais I 
23 
 Nota-se que, sob a ação do momento fletor, as seções S0 e S1 giraram, uma em 
relação à outra, de tal forma que as fibras inferiores alongaram-se e as superiores 
encurtaram, indicando a existência de uma região tracionada e outra comprimida. 
 Em algum ponto entre as regiões de tração e compressão, haverá uma superfície em 
que as fibras não sofrem variação de comprimento, denominada superfície neutra. Sua 
interseção com qualquer seção transversal da viga corresponde à linha neutra da seção. 
 O centro de curvatura do eixo longitudinal da viga, após sua deformação, é 
representado na figura pelo ponto O. Chamando de θd ao ângulo entre os planos S0 e S1, e 
ρ ao raio de curvatura, obtém-se: 
 
 
dx
d1k θ
ρ
== 
 
onde k é a curvatura. 
 
 O alongamento (variação do comprimento) da fibra ab, distante y da superfície 
neutra, é assim determinado: 
 
• Comprimento total da fibra ab: ( ) θρ dy ⋅+ 
• Comprimento inicial da fibra ab: dx 
• Alongamento: ( ) ( ) dxydxdxydxdy ⋅=−⋅+=−⋅+
ρρ
ρθρ 
 
 A deformação correspondente é: 
 
 ykyx ⋅== ρ
ε 
 
 E as tensões normais são: 
 
 yEkx ⋅⋅=σ 
 
 Portanto, as tensões variam linearmente com a distância y da linha neutra. Na viga 
em estudo, há tensões de tração abaixo da linha neutra e de compressão acima da linha 
neutra, conforme mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A força longitudinal em dA é: 
 
 dAyEkdAdF x ⋅⋅⋅=⋅= σ 
 
 Como não há força normal resultante atuando na seção, a integral de dAx ⋅σ sobre 
a área da seção é nula: 
 
σ+ 
σ− 
ΜΜΜΜ
 
ΜΜΜΜ
 
z 
y 
dA 
y 
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________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
24 
 
0dAyEkdAF
AA
x =⋅⋅⋅=⋅= ∫∫σ 
 
onde k e E são constantes. 
 
 Logo: 
 
 ∫ =⋅
A
0dAy
 → momento estático nulo. 
 
 Assim, a linha neutra passa pelo centróide da seção transversal. 
 
 O momento fletor da força em relação à linha neutra é: 
 
 z
A
2
A
xz IEkdAyEkdAyM ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ∫∫σ 
 
 Daí: 
 
 
z
z
IE
Mk
⋅
= 
 
 Substituindo, obtém-se: 
 
 y
I
M
z
z
x ⋅=σ 
 
 Analogamente: 
 
 z
I
M
y
y
x ⋅−=σ 
 
Exercício: Qual maxF , se MPa50x ≤σ ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,0 m 2,0 m 
F 
+2F/3 
- F/3 
+2/3.103 F 
2F/3 F/3 
DMF (N.mm) 
DEC (N) 
180 mm 
25 mm 
85 85 25 
z 
y 
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________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
25 
 mm7,61
45004875
450011548755,12
A
Ay
y
i
ii
=
+
⋅+⋅
=
⋅
=
∑
∑
 
 
 
472
3
2
3
z mm 107,33,53450012
180252,494875
12
25195I ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅= 
 
 
50y
I
M
z
z
x ≤⋅=σ 
 
 503,143
107,3
10F3
2
7
3
≤⋅
⋅
⋅⋅
 
 
 N 359.19F ≤ 
 
 Nk 4,19Fmax = 
 
 
2 – Tensões Cisalhantes Devidas ao Esforço Cortante 
 
 Seja a viga com seção transversal retangular, de largura b e altura h , sujeita à 
carga distribuída q , conforme mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sob a ação do carregamento distribuído, surgem esforços cortantes e momentos 
fletores nas seções transversais e, conseqüentemente, tensões normais e tensões 
cisalhantes. 
 Cortando-se um elemento mn por meio de duas seções transversais adjacentes e de 
dois planos paralelos à superfície neutra, nota-se que, devido à presença do esforço 
cortante, haverá distribuição uniforme das tensões de cisalhamento verticais ao longo da 
largura mn do elemento. 
 Uma vez que o elemento encontra-se em equilíbrio, conclui-se que as tensões de 
cisalhamento verticais são acompanhadas por tensões de cisalhamento horizontais de 
mesma intensidade (na face perpendicular). 
V 
x 
C 
h 
b 
n 
m 
m 
n 
ττττ 
y 
z 
q 
Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 
________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
26 
 A existência de tensões de cisalhamento horizontais em vigas pode ser demonstrada 
experimentalmente. 
 A figura mostra uma pilha de tábuas sobrepostas submetida à carga concentrada P 
no meio do vão. Verifica-se que, se não houver atrito entre as tábuas, a flexão de uma será 
diferente da outra: cada uma sofrerá compressão nas fibras longitudinais superiores e tração 
nas inferiores. 
 Caso as tábuas fossem coladas, umas às outras, impedindo este escorregamento, 
surgiriam tensões tangenciais na cola, indicando que, em vigas com seção transversal 
inteira, submetida ao mesmo carregamento P, ocorrerão tensões de cisalhamento τ ao 
longo dos planos longitudinais com intensidade capaz de impedir o deslizamento ocorrido no 
caso anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A determinação da tensão de cisalhamento horizontal pode ser calculada pela 
condição de equilíbrio de um elemento pnn1p1, cortado da viga por duas seções transversais 
adjacentes, mn e m1n1, à distância dx uma da outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A face da base deste elemento é a superfície inferior da viga e está livre de tensões. 
Sua face superior é paralela à superfície neutra e afasta-se dela a uma distância y1. Nesta 
face, atua a tensão de cisalhamento horizontal τ que existe neste nível da viga. 
 Sobre as faces mn e m1n1 atuam as tensões normais xσ produzidas pelos 
momentos fletores e as tensões de cisalhamento verticais (que não interferem na equação 
de equilíbrio horizontal do elemento na direção horizontal). 
 Se os momentos fletores nas seções mn e m1n1 forem iguais (flexão pura), as 
tensões normais xσ nos lados np e n1p1 também serão iguais, o que colocará o elemento 
em equilíbrio e anulará a tensão de cisalhamento τ . 
 No caso de momento fletor variável, a força normal que atua na área elementar dA 
da face esquerda do elemento será: 
 
 dA
I
yMdAdF
z
z
x ⋅
⋅
=⋅= σ 
 
 
P 
b
 
y1 
h/2 
M+d
M 
M
 
dx
 
C 
y 
y
 
z 
n
 
n1 
p p1 
h/2 
dA 
m
 
m1 
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________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
27 
 A soma de todas essas forças distribuídas sobre a face pn será: 
 
 ∫∫∫ ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=
2h
y
z
z2h
y x
A
xe
11
dyy
I
MbdybdAR σσ 
 
 De maneira análoga, asoma das forças normais que atuam na face direita, p1n1, é: 
 
 ∫ ⋅⋅





⋅
⋅
+⋅=
2h
y
z
z
z
z
d
1
dyydx
dxI
dM
I
MbR 
 
 A diferença entre as forças à direita e à esquerda fornece: 
 
 ∫∫ ⋅⋅⋅⋅
⋅
=⋅⋅





⋅
⋅
⋅=−
2h
y
z
z2h
y
z
z
ed
11
dAydx
dxI
dMdyydx
dxI
dMbRR 
 
 Sabendo-se que o elemento encontra-se em equilíbrio, haverá uma força de 
cisalhamento horizontal no plano pp1, de mesma intensidade e com sentido contrário a 
ed RR − , que somada à primeira, anula a resultante de forças na direção x. 
 
 A força de cisalhamento horizontal é dada por: 
 
 dxb ⋅⋅τ 
 
 Igualando a força de cisalhamento horizontal à diferença entre as forças á direita e à 
esquerda do elemento, chega-se a: 
 
 ∫ ⋅⋅⋅⋅
⋅
=⋅⋅
2h
y
z
z
1
dAydx
dxI
dMdxbτ 
 
 ∫ ⋅⋅⋅=⋅
2h
y
z 1
dAy
I
Qbτ 
 
 
bI
mQ
z
z
⋅
⋅
=τ 
 
que é a expressão da tensão de cisalhamento. 
 
 Na expressão anterior, tem-se que: 
 
 zm é o momento estático da área da seção transversal abaixo (ou acima) do plano 
em que se deseja determinar τ ; 
 b é a largura da seção transversal na altura do plano em que se deseja determinar 
τ ; 
 zI é o momento de inércia em relação ao eixo z que passa pelo centróide da seção; 
 Q é o esforço cortante na seção transversal em estudo. 
 
 
 
 
Exercício: Calcular as tensões cisalhantes no ponto P . 
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________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicando a expressão da tensão cisalhante, tem-se: 
 
 
( )
12
hb
2
y
4
hyy2
hQ
bI
mQ
3
z
z
⋅





−+⋅−⋅
=
⋅
⋅
=τ 
 
 Desenvolvendo, chega-se a: 
 
 
( )
3
22
hb2
y4hQ3
⋅⋅
⋅−⋅⋅
=τ 
 
que é a expressão geral da tensão de cisalhamento para seções transversais retangulares. 
 Quando: 
 
 0
2
hy =⇒−= τ 
 
 
A
Q5,1
hb2
Q30y ⋅=
⋅⋅
⋅
=⇒= τ 
 
 0
2
hy =⇒= τ 
 
 A variação das tensões cisalhantes é parabólica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 – Tensões Normais e Cisalhantes em Seções I e T 
b 
h/2 y 
h/2 
y 
z 
P 
b 
h τmax 
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________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
29 
 
 A otimização da escolha do formato da seção das vigas, objetivando minimizar o 
valor das tensões normais decorrentes do momento fletor, leva à utilização de seções “I” e 
“T”, com mesas (abas) largas e almas (nervuras) estreitas. 
 Como conseqüência, surgem tensões tangenciais elevadas na alma, na altura da 
linha neutra, devido ao fato da largura b da alma aparecer no denominador da expressão da 
tensão cisalhante. 
 Assim, nos pontos da viga onde a tensão normal é máxima (arestas superior e 
inferior), a tensão tangencial é nula, enquanto na linha neutra, onde a tensão normal é nula, 
a tensão tangencial atinge seu valor máximo. 
 A descontinuidade do valor da tensão de cisalhamento na transição entre a mesa e a 
alma decorre da descontinuidade da largura b da seção nesses locais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 – Vigas de Dois Materiais Diferentes 
 
 Seja a viga da figura abaixo formada por dois materiais diferentes. Como a seção 
transversal da viga permanece plana durante a flexão, independentemente de ser de um 
material ou de mais de um, nota-se que a deformação varia linearmente do topo à base da 
viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As tensões normais que atuam na seção podem ser obtidas multiplicando-se as 
deformações pelo módulo de elasticidade do material. Supondo-se que os dois materiais 1 e 
2 tenham módulo de elasticidade E1 e E2, respectivamente, tal que 12 EE > , obtém-se o 
diagrama de tensões normais mostrado na figura acima. A tensão normal a uma distância y 
qualquer da linha neutra é obtida pelas equações: 
h 
b 
ta 
tm 
ττττ σσσσ 
C 
1 
2 
xε xσ 
12 EE >
- 
+ 
- 
+ 
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________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
30 
 
 yEk 11,x ⋅⋅=σ 
 yEk 22,x ⋅⋅=σ 
 
 A posição da linha neutra é obtida igualando-se a zero a força axial resultante que 
atua na seção. Logo: 
 
 0dAdA
21 A
2,x
A
1,x =⋅+⋅ ∫∫ σσ 
 
ou ainda: 
 
 0dAyE dAyE
21 A
2
A
1 =⋅⋅+⋅⋅ ∫∫ 
 
 Na equação anterior, as integrais representam os momentos estáticos das áreas 
parciais da seção transversal em relação à linha neutra. 
 
 O momento fletor resultante na seção transversal é obtido pela expressão: 
 
 ∫∫ ⋅⋅+⋅⋅=
21 A
2,x
A
1,xz dAydAyM σσ 
 
 Desenvolvendo: 
 
 ∫∫ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
21 A
2
2
A
2
1z dAyEk dAyEkM 
 
 As integrais representam os momentos de inércia das áreas parciais da seção 
transversal em relação à linha neutra. 
 
 Daí: 
 
 2,z21,z1z IEk IEkM ⋅⋅+⋅⋅= 
 
ou: 
 
 
( )2,z21,z1z IE IEkM ⋅+⋅⋅= 
 
 Portanto, a curvatura k é dada por: 
 
 ( )2,z21,z1
z
IE IE
Mk
⋅+⋅
= 
 
 Substituindo a expressão anterior nas equações de tensões normais, obtém-se: 
 
 ( )2,z21,z1
1z
1,x IE IE
yEM
⋅+⋅
⋅⋅
=σ 
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________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
31 
 ( )2,z21,z1
2z
2,x IE IE
yEM
⋅+⋅
⋅⋅
=σ 
 
Se EEE 21 == , as equações transformam-se em yI
M
z
z
x ⋅=σ , para vigas de um só 
material. 
 
 
Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 
________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
32 
VII – FLEXÃO COMPOSTA 
 
1 – Flexão e Carga Axial 
 
 Os elementos de uma estrutura estão, algumas vezes, sujeitos à ação simultânea de 
cargas de flexão e axiais. 
 A figura mostra um exemplo desta situação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As tensões normais resultantes em qualquer seção transversalda viga são obtidas 
pela superposição das tensões axiais devidas a N e M podem ser calculadas pela equação: 
 
 y
I
M
A
N
x ⋅±=σ 
 
 O diagrama final de tensões é: 
 
 
 
 
 
 
 
 O princípio da superposição dos efeitos poderá ser aplicado, desde que se garanta 
a linearidade da distribuição das deformações longitudinais e das tensões normais em todos 
os pontos da seção transversal do elemento. 
 Quando o momento fletor for conseqüência de uma excentricidade e da carga N em 
relação ao centróide da seção, podemos escrever: 
 
 eNM ⋅= 
 
 A figura ilustra a situação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
N 
M = N.e 
e 
y 
= 
y 
N 
M 
N 
M 
x 
y 
z 
 
 
 
σσσσ
σσσσx (M) σσσσx (N) 
Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Flávia Moll de Souza Judice 
________________________________________________________________________________________________ 
 
Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
33 
Exercício: Calcular as tensões normais máximas no pilar de seção transversal quadrada 
submetido à força normal excêntrica, sabendo que N=4000 kN. Adotar: cm 20e = ; 
cm 3,13e = ; cm 10e = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os esforços solicitantes são: 
 
 N104N 6⋅−= 
 Nmm e104M 6z ⋅⋅−= 
 
 As características geométricas da seção são: 
 
 
25
mm104,6800800A ⋅=⋅= 
 
410
3
z mm104,312
800800I ⋅=⋅= 
 
 As máximas tensões normais, para mm 200e = , são: 
 
 
( ) MPa6,15
104,3
400200100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x −=
⋅
⋅⋅⋅−
+
⋅
⋅−
=σ 
 
( ) ( ) MPa1,3
104,3
400200100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x =
⋅
−⋅⋅⋅−
+
⋅
⋅−
=σ 
 
 O diagrama de tensões é: 
 
 
 
 
 
 
 
 As máximas tensões normais, para mm 133e = , são: 
 
 
( ) MPa5,12
104,3
400133100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x −=
⋅
⋅⋅⋅−
+
⋅
⋅−
=σ 
3,1 MPa 
-15,6 MPa 
80 cm 
80 y 
z 
z x 
N 
e 
y 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais I 
34 
 
( ) ( ) 0
104,3
400133100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x =
⋅
−⋅⋅⋅−
+
⋅
⋅−
=σ 
 
 
 O diagrama de tensões é: 
 
 
 
 
 
 
 
 As máximas tensões normais, para mm 100e = , são: 
 
 
( ) MPa 9,10
104,3
400100100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x −=
⋅
⋅⋅⋅−
+
⋅
⋅−
=σ 
 
( ) ( )
 MPa6,1
104,3
400100100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x −=
⋅
−⋅⋅⋅−
+
⋅
⋅−
=σ 
 
 O diagrama de tensões é: 
 
 
 
 
 
 
 
 Haverá casos em que será importante garantir que, em um pilar comprimido pela 
ação de forças normais excêntricas, não haja inversão do sinal de tensão (como no caso do 
concreto, que é praticamente incapaz de suportar tensões de tração). Nesses casos, será 
necessário limitar uma região da seção, chamada núcleo central, onde as forças de 
compressão nela aplicadas produzirão apenas compressão sobre todas as seções 
transversais. 
 O exemplo mostra um pilar de seção retangular submetido à carga concentrada F 
com excentricidade e em relação ao eixo z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-10,9 MPa 
-1,6 MPa 
-12,5 MPa 
F 
y 
z 
x 
e 
h 
b 
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 Os esforços solicitantes são: 
 
 FN −= 
 eFM ⋅−= 
 
 Para que ocorram apenas tensões normais de compressão: 
 
 
( ) 0
12
hb
zeF
hb
F
3x
≤






⋅
⋅⋅−
+
⋅
−
=σ 
 
( ) ( )
0
12
hb
2
heF
hb
F
3
≤






⋅
−⋅⋅−
+
⋅
−
 
 
6
h
e ≤ 
 
6
h
emax = 
 
 Analogamente, se a força F estivesse aplicada com excentricidade e em relação ao 
eixo y, o máximo valor de e seria 6
b
. 
 
 A figura mostra o núcleo central da seção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No caso de um pilar com seção circular, de diâmetro d, o núcleo central tem área 
também circular de raio igual à máxima excentricidade admissível, tal que: 
 
 
( ) ( )
0
64
d
2
deF
4
d
F
42
≤






⋅
−⋅⋅−
+






⋅
−
pipi
 
 
8
d
e ≤ 
 
8
d
emax = 
 
 
 
 
z 
y 
b/6 
h/6 
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36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Flexão e Torção 
 
 Tal como vimos anteriormente, os elementos de uma estrutura podem também estar 
solicitados simultaneamente por cargas de flexão e de torção. Sob tais condições, a 
determinação das tensões em um ponto qualquer da seção transversal será feita utilizando 
o princípio da superposição dos efeitos, somando-se algebricamente as tensões devidas 
a cada um dos esforços, isoladamente. 
 
d 
d/4 
F 
y 
z 
x 
e 
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37 
VIII – ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
 
 Energia de deformação é definida como o acréscimo de energia associada com a 
deformação de um elemento, correspondendo ao trabalho realizado pelo aumento gradual 
da carga aplicada ao elemento. 
 O conceito de energia de deformação é útil na determinação dos efeitos de choques 
e impactos provocados por cargas em componentes de máquinas e elementos estruturais. 
 
 
1 - Energia de deformação axial 
 
 Quando uma barra em tração simples é carregada por uma força P, a barra se 
alonga e, se o material seguir a lei de Hooke, o diagrama carga-deslocamento será uma 
reta, conforme mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Durante o carregamento, a força P executa trabalho que é transformado em energia 
potencial, ou energia de deformação, que é armazenada na barra. Se a carga P for 
lentamente retirada, a barra retorna ao seu comprimento original e durante este processo, a 
energia de deformação armazenada na barrapode ser recuperada em forma de trabalho. 
 
 A energia de deformação armazenada durante o carregamento pode ser obtida pelo 
diagrama carga-deslocamento. 
 
 Suponha que 1P seja um valor intermediário da carga e que 1δ seja o alongamento 
correspondente. Um incremento 1dP na carga produzirá um incremento 1dδ no 
alongamento. O trabalho executado por 1P durante o acréscimo do alongamento é 11 dP δ⋅ , 
representado na figura pela área hachurada. O trabalho total do processo de carregamento 
é dado pelo somatório das áreas elementares e é igual à área do diagrama carga-
deslocamento, tal que: 
 
 
2
PU δ⋅= 
 
 Substituindo 
AE
LP
⋅
⋅
=δ na expressão anterior, chega-se a: 
 
 
AE2
LPU
2
⋅⋅
⋅
= ou 
L2
AEU
2
⋅
⋅⋅
=
δ
 
O 
δ1 
dP1 
dδ1 
δ 
P1 
P 
δ 
L 
P 
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38 
 
 Algumas vezes é útil conhecer a energia de deformação por unidade de volume. 
Para uma barra uniformemente tracionada, tem-se: 
 
 
LA
U
V
U
u
⋅
== 
ou seja, 
 
 
E2
u
2
⋅
=
σ
 ou 
2
E
u
2ε⋅
= 
 
 O maior valor da energia de deformação, por unidade de volume, que pode ser 
armazenada numa barra, sem exceder o limite de proporcionalidade é denominado módulo 
de resiliência, que é achado substituindo-se σ pela tensão-limite de proporcionalidade na 
expressão anterior. 
 
 O conceito de energia de deformação em barras tracionadas aplica-se também a 
barras comprimidas. Como a energia de deformação é igual ao trabalho efetuado pela força 
P durante o carregamento, conclui-se que a energia de deformação é sempre positiva. 
 
 
2 - Energia de deformação no cisalhamento puro 
 
 A energia de deformação armazenada em um cubo de material sujeito a forças de 
cisalhamento, V , nas quatro faces pode ser calculada pelo método usado na tração 
simples. Durante a deformação do material, a face superior, ab, move-se horizontalmente, 
deslocando-se de δ em relação à face inferior, cd, enquanto a força cortante cresce 
gradualmente de zero até o valor final, V . 
 
 Supondo-se que o material siga a Lei de Hooke, a deformação por cisalhamento é 
proporcional à tensão de cisalhamento, tal que: 
 
 γτ ⋅= G 
 
onde: 
 
 
L
δγ = 
 
 
A
V
=τ 
 
onde A é a área da face superior do cubo. 
 
 O diagrama carga-deslocamento é análogo ao diagrama visto anteriormente para 
uma barra tracionada. O trabalho executado pela força V e armazenado sob a forma de 
energia de deformação é: 
 
 
2
VU δ⋅= 
 
 
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39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Substituindo, obtém-se: 
 
 
AG2
LVU
2
⋅⋅
⋅
= ou 
L2
AGU
2
⋅
⋅⋅
=
δ
 
 
 Dividindo pelo volume LA ⋅ do cubo, obtêm-se duas equações para a energia de 
deformação por cisalhamento: 
 
 
G2
u
2
⋅
=
τ
 ou 
2
G
u
2γ⋅
= 
 
 
3 – Energia de deformação na torção 
 
 A energia de deformação por torção em um eixo de seção circular pode ser obtida a 
partir do diagrama carga-rotação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Durante a torção do eixo, o torque T executa um trabalho, que é igual à área sob o 
diagrama carga-rotação, de modo que a energia de deformação elástica armazenada na 
barra é: 
 
 
2
TU φ⋅= 
 
V 
V 
V 
V 
a 
b 
c d 
γ γ 
δ 
L 
L 
O φ 
T 
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40 
 Substituindo na equação anterior 
JG
LT
⋅
⋅
=φ , tem-se: 
 
 
JG2
LTU
2
⋅⋅
⋅
= ou 
L2
JGU
2
⋅
⋅⋅
=
φ
 
 
 A primeira equação dá a energia de deformação em função do torque T e a segunda 
fornece a energia de deformação em função do ângulo de torção φ. Essas equações são 
válidas para eixos circulares, vazados ou não, desde que J tenha a expressão apropriada. 
 
 
4 - Energia de deformação na flexão 
 
 Seja uma viga em flexão pura. Como o momento fletor M é constante, a viga 
deforma-se formando um arco de círculo, tal que a curvatura é: 
 
 
IE
Mk
⋅
= 
 
 O ângulo subtendido por este arco é: 
 
 
IE
LM
⋅
⋅
=θ 
 
 A relação linear existente entre o ângulo θ e a carga M está representada 
graficamente pela linha OA da figura. À medida que M aumenta gradualmente de zero até 
seu valor máximo, executa um trabalho representado pela área do diagrama carga-deflexão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, a energia de deformação armazenada na viga submetida à flexão pura é: 
 
 
2
MU θ⋅= 
 
 Substituindo, obtém-se: 
 
 
IE2
LMU
2
⋅⋅
⋅
= ou 
L2
IEU
2
⋅
⋅⋅
=
θ
 
 
O θ 
M 
A θ 
M M 
L 
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41 
 Se a viga não estiver em flexão pura e o momento fletor M variar ao longo do 
comprimento, pode-se obter a energia de deformação considerando um elemento de 
comprimento dx e integrando a expressão. O ângulo θd formado pelos lados do elemento 
considerado é: 
 
 
IE
dxMd
⋅
⋅
=θ 
 
 Logo, a energia dU armazenada no elemento é: 
 
 
IE2
dxMdU
2
⋅⋅
⋅
= 
 
 A energia total armazenada na viga é: 
 
 ∫
⋅⋅
⋅
=
IE2
dxMU
2
 
 
sendo a integração feita ao longo de todo o comprimento da viga. 
 
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42 
IX – ANÁLISE DE TENSÕES 
 
1 – Tensões em Planos Inclinados 
 
 Quando uma barra prismática está sujeita à tração simples, as tensões numa seção 
transversal mn, normal ao seu eixo, são uniformemente distribuídas e iguais a A
P
. 
 Consideremos as tensões no plano pq que corta a barra formando um ângulo θ com 
a seção transversal mn. As forças que representama ação do lado direito sobre o lado 
esquerdo da barra são uniformemente distribuídas sobre a seção inclinada pq, conforme 
mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Uma vez que a parte esquerda está em equilíbrio sob a ação dessas forças e da 
carga externa P, conclui-se que a resultante das forças distribuídas sobre a seção inclinada 
é igual a P. 
 Decompondo-se a resultante R em duas componentes N e V, que são normal e 
tangente, respectivamente, ao plano inclinado, obtém-se: 
 
 θcosPN ⋅= 
 
 θsenPV ⋅= 
 
 Como a área A´ da seção inclinada é θcos
A
, as tensões correspondentes a N e V 
são: 
 
 θσθσθ 2x2 coscosA
P
A´
N
⋅=⋅== (1a) 
 
 θθσθθτθ cossencossenA
P
A´
V
x ⋅⋅=⋅⋅== (1b) 
 
onde A
P
x =σ é a tensão normal à seção transversal da barra. 
 
 Nas equações anteriores, θσ e θτ são, respectivamente, as tensões normal e de 
cisalhamento no plano pq, cuja orientação é definida pelo ângulo θ. 
q 
m 
n 
p θ 
P P 
θ 
R P 
N 
V 
θ P 
σθ 
τ
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________________________________________________________________________________________________ 
 
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43 
 A Eq. (1a) mostra como a tensão normal θσ varia em função do ângulo θ. Quando 
0=θ , o plano pq coincide com mn, acarretando xσσθ = . Se o ângulo θ aumentar, a 
tensão θσ diminuirá até que, em 2
piθ = , anula-se. Assim, xmax σσ = . 
 A Eq. (1b) mostra que a tensão de cisalhamento τ é nula quando 0=θ e 2piθ = , 
atingindo o valor máximo quando 4
piθ = . Este máximo é 2
x
max
στ = . 
 
Convenção de sinais: 
 
a) Tensões normais positivas θσ são aquelas que agem afastando-se da superfície do 
material, independentemente da orientação desta; 
b) Tensões de cisalhamento θτ são positivas quando agem no sentido horário em 
relação à superfície do material. 
 
 Uma representação conveniente das tensões num ponto da barra é feita pelo 
isolamento de uma parte elementar do material, com as tensões indicadas em todos os 
lados do elemento. 
 A figura 2 mostra dois elementos A e B cortados de uma barra tracionada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O elemento A está orientado de modo que 0=θ e, assim, a única tensão que age 
sobre ele é A
P
x =σ . 
 O segundo elemento sofreu um giro definido por θ e, portanto, as tensões no lado bd 
são θσ e θτ . A normal do lado ab do elemento é orientada pelo ângulo 2
piθ + em relação 
ao eixo x, sendo possível determinar as tensões nesse plano substituindo θ por 2
piθ + na 
Eq. (1), chegando-se a: 
 
 
( ) θσpiθσσ θ 2x2x sen2cos´ ⋅=+⋅= (2a) 
 
 
( ) ( ) θθσpiθpiθστ θ cossen2cos2sen´ xx ⋅⋅−=+⋅+⋅= (2b) 
 
σx σx 
σθ θ 
A B P P 
σ´θ 
τθ 
σθ 
σ´θ 
τθ 
τ´θ 
τ´θ 
A B 
b 
a 
c 
d 
x 
y 
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44 
 Como xσ é positivo, vê-se na figura que a tensão normal θσ´ é também positiva. A 
tensão de cisalhamento θτ´ .no lado ab do elemento é negativa, indicando que age em 
sentido anti-horário em relação à superfície do elemento. 
 Comparando-se as Eq. (1) e (2), tem-se: 
 
 x´ σσσ θθ =+ (3a) 
 
 θθ ττ −=´ (3b) 
 
 
Conclusão: A Eq. (3a) mostra que, para uma barra tracionada, a soma das tensões normais 
em dois planos perpendiculares é constante e igual a xσ . A Eq. (3b) mostra que as tensões 
de cisalhamento, em planos ortogonais, são iguais em valor absoluto, porém têm sinais 
opostos. 
 
 Para calcular as tensões nos outros dois lados do elemento, basta substituir θ por 
piθ + (lado ac) ou 23piθ + (lado cd). Vê-se, assim, que as tensões normal e de 
cisalhamento, no lado ac, são as mesmas que atuam no lado bd e que as tensões, no lado 
cd, são idênticas às do lado ab. 
 
 
2 – Tensões Biaxiais 
 
 Consideremos um estado de tensões mais geral, em que as tensões normais em um 
elemento agem nas direções x e y, mostrada na figura abaixo. Tal situação é conhecida 
como tensões biaxiais, para distinguí-la da tensão em uma direção, ou uniaxial, 
considerada anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para determinar as tensões θσ e θτ , consideremos o equilíbrio do triângulo 
elementar. Chamando de A a área da face sobre a qual atua a tensão xσ , a área da face y 
(sobre a qual atua a tensão yσ ) será θtgA ⋅ e a área da face inclinada será θsecA ⋅ . 
 As forças nas faces x e y serão, respectivamente, Ax ⋅σ e θσ tgAy ⋅⋅ . Cada uma 
dessas forças pode ser decomposta em duas componentes ortogonais, uma agindo na 
direção da normal ao plano inclinado e a outra em direção paralela ao plano. 
 Assim, somando-se as forças nessas direções, obtêm-se duas equações para o 
equilíbrio do triângulo elementar, que são: 
 
 θθσθσθσθ sentgAcosAsecA yx ⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ (4a) 
 
 θθσθσθτθ costgAsenAsecA yx ⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅ (4b) 
 
σx σx 
σθ 
σ´θ 
τθ 
σθ 
σ´θ 
τθ 
τ´θ 
τ´θ 
σy 
σy 
q 
p 
θ 
σθ θ 
τθ 
σy 
σx 
θ 
y 
x 
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45 
 Desenvolvendo as expressões anteriores, chega-se a: 
 
 θσθσσθ 2y2x sencos ⋅+⋅= (5a) 
 
 ( ) θθσστθ cossenyx ⋅⋅−= (5b) 
 
 As Eq. (5) dão os valores algébricos das tensões normal e de cisalhamento, em 
qualquer plano inclinado, em função das tensões normais xσ e yσ que agem nas direções x 
e y, respectivamente. 
 Usando as relações trigonométricas abaixo: 
 
 
2
2sen
cossen
θθθ =⋅ 
 
 
2
2cos1
cos2
θθ += 
 
 
2
2cos1
sen2
θθ −= 
 
 Pode-se reescrever as equações anteriores de outra forma: 
 
 
( ) ( )
θ
σσσσ
σθ 2cos22
yxyx
⋅
−
+
+
= (6a) 
 
 
( )
θ
σσ
τθ 2sen2
yx
⋅
−
= (6b) 
 
 Substituindo θ por ( )2piθ + nas Eq. (6), são obtidas as expressões das tensões 
θσ´ e θτ´ que atuam no plano ortogonal ao plano inclinado: 
 
 
( ) ( )
θ
σσσσ
σ θ 2cos22
´
yxyx
⋅
−
−
+
= (7a) 
 
 
( )
θ
σσ
τ θ 2sen2
´
yx
⋅
−
−= (7b) 
 
 Somando as Eq. (6a) e (7a), chega-se a: 
 
 yx´ σσσσ θθ +=+ (8) 
 
 
Conclusão: A soma das tensões normais, em dois planos quaisquer perpendiculares entre 
si, é constante. 
 
 Comparando-se as Eq. (6b) e (7b), nota-se, outra vez, que as tensões de 
cisalhamento em planos perpendiculares, são iguais em intensidade, porém têm sentidos 
opostos. 
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