PF_4h_f3unif_092_def_enunc_gab

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2009/2
Prova Final (PF) – 17/12/2009
Versa˜o: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questo˜es objetivas, de mu´ltipla escolha (sem nenhum tipo de penalizac¸a˜o), cada
uma das quais valendo 0,5 ponto
• uma parte discursiva, constitu´ıda por duas questo˜es discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F e = qE , Fm = qv×B , Fm =
∫
C
Idℓ×B ,
∮
S
E · nˆ dA =
Qint
ǫ0
,
∮
S
B · nˆ dA = 0 , B =
µ0
4π
qv × rˆ
r2
, B =
∫
C
µ0
4π
Idℓ× rˆ
r2
,
∮
C
B ·dℓ = µ0Ienc + µoǫ0
dΦE
dt
,
E = −
dΦB
dt
, uE =
1
2
ǫ0E
2 , uB =
1
2
B2
µ0
.
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Dois fios condutores, de mesmo comprimento L,
foram dispostos na forma de dois ane´is circulares,
o primeiro (I) com uma u´nica volta e o segundo
(II) com duas voltas. A seguir, estabeleceu-se
uma corrente estaciona´ria de mesma intensidade I
em cada um dos ane´is. Assinale a alternativa que
indica corretamente a relac¸a˜o entre os mo´dulos
dos campos magne´ticos no centro de cada anel,
assim como a relac¸a˜o entre os mo´dulos dos mo-
mentos de dipolo magne´tico de cada anel.
(a) BI > BII , µI > µII .
(b) BI > BII , µI = µII .
(c) BI > BII , µI < µII .
(d) BI = BII , µI > µII .
(e) BI = BII , µI = µII .
(f) BI = BII , µI < µII .
(g) BI < BII , µI > µII .
(h) BI < BII , µI = µII .
(i) BI < BII , µI < µII .
2. Uma part´ıcula (pontual) de carga negativa, su-
jeita a campos ele´trico e magne´tico constan-
tes (uniformes e estaciona´rios), conforme a fi-
gura abaixo, encontra-se inicialmente em repouso.
Das curvas tracejadas mostradas na figura, assi-
nale aquela que melhor indica a trajeto´ria que a
part´ıcula seguira´.
b |⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗
E
B I II
III
IV
V
VI
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) IV.
(e) V.
(f) VI.
3. Considere as seguintes afirmac¸o˜es referentes a um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico:
(I) As linhas de campo ele´trico que saem de ou
chegam em sua superf´ıcie fazem-no sempre per-
pendicularmente.
(II) O potencial eletrosta´tico e´ constante tanto
na superf´ıcie, quanto no interior (“na massa”) do
condutor.
(III) Se, nesse condutor, houver uma cavidade
(buraco) interna, nenhum ponto da superf´ıcie
dessa cavidade podera´ ter densidade de carga di-
ferente de zero, mesmo que exista uma part´ıcula
carregada no interior da cavidade.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
qual(is) da(s) afirmac¸a˜o(o˜es) acima e´(sa˜o) falsa(s)
e qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s).
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
2
4. A figura abaixo representa uma barra de cobre ele-
tricamente neutra transladando-se com uma velo-
cidade constante v no plano do papel. Ela in-
gressa numa regia˜o do espac¸o onde ha´ um campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio),
orientado para dentro do plano do papel, perpen-
dicularmente ao mesmo.
v
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
Qual dos itens a seguir melhor representa a distri-
buic¸a˜o das cargas na barra em movimento?
(a)
v
+
+
+
+
|
|
|
|
|
(b)
v
+
+
+
+
+
|
|
|
|
(c)
v
+++
| | |
(d)
v
+++
| | |
(e) Nenhum dos anteriores, pois a barra e´
neutra.
5. Imagine um arranjo, como mostrado na figura
abaixo, de treˆs correntes retil´ıneas, estaciona´rias,
muito longas.
I
2I
I
a
a
Indique a opc¸a˜o que fornece o mo´dulo e o sen-
tido da forc¸a magne´tica resultante, por unidade
de comprimento, sobre o fio mais inferior.
(a) µ0I
2
4πa , para baixo.
(b) µ0I
2
4πa , para cima.
(c) 3µ0I
2
4πa , para baixo.
(d) 3µ0I
2
4πa , para cima.
(e) µ0I
2
4πa , para a esquerda.
(f) 3µ0I
2
4πa , para a direita.
3
6. Uma espira retangular, condutora (oˆhmica),
r´ıgida, pequena, move-se, a velocidade cons-
tante, no sentido de uma grande regia˜o de campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio),
conforme mostra a figura abaixo.
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
v
Considerando a corrente como positiva quando no
sentido anti-hora´rio, assinale a opc¸a˜o que melhor
representa o gra´fico da corrente induzida, Iind,
atrave´s da espira em func¸a˜o do tempo, t.
(a)
(b)
(c)
(d)
7. Sa˜o dadas duas cascas condutoras esfe´ricas, muito
finas, conceˆntricas, de raios a e b, com a < b.
Na menor, de raio a, ha´ uma carga Q > 0, ao
passo que na maior, de raio b, ha´ uma carga −2Q.
Em um certo momento, essas cascas sa˜o eletri-
camente conectadas. Apo´s atingido o equil´ıbrio
eletrosta´tico, indique em qual das cascas a carga
e´ maior e em qual o potencial eletrosta´tico e´
maior.
(a) casca de raio a, casca de raio a.
(b) casca de raio a, casca de raio b.
(c) as cascas teˆm a mesma carga e o mesmo
potencial.
(d) casca de raio b, casca de raio a.
(e) casca de raio b, casca de raio b.
(f) casca de raio a; ambas as cascas teˆm o
mesmo potencial.
(g) casca de raio b; ambas as cascas teˆm o
mesmo potencial.
8. Temos dois indutores ideais, totalmente separa-
dos um do outro, de mesma auto-indutaˆncia. No
primeiro deles, passa uma corrente de intensi-
dade I1(t) = (6A/s) t, ao passo que, no se-
gundo, passa uma outra corrente de intensidade
I2(t) =
(
1A/s2
)
t2. No instante t = 3 s, qual das
opc¸o˜es abaixo e´ a correta?
(a) A fem auto-induzida no indutor 1 tem
mo´dulo maior que o da auto-induzida no
indutor 2.
(b) A fem auto-induzida no indutor 1 tem
mo´dulo menor que o da auto-induzida no
indutor 2.
(c) As fem’s auto-induzidas nos indutores 1
e 2 teˆm mo´dulos iguais.
(d) Na˜o e´ poss´ıvel comparar os mo´dulos das
fem’s auto-induzidas so´ com os dados for-
necidos.
4
9. Uma part´ıcula (pontual), de massa m e carga
q, esta´ em repouso, sujeita a dois campos: (i)
um campo eletrosta´tico devido a uma chapa fina,
plana, horizontal, de dimenso˜es muito grandes (de
modo que ela possa ser tratada como um plano in-
finito), com densidade superficial de carga σ > 0,
e (ii) o campo gravitacional usual da Terra, g,
na direc¸a˜o vertical. Sabendo que a part´ıcula esta´
acima da chapa, indique a opc¸a˜o que mostra cor-
retamente o sinal e o mo´dulo da carga.
(a) positivo, 2ǫ0mg/σ .
(b) positivo, ǫ0mg/σ .
(c) positivo, σ/(ǫ0mg) .
(d) negativo, 2ǫ0mg/σ .
(e) negativo, ǫ0mg/σ .
(f) negativo, σ/(ǫ0mg) .
10. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) Se ha´ part´ıculas carregadas no interior de uma
superf´ıcie fechada, enta˜o o fluxo do campo ele´trico
atrave´s de tal superf´ıcie e´, necessariamente, dife-
rente de zero.
(II) O fluxo do campo ele´trico pode ser calculado
tanto atrave´s de uma superf´ıcie fechada como de
uma aberta.
(III) Dados dois pontos, Pin e Pfin, sobre uma
linha de campo eletrosta´tico, de forma que sua
orientac¸a˜o seja de Pin para Pfin, o potencial ele-
trosta´tico em Pin sera´ maior que em Pfin.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na or-
dem, qual(is) da(s) afirmac¸a˜o(co˜es) acima e´(sa˜o)
falsa(s) e qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s).
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
5
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas
1. Na figura abaixo, mostramos dois condutores cil´ındricos, circulares, de altura comum h, coaxiais com o
eixo Z, em equil´ıbrio eletrosta´tico. O primeiro deles e´ so´lido, possui raio a e carga total Q > 0. O segundo
deles e´ uma casca cil´ındrica de espessura desprez´ıvel, possuindo raio b > a e carga total −Q. Admita que a
altura h e´ muitomaior que o maior raio, b, de modo que os cilindros podem ser considerados muito longos
e, portanto, efeitos de borda podem ser desprezados.
(a) Determine o campo eletrosta´tico nas treˆs regio˜es: 0 ≤ r < a, a < r < b, b < r . [1,2 ponto]
(b) Determine o mo´dulo da ddp entre um ponto gene´rico dentro do so´lido e um outro ponto gene´rico na
casca circundante. [0,8 ponto]
(c) Determine a capacitaˆncia de tal sistema quando a regia˜o entre as placas, ou seja, entre os condutores,
esta´ recheada por um isolante de constante diele´trica K. [0,5 ponto]
bb
Z
a
b
h
6
7
2. Considere um fio retil´ıneo condutor, muito longo, portando uma corrente de intensidade I, co-planar a uma
espira condutora, retangular, de lados b e c, com seu lado mais pro´ximo, paralelo ao fio, a uma distaˆncia a
deste, conforme mostra a figura abaixo.
(a) Sendo a corrente no fio estaciona´ria, o campo magne´tico correspondente e´ dado por
B =
µ0I
2πr
φˆ .
Determine, enta˜o, o fluxo de tal campo atrave´s da superf´ıcie plana definida pela espira, tomando o seu
vetor normal unita´rio como o pro´prio φˆ . [1,0 ponto]
(b) Suponha, agora, que a corrente no fio varia no tempo como
I(t) = Gt , (G = const > 0) .
Suponha que a corrente satisfaz a condic¸a˜o de regime quase-estaciona´rio, ou seja, “varia lentamente”; nesse
caso, a fo´rmula do item (a) para o campo magne´tico continua ainda va´lida, com a nova expressa˜o acima para
a corrente. Sabendo que a resisteˆncia da espira vale R, determine, enta˜o, o mo´dulo da corrente induzida
ao longo da espira, assim como seu sentido, indicando-o explicitamente. [0,8 ponto]
(c) Ainda supondo as condic¸o˜es do item (b), visto que o campo magne´tico criado pelo fio e´ na˜o uniforme,
a forc¸a magne´tica resultante do fio sobre a espira na˜o sera´ nula. Determine-a (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido),
dizendo claramente se a espira sera´ atra´ıda ou repelida. [0,7 ponto]
Z
I
a
b
c
⊗
zˆ
rˆφˆ
8
9
10
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Dois fios condutores, de mesmo comprimento L,
foram dispostos na forma de dois ane´is circulares,
o primeiro (I) com uma u´nica volta e o segundo
(II) com duas voltas. A seguir, estabeleceu-se
uma corrente estaciona´ria de mesma intensidade I
em cada um dos ane´is. Assinale a alternativa que
indica corretamente a relac¸a˜o entre os mo´dulos
dos campos magne´ticos no centro de cada anel,
assim como a relac¸a˜o entre os mo´dulos dos mo-
mentos de dipolo magne´tico de cada anel.
(a) BI > BII , µI > µII .
(b) BI > BII , µI = µII .
(c) BI > BII , µI < µII .
(d) BI = BII , µI > µII .
(e) BI = BII , µI = µII .
(f) BI = BII , µI < µII .
(g) BI < BII , µI > µII .
(h) BI < BII , µI = µII .
(i) BI < BII , µI < µII .
2. Uma part´ıcula (pontual) de carga negativa, su-
jeita a campos ele´trico e magne´tico constan-
tes (uniformes e estaciona´rios), conforme a fi-
gura abaixo, encontra-se inicialmente em repouso.
Das curvas tracejadas mostradas na figura, assi-
nale aquela que melhor indica a trajeto´ria que a
part´ıcula seguira´.
b |⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗
E
B I II
III
IV
V
VI
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) IV.
(e) V.
(f) VI.
3. Considere as seguintes afirmac¸o˜es referentes a um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico:
(I) As linhas de campo ele´trico que saem de ou
chegam em sua superf´ıcie fazem-no sempre per-
pendicularmente.
(II) O potencial eletrosta´tico e´ constante tanto
na superf´ıcie, quanto no interior (“na massa”) do
condutor.
(III) Se, nesse condutor, houver uma cavidade
(buraco) interna, nenhum ponto da superf´ıcie
dessa cavidade podera´ ter densidade de carga di-
ferente de zero, mesmo que exista uma part´ıcula
carregada no interior da cavidade.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
qual(is) da(s) afirmac¸a˜o(o˜es) acima e´(sa˜o) falsa(s)
e qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s).
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
1
4. A figura abaixo representa uma barra de cobre ele-
tricamente neutra transladando-se com uma velo-
cidade constante v no plano do papel. Ela in-
gressa numa regia˜o do espac¸o onde ha´ um campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio),
orientado para dentro do plano do papel, perpen-
dicularmente ao mesmo.
v
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
Qual dos itens a seguir melhor representa a distri-
buic¸a˜o das cargas na barra em movimento?
(a)
v
+
+
+
+
|
|
|
|
|
(b)
v
+
+
+
+
+
|
|
|
|
(c)
v
+++
| | |
(d)
v
+++
| | |
(e) Nenhum dos anteriores, pois a barra e´
neutra.
5. Imagine um arranjo, como mostrado na figura
abaixo, de treˆs correntes retil´ıneas, estaciona´rias,
muito longas.
I
2I
I
a
a
Indique a opc¸a˜o que fornece o mo´dulo e o sen-
tido da forc¸a magne´tica resultante, por unidade
de comprimento, sobre o fio mais inferior.
(a) µ0I
2
4πa , para baixo.
(b) µ0I
2
4πa , para cima.
(c) 3µ0I
2
4πa , para baixo.
(d) 3µ0I
2
4πa , para cima.
(e) µ0I
2
4πa , para a esquerda.
(f) 3µ0I
2
4πa , para a direita.
2
6. Uma espira retangular, condutora (oˆhmica),
r´ıgida, pequena, move-se, a velocidade cons-
tante, no sentido de uma grande regia˜o de campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio),
conforme mostra a figura abaixo.
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
v
Considerando a corrente como positiva quando no
sentido anti-hora´rio, assinale a opc¸a˜o que melhor
representa o gra´fico da corrente induzida, Iind,
atrave´s da espira em func¸a˜o do tempo, t.
(a)
(b)
(c)
(d)
7. Sa˜o dadas duas cascas condutoras esfe´ricas, muito
finas, conceˆntricas, de raios a e b, com a < b.
Na menor, de raio a, ha´ uma carga Q > 0, ao
passo que na maior, de raio b, ha´ uma carga −2Q.
Em um certo momento, essas cascas sa˜o eletri-
camente conectadas. Apo´s atingido o equil´ıbrio
eletrosta´tico, indique em qual das cascas a carga
e´ maior e em qual o potencial eletrosta´tico e´
maior.
(a) casca de raio a, casca de raio a.
(b) casca de raio a, casca de raio b.
(c) as cascas teˆm a mesma carga e o mesmo
potencial.
(d) casca de raio b, casca de raio a.
(e) casca de raio b, casca de raio b.
(f) casca de raio a; ambas as cascas teˆm o
mesmo potencial.
(g) casca de raio b; ambas as cascas teˆm o
mesmo potencial.
8. Temos dois indutores ideais, totalmente separa-
dos um do outro, de mesma auto-indutaˆncia. No
primeiro deles, passa uma corrente de intensi-
dade I1(t) = (6A/s) t, ao passo que, no se-
gundo, passa uma outra corrente de intensidade
I2(t) =
(
1A/s
2
)
t2. No instante t = 3 s, qual das
opc¸o˜es abaixo e´ a correta?
(a) A fem auto-induzida no indutor 1 tem
mo´dulo maior que o da auto-induzida no
indutor 2.
(b) A fem auto-induzida no indutor 1 tem
mo´dulo menor que o da auto-induzida no
indutor 2.
(c) As fem’s auto-induzidas nos indutores 1
e 2 teˆm mo´dulos iguais.
(d) Na˜o e´ poss´ıvel comparar os mo´dulos das
fem’s auto-induzidas so´ com os dados for-
necidos.
3
9. Uma part´ıcula (pontual), de massa m e carga
q, esta´ em repouso, sujeita a dois campos: (i)
um campo eletrosta´tico devido a uma chapa fina,
plana, horizontal, de dimenso˜es muito grandes (de
modo que ela possa ser tratada como um plano in-
finito), com densidade superficial de carga σ > 0,
e (ii) o campo gravitacional usual da Terra, g,
na direc¸a˜o vertical. Sabendo que a part´ıcula esta´
acima da chapa, indique a opc¸a˜o que mostra cor-
retamente o sinal e o mo´dulo da carga.
(a) positivo, 2ǫ0mg/σ .
(b) positivo, ǫ0mg/σ .
(c) positivo, σ/(ǫ0mg) .
(d) negativo, 2ǫ0mg/σ .
(e) negativo, ǫ0mg/σ .
(f) negativo, σ/(ǫ0mg) .
10. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) Se ha´ part´ıculas carregadas no interior de uma
superf´ıcie fechada, enta˜o o fluxo do campo ele´trico
atrave´s de tal superf´ıcie e´, necessariamente, dife-
rente de zero.
(II) O fluxo do campo ele´trico pode ser calculado
tanto atrave´s de uma superf´ıcie fechada como de
uma aberta.
(III) Dados dois pontos, Pin e Pfin, sobre uma
linha de campo eletrosta´tico, de forma que sua
orientac¸a˜o seja de Pinpara Pfin, o potencial ele-
trosta´tico em Pin sera´ maior que em Pfin.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na or-
dem, qual(is) da(s) afirmac¸a˜o(co˜es) acima e´(sa˜o)
falsa(s) e qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s).
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas
1. Na figura abaixo, mostramos dois condutores cil´ındricos, circulares, de altura comum h, coaxiais com o
eixo Z, em equil´ıbrio eletrosta´tico. O primeiro deles e´ so´lido, possui raio a e carga total Q > 0. O segundo
deles e´ uma casca cil´ındrica de espessura desprez´ıvel, possuindo raio b > a e carga total −Q. Admita que a
altura h e´ muito maior que o maior raio, b, de modo que os cilindros podem ser considerados muito longos
e, portanto, efeitos de borda podem ser desprezados.
(a) Determine o campo eletrosta´tico nas treˆs regio˜es: 0 ≤ r < a, a < r < b, b < r . [1,2 ponto]
(b) Determine o mo´dulo da ddp entre um ponto gene´rico dentro do so´lido e um outro ponto gene´rico na
casca circundante. [0,8 ponto]
(c) Determine a capacitaˆncia de tal sistema quando a regia˜o entre as placas, ou seja, entre os condutores,
esta´ recheada por um isolante de constante diele´trica K. [0,5 ponto]
bb
Z
a
b
h
Resoluc¸a˜o:
(a) Na regia˜o interna 0 ≤ r < a, ocupada por um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, pelas pro´prias
definic¸o˜es de equil´ıbrio eletrosta´tico e de condutor, o campo eletrosta´tico e´ zero:
• 0 ≤ r < a :
E = 0 .
Ja´ para determinar o campo eletrosta´tico nas duas outras regio˜es, usaremos, devido a` simetria da distri-
buic¸a˜o de cargas, a lei de Gauss. Para tanto, percebemos que o campo deve ter somente componente radial
e essa, por sua vez, so´ deve depender da distaˆncia ate´ o eixo Z:
E = Er(r)rˆ .
Logo o fluxo atrave´s de uma gaussiana cil´ındrica, coaxial com o eixo Z, de raio r e altura H , e´
ΦE [S] = 2πrHEr(r) .
Devemos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana, o que nos leva a duas possibilidades:
• a < r < b :
Qint = Q
H
h
,
e assim
E = Q2πǫ0hr rˆ .
5
• b < r :
Qint = 0 ,
e assim
E = 0 .
(b) Qualquer ponto do so´lido tem o mesmo potencial, assim como qualquer ponto da casca tambe´m tem
um mesmo outro potencial. Destarte, o mo´dulo V da ddp pode ser calculado simplesmente escolhendo-se
dois pontos na mesma direc¸a˜o radial, a distaˆncias obviamente r = a e r = b. Encontramos, pois
V = Q2πǫ0h ln(b/a) .
(c) Conforme lemos direto da u´ltima equac¸a˜o, a capacitaˆncia do sistema, sem isolante, e´
C0 =
2πǫ0h
ln(b/a)
.
Logo, com o isolante de constante diele´trica K, a capacitaˆncia fica
C = 2πǫ0hKln(b/a) .
�
2. Considere um fio retil´ıneo condutor, muito longo, portando uma corrente de intensidade I, co-planar a uma
espira condutora, retangular, de lados b e c, com seu lado mais pro´ximo, paralelo ao fio, a uma distaˆncia a
deste, conforme mostra a figura abaixo.
(a) Sendo a corrente no fio estaciona´ria, o campo magne´tico correspondente e´ dado por
B =
µ0I
2πr
φˆ .
Determine, enta˜o, o fluxo de tal campo atrave´s da superf´ıcie plana definida pela espira, tomando o seu
vetor normal unita´rio como o pro´prio φˆ . [1,0 ponto]
(b) Suponha, agora, que a corrente no fio varia no tempo como
I(t) = Gt , (G = const > 0) .
Suponha que a corrente satisfaz a condic¸a˜o de regime quase-estaciona´rio, ou seja, “varia lentamente”; nesse
caso, a fo´rmula do item (a) para o campo magne´tico continua ainda va´lida, com a nova expressa˜o acima para
a corrente. Sabendo que a resisteˆncia da espira vale R, determine, enta˜o, o mo´dulo da corrente induzida
ao longo da espira, assim como seu sentido, indicando-o explicitamente. [0,8 ponto]
(c) Ainda supondo as condic¸o˜es do item (b), visto que o campo magne´tico criado pelo fio e´ na˜o uniforme,
a forc¸a magne´tica resultante do fio sobre a espira na˜o sera´ nula. Determine-a (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido),
dizendo claramente se a espira sera´ atra´ıda ou repelida. [0,7 ponto]
Z
I
a
b
c
⊗
zˆ
rˆφˆ
6
Resoluc¸a˜o:
(a) Para o fluxo, temos
ΦB[S] :=
∫
S
B ·nˆ dA
=
∫ a+b
r=a
µ0I
2πr
φˆ·φˆ cdr ,
ou seja,
ΦB[S] =
µ0Ic
2π ln
(
a+b
a
)
.
(b) Sob as condic¸o˜es enunciadas, o fluxo rece´m-calculado reescreve-se como
ΦB[S] =
µ0cGt
2π
ln
(
a+ b
a
)
.
Logo, o mo´dulo da fem induzida na espira resume-se a
|Eind| =
µ0cG
2π
ln
(
a+ b
a
)
,
e a corrente induzida a
Iind =
µ0cG
2πR ln
(
a+b
a
)
.
Ale´m disso, como a corrente no fio retil´ıneo esta´ crescendo (linearmente, no caso), temos que a corrente
induzida, pela lei de Lenz, deve ter o sentido anti-hora´rio.
(c) Sobre um elemento de corrente, sujeito a um campo magne´tico externo, age a seguinte forc¸a
dFm = idℓ×B .
No caso, so´ interessam as forc¸as sobre os lados ”verticais” da espira, de comprimento c; uma delas e´ atrativa
e a outra repulsiva. Naturalmente, pela lei de Lenz, a forc¸a resultante deve ser repulsiva; ou seja, a forc¸a
de maior mo´dulo e´ sobre o lado mais pro´ximo e vale
Fm,prox = IindcB(a) rˆ
=
µ20c
2G2t
4π2aR
ln
(
a+ b
a
)
rˆ .
Ja´ a forca sobre o lado mais afastado vale
Fm,afas = −IindcB(a+ b) rˆ
= −
µ20c
2G2t
4π2(a+ b)R
ln
(
a+ b
a
)
rˆ .
Logo, a forc¸a resultante e´
Fm =
µ2
0
c2G2bt
4π2Ra(a+b) ln
(
a+b
a
)
rˆ ,
que, como esperado, tem sentido de rˆ, ou seja, tende a afastar a espira do fio (e´ repulsiva). �
7
8
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2009/2
Prova Final (PF) – 17/12/2009
Versa˜o: B
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questo˜es objetivas, de mu´ltipla escolha (sem nenhum tipo de penalizac¸a˜o), cada
uma das quais valendo 0,5 ponto
• uma parte discursiva, constitu´ıda por duas questo˜es discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F e = qE , Fm = qv×B , Fm =
∫
C
Idℓ×B ,
∮
S
E · nˆ dA =
Qint
ǫ0
,
∮
S
B · nˆ dA = 0 , B =
µ0
4π
qv × rˆ
r2
, B =
∫
C
µ0
4π
Idℓ× rˆ
r2
,
∮
C
B ·dℓ = µ0Ienc + µoǫ0
dΦE
dt
,
E = −
dΦB
dt
, uE =
1
2
ǫ0E
2 , uB =
1
2
B2
µ0
.
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Dois fios condutores, de mesmo comprimento L,
foram dispostos na forma de dois ane´is circulares,
o primeiro (I) com uma u´nica volta e o segundo
(II) com duas voltas. A seguir, estabeleceu-se
uma corrente estaciona´ria de mesma intensidade I
em cada um dos ane´is. Assinale a alternativa que
indica corretamente a relac¸a˜o entre os mo´dulos
dos campos magne´ticos no centro de cada anel,
assim como a relac¸a˜o entre os mo´dulos dos mo-
mentos de dipolo magne´tico de cada anel.
(a) BI > BII , µI > µII .
(b) BI > BII , µI = µII .
(c) BI > BII , µI < µII .
(d) BI = BII , µI > µII .
(e) BI = BII , µI = µII .
(f) BI = BII , µI < µII .
(g) BI < BII , µI > µII .
(h) BI < BII , µI = µII .
(i) BI < BII , µI < µII .
2. Uma part´ıcula (pontual) de carga negativa, su-
jeita a campos ele´trico e magne´tico constan-
tes (uniformes e estaciona´rios), conforme a fi-
gura abaixo, encontra-se inicialmente em repouso.
Das curvas tracejadas mostradas na figura, assi-
nale aquela que melhor indica a trajeto´ria que a
part´ıcula seguira´.
b |⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗
E
B I II
III
IV
V
VI
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) IV.
(e) V.
(f) VI.
3. Sa˜o dadas duas cascas condutoras esfe´ricas, muito
finas, conceˆntricas, de raios a e b, com a < b.
Na menor, de raio a, ha´ uma carga Q > 0, ao
passo que na maior,de raio b, ha´ uma carga −2Q.
Em um certo momento, essas cascas sa˜o eletri-
camente conectadas. Apo´s atingido o equil´ıbrio
eletrosta´tico, indique em qual das cascas a carga
e´ maior e em qual o potencial eletrosta´tico e´
maior.
(a) casca de raio a, casca de raio a.
(b) casca de raio a, casca de raio b.
(c) as cascas teˆm a mesma carga e o mesmo
potencial.
(d) casca de raio b, casca de raio a.
(e) casca de raio b, casca de raio b.
(f) casca de raio a; ambas as cascas teˆm o
mesmo potencial.
(g) casca de raio b; ambas as cascas teˆm o
mesmo potencial.
4. Temos dois indutores ideais, totalmente separa-
dos um do outro, de mesma auto-indutaˆncia. No
primeiro deles, passa uma corrente de intensi-
dade I1(t) = (6A/s) t, ao passo que, no se-
gundo, passa uma outra corrente de intensidade
I2(t) =
(
1A/s2
)
t2. No instante t = 3 s, qual das
opc¸o˜es abaixo e´ a correta?
(a) A fem auto-induzida no indutor 1 tem
mo´dulo maior que o da auto-induzida no
indutor 2.
(b) A fem auto-induzida no indutor 1 tem
mo´dulo menor que o da auto-induzida no
indutor 2.
(c) As fem’s auto-induzidas nos indutores 1
e 2 teˆm mo´dulos iguais.
(d) Na˜o e´ poss´ıvel comparar os mo´dulos das
fem’s auto-induzidas so´ com os dados for-
necidos.
2
5. Considere as seguintes afirmac¸o˜es referentes a um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico:
(I) As linhas de campo ele´trico que saem de ou
chegam em sua superf´ıcie fazem-no sempre per-
pendicularmente.
(II) O potencial eletrosta´tico e´ constante tanto
na superf´ıcie, quanto no interior (“na massa”) do
condutor.
(III) Se, nesse condutor, houver uma cavidade
(buraco) interna, nenhum ponto da superf´ıcie
dessa cavidade podera´ ter densidade de carga di-
ferente de zero, mesmo que exista uma part´ıcula
carregada no interior da cavidade.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
qual(is) da(s) afirmac¸a˜o(o˜es) acima e´(sa˜o) falsa(s)
e qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s).
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
6. Imagine um arranjo, como mostrado na figura
abaixo, de treˆs correntes retil´ıneas, estaciona´rias,
muito longas.
I
2I
I
a
a
Indique a opc¸a˜o que fornece o mo´dulo e o sen-
tido da forc¸a magne´tica resultante, por unidade
de comprimento, sobre o fio mais inferior.
(a) µ0I
2
4πa , para baixo.
(b) µ0I
2
4πa , para cima.
(c) 3µ0I
2
4πa , para baixo.
(d) 3µ0I
2
4πa , para cima.
(e) µ0I
2
4πa , para a esquerda.
(f) 3µ0I
2
4πa , para a direita.
7. A figura abaixo representa uma barra de cobre ele-
tricamente neutra transladando-se com uma velo-
cidade constante v no plano do papel. Ela in-
gressa numa regia˜o do espac¸o onde ha´ um campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio),
orientado para dentro do plano do papel, perpen-
dicularmente ao mesmo.
v
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
Qual dos itens a seguir melhor representa a distri-
buic¸a˜o das cargas na barra em movimento?
(a)
v
+
+
+
+
|
|
|
|
|
(b)
v
+
+
+
+
+
|
|
|
|
(c)
v
+++
| | |
(d)
v
+++
| | |
(e) Nenhum dos anteriores, pois a barra e´
neutra.
3
8. Uma part´ıcula (pontual), de massa m e carga
q, esta´ em repouso, sujeita a dois campos: (i)
um campo eletrosta´tico devido a uma chapa fina,
plana, horizontal, de dimenso˜es muito grandes (de
modo que ela possa ser tratada como um plano in-
finito), com densidade superficial de carga σ > 0,
e (ii) o campo gravitacional usual da Terra, g,
na direc¸a˜o vertical. Sabendo que a part´ıcula esta´
acima da chapa, indique a opc¸a˜o que mostra cor-
retamente o sinal e o mo´dulo da carga.
(a) positivo, 2ǫ0mg/σ .
(b) positivo, ǫ0mg/σ .
(c) positivo, σ/(ǫ0mg) .
(d) negativo, 2ǫ0mg/σ .
(e) negativo, ǫ0mg/σ .
(f) negativo, σ/(ǫ0mg) .
9. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) Se ha´ part´ıculas carregadas no interior de uma
superf´ıcie fechada, enta˜o o fluxo do campo ele´trico
atrave´s de tal superf´ıcie e´, necessariamente, dife-
rente de zero.
(II) O fluxo do campo ele´trico pode ser calculado
tanto atrave´s de uma superf´ıcie fechada como de
uma aberta.
(III) Dados dois pontos, Pin e Pfin, sobre uma
linha de campo eletrosta´tico, de forma que sua
orientac¸a˜o seja de Pin para Pfin, o potencial ele-
trosta´tico em Pin sera´ maior que em Pfin.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na or-
dem, qual(is) da(s) afirmac¸a˜o(co˜es) acima e´(sa˜o)
falsa(s) e qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s).
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
10. Uma espira retangular, condutora (oˆhmica),
r´ıgida, pequena, move-se, a velocidade cons-
tante, no sentido de uma grande regia˜o de campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio),
conforme mostra a figura abaixo.
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
v
Considerando a corrente como positiva quando no
sentido anti-hora´rio, assinale a opc¸a˜o que melhor
representa o gra´fico da corrente induzida, Iind,
atrave´s da espira em func¸a˜o do tempo, t.
(a)
(b)
(c)
(d)
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas
1. Na figura abaixo, mostramos dois condutores cil´ındricos, circulares, de altura comum h, coaxiais com o
eixo Z, em equil´ıbrio eletrosta´tico. O primeiro deles e´ so´lido, possui raio a e carga total Q > 0. O segundo
deles e´ uma casca cil´ındrica de espessura desprez´ıvel, possuindo raio b > a e carga total −Q. Admita que a
altura h e´ muito maior que o maior raio, b, de modo que os cilindros podem ser considerados muito longos
e, portanto, efeitos de borda podem ser desprezados.
(a) Determine o campo eletrosta´tico nas treˆs regio˜es: 0 ≤ r < a, a < r < b, b < r . [1,2 ponto]
(b) Determine o mo´dulo da ddp entre um ponto gene´rico dentro do so´lido e um outro ponto gene´rico na
casca circundante. [0,8 ponto]
(c) Determine a capacitaˆncia de tal sistema quando a regia˜o entre as placas, ou seja, entre os condutores,
esta´ recheada por um isolante de constante diele´trica K. [0,5 ponto]
bb
Z
a
b
h
5
6
2. Considere um fio retil´ıneo condutor, muito longo, portando uma corrente de intensidade I, co-planar a uma
espira condutora, retangular, de lados b e c, com seu lado mais pro´ximo, paralelo ao fio, a uma distaˆncia a
deste, conforme mostra a figura abaixo.
(a) Sendo a corrente no fio estaciona´ria, o campo magne´tico correspondente e´ dado por
B =
µ0I
2πr
φˆ .
Determine, enta˜o, o fluxo de tal campo atrave´s da superf´ıcie plana definida pela espira, tomando o seu
vetor normal unita´rio como o pro´prio φˆ . [1,0 ponto]
(b) Suponha, agora, que a corrente no fio varia no tempo como
I(t) = Gt , (G = const > 0) .
Suponha que a corrente satisfaz a condic¸a˜o de regime quase-estaciona´rio, ou seja, “varia lentamente”; nesse
caso, a fo´rmula do item (a) para o campo magne´tico continua ainda va´lida, com a nova expressa˜o acima para
a corrente. Sabendo que a resisteˆncia da espira vale R, determine, enta˜o, o mo´dulo da corrente induzida
ao longo da espira, assim como seu sentido, indicando-o explicitamente. [0,8 ponto]
(c) Ainda supondo as condic¸o˜es do item (b), visto que o campo magne´tico criado pelo fio e´ na˜o uniforme,
a forc¸a magne´tica resultante do fio sobre a espira na˜o sera´ nula. Determine-a (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido),
dizendo claramente se a espira sera´ atra´ıda ou repelida. [0,7 ponto]
Z
I
a
b
c
⊗
zˆ
rˆφˆ
7
8
9
Gabarito para Versa˜o B
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Dois fios condutores, de mesmo comprimento L,
foram dispostos na forma de dois ane´is circulares,
o primeiro (I) com uma u´nica volta e o segundo
(II) com duas voltas. A seguir, estabeleceu-se
uma corrente estaciona´ria de mesma intensidade I
em cada um dos ane´is. Assinale a alternativa que
indica corretamente a relac¸a˜o entre os mo´dulos
dos campos magne´ticos no centro de cada anel,
assim como a relac¸a˜o entre os mo´dulos dos mo-
mentos de dipolo magne´tico de cada anel.
(a) BI > BII , µI > µII .
(b) BI > BII , µI = µII .
(c) BI > BII , µI < µII .
(d) BI = BII , µI > µII .
(e) BI = BII , µI= µII .
(f) BI = BII , µI < µII .
(g) BI < BII , µI > µII .
(h) BI < BII , µI = µII .
(i) BI < BII , µI < µII .
2. Uma part´ıcula (pontual) de carga negativa, su-
jeita a campos ele´trico e magne´tico constan-
tes (uniformes e estaciona´rios), conforme a fi-
gura abaixo, encontra-se inicialmente em repouso.
Das curvas tracejadas mostradas na figura, assi-
nale aquela que melhor indica a trajeto´ria que a
part´ıcula seguira´.
b |⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗
E
B I II
III
IV
V
VI
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) IV.
(e) V.
(f) VI.
3. Sa˜o dadas duas cascas condutoras esfe´ricas, muito
finas, conceˆntricas, de raios a e b, com a < b.
Na menor, de raio a, ha´ uma carga Q > 0, ao
passo que na maior, de raio b, ha´ uma carga −2Q.
Em um certo momento, essas cascas sa˜o eletri-
camente conectadas. Apo´s atingido o equil´ıbrio
eletrosta´tico, indique em qual das cascas a carga
e´ maior e em qual o potencial eletrosta´tico e´
maior.
(a) casca de raio a, casca de raio a.
(b) casca de raio a, casca de raio b.
(c) as cascas teˆm a mesma carga e o mesmo
potencial.
(d) casca de raio b, casca de raio a.
(e) casca de raio b, casca de raio b.
(f) casca de raio a; ambas as cascas teˆm o
mesmo potencial.
(g) casca de raio b; ambas as cascas teˆm o
mesmo potencial.
4. Temos dois indutores ideais, totalmente separa-
dos um do outro, de mesma auto-indutaˆncia. No
primeiro deles, passa uma corrente de intensi-
dade I1(t) = (6A/s) t, ao passo que, no se-
gundo, passa uma outra corrente de intensidade
I2(t) =
(
1A/s
2
)
t2. No instante t = 3 s, qual das
opc¸o˜es abaixo e´ a correta?
(a) A fem auto-induzida no indutor 1 tem
mo´dulo maior que o da auto-induzida no
indutor 2.
(b) A fem auto-induzida no indutor 1 tem
mo´dulo menor que o da auto-induzida no
indutor 2.
(c) As fem’s auto-induzidas nos indutores 1
e 2 teˆm mo´dulos iguais.
(d) Na˜o e´ poss´ıvel comparar os mo´dulos das
fem’s auto-induzidas so´ com os dados for-
necidos.
1
5. Considere as seguintes afirmac¸o˜es referentes a um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico:
(I) As linhas de campo ele´trico que saem de ou
chegam em sua superf´ıcie fazem-no sempre per-
pendicularmente.
(II) O potencial eletrosta´tico e´ constante tanto
na superf´ıcie, quanto no interior (“na massa”) do
condutor.
(III) Se, nesse condutor, houver uma cavidade
(buraco) interna, nenhum ponto da superf´ıcie
dessa cavidade podera´ ter densidade de carga di-
ferente de zero, mesmo que exista uma part´ıcula
carregada no interior da cavidade.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
qual(is) da(s) afirmac¸a˜o(o˜es) acima e´(sa˜o) falsa(s)
e qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s).
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
6. Imagine um arranjo, como mostrado na figura
abaixo, de treˆs correntes retil´ıneas, estaciona´rias,
muito longas.
I
2I
I
a
a
Indique a opc¸a˜o que fornece o mo´dulo e o sen-
tido da forc¸a magne´tica resultante, por unidade
de comprimento, sobre o fio mais inferior.
(a) µ0I
2
4πa , para baixo.
(b) µ0I
2
4πa , para cima.
(c) 3µ0I
2
4πa , para baixo.
(d) 3µ0I
2
4πa , para cima.
(e) µ0I
2
4πa , para a esquerda.
(f) 3µ0I
2
4πa , para a direita.
7. A figura abaixo representa uma barra de cobre ele-
tricamente neutra transladando-se com uma velo-
cidade constante v no plano do papel. Ela in-
gressa numa regia˜o do espac¸o onde ha´ um campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio),
orientado para dentro do plano do papel, perpen-
dicularmente ao mesmo.
v
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
Qual dos itens a seguir melhor representa a distri-
buic¸a˜o das cargas na barra em movimento?
(a)
v
+
+
+
+
|
|
|
|
|
(b)
v
+
+
+
+
+
|
|
|
|
(c)
v
+++
| | |
(d)
v
+++
| | |
(e) Nenhum dos anteriores, pois a barra e´
neutra.
2
8. Uma part´ıcula (pontual), de massa m e carga
q, esta´ em repouso, sujeita a dois campos: (i)
um campo eletrosta´tico devido a uma chapa fina,
plana, horizontal, de dimenso˜es muito grandes (de
modo que ela possa ser tratada como um plano in-
finito), com densidade superficial de carga σ > 0,
e (ii) o campo gravitacional usual da Terra, g,
na direc¸a˜o vertical. Sabendo que a part´ıcula esta´
acima da chapa, indique a opc¸a˜o que mostra cor-
retamente o sinal e o mo´dulo da carga.
(a) positivo, 2ǫ0mg/σ .
(b) positivo, ǫ0mg/σ .
(c) positivo, σ/(ǫ0mg) .
(d) negativo, 2ǫ0mg/σ .
(e) negativo, ǫ0mg/σ .
(f) negativo, σ/(ǫ0mg) .
9. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) Se ha´ part´ıculas carregadas no interior de uma
superf´ıcie fechada, enta˜o o fluxo do campo ele´trico
atrave´s de tal superf´ıcie e´, necessariamente, dife-
rente de zero.
(II) O fluxo do campo ele´trico pode ser calculado
tanto atrave´s de uma superf´ıcie fechada como de
uma aberta.
(III) Dados dois pontos, Pin e Pfin, sobre uma
linha de campo eletrosta´tico, de forma que sua
orientac¸a˜o seja de Pin para Pfin, o potencial ele-
trosta´tico em Pin sera´ maior que em Pfin.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na or-
dem, qual(is) da(s) afirmac¸a˜o(co˜es) acima e´(sa˜o)
falsa(s) e qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s).
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
10. Uma espira retangular, condutora (oˆhmica),
r´ıgida, pequena, move-se, a velocidade cons-
tante, no sentido de uma grande regia˜o de campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio),
conforme mostra a figura abaixo.
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
v
Considerando a corrente como positiva quando no
sentido anti-hora´rio, assinale a opc¸a˜o que melhor
representa o gra´fico da corrente induzida, Iind,
atrave´s da espira em func¸a˜o do tempo, t.
(a)
(b)
(c)
(d)
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas
1. Na figura abaixo, mostramos dois condutores cil´ındricos, circulares, de altura comum h, coaxiais com o
eixo Z, em equil´ıbrio eletrosta´tico. O primeiro deles e´ so´lido, possui raio a e carga total Q > 0. O segundo
deles e´ uma casca cil´ındrica de espessura desprez´ıvel, possuindo raio b > a e carga total −Q. Admita que a
altura h e´ muito maior que o maior raio, b, de modo que os cilindros podem ser considerados muito longos
e, portanto, efeitos de borda podem ser desprezados.
(a) Determine o campo eletrosta´tico nas treˆs regio˜es: 0 ≤ r < a, a < r < b, b < r . [1,2 ponto]
(b) Determine o mo´dulo da ddp entre um ponto gene´rico dentro do so´lido e um outro ponto gene´rico na
casca circundante. [0,8 ponto]
(c) Determine a capacitaˆncia de tal sistema quando a regia˜o entre as placas, ou seja, entre os condutores,
esta´ recheada por um isolante de constante diele´trica K. [0,5 ponto]
bb
Z
a
b
h
Resoluc¸a˜o:
(a) Na regia˜o interna 0 ≤ r < a, ocupada por um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, pelas pro´prias
definic¸o˜es de equil´ıbrio eletrosta´tico e de condutor, o campo eletrosta´tico e´ zero:
• 0 ≤ r < a :
E = 0 .
Ja´ para determinar o campo eletrosta´tico nas duas outras regio˜es, usaremos, devido a` simetria da distri-
buic¸a˜o de cargas, a lei de Gauss. Para tanto, percebemos que o campo deve ter somente componente radial
e essa, por sua vez, so´ deve depender da distaˆncia ate´ o eixo Z:
E = Er(r)rˆ .
Logo o fluxo atrave´s de uma gaussiana cil´ındrica, coaxial com o eixo Z, de raio r e altura H , e´
ΦE [S] = 2πrHEr(r) .
Devemos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana, o que nos leva a duas possibilidades:
• a < r < b :
Qint = Q
H
h
,
e assim
E = Q2πǫ0hr rˆ .
4
• b < r :
Qint = 0 ,
e assim
E = 0 .
(b) Qualquer ponto do so´lido tem o mesmo potencial, assim como qualquer ponto da casca tambe´m tem
um mesmo outro potencial. Destarte, o mo´dulo V da ddp pode ser calculado simplesmente escolhendo-se
dois pontos na mesma direc¸a˜o radial, a distaˆncias obviamente r = a e r = b. Encontramos, pois
V = Q2πǫ0h ln(b/a) .
(c) Conforme lemos direto da u´ltima equac¸a˜o, a capacitaˆncia do sistema, sem isolante, e´
C0 =
2πǫ0h
ln(b/a)
.
Logo, com o isolante de constante diele´trica K, a capacitaˆncia fica
C= 2πǫ0hKln(b/a) .
�
2. Considere um fio retil´ıneo condutor, muito longo, portando uma corrente de intensidade I, co-planar a uma
espira condutora, retangular, de lados b e c, com seu lado mais pro´ximo, paralelo ao fio, a uma distaˆncia a
deste, conforme mostra a figura abaixo.
(a) Sendo a corrente no fio estaciona´ria, o campo magne´tico correspondente e´ dado por
B =
µ0I
2πr
φˆ .
Determine, enta˜o, o fluxo de tal campo atrave´s da superf´ıcie plana definida pela espira, tomando o seu
vetor normal unita´rio como o pro´prio φˆ . [1,0 ponto]
(b) Suponha, agora, que a corrente no fio varia no tempo como
I(t) = Gt , (G = const > 0) .
Suponha que a corrente satisfaz a condic¸a˜o de regime quase-estaciona´rio, ou seja, “varia lentamente”; nesse
caso, a fo´rmula do item (a) para o campo magne´tico continua ainda va´lida, com a nova expressa˜o acima para
a corrente. Sabendo que a resisteˆncia da espira vale R, determine, enta˜o, o mo´dulo da corrente induzida
ao longo da espira, assim como seu sentido, indicando-o explicitamente. [0,8 ponto]
(c) Ainda supondo as condic¸o˜es do item (b), visto que o campo magne´tico criado pelo fio e´ na˜o uniforme,
a forc¸a magne´tica resultante do fio sobre a espira na˜o sera´ nula. Determine-a (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido),
dizendo claramente se a espira sera´ atra´ıda ou repelida. [0,7 ponto]
Z
I
a
b
c
⊗
zˆ
rˆφˆ
5
Resoluc¸a˜o:
(a) Para o fluxo, temos
ΦB[S] :=
∫
S
B ·nˆ dA
=
∫ a+b
r=a
µ0I
2πr
φˆ·φˆ cdr ,
ou seja,
ΦB[S] =
µ0Ic
2π ln
(
a+b
a
)
.
(b) Sob as condic¸o˜es enunciadas, o fluxo rece´m-calculado reescreve-se como
ΦB[S] =
µ0cGt
2π
ln
(
a+ b
a
)
.
Logo, o mo´dulo da fem induzida na espira resume-se a
|Eind| =
µ0cG
2π
ln
(
a+ b
a
)
,
e a corrente induzida a
Iind =
µ0cG
2πR ln
(
a+b
a
)
.
Ale´m disso, como a corrente no fio retil´ıneo esta´ crescendo (linearmente, no caso), temos que a corrente
induzida, pela lei de Lenz, deve ter o sentido anti-hora´rio.
(c) Sobre um elemento de corrente, sujeito a um campo magne´tico externo, age a seguinte forc¸a
dFm = idℓ×B .
No caso, so´ interessam as forc¸as sobre os lados ”verticais” da espira, de comprimento c; uma delas e´ atrativa
e a outra repulsiva. Naturalmente, pela lei de Lenz, a forc¸a resultante deve ser repulsiva; ou seja, a forc¸a
de maior mo´dulo e´ sobre o lado mais pro´ximo e vale
Fm,prox = IindcB(a) rˆ
=
µ20c
2G2t
4π2aR
ln
(
a+ b
a
)
rˆ .
Ja´ a forca sobre o lado mais afastado vale
Fm,afas = −IindcB(a+ b) rˆ
= −
µ20c
2G2t
4π2(a+ b)R
ln
(
a+ b
a
)
rˆ .
Logo, a forc¸a resultante e´
Fm =
µ2
0
c2G2bt
4π2Ra(a+b) ln
(
a+b
a
)
rˆ ,
que, como esperado, tem sentido de rˆ, ou seja, tende a afastar a espira do fio (e´ repulsiva). �
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2009/2
Prova Final (PF) – 17/12/2009
Versa˜o: C
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questo˜es objetivas, de mu´ltipla escolha (sem nenhum tipo de penalizac¸a˜o), cada
uma das quais valendo 0,5 ponto
• uma parte discursiva, constitu´ıda por duas questo˜es discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F e = qE , Fm = qv×B , Fm =
∫
C
Idℓ×B ,
∮
S
E · nˆ dA =
Qint
ǫ0
,
∮
S
B · nˆ dA = 0 , B =
µ0
4π
qv × rˆ
r2
, B =
∫
C
µ0
4π
Idℓ× rˆ
r2
,
∮
C
B ·dℓ = µ0Ienc + µoǫ0
dΦE
dt
,
E = −
dΦB
dt
, uE =
1
2
ǫ0E
2 , uB =
1
2
B2
µ0
.
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Uma espira retangular, condutora (oˆhmica),
r´ıgida, pequena, move-se, a velocidade cons-
tante, no sentido de uma grande regia˜o de campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio),
conforme mostra a figura abaixo.
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
v
Considerando a corrente como positiva quando no
sentido anti-hora´rio, assinale a opc¸a˜o que melhor
representa o gra´fico da corrente induzida, Iind,
atrave´s da espira em func¸a˜o do tempo, t.
(a)
(b)
(c)
(d)
2. Uma part´ıcula (pontual), de massa m e carga
q, esta´ em repouso, sujeita a dois campos: (i)
um campo eletrosta´tico devido a uma chapa fina,
plana, horizontal, de dimenso˜es muito grandes (de
modo que ela possa ser tratada como um plano in-
finito), com densidade superficial de carga σ > 0,
e (ii) o campo gravitacional usual da Terra, g,
na direc¸a˜o vertical. Sabendo que a part´ıcula esta´
acima da chapa, indique a opc¸a˜o que mostra cor-
retamente o sinal e o mo´dulo da carga.
(a) positivo, 2ǫ0mg/σ .
(b) positivo, ǫ0mg/σ .
(c) positivo, σ/(ǫ0mg) .
(d) negativo, 2ǫ0mg/σ .
(e) negativo, ǫ0mg/σ .
(f) negativo, σ/(ǫ0mg) .
3. Considere as seguintes afirmac¸o˜es referentes a um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico:
(I) As linhas de campo ele´trico que saem de ou
chegam em sua superf´ıcie fazem-no sempre per-
pendicularmente.
(II) O potencial eletrosta´tico e´ constante tanto
na superf´ıcie, quanto no interior (“na massa”) do
condutor.
(III) Se, nesse condutor, houver uma cavidade
(buraco) interna, nenhum ponto da superf´ıcie
dessa cavidade podera´ ter densidade de carga di-
ferente de zero, mesmo que exista uma part´ıcula
carregada no interior da cavidade.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
qual(is) da(s) afirmac¸a˜o(o˜es) acima e´(sa˜o) falsa(s)
e qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s).
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
2
4. Dois fios condutores, de mesmo comprimento L,
foram dispostos na forma de dois ane´is circulares,
o primeiro (I) com uma u´nica volta e o segundo
(II) com duas voltas. A seguir, estabeleceu-se
uma corrente estaciona´ria de mesma intensidade I
em cada um dos ane´is. Assinale a alternativa que
indica corretamente a relac¸a˜o entre os mo´dulos
dos campos magne´ticos no centro de cada anel,
assim como a relac¸a˜o entre os mo´dulos dos mo-
mentos de dipolo magne´tico de cada anel.
(a) BI > BII , µI > µII .
(b) BI > BII , µI = µII .
(c) BI > BII , µI < µII .
(d) BI = BII , µI > µII .
(e) BI = BII , µI = µII .
(f) BI = BII , µI < µII .
(g) BI < BII , µI > µII .
(h) BI < BII , µI = µII .
(i) BI < BII , µI < µII .
5. Imagine um arranjo, como mostrado na figura
abaixo, de treˆs correntes retil´ıneas, estaciona´rias,
muito longas.
I
2I
I
a
a
Indique a opc¸a˜o que fornece o mo´dulo e o sen-
tido da forc¸a magne´tica resultante, por unidade
de comprimento, sobre o fio mais inferior.
(a) µ0I
2
4πa , para baixo.
(b) µ0I
2
4πa , para cima.
(c) 3µ0I
2
4πa , para baixo.
(d) 3µ0I
2
4πa , para cima.
(e) µ0I
2
4πa , para a esquerda.
(f) 3µ0I
2
4πa , para a direita.
6. Temos dois indutores ideais, totalmente separa-
dos um do outro, de mesma auto-indutaˆncia. No
primeiro deles, passa uma corrente de intensi-
dade I1(t) = (6A/s) t, ao passo que, no se-
gundo, passa uma outra corrente de intensidade
I2(t) =
(
1A/s
2
)
t2. No instante t = 3 s, qual das
opc¸o˜es abaixo e´ a correta?
(a) A fem auto-induzida no indutor 1 tem
mo´dulo maior que o da auto-induzida no
indutor 2.
(b) A fem auto-induzida no indutor 1 tem
mo´dulo menor que o da auto-induzida no
indutor 2.
(c) As fem’s auto-induzidas nos indutores 1
e 2 teˆm mo´dulos iguais.
(d) Na˜o e´ poss´ıvel comparar os mo´dulos das
fem’s auto-induzidas so´ com os dados for-
necidos.
3
7. A figura abaixo representa uma barra de cobre ele-
tricamente neutra transladando-se com uma velo-
cidade constante v no plano do papel. Ela in-
gressa numa regia˜o do espac¸oonde ha´ um campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio),
orientado para dentro do plano do papel, perpen-
dicularmente ao mesmo.
v
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
Qual dos itens a seguir melhor representa a distri-
buic¸a˜o das cargas na barra em movimento?
(a)
v
+
+
+
+
|
|
|
|
|
(b)
v
+
+
+
+
+
|
|
|
|
(c)
v
+++
| | |
(d)
v
+++
| | |
(e) Nenhum dos anteriores, pois a barra e´
neutra.
8. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) Se ha´ part´ıculas carregadas no interior de uma
superf´ıcie fechada, enta˜o o fluxo do campo ele´trico
atrave´s de tal superf´ıcie e´, necessariamente, dife-
rente de zero.
(II) O fluxo do campo ele´trico pode ser calculado
tanto atrave´s de uma superf´ıcie fechada como de
uma aberta.
(III) Dados dois pontos, Pin e Pfin, sobre uma
linha de campo eletrosta´tico, de forma que sua
orientac¸a˜o seja de Pin para Pfin, o potencial ele-
trosta´tico em Pin sera´ maior que em Pfin.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na or-
dem, qual(is) da(s) afirmac¸a˜o(co˜es) acima e´(sa˜o)
falsa(s) e qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s).
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
9. Sa˜o dadas duas cascas condutoras esfe´ricas, muito
finas, conceˆntricas, de raios a e b, com a < b.
Na menor, de raio a, ha´ uma carga Q > 0, ao
passo que na maior, de raio b, ha´ uma carga −2Q.
Em um certo momento, essas cascas sa˜o eletri-
camente conectadas. Apo´s atingido o equil´ıbrio
eletrosta´tico, indique em qual das cascas a carga
e´ maior e em qual o potencial eletrosta´tico e´
maior.
(a) casca de raio a, casca de raio a.
(b) casca de raio a, casca de raio b.
(c) as cascas teˆm a mesma carga e o mesmo
potencial.
(d) casca de raio b, casca de raio a.
(e) casca de raio b, casca de raio b.
(f) casca de raio a; ambas as cascas teˆm o
mesmo potencial.
(g) casca de raio b; ambas as cascas teˆm o
mesmo potencial.
4
10. Uma part´ıcula (pontual) de carga negativa, su-
jeita a campos ele´trico e magne´tico constan-
tes (uniformes e estaciona´rios), conforme a fi-
gura abaixo, encontra-se inicialmente em repouso.
Das curvas tracejadas mostradas na figura, assi-
nale aquela que melhor indica a trajeto´ria que a
part´ıcula seguira´.
b |⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗
E
B I II
III
IV
V
VI
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) IV.
(e) V.
(f) VI.
5
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas
1. Na figura abaixo, mostramos dois condutores cil´ındricos, circulares, de altura comum h, coaxiais com o
eixo Z, em equil´ıbrio eletrosta´tico. O primeiro deles e´ so´lido, possui raio a e carga total Q > 0. O segundo
deles e´ uma casca cil´ındrica de espessura desprez´ıvel, possuindo raio b > a e carga total −Q. Admita que a
altura h e´ muito maior que o maior raio, b, de modo que os cilindros podem ser considerados muito longos
e, portanto, efeitos de borda podem ser desprezados.
(a) Determine o campo eletrosta´tico nas treˆs regio˜es: 0 ≤ r < a, a < r < b, b < r . [1,2 ponto]
(b) Determine o mo´dulo da ddp entre um ponto gene´rico dentro do so´lido e um outro ponto gene´rico na
casca circundante. [0,8 ponto]
(c) Determine a capacitaˆncia de tal sistema quando a regia˜o entre as placas, ou seja, entre os condutores,
esta´ recheada por um isolante de constante diele´trica K. [0,5 ponto]
bb
Z
a
b
h
6
7
2. Considere um fio retil´ıneo condutor, muito longo, portando uma corrente de intensidade I, co-planar a uma
espira condutora, retangular, de lados b e c, com seu lado mais pro´ximo, paralelo ao fio, a uma distaˆncia a
deste, conforme mostra a figura abaixo.
(a) Sendo a corrente no fio estaciona´ria, o campo magne´tico correspondente e´ dado por
B =
µ0I
2πr
φˆ .
Determine, enta˜o, o fluxo de tal campo atrave´s da superf´ıcie plana definida pela espira, tomando o seu
vetor normal unita´rio como o pro´prio φˆ . [1,0 ponto]
(b) Suponha, agora, que a corrente no fio varia no tempo como
I(t) = Gt , (G = const > 0) .
Suponha que a corrente satisfaz a condic¸a˜o de regime quase-estaciona´rio, ou seja, “varia lentamente”; nesse
caso, a fo´rmula do item (a) para o campo magne´tico continua ainda va´lida, com a nova expressa˜o acima para
a corrente. Sabendo que a resisteˆncia da espira vale R, determine, enta˜o, o mo´dulo da corrente induzida
ao longo da espira, assim como seu sentido, indicando-o explicitamente. [0,8 ponto]
(c) Ainda supondo as condic¸o˜es do item (b), visto que o campo magne´tico criado pelo fio e´ na˜o uniforme,
a forc¸a magne´tica resultante do fio sobre a espira na˜o sera´ nula. Determine-a (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido),
dizendo claramente se a espira sera´ atra´ıda ou repelida. [0,7 ponto]
Z
I
a
b
c
⊗
zˆ
rˆφˆ
8
9
10
Gabarito para Versa˜o C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Uma espira retangular, condutora (oˆhmica),
r´ıgida, pequena, move-se, a velocidade cons-
tante, no sentido de uma grande regia˜o de campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio),
conforme mostra a figura abaixo.
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
v
Considerando a corrente como positiva quando no
sentido anti-hora´rio, assinale a opc¸a˜o que melhor
representa o gra´fico da corrente induzida, Iind,
atrave´s da espira em func¸a˜o do tempo, t.
(a)
(b)
(c)
(d)
2. Uma part´ıcula (pontual), de massa m e carga
q, esta´ em repouso, sujeita a dois campos: (i)
um campo eletrosta´tico devido a uma chapa fina,
plana, horizontal, de dimenso˜es muito grandes (de
modo que ela possa ser tratada como um plano in-
finito), com densidade superficial de carga σ > 0,
e (ii) o campo gravitacional usual da Terra, g,
na direc¸a˜o vertical. Sabendo que a part´ıcula esta´
acima da chapa, indique a opc¸a˜o que mostra cor-
retamente o sinal e o mo´dulo da carga.
(a) positivo, 2ǫ0mg/σ .
(b) positivo, ǫ0mg/σ .
(c) positivo, σ/(ǫ0mg) .
(d) negativo, 2ǫ0mg/σ .
(e) negativo, ǫ0mg/σ .
(f) negativo, σ/(ǫ0mg) .
3. Considere as seguintes afirmac¸o˜es referentes a um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico:
(I) As linhas de campo ele´trico que saem de ou
chegam em sua superf´ıcie fazem-no sempre per-
pendicularmente.
(II) O potencial eletrosta´tico e´ constante tanto
na superf´ıcie, quanto no interior (“na massa”) do
condutor.
(III) Se, nesse condutor, houver uma cavidade
(buraco) interna, nenhum ponto da superf´ıcie
dessa cavidade podera´ ter densidade de carga di-
ferente de zero, mesmo que exista uma part´ıcula
carregada no interior da cavidade.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
qual(is) da(s) afirmac¸a˜o(o˜es) acima e´(sa˜o) falsa(s)
e qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s).
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
1
4. Dois fios condutores, de mesmo comprimento L,
foram dispostos na forma de dois ane´is circulares,
o primeiro (I) com uma u´nica volta e o segundo
(II) com duas voltas. A seguir, estabeleceu-se
uma corrente estaciona´ria de mesma intensidade I
em cada um dos ane´is. Assinale a alternativa que
indica corretamente a relac¸a˜o entre os mo´dulos
dos campos magne´ticos no centro de cada anel,
assim como a relac¸a˜o entre os mo´dulos dos mo-
mentos de dipolo magne´tico de cada anel.
(a) BI > BII , µI > µII .
(b) BI > BII , µI = µII .
(c) BI > BII , µI < µII .
(d) BI = BII , µI > µII .
(e) BI = BII , µI = µII .
(f) BI = BII , µI < µII .
(g) BI < BII , µI > µII .
(h) BI < BII , µI = µII .
(i) BI < BII , µI < µII .
5. Imagine um arranjo, como mostrado na figura
abaixo, de treˆs correntes retil´ıneas, estaciona´rias,
muito longas.
I
2I
I
a
a
Indique a opc¸a˜o que fornece o mo´dulo e o sen-
tido da forc¸a magne´tica resultante, por unidade
de comprimento, sobre o fio mais inferior.
(a) µ0I
2
4πa , para baixo.
(b) µ0I
2
4πa , para cima.
(c) 3µ0I
2
4πa , para baixo.
(d) 3µ0I
2
4πa , para cima.
(e) µ0I
2
4πa , para a esquerda.
(f) 3µ0I
2
4πa , para a direita.
6. Temos dois indutores ideais, totalmente separa-
dos um do outro, de mesma auto-indutaˆncia. No
primeiro deles, passa uma corrente de intensi-
dadeI1(t) = (6A/s) t, ao passo que, no se-
gundo, passa uma outra corrente de intensidade
I2(t) =
(
1A/s
2
)
t2. No instante t = 3 s, qual das
opc¸o˜es abaixo e´ a correta?
(a) A fem auto-induzida no indutor 1 tem
mo´dulo maior que o da auto-induzida no
indutor 2.
(b) A fem auto-induzida no indutor 1 tem
mo´dulo menor que o da auto-induzida no
indutor 2.
(c) As fem’s auto-induzidas nos indutores 1
e 2 teˆm mo´dulos iguais.
(d) Na˜o e´ poss´ıvel comparar os mo´dulos das
fem’s auto-induzidas so´ com os dados for-
necidos.
2
7. A figura abaixo representa uma barra de cobre ele-
tricamente neutra transladando-se com uma velo-
cidade constante v no plano do papel. Ela in-
gressa numa regia˜o do espac¸o onde ha´ um campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio),
orientado para dentro do plano do papel, perpen-
dicularmente ao mesmo.
v
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
Qual dos itens a seguir melhor representa a distri-
buic¸a˜o das cargas na barra em movimento?
(a)
v
+
+
+
+
|
|
|
|
|
(b)
v
+
+
+
+
+
|
|
|
|
(c)
v
+++
| | |
(d)
v
+++
| | |
(e) Nenhum dos anteriores, pois a barra e´
neutra.
8. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) Se ha´ part´ıculas carregadas no interior de uma
superf´ıcie fechada, enta˜o o fluxo do campo ele´trico
atrave´s de tal superf´ıcie e´, necessariamente, dife-
rente de zero.
(II) O fluxo do campo ele´trico pode ser calculado
tanto atrave´s de uma superf´ıcie fechada como de
uma aberta.
(III) Dados dois pontos, Pin e Pfin, sobre uma
linha de campo eletrosta´tico, de forma que sua
orientac¸a˜o seja de Pin para Pfin, o potencial ele-
trosta´tico em Pin sera´ maior que em Pfin.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na or-
dem, qual(is) da(s) afirmac¸a˜o(co˜es) acima e´(sa˜o)
falsa(s) e qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s).
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
9. Sa˜o dadas duas cascas condutoras esfe´ricas, muito
finas, conceˆntricas, de raios a e b, com a < b.
Na menor, de raio a, ha´ uma carga Q > 0, ao
passo que na maior, de raio b, ha´ uma carga −2Q.
Em um certo momento, essas cascas sa˜o eletri-
camente conectadas. Apo´s atingido o equil´ıbrio
eletrosta´tico, indique em qual das cascas a carga
e´ maior e em qual o potencial eletrosta´tico e´
maior.
(a) casca de raio a, casca de raio a.
(b) casca de raio a, casca de raio b.
(c) as cascas teˆm a mesma carga e o mesmo
potencial.
(d) casca de raio b, casca de raio a.
(e) casca de raio b, casca de raio b.
(f) casca de raio a; ambas as cascas teˆm o
mesmo potencial.
(g) casca de raio b; ambas as cascas teˆm o
mesmo potencial.
3
10. Uma part´ıcula (pontual) de carga negativa, su-
jeita a campos ele´trico e magne´tico constan-
tes (uniformes e estaciona´rios), conforme a fi-
gura abaixo, encontra-se inicialmente em repouso.
Das curvas tracejadas mostradas na figura, assi-
nale aquela que melhor indica a trajeto´ria que a
part´ıcula seguira´.
b |⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗
E
B I II
III
IV
V
VI
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) IV.
(e) V.
(f) VI.
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas
1. Na figura abaixo, mostramos dois condutores cil´ındricos, circulares, de altura comum h, coaxiais com o
eixo Z, em equil´ıbrio eletrosta´tico. O primeiro deles e´ so´lido, possui raio a e carga total Q > 0. O segundo
deles e´ uma casca cil´ındrica de espessura desprez´ıvel, possuindo raio b > a e carga total −Q. Admita que a
altura h e´ muito maior que o maior raio, b, de modo que os cilindros podem ser considerados muito longos
e, portanto, efeitos de borda podem ser desprezados.
(a) Determine o campo eletrosta´tico nas treˆs regio˜es: 0 ≤ r < a, a < r < b, b < r . [1,2 ponto]
(b) Determine o mo´dulo da ddp entre um ponto gene´rico dentro do so´lido e um outro ponto gene´rico na
casca circundante. [0,8 ponto]
(c) Determine a capacitaˆncia de tal sistema quando a regia˜o entre as placas, ou seja, entre os condutores,
esta´ recheada por um isolante de constante diele´trica K. [0,5 ponto]
bb
Z
a
b
h
Resoluc¸a˜o:
(a) Na regia˜o interna 0 ≤ r < a, ocupada por um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, pelas pro´prias
definic¸o˜es de equil´ıbrio eletrosta´tico e de condutor, o campo eletrosta´tico e´ zero:
• 0 ≤ r < a :
E = 0 .
Ja´ para determinar o campo eletrosta´tico nas duas outras regio˜es, usaremos, devido a` simetria da distri-
buic¸a˜o de cargas, a lei de Gauss. Para tanto, percebemos que o campo deve ter somente componente radial
e essa, por sua vez, so´ deve depender da distaˆncia ate´ o eixo Z:
E = Er(r)rˆ .
Logo o fluxo atrave´s de uma gaussiana cil´ındrica, coaxial com o eixo Z, de raio r e altura H , e´
ΦE [S] = 2πrHEr(r) .
Devemos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana, o que nos leva a duas possibilidades:
• a < r < b :
Qint = Q
H
h
,
e assim
E = Q2πǫ0hr rˆ .
5
• b < r :
Qint = 0 ,
e assim
E = 0 .
(b) Qualquer ponto do so´lido tem o mesmo potencial, assim como qualquer ponto da casca tambe´m tem
um mesmo outro potencial. Destarte, o mo´dulo V da ddp pode ser calculado simplesmente escolhendo-se
dois pontos na mesma direc¸a˜o radial, a distaˆncias obviamente r = a e r = b. Encontramos, pois
V = Q2πǫ0h ln(b/a) .
(c) Conforme lemos direto da u´ltima equac¸a˜o, a capacitaˆncia do sistema, sem isolante, e´
C0 =
2πǫ0h
ln(b/a)
.
Logo, com o isolante de constante diele´trica K, a capacitaˆncia fica
C = 2πǫ0hKln(b/a) .
�
2. Considere um fio retil´ıneo condutor, muito longo, portando uma corrente de intensidade I, co-planar a uma
espira condutora, retangular, de lados b e c, com seu lado mais pro´ximo, paralelo ao fio, a uma distaˆncia a
deste, conforme mostra a figura abaixo.
(a) Sendo a corrente no fio estaciona´ria, o campo magne´tico correspondente e´ dado por
B =
µ0I
2πr
φˆ .
Determine, enta˜o, o fluxo de tal campo atrave´s da superf´ıcie plana definida pela espira, tomando o seu
vetor normal unita´rio como o pro´prio φˆ . [1,0 ponto]
(b) Suponha, agora, que a corrente no fio varia no tempo como
I(t) = Gt , (G = const > 0) .
Suponha que a corrente satisfaz a condic¸a˜o de regime quase-estaciona´rio, ou seja, “varia lentamente”; nesse
caso, a fo´rmula do item (a) para o campo magne´tico continua ainda va´lida, com a nova expressa˜o acima para
a corrente. Sabendo que a resisteˆncia da espira vale R, determine, enta˜o, o mo´dulo da corrente induzida
ao longo da espira, assim como seu sentido, indicando-o explicitamente. [0,8 ponto]
(c) Ainda supondo as condic¸o˜es do item (b), visto que o campo magne´tico criado pelo fio e´ na˜o uniforme,
a forc¸a magne´tica resultante do fio sobre a espira na˜o sera´ nula. Determine-a (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido),
dizendo claramente se a espira sera´ atra´ıda ou repelida. [0,7 ponto]
Z
I
a
b
c
⊗
zˆ
rˆφˆ
6
Resoluc¸a˜o:
(a) Para o fluxo, temos
ΦB[S] :=
∫
S
B ·nˆ dA
=
∫ a+b
r=a
µ0I
2πr
φˆ·φˆ cdr ,
ou seja,
ΦB[S] =
µ0Ic
2π ln
(
a+b
a
)
.
(b) Sob as condic¸o˜es enunciadas, o fluxo rece´m-calculado reescreve-se como
ΦB[S] =
µ0cGt
2π
ln
(
a+ b
a
)
.
Logo, o mo´dulo da fem induzida na espira resume-se a
|Eind| =
µ0cG
2π
ln
(
a+ b
a
)
,
e a corrente induzida a
Iind =
µ0cG
2πR ln
(
a+b
a
)
.
Ale´m disso, como a corrente no fio retil´ıneo esta´ crescendo (linearmente, no caso), temos que a corrente
induzida, pela lei de Lenz, deve ter o sentido anti-hora´rio.
(c) Sobre um elemento de corrente, sujeito a um campo magne´tico externo, age a seguinte forc¸a
dFm = idℓ×B .
No caso, so´ interessam as forc¸as sobre os lados ”verticais” da espira, de comprimento c; uma delas e´ atrativa
e a outra repulsiva. Naturalmente, pela lei de Lenz, a forc¸a resultante deve ser repulsiva; ou seja, a forc¸a
de maior mo´dulo e´ sobre o lado mais pro´ximo e vale
Fm,prox = IindcB(a) rˆ
=
µ20c
2G2t
4π2aR
ln
(
a+ b
a
)
rˆ .
Ja´ a forca sobre o lado mais afastado vale
Fm,afas = −IindcB(a+ b) rˆ
= −
µ20c
2G2t
4π2(a+ b)R
ln
(
a+ b
a
)
rˆ .
Logo, a forc¸a resultante e´
Fm =
µ2
0
c2G2bt
4π2Ra(a+b) ln
(
a+b
a
)
rˆ ,
que, como esperado,tem sentido de rˆ, ou seja, tende a afastar a espira do fio (e´ repulsiva). �
7
8
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2009/2
Prova Final (PF) – 17/12/2009
Versa˜o: D
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questo˜es objetivas, de mu´ltipla escolha (sem nenhum tipo de penalizac¸a˜o), cada
uma das quais valendo 0,5 ponto
• uma parte discursiva, constitu´ıda por duas questo˜es discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F e = qE , Fm = qv×B , Fm =
∫
C
Idℓ×B ,
∮
S
E · nˆ dA =
Qint
ǫ0
,
∮
S
B · nˆ dA = 0 , B =
µ0
4π
qv × rˆ
r2
, B =
∫
C
µ0
4π
Idℓ× rˆ
r2
,
∮
C
B ·dℓ = µ0Ienc + µoǫ0
dΦE
dt
,
E = −
dΦB
dt
, uE =
1
2
ǫ0E
2 , uB =
1
2
B2
µ0
.
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Uma espira retangular, condutora (oˆhmica),
r´ıgida, pequena, move-se, a velocidade cons-
tante, no sentido de uma grande regia˜o de campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio),
conforme mostra a figura abaixo.
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
v
Considerando a corrente como positiva quando no
sentido anti-hora´rio, assinale a opc¸a˜o que melhor
representa o gra´fico da corrente induzida, Iind,
atrave´s da espira em func¸a˜o do tempo, t.
(a)
(b)
(c)
(d)
2. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) Se ha´ part´ıculas carregadas no interior de uma
superf´ıcie fechada, enta˜o o fluxo do campo ele´trico
atrave´s de tal superf´ıcie e´, necessariamente, dife-
rente de zero.
(II) O fluxo do campo ele´trico pode ser calculado
tanto atrave´s de uma superf´ıcie fechada como de
uma aberta.
(III) Dados dois pontos, Pin e Pfin, sobre uma
linha de campo eletrosta´tico, de forma que sua
orientac¸a˜o seja de Pin para Pfin, o potencial ele-
trosta´tico em Pin sera´ maior que em Pfin.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na or-
dem, qual(is) da(s) afirmac¸a˜o(co˜es) acima e´(sa˜o)
falsa(s) e qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s).
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
3. Dois fios condutores, de mesmo comprimento L,
foram dispostos na forma de dois ane´is circulares,
o primeiro (I) com uma u´nica volta e o segundo
(II) com duas voltas. A seguir, estabeleceu-se
uma corrente estaciona´ria de mesma intensidade I
em cada um dos ane´is. Assinale a alternativa que
indica corretamente a relac¸a˜o entre os mo´dulos
dos campos magne´ticos no centro de cada anel,
assim como a relac¸a˜o entre os mo´dulos dos mo-
mentos de dipolo magne´tico de cada anel.
(a) BI > BII , µI > µII .
(b) BI > BII , µI = µII .
(c) BI > BII , µI < µII .
(d) BI = BII , µI > µII .
(e) BI = BII , µI = µII .
(f) BI = BII , µI < µII .
(g) BI < BII , µI > µII .
(h) BI < BII , µI = µII .
(i) BI < BII , µI < µII .
2
4. A figura abaixo representa uma barra de cobre ele-
tricamente neutra transladando-se com uma velo-
cidade constante v no plano do papel. Ela in-
gressa numa regia˜o do espac¸o onde ha´ um campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio),
orientado para dentro do plano do papel, perpen-
dicularmente ao mesmo.
v
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
Qual dos itens a seguir melhor representa a distri-
buic¸a˜o das cargas na barra em movimento?
(a)
v
+
+
+
+
|
|
|
|
|
(b)
v
+
+
+
+
+
|
|
|
|
(c)
v
+++
| | |
(d)
v
+++
| | |
(e) Nenhum dos anteriores, pois a barra e´
neutra.
5. Sa˜o dadas duas cascas condutoras esfe´ricas, muito
finas, conceˆntricas, de raios a e b, com a < b.
Na menor, de raio a, ha´ uma carga Q > 0, ao
passo que na maior, de raio b, ha´ uma carga −2Q.
Em um certo momento, essas cascas sa˜o eletri-
camente conectadas. Apo´s atingido o equil´ıbrio
eletrosta´tico, indique em qual das cascas a carga
e´ maior e em qual o potencial eletrosta´tico e´
maior.
(a) casca de raio a, casca de raio a.
(b) casca de raio a, casca de raio b.
(c) as cascas teˆm a mesma carga e o mesmo
potencial.
(d) casca de raio b, casca de raio a.
(e) casca de raio b, casca de raio b.
(f) casca de raio a; ambas as cascas teˆm o
mesmo potencial.
(g) casca de raio b; ambas as cascas teˆm o
mesmo potencial.
6. Uma part´ıcula (pontual) de carga negativa, su-
jeita a campos ele´trico e magne´tico constan-
tes (uniformes e estaciona´rios), conforme a fi-
gura abaixo, encontra-se inicialmente em repouso.
Das curvas tracejadas mostradas na figura, assi-
nale aquela que melhor indica a trajeto´ria que a
part´ıcula seguira´.
b |⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗
E
B I II
III
IV
V
VI
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) IV.
(e) V.
(f) VI.
3
7. Considere as seguintes afirmac¸o˜es referentes a um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico:
(I) As linhas de campo ele´trico que saem de ou
chegam em sua superf´ıcie fazem-no sempre per-
pendicularmente.
(II) O potencial eletrosta´tico e´ constante tanto
na superf´ıcie, quanto no interior (“na massa”) do
condutor.
(III) Se, nesse condutor, houver uma cavidade
(buraco) interna, nenhum ponto da superf´ıcie
dessa cavidade podera´ ter densidade de carga di-
ferente de zero, mesmo que exista uma part´ıcula
carregada no interior da cavidade.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
qual(is) da(s) afirmac¸a˜o(o˜es) acima e´(sa˜o) falsa(s)
e qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s).
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
8. Uma part´ıcula (pontual), de massa m e carga
q, esta´ em repouso, sujeita a dois campos: (i)
um campo eletrosta´tico devido a uma chapa fina,
plana, horizontal, de dimenso˜es muito grandes (de
modo que ela possa ser tratada como um plano in-
finito), com densidade superficial de carga σ > 0,
e (ii) o campo gravitacional usual da Terra, g,
na direc¸a˜o vertical. Sabendo que a part´ıcula esta´
acima da chapa, indique a opc¸a˜o que mostra cor-
retamente o sinal e o mo´dulo da carga.
(a) positivo, 2ǫ0mg/σ .
(b) positivo, ǫ0mg/σ .
(c) positivo, σ/(ǫ0mg) .
(d) negativo, 2ǫ0mg/σ .
(e) negativo, ǫ0mg/σ .
(f) negativo, σ/(ǫ0mg) .
9. Temos dois indutores ideais, totalmente separa-
dos um do outro, de mesma auto-indutaˆncia. No
primeiro deles, passa uma corrente de intensi-
dade I1(t) = (6A/s) t, ao passo que, no se-
gundo, passa uma outra corrente de intensidade
I2(t) =
(
1A/s
2
)
t2. No instante t = 3 s, qual das
opc¸o˜es abaixo e´ a correta?
(a) A fem auto-induzida no indutor 1 tem
mo´dulo maior que o da auto-induzida no
indutor 2.
(b) A fem auto-induzida no indutor 1 tem
mo´dulo menor que o da auto-induzida no
indutor 2.
(c) As fem’s auto-induzidas nos indutores 1
e 2 teˆm mo´dulos iguais.
(d) Na˜o e´ poss´ıvel comparar os mo´dulos das
fem’s auto-induzidas so´ com os dados for-
necidos.
10. Imagine um arranjo, como mostrado na figura
abaixo, de treˆs correntes retil´ıneas, estaciona´rias,
muito longas.
I
2I
I
a
a
Indique a opc¸a˜o que fornece o mo´dulo e o sen-
tido da forc¸a magne´tica resultante, por unidade
de comprimento, sobre o fio mais inferior.
(a) µ0I
2
4πa , para baixo.
(b) µ0I
2
4πa , para cima.
(c) 3µ0I
2
4πa , para baixo.
(d) 3µ0I
2
4πa , para cima.
(e) µ0I
2
4πa , para a esquerda.
(f) 3µ0I
2
4πa , para a direita.
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas
1. Na figura abaixo, mostramos dois condutores cil´ındricos, circulares, de altura comum h, coaxiais com o
eixo Z, em equil´ıbrio eletrosta´tico. O primeiro deles e´ so´lido, possui raio a e carga total Q > 0. O segundo
deles e´ uma casca cil´ındrica de espessuradesprez´ıvel, possuindo raio b > a e carga total −Q. Admita que a
altura h e´ muito maior que o maior raio, b, de modo que os cilindros podem ser considerados muito longos
e, portanto, efeitos de borda podem ser desprezados.
(a) Determine o campo eletrosta´tico nas treˆs regio˜es: 0 ≤ r < a, a < r < b, b < r . [1,2 ponto]
(b) Determine o mo´dulo da ddp entre um ponto gene´rico dentro do so´lido e um outro ponto gene´rico na
casca circundante. [0,8 ponto]
(c) Determine a capacitaˆncia de tal sistema quando a regia˜o entre as placas, ou seja, entre os condutores,
esta´ recheada por um isolante de constante diele´trica K. [0,5 ponto]
bb
Z
a
b
h
5
6
2. Considere um fio retil´ıneo condutor, muito longo, portando uma corrente de intensidade I, co-planar a uma
espira condutora, retangular, de lados b e c, com seu lado mais pro´ximo, paralelo ao fio, a uma distaˆncia a
deste, conforme mostra a figura abaixo.
(a) Sendo a corrente no fio estaciona´ria, o campo magne´tico correspondente e´ dado por
B =
µ0I
2πr
φˆ .
Determine, enta˜o, o fluxo de tal campo atrave´s da superf´ıcie plana definida pela espira, tomando o seu
vetor normal unita´rio como o pro´prio φˆ . [1,0 ponto]
(b) Suponha, agora, que a corrente no fio varia no tempo como
I(t) = Gt , (G = const > 0) .
Suponha que a corrente satisfaz a condic¸a˜o de regime quase-estaciona´rio, ou seja, “varia lentamente”; nesse
caso, a fo´rmula do item (a) para o campo magne´tico continua ainda va´lida, com a nova expressa˜o acima para
a corrente. Sabendo que a resisteˆncia da espira vale R, determine, enta˜o, o mo´dulo da corrente induzida
ao longo da espira, assim como seu sentido, indicando-o explicitamente. [0,8 ponto]
(c) Ainda supondo as condic¸o˜es do item (b), visto que o campo magne´tico criado pelo fio e´ na˜o uniforme,
a forc¸a magne´tica resultante do fio sobre a espira na˜o sera´ nula. Determine-a (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido),
dizendo claramente se a espira sera´ atra´ıda ou repelida. [0,7 ponto]
Z
I
a
b
c
⊗
zˆ
rˆφˆ
7
8
9
Gabarito para Versa˜o D
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Uma espira retangular, condutora (oˆhmica),
r´ıgida, pequena, move-se, a velocidade cons-
tante, no sentido de uma grande regia˜o de campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio),
conforme mostra a figura abaixo.
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
v
Considerando a corrente como positiva quando no
sentido anti-hora´rio, assinale a opc¸a˜o que melhor
representa o gra´fico da corrente induzida, Iind,
atrave´s da espira em func¸a˜o do tempo, t.
(a)
(b)
(c)
(d)
2. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) Se ha´ part´ıculas carregadas no interior de uma
superf´ıcie fechada, enta˜o o fluxo do campo ele´trico
atrave´s de tal superf´ıcie e´, necessariamente, dife-
rente de zero.
(II) O fluxo do campo ele´trico pode ser calculado
tanto atrave´s de uma superf´ıcie fechada como de
uma aberta.
(III) Dados dois pontos, Pin e Pfin, sobre uma
linha de campo eletrosta´tico, de forma que sua
orientac¸a˜o seja de Pin para Pfin, o potencial ele-
trosta´tico em Pin sera´ maior que em Pfin.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na or-
dem, qual(is) da(s) afirmac¸a˜o(co˜es) acima e´(sa˜o)
falsa(s) e qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s).
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
3. Dois fios condutores, de mesmo comprimento L,
foram dispostos na forma de dois ane´is circulares,
o primeiro (I) com uma u´nica volta e o segundo
(II) com duas voltas. A seguir, estabeleceu-se
uma corrente estaciona´ria de mesma intensidade I
em cada um dos ane´is. Assinale a alternativa que
indica corretamente a relac¸a˜o entre os mo´dulos
dos campos magne´ticos no centro de cada anel,
assim como a relac¸a˜o entre os mo´dulos dos mo-
mentos de dipolo magne´tico de cada anel.
(a) BI > BII , µI > µII .
(b) BI > BII , µI = µII .
(c) BI > BII , µI < µII .
(d) BI = BII , µI > µII .
(e) BI = BII , µI = µII .
(f) BI = BII , µI < µII .
(g) BI < BII , µI > µII .
(h) BI < BII , µI = µII .
(i) BI < BII , µI < µII .
1
4. A figura abaixo representa uma barra de cobre ele-
tricamente neutra transladando-se com uma velo-
cidade constante v no plano do papel. Ela in-
gressa numa regia˜o do espac¸o onde ha´ um campo
magne´tico constante (uniforme e estaciona´rio),
orientado para dentro do plano do papel, perpen-
dicularmente ao mesmo.
v
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
Qual dos itens a seguir melhor representa a distri-
buic¸a˜o das cargas na barra em movimento?
(a)
v
+
+
+
+
|
|
|
|
|
(b)
v
+
+
+
+
+
|
|
|
|
(c)
v
+++
| | |
(d)
v
+++
| | |
(e) Nenhum dos anteriores, pois a barra e´
neutra.
5. Sa˜o dadas duas cascas condutoras esfe´ricas, muito
finas, conceˆntricas, de raios a e b, com a < b.
Na menor, de raio a, ha´ uma carga Q > 0, ao
passo que na maior, de raio b, ha´ uma carga −2Q.
Em um certo momento, essas cascas sa˜o eletri-
camente conectadas. Apo´s atingido o equil´ıbrio
eletrosta´tico, indique em qual das cascas a carga
e´ maior e em qual o potencial eletrosta´tico e´
maior.
(a) casca de raio a, casca de raio a.
(b) casca de raio a, casca de raio b.
(c) as cascas teˆm a mesma carga e o mesmo
potencial.
(d) casca de raio b, casca de raio a.
(e) casca de raio b, casca de raio b.
(f) casca de raio a; ambas as cascas teˆm o
mesmo potencial.
(g) casca de raio b; ambas as cascas teˆm o
mesmo potencial.
6. Uma part´ıcula (pontual) de carga negativa, su-
jeita a campos ele´trico e magne´tico constan-
tes (uniformes e estaciona´rios), conforme a fi-
gura abaixo, encontra-se inicialmente em repouso.
Das curvas tracejadas mostradas na figura, assi-
nale aquela que melhor indica a trajeto´ria que a
part´ıcula seguira´.
b |⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
⊗
E
B I II
III
IV
V
VI
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) IV.
(e) V.
(f) VI.
2
7. Considere as seguintes afirmac¸o˜es referentes a um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico:
(I) As linhas de campo ele´trico que saem de ou
chegam em sua superf´ıcie fazem-no sempre per-
pendicularmente.
(II) O potencial eletrosta´tico e´ constante tanto
na superf´ıcie, quanto no interior (“na massa”) do
condutor.
(III) Se, nesse condutor, houver uma cavidade
(buraco) interna, nenhum ponto da superf´ıcie
dessa cavidade podera´ ter densidade de carga di-
ferente de zero, mesmo que exista uma part´ıcula
carregada no interior da cavidade.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
qual(is) da(s) afirmac¸a˜o(o˜es) acima e´(sa˜o) falsa(s)
e qual(is) e´(sa˜o) verdadeira(s).
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
8. Uma part´ıcula (pontual), de massa m e carga
q, esta´ em repouso, sujeita a dois campos: (i)
um campo eletrosta´tico devido a uma chapa fina,
plana, horizontal, de dimenso˜es muito grandes (de
modo que ela possa ser tratada como um plano in-
finito), com densidade superficial de carga σ > 0,
e (ii) o campo gravitacional usual da Terra, g,
na direc¸a˜o vertical. Sabendo que a part´ıcula esta´
acima da chapa, indique a opc¸a˜o que mostra cor-
retamente o sinal e o mo´dulo da carga.
(a) positivo, 2ǫ0mg/σ .
(b) positivo, ǫ0mg/σ .
(c) positivo, σ/(ǫ0mg) .
(d) negativo, 2ǫ0mg/σ .
(e) negativo, ǫ0mg/σ .
(f) negativo, σ/(ǫ0mg) .
9. Temos dois indutores ideais, totalmente separa-
dos um do outro, de mesma auto-indutaˆncia. No
primeiro deles, passa uma corrente de intensi-
dade I1(t) = (6A/s) t, ao passo que, no se-
gundo, passa uma outra corrente de intensidade
I2(t) =
(
1A/s
2
)
t2. No instante t = 3 s, qual das
opc¸o˜es abaixo e´ a correta?
(a) A fem auto-induzida no indutor 1 tem
mo´dulo maior que o da auto-induzida no
indutor 2.
(b) A fem auto-induzida no indutor 1 tem
mo´dulo menor que o da auto-induzida no
indutor 2.
(c) As fem’s auto-induzidas nos indutores 1
e 2 teˆm mo´dulos iguais.
(d) Na˜o e´ poss´ıvel comparar os mo´dulos das
fem’s auto-induzidas so´ com os dados for-
necidos.
10. Imagine um arranjo, como mostrado na figura
abaixo, de