Apostila Matemática Financeira Aplicada a Contabilidade Tributária

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Matemática Financeira e 
Aplicada à Gestão Tributária 
 
 
 
 
Introdução 
 
Aos estudantes e profissionais que precisam compreender os diversos CPC e IAS, a 
Matemática financeira se mostra de grande valia neste sentido, uma vez que ela é útil 
e necessária para a aplicação de algumas normas. O CPC 38 - Instrumentos 
Financeiros: Reconhecimento e Mensuração, por exemplo, exige os conceitos de Valor 
Presente Líquido, oriundo da Matemática financeira. 
 
Além disso, a gestão tributária necessita dos conhecimentos em Matemática financeira 
para saber, entre tantos motivos, prever fluxos de caixas, atualizar quantias a valor 
presente, saber calcular a taxa interna de retorno. 
 
Logo, o estudo de conceitos como juros, inflação, taxas e análise de investimento, 
mostra-se essencial para aquele profissional que deseja se aprofundar no assunto. 
 
 
 
 
 
 
Revisão e uso da HP12C; Conceito de Juros e Juros Simples 
 
Conceito de Juros 
 
Sabe-se que a Matemática financeira nada mais é que, em simples palavras, o estudo 
do valor do dinheiro ao longo do tempo. Logo, ela é útil para comparar o dinheiro em 
momentos distintos. Veja o seguinte exemplo: um conhecido pede emprestado a você 
a quantia de R$ 1.000,00 prometendo devolvê-la exatamente após um ano. 
Intuitivamente, você poderá pensar algumas questões a respeito: 
 
 Será que meu conhecido realmente vai me devolver esse dinheiro na data 
acordada? 
 Poxa, ficar um ano sem esses R$ 1.000,00. Poderia fazer outras coisas com o 
dinheiro... 
 R$ 1.000,00 hoje não valerão os mesmos R$ 1.000,00 daqui a um ano. 
 
Essas questões reflexivas tornam-se o componente básico da formação dos juros, isto 
é, o quanto vou cobrar de aluguel de um indivíduo por estar fazendo um empréstimo. 
A primeira indagação a respeito da probabilidade de um não pagamento refere-se à 
figura do risco. Em outras palavras, existe a possibilidade de eu não receber. O 
segundo questionamento é o conceito econômico chamado de custo de oportunidade, 
ou seja, estou deixando de usufruir uma determinada quantia para que ela possa ser 
utilizada em outro local, no caso, um empréstimo. Por fim, o fato de o dinheiro perder 
valor ao longo do tempo em função da inflação, quer dizer, com o tempo o dinheiro é 
corroído, perdendo valor. 
 
Assim, risco, custo de oportunidade e inflação dão, basicamente, origem à formação 
dos juros. Preciso cobrar um valor extra da pessoa a quem emprestei um determinado 
valor a fim de que eu seja compensado por abrir mão do dinheiro naquele momento, 
por assumir um risco e fazer com o que dinheiro seja compensado no decorrer do 
tempo. 
 
 
 
 
Diagrama de Fluxos de Caixa 
 
Bruni e Famá (2004) comentam que, para facilitar a representação das operações 
financeiras, a Matemática financeira emprega o diagrama de fluxo de caixa, que nada 
mais é que uma representação gráfica da movimentação das entradas e saídas de 
caixa. Veja a figura abaixo como exemplo. 
 
Fonte: Bruni e Famá (p. 21, 2004) 
 
Juros Simples 
 
A figura dos juros pode, na Matemática financeira, se apresentar de duas formas: 
simples ou composto. Enquanto os juros simples incidem sempre sobre o valor do 
principal, no regime dos juros compostos, a incidência é sempre sobre os juros 
acumulados, isto é, juros sobre juros. 
 
Assaf Neto (2012) costuma dizer que o regime de capitalização dos juros simples 
comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), isto é, os juros crescem 
de forma linear ao longo do tempo. Enfatiza-se, mais uma vez, que os juros incidem 
somente sobre o capital inicial (principal) da operação. 
 
 
 
 
Como exemplo, verifique a tabela abaixo que ilustra um exemplo no qual foi feito um 
empréstimo de $ 1.000,00 pelo prazo de 5 anos a uma taxa de juros de 10% ao ano. 
 
Ano 
Saldo no início 
de cada ano ($) 
Juros apurados 
para cada ano 
($) 
Saldo devedor 
ao final de cada 
ano ($) 
Crescimento 
anual do 
saldo 
devedor ($) 
Início do 1º ano - - 1.000,00 - 
Fim do 1º ano 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 
100,00 
1.100,00 100,00 
Fim do 2º ano 1.100,00 0,10 x 1.000,00 = 
100,00 
1.200,00 100,00 
Fim do 3º ano 1.200,00 0,10 x 1.000,00 = 
100,00 
1.300,00 100,00 
Fim do 4º ano 1.300,00 0,10 x 1.000,00 = 
100,00 
1.400,00 100,00 
Fim do 5º ano 1.400,00 0,10 x 1.000,00 = 
100,00 
1.500,00 100,00 
Fonte: Assaf Neto (p. 3, 2012) 
 
Posto isso, faz-se necessário destacar os principais elementos desse regime: 
 
 Capital Inicial (C) ou Valor Presente (VP): é a quantia em dinheiro que uma 
pessoa tem ou que solicitou emprestado; 
 Juros (J): é a remuneração ou o aluguel recebido por ter emprestado / aplicado o 
dinheiro; 
 Taxa de Juros (i): é a taxa na qual o capital foi submetido para que seja 
remunerado; 
 Período (n): é o tempo / prazo no qual o capital será empregado; 
 Montante (M) ou Valor Futuro (VF): é a quantia em dinheiro, ao final do período, 
que será resgatada, ou seja, capital acrescido de juros. 
 
Dessa forma, surgem as fórmulas conhecidas para o regime dos juros simples: 
 
 
 
 
𝐽 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑛 
 
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 
 
𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑖 × 𝑛) 
 
No regime dos juros simples, as taxas podem ser divididas ou multiplicadas sem que 
haja qualquer tipo de problema no processo. Todavia, taxa de juros (i) e período (n) 
sempre devem estar expressos na mesma unidade de tempo. Se a taxa for ao mês, o 
tempo, necessariamente, deve ser expresso em meses. 
 
A HP12C 
 
A HP 12C é, sem dúvida, a calculadora financeira mais antiga e a mais utilizada no 
mercado financeiro. Bruni e Famá (p. 72, 2004) destacam as principais razões pelas 
quais a HP 12C ainda é persistente no mercado: 
 
1) É uma calculadora puramente RPN, sem opções algébricas para confundir o 
usuário. As calculadoras mais novas, HP 17B e 19B, foram lançadas em versões 
algébricas, rapidamente substituídas pelas versões BII, com RPN opcional; 
2) Os compradores, geralmente profissionais ligados a áreas de negócios, são 
sempre ligeiramente conservadores – o que os torna aficionados pela HP 12C, já 
tradicional no mercado; 
3) Possui uma excelente (e cara) aparência; 
4) Como todas as outras calculadoras da série 10C, possui uma boa e sólida 
aparência, “feita como um tijolo”, especialmente quando comparada com outros 
modelos de calculadoras disponíveis no mercado; 
5) Já se tornou parte do “elegante uniforme executivo de negócios”, o que a 
distingue facilmente dos modelos mais baratos; 
6) Talvez forneça funções apropriadas, de forma apropriada e pelo preço mais justo 
possível. 
 
 
 
 
A HP 12C tem por principal característica trabalhar com a lógica RPN (Reverse Polish 
Notation), em português: Notação Polonesa Reversa, facilitando a entrada dos dados 
e execução mais eficiente dos cálculos. “Enquanto em uma operação algébrica comum 
os operandos devem ser intercalados por operadores, na lógica RPN os operandos 
devem ser colocados primeiramente e, depois, devem ser colocados os operadores” 
(BRUNI; FAMÁ, p. 76, 2004). 
 
Por exemplo, para somar 5 e 4 em uma operação algébrica deve-se fazer 5 + 4 = 9. 
Em uma operação com lógica RPN, é necessário entrar com 5 e o 4 e, depois, com o 
operador da adição” (BRUNI; FAMÁ, p. 76, 2004). Para auxiliar nessa função existe a 
tecla [ENTER]. Sendo assim, para efetuar tal operação, deve-se fazer a seguinte 
sequência: 5 [ENTER] 4 [+]. 
 
A HP 12C, como forma de economizar teclas, emprega o recurso das funções. Existem 
as funções na cor azul (tecla [g]) e as funções amarelas (tecla [f]). Portanto, para 
utilizaruma das funções, é necessário digitar a tecla [f] ou [g] antes. Por exemplo, a 
tecla PV possui a também a função amarela NPV (Valor Presente Líquido). Para ativá-
la, aperte a tecla [f] e depois a tecla PV. Note que na calculadora ficará indicado se a 
tecla [f] ou [g] estiver pressionada. 
 
Questões de Fixação do Conhecimento 
 
1) Calcule o juros e o montante de um empréstimo obtido no valor de R$ 15.000,00 a 
ser pago daqui a 60 meses. Considere o regime dos juros simples e a taxa de 1,5% 
a.m. 
 
2) Desenhe o diagrama de fluxo de caixa do exercício 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juros Compostos; Taxas de juros efetivas e nominais 
 
Juros Compostos 
 
Diferentemente do regime dos juros simples, na capitalização composta acrescem-se 
ao “capital não somente os juros referentes a cada período, mas também os juros 
sobre os juros acumulados até o momento anterior” (ASSAF NETO, p. 3, 2012). O seu 
comportamento é, portanto, como uma progressão geométrica (PG). 
Admita, ilustrativamente, o mesmo exemplo utilizado nos juros simples: um capital de 
R$ 1.000,00 a ser pago em 5 anos a uma taxa de 10% ao ano. O comportamento dos 
juros dá-se conforme quadro a seguir: 
 
Ano 
Saldo no início 
de cada ano ($) 
Juros apurados para cada ano 
($) 
Saldo devedor 
ao final de cada 
ano ($) 
Início do 1º ano - - 1.000,00 
Fim do 1º ano 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00 
Fim do 2º ano 1.100,00 0,10 x 1.100,00 = 110,00 1.210,00 
Fim do 3º ano 1.210,00 0,10 x 1.210,00 = 121,00 1.331,00 
Fim do 4º ano 1.331,00 0,10 x 1.331,00 = 133,10 1.464,10 
Fim do 5º ano 1.464,10 0,10 x 1.464,10 = 146,41 1.610,51 
Fonte: Assaf Neto (p. 4, 2012) 
 
Ainda de acordo com Assaf Neto (2012), os juros compostos possuem um 
comportamento equivalente a uma progressão geométrica (PG), uma vez que os juros 
incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período – e não unicamente sobre 
o capital inicial, como ocorre nos juros simples. 
 
As principais fórmulas utilizadas no critério dos juros compostos são: 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 (1 + 𝑖)𝑛 
 
 
 
 
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
(1 + 𝑖)𝑛
 
 
Bruni e Famá (2004) explicam que, na Matemática financeira, existe uma preocupação 
constante de equiparar taxas e prazos. Argumentam ainda que “operações de 
conversões de taxas para prazos diferentes são sempre necessárias”. 
 
Taxas Nominais e Efetivas 
 
Há dois tipos de taxas a serem trabalhadas na Matemática financeira: a taxa efetiva e 
a taxa nominal. Enquanto a taxa efetiva é, de fato, aquela que foi apurada durante 
todo um determinado prazo, formando os juros, a taxa nominal, por outro lado, é 
aquela na qual o prazo de capitalização dos juros não é o mesmo que anteriormente 
foi definido para a taxa de juros. 
Por exemplo, admita uma taxa efetiva de 24% ao ano. Para saber qual seria a taxa 
mensal, devemos descapitalizar essa taxa, uma vez que, no regime dos juros 
compostos, a taxa é exponencial. Assim, tem-se: 
𝑖𝑒 = √1 + 𝑖
𝑛
− 1 
 
𝑖𝑒 = √1 + 0,24
12
− 1 
 
𝑖𝑒 = 1,81% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 
 
 Agora, se a taxa for nominal de 24% ao ano, capitalizada mensalmente, então a 
conversão é mais fácil, bastando efetuar a divisão: 
𝑖𝑛 =
𝑖
𝑛
 
 
𝑖𝑛 =
0,24
12
 
 
 
 
 
𝑖𝑛 = 2,0% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 
 
Perceba que a taxa efetiva sempre será menor que a taxa nominal. Recapitulando, a 
taxa efetiva é aquela que realmente ocorre no processo de formação de juros. 
Perceba que, quando a taxa for capitalizada, resultará nos mesmos 24% ao ano. 
 
𝑖𝑒 = (1 + 𝑖)
𝑛 − 1 
 
𝑖𝑒 = (1 + 0,0181)
12 − 1 
 
𝑖𝑒 = 24% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜 
 
A taxa nominal, por sua vez, quando capitalizada, resultará em um valor maior que os 
24% ao ano que inicialmente a taxa estava expressa, veja: 
 
𝑖𝑒 = (1 + 𝑖)
𝑛 − 1 
 
𝑖𝑒 = (1 + 0,02)
12 − 1 
 
𝑖𝑒 = 26,82% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜 
 
Logo, conforme dizem Bruni e Famá (2004), a taxa nominal também é conhecida 
como a taxa de “mentirinha”, porque ela diz ser uma, quando, na verdade, é outra. 
Logo, percebe-se que, quando uma taxa foi expressa no tipo nominal, o prazo de 
capitalização será diferente, resultando, na formação de juros em um valor maior. 
Por padrão, as taxas são sempre expressas em nominais. Então quando ler 16% ao 
ano, saiba que se trata de taxa nominal e que, necessariamente, precisa conhecer o 
período de capitalização da taxa. Uma taxa só será efetiva quando for divulgado, por 
exemplo, 18% ao ano efetiva. 
 
 
 
 
Quando as taxas de juros são expressas, é comum uma notação padrão para 
referenciar o período. Ao invés de utilizar 15% ao ano, por exemplo, utiliza-se 15% 
a.a. A tabela a seguir demonstra alguns exemplos: 
 
Período Expressão Notação 
Anual ao ano a.a. 
Semestral ao semestre a.s. 
Quadrimestral ao quadrimestre a.q. 
Trimestral ao trimestre a.t. 
Mensal ao mês a.m. 
Diário ao dia a.d. 
 
 
Na HP 12C é possível fazer operações com juros compostos. As teclas utilizadas são: 
[n], [i], [PV] e [FV]. Por exemplo, para saber qual o valor futuro de um empréstimo de 
R$ 10.000,00 vencível em 2 anos, a uma taxa de 10% a.a., basta fazer na HP 12C: 
10.000 [CHS] [PV], 2 [n], 10 [i], FV. O visor irá mostrar o valor de 12.100,00. 
 
Questões de Fixação do Conhecimento 
 
1) Quanto eu precisaria investir hoje para que, daqui a 28 meses, pudesse sacar a 
quantia de R$ 30.000,00 a uma taxa de 15% a.a. (nominal) capitalizada 
mensalmente? 
 
2) Transforme a taxa de 20% a.a. efetiva em uma taxa nominal anual capitalizada 
mensalmente. 
 
 
 
 
Séries de Pagamentos Uniformes e Sistemas de Amortização 
 
Séries de Pagamentos Uniformes 
 
O primeiro tema a ser tratado neste capítulo é sobre as séries uniformes, que são 
aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são iguais, uniformes ao longo de 
intervalos regulares de tempo (BRUNI; FAMÁ, 2004). 
 
A característica da série uniforme é que ela apresenta prestações iguais, conforme 
apresentado na figura abaixo, que expressa um diagrama de fluxo de caixa utilizando 
uma série uniforme. 
 
 
Fonte: Bruni e Famá (p. 354, 2004) 
 
Nas séries uniformes, além de utilizar as já conhecidas teclas da HP 12C, [n], [i], [PV] 
e [FV], também será necessário a tecla [PMT], responsável por informar à calculadora 
que o valor imputado é uma parcela oriunda de uma série uniforme. 
 
Destaca-se ainda que as séries uniformes podem ser antecipadas ou postecipadas. Se 
antecipadas, significa que há uma entrada, ou seja, o primeiro pagamento ou 
 
 
 
recebimento ocorre no início da série – uma entrada. Na HP 12C a série é, por 
definição, tratada como postecipada. Para indicar que a série é antecipada, é 
necessário pressionar as teclas [g] [BEGIN]. 
Matematicamente, a série uniforme utiliza a seguinte expressão: 
 
𝑃𝑀𝑇 =
𝑉𝑃 [ 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛]
[(1 + 𝑖)𝑛 − 1]
 
 
Por exemplo, admita um empréstimo de R$ 10.000,00 a ser pago em 24 parcelas 
mensais, iguais e sucessivas a uma taxa de 14% a.a. efetiva. Qual seria o valor de 
cada parcela? 
 
O primeiro passo é verificar se taxa e prazo estão na mesma unidade. Verifica-se que 
a taxa (i) está expressa ao ano, enquanto que o prazo (n) está em meses. Neste caso, 
é necessário converter a taxa para mensal. Nota-se que ela é efetiva, logo: 
 
𝑖𝑒 = √1 + 𝑖
𝑛
− 1 
 
𝑖𝑒 = √1 + 0,14
12
− 1 
 
𝑖𝑒 = 1,0979 % 𝑎. 𝑚. 
 
Na HP 12C, imputa-se a seguinte sequência: 
 10.000 [CHS] [PV] 
 24 [n] 
 1,0979 [i] 
 [PMT] 
 Visor = 476,24 
 
O valor de cada parcela será de R$ 476,24. 
 
 
 
 
Sistemas de AmortizaçãoPara Assaf Neto (p. 205, 2012), “os sistemas de amortização são desenvolvidos 
basicamente para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, 
envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros”. 
 
Há alguns tipos de classificação dos sistemas de amortizações, sendo os mais comuns: 
Sistema Americano de Amortização (SAA); Sistema de Amortizações Constantes 
(SAC); e Sistema de Amortização Francês (SAF), também conhecido como PRICE. 
Neste capítulo, serão estudados o SAC e o SAF. 
 
Os diferentes sistemas de amortização tratam, basicamente, da forma como o 
principal (valor solicitado) e os encargos financeiros (juros) serão restituídos ao credor 
do capital, ou seja, como o empréstimo ou financiamento será pago. 
 
Bruni e Famá (p. 417, 2002) explicam que no sistema americano, “os juros são pagos 
periodicamente, sendo o principal quitado no final da operação”. Como exemplo têm-
se as debêntures. Já no sistema francês, Bruni e Famá (p. 418, 2002) explanam que 
“as prestações são constantes, ou seja, as séries são sempre uniformes”. Logo, 
verifica-se que o pagamento dos juros é decrescente e o da amortização do principal é 
crescente. 
 
Por fim, no sistema de amortização constante, os referidos autores explicam que “as 
amortizações são uniformes e o pagamento de juros decai com o tempo”. Verifica-se, 
portanto, que as prestações são decrescentes. O SAF geralmente é empregado em 
empréstimos bancários e financiamentos de veículos, enquanto que o SAC é mais 
aplicado no mercado de financiamento de imóveis. 
 
As principais definições desses sistemas seguem abaixo, conforme proposto por Assaf 
Neto (p. 206, 2012): 
 
Encargos Financeiros = são os juros da operação; 
 
 
 
Amortização = refere-se exclusivamente ao pagamento do principal (capital 
emprestado), o qual é efetuado, geralmente, mediante parcelas periódicas (mensais, 
trimestrais etc); 
Saldo Devedor = representa o valor do principal da dívida, em determinado 
momento, após a dedução do valor já pago ao credor a título de amortização; 
Prestação = é composto do valor de amortização mais os encargos financeiros 
devidos em determinado período de tempo. 
 
Sistemas de Amortização Constante (SAC) 
 
A amortização é encontrada pela simples divisão do capital emprestado pelo número 
de prestações: 
𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜 =
𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝐸𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜
𝑁º 𝑑𝑒 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çõ𝑒𝑠
 
 
Os encargos financeiros (juros) incidem imediatamente sobre o Saldo Devedor do 
período, que, a cada pagamento, é diminuído da amortização. A prestação, por sua 
vez, é a soma da amortização com os juros. 
 
Como exemplo, admita um empréstimo de R$ 60.000,00 a ser pago em 5 prestações 
anuais a uma taxa de 10% a.a. A tabela abaixo demonstra como seria o SAC: 
 
Período Prestação Amortização Juros 
Saldo 
Devedor 
0 - - - 60.000,00 
1 18.000,00 12.000,00 6.000,00 48.000,00 
2 16.800,00 12.000,00 4.800,00 36.000,00 
3 15.600,00 12.000,00 3.600,00 24.000,00 
4 14.400,00 12.000,00 2.400,00 12.000,00 
5 13.200,00 12.000,00 1.200,00 0,00 
Total 78.000,00 60.000,00 18.000,00 - 
 
𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜 =
60.000
5
= 12.000 
 
 
 
 
Assim sendo, a amortização é de R$ 12.000,00 por ano. Perceba que o Saldo Devedor 
é diminuído, a cada período, da amortização. No ano 1, por exemplo, o saldo devedor 
é 60.000 – 12.000 = 48.0000; no segundo ano, o novo saldo devedor é de 48.000 – 
12.000 = 36.000 e assim por diante, até zerar. 
 
Os juros são calculados sempre com base no saldo devedor do período. O juro do 
primeiro ano é de 10% de 60.000, ou seja, 6.000; no segundo ano é de 10% de 
48.000, isto é, 48.000 e assim sucessivamente. 
 
A prestação nada mais é, como já exposto, do que a soma da amortização com os 
juros. No ano 1 os 18.000 é a soma dos 12.000 (amortização) com os 6.000 (juros). 
 
Sistema de Amortização Francês (SAF) ou Tabela PRICE 
 
O SAF ou Tabela PRICE tem como característica a uniformidade da prestação, ou seja, 
sempre de igual valor. A amortização é crescente, enquanto que os juros são 
decrescentes. 
 
Admita o mesmo exemplo anterior: um empréstimo de R$ 60.000,00 a ser pago em 5 
prestações anuais a uma taxa de 10% a.a. Contudo, dessa vez, no SAF. 
 
Para a construção da tabela, primeiramente calcula-se a prestação utilizando-se a 
fórmula do PMT. Na HP 12C o processo é: 
 60.000 [CHS] [PV] 
 5 [n] 
 10 [i] 
 [PMT] 
 Visor = 15.827,85 
 
As prestações serão, cada uma, no valor de R$ 15.827,85. Para o cálculo dos juros, 
basta multiplicar o Saldo Devedor do período pela taxa de juros. No primeiro ano, 
portanto, será 10% de 60.000 = 6.000. A amortização, na SAF, é a simples diferença 
 
 
 
entre a prestação e os juros: 15.827,85 – 6.000,00 = 9.827,85. Faz-se os mesmos 
passos para os demais períodos. O resultado encontra-se na tabela abaixo. 
 
Período Prestação Amortização Juros Saldo Devedor 
0 - - - 60.000,00 
1 15.827,85 9.827,85 6.000,00 50.172,15 
2 15.827,85 10.810,63 5.017,22 39.361,52 
3 15.827,85 11.891,70 3.936,15 27.469,82 
4 15.827,85 13.080,87 2.746,98 14.388,95 
5 15.827,85 14.388,95 1.438,90 0,00 
Total 79.139,24 60.000,00 19.139,24 - 
 
 
Questões de fixação do conhecimento 
 
1) Realize as seguintes operações: 
 
a) Um empréstimo de R$ 50.000,00 é realizado a uma taxa de 4,8% a.m. para ser 
liquidado em 6 parcelas mensais, iguais e sucessivas. Apure o valor de cada 
prestação. 
 
b) Quanto é preciso aplicar mensalmente, num total de 48 prestações, num 
investimento, para que possa resgatar R$ 52.800,00 no final do período, à taxa de 4% 
a.m., começando a aplicação agora (antecipada)? 
 
2) Um financiamento de R$ 120.000,00 será feito por um prazo de 6 meses a uma 
taxa de 22% a.a. efetiva. Sendo assim, elabore as planilhas de financiamento pelos 
sistemas de amortizações: 
 
a) Utilizando o SAC; 
 
b) Utilizando o SAF. 
 
 
 
 
Capítulo 4 - Juros Reais, Juros Nominais e Taxa de Inflação 
 
Resultado e Juros Nominais e Reais 
 
Assaf Neto (p. 61, 2012) explica que “em ambientes inflacionários é indispensável, 
para o correto uso das técnicas de Matemática Financeira, ressaltar, nas várias taxas 
de juros nominais praticadas na Economia, o componente devido à inflação e aquele 
declarado como real”. Logo, a parte real é aquela acrescida da inflação, uma vez que 
a inflação deprecia monetariamente o dinheiro ao longo do tempo. 
 
Para verificar as variações ocorridas nos preços do mercado, de um período para 
outro, calculam-se os índices de preços. Esses índices “representam uma média global 
das variações de preços que se verificaram num conjunto de determinados bens 
ponderada pelas quantidades respectivas” (ASSAF NETO, p. 61, 2012). 
 
No Brasil os principais índices são o IGP-M (Índice Geral de Preços do Mercado – 
fornecido pela FGV), o IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo – fornecido pelo 
IBGE) e o INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor – também fornecido pelo 
IBGE). Por meio desses índices é possível calcular a inflação de um período. 
 
Considere os índices do IGP-M para o ano de 2015, de janeiro e dezembro, conforme 
ilustrado na tabela abaixo. 
Mês/ano Índice 
dez/15 1.484,93 
nov/15 1.477,69 
out/15 1.455,57 
set/15 1.428,57 
ago/15 1.415,12 
jul/15 1.411,17 
jun/15 1.401,50 
mai/15 1.392,17 
abr/15 1.386,49 
mar/15 1.370,45 
fev/15 1.357,15 
jan/15 1.353,50 
 
 
 
 
Em um primeiro momento, verifica-se a variação desses índices de um mês para o 
outro. Todavia, se é interesse calcular a inflação de um período, por exemplo, a 
inflaçãode janeiro a dezembro de 2015, então deve-se dividir o índice de dezembro 
(último período) pelo índice de janeiro (primeiro período), conforme fórmula a seguir: 
 
𝐼 =
𝑃𝑛
𝑃𝑛−𝑡
− 1 
 
Em que, 
I = taxa de inflação obtida após a divisão; 
P = índice de preços; 
n, n – t = data de determinação da taxa de inflação e o período anterior considerado. 
 
Sendo assim, a inflação de janeiro a dezembro de 2015 seria: 
 
𝐼 =
1.484,93
1.353,50
− 1 
 
𝐼 = 0,0971 𝑜𝑢 9,71% 
 
Agora considere um imóvel que foi comprado por R$ 93.000,00 em abril de 2015 e 
vendido, em dezembro do mesmo ano, por R$ 100.000,00. Qual o lucro da operação? 
Neste caso, deve-se considerar que há duas avaliações disponíveis para a mensuração 
do lucro: o nominal e o real. O lucro nominal é medido pela simples diferença entre os 
valores de venda e compra. Neste caso, R$ 100.000,00 – R$ 93.000,00 = R$ 
7.000,00. Diz-se então que foi auferido um lucro nominal de R$ 7.000,00 na venda do 
imóvel. 
 
Em contrapartida, o lucro real leva em consideração os efeitos da inflação. Admitindo-
se ainda a tabela índice do IGP-M, a inflação do período (abril a dezembro) foi de: 
 
𝐼 =
1.484,93
1.386,49
− 1 = 7,10% 
 
 
 
 
Uma vez que foi obtido o valor da inflação do período, o preço de compra do imóvel 
deve ser atualizado: 
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 = 93.000 × (1 + 0,0710) = 𝑅$ 99.603,00 
 
Dessa forma, o lucro real da operação foi de R$ 100.000,00 – R$ 99.603,00 = R$ 
397,00. Perceba como, de fato, a inflação corrói o poder aquisitivo da moeda. 
 
Taxas de Inflação (Real e Nominal) 
 
Ainda quando se fala em inflação, existe a taxa nominal e a taxa real. A taxa aqui 
chamada de nominal é diferente da taxa nominal (linear) que indica a capitalização do 
juro (conforme estudada no capítulo 2). A taxa nominal, no contexto inflacionário, é 
aquela que mede o resultado de uma operação em valor corrente. 
 
Assaf Neto (p. 68, 2012) explica que “o termo real para as operações de Matemática 
Financeira detona um resultado apurado livre dos efeitos inflacionários. Ou seja, 
quanto se ganhou (ou perdeu) verdadeiramente, sem a interferência das variações 
verificadas nos preços”. Assim, o objetivo do cálculo da taxa real (r) é o de remover o 
efeito da indexação da taxa total de juros (nominal), expressando, portanto, o juro 
real. 
 
Por exemplo, admita que a caderneta de poupança remunerou, durante o ano de 
2015, o total de 6,20%. Sabe-se, que nesse mesmo período, a inflação foi de 9,71%. 
Não é necessário, neste momento, cálculo para saber que a inflação foi maior que a 
remuneração da aplicação, ou seja, os rendimentos não foram suficientes para cobrir 
os efeitos da desvalorização da moeda. 
 
Para apurar a taxa real, utiliza-se a seguinte fórmula: 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 (𝑟) =
1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 (𝑖)
1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜 (𝐼)
− 1 
 
 
 
 
Substituindo os valores do exemplo acima, a taxa real da remuneração da poupança 
é: 
𝑟 =
1 + 0,062
1 + 0,0971
− 1 = −0,032 𝑜𝑢 − 3,2% 
 
O valor de -3,2% indica não somente que a remuneração foi menor, mas que também 
houve perdas devido ao alto nível de inflação do período, perdendo, portanto, 
capacidade de compra. Em outro exemplo, admita que uma aplicação apresentou 
remuneração de 12,8% em um período e que a taxa real dessa mesma operação foi 
de 5,7%. Qual seria a inflação desse período? 
𝑟 =
1 + 𝑖
1 + 𝐼
− 1 
 
Rearranjando a expressão, tem-se que: 
𝐼 =
(1 + 𝑖)
(1 + 𝑟)
− 1 
 
𝐼 =
(1 + 0,128)
(1 + 0,057)
− 1 = 6,72% 
 
Logo, a inflação do período em questão foi de 6,72%. 
 
Questões de Fixação do Conhecimento 
 
1) Um imóvel foi comprado por R$ 105.000,00 e após dois anos, vendido por R$ 
170.000,00. Sabendo que a inflação do período foi de 13,4%, apure o lucro nominal e 
o lucro real dessa operação. 
 
2) Uma aplicação remunerou em um determinado período 14,5%. Nesse mesmo 
período, a inflação atingiu 8,3%. Apure a taxa real da aplicação. 
 
 
 
 
 
Descontos 
 
As operações de descontos são aquelas em que um título é liquidado antes de seu 
vencimento e, por isso, há uma “recompensa” pelo pagamento antecipado. Tal 
recompensa nada mais é que o desconto propriamente dito. Sendo assim, tem-se a 
seguinte expressão: 
 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 
Em que, 
Valor Descontado = é o valor atual do título na data do desconto; 
Valor Nominal = é o valor de resgate do título, isto é, o valor do título em sua data de 
vencimento. Em outras palavras, é o montante; 
Desconto = é a recompensa por pagar antecipadamente um título. 
 
Os descontos podem ser realizados tanto sob o regime de juros simples como no de 
juros compostos. Além disso, os descontos ainda são divididos em dois tipos: i) 
desconto racional (ou “por dentro” e; ii) desconto comercial (ou bancário ou “por 
fora”). 
A apostila abordará somente o desconto no regime dos juros simples, devido a sua 
facilidade de compreensão. 
 
Desconto Racional (ou “por dentro”) 
 
Esse tipo de desconto aborda os conceitos oriundos dos juros simples. Assim, tem-se 
a seguinte expressão: 
 
𝐷𝑟 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑛 
 
Em que, 
D = é o valor do desconto racional; 
C = é o capital ou valor atual; 
i = é a taxa de juros; 
 
 
 
n = é o prazo do desconto (período que o título é negociado antes de seu 
vencimento). 
 
Todavia, no desconto racional, a correta expressão para chegar ao valor efetivo do 
desconto é: 
𝐷𝑟 =
𝑁 × 𝑖 × 𝑛
1 + 𝑖 × 𝑛
 
 
Também pode-se expressar com duas outras equações: 
 
𝐷𝑟 = 𝑁 − 𝑉𝑟 
 
𝑉𝑟 =
𝑁
1 + 𝑖 × 𝑛
 
 
 
Em que, 
N = é o valor nominal do título; 
V = é o valor descontado. 
 
Assaf Neto (p. 41, 2012) ressalta que o desconto racional representa as relações de 
juros simples. Além disso, o autor ainda aponta que “o juro incide sobre o capital 
(valor atual) do título, ou seja, sobre o capital liberado da operação”. 
 
Exemplo: 
Um título de valor nominal de R$ 5.000,00 está sendo liquidado 3 meses antes de seu 
vencimento. A taxa de juros é de 20% a.a. Pede-se: calcule o desconto e o valor 
descontado do título, considerando o desconto racional. 
 
𝑖 =
20%
12
= 1,67% 𝑜𝑢 0,0167 
 
𝐷𝑟 =
𝑁 × 𝑖 × 𝑛
1 + 𝑖 × 𝑛
 
 
 
 
 
𝐷𝑟 =
5.000 × 0,0167 × 3
1 + 0,0167 × 3
 
 
𝐷𝑟 = 238,10 
 
O valor descontado então é: 
𝑉𝑟 = 𝑁 − 𝐷𝑟 
𝑉𝑟 = 5.000 − 238,10 
 
𝑉𝑟 = 4.761,90 
 
Desconto Comercial (ou Bancário ou “por fora”) 
 
Esse tipo de desconto incide sobre o valor nominal do título e, portanto, gera maior 
volume de encargo financeiro. Assaf Neto (p. 42, 2012) ressalta que “ao contrário dos 
juros ‘por dentro’, que calculam os encargos sobre o capital efetivamente livrado na 
operação, ou seja, sobre o valor presente, o critério ‘por fora’ apura os juros sobre o 
montante”. Logo, a primeira expressão do desconto “por fora” é: 
 
𝐷𝐹 = 𝑁 × 𝑖 × 𝑛 
 
E para calcular diretamente o valor descontado, a expressão é: 
 
𝑉𝐹 = 𝑁(1 − 𝑖 × 𝑛) 
 
Exemplo: 
Um título de valor nominal de R$ 5.000,00 está sendo liquidado 3 meses antes de seu 
vencimento. A taxa de juros é de 20% a.a. Pede-se: calcule o desconto e o valor 
descontado do título, considerando o desconto bancário. 
 
𝑖 =
20%
12
= 1,67% 𝑜𝑢 0,0167 
 
 
 
𝐷𝐹 = 𝑁 × 𝑖 × 𝑛 
 
𝐷𝐹 = 5.000 × 0,167 × 3 
 
𝐷𝐹 = 250 
 
𝑉𝑟 = 𝑁 − 𝐷𝑟 
 
𝑉𝑟 = 5.000 − 250 
𝑉𝑟 = 4.750 
 
Questões de Fixação do Conhecimento1) Uma duplicata, vencível em um ano, no valor de R$ 8.000,00 está sendo liquidada 
4 meses antes de seu vencimento. Sabendo que a taxa da operação é de 12% 
a.a., calcule o desconto e o valor descontado: 
 
a) utilizando o desconto “por dentro”; 
a) utilizando o desconto “por fora”. 
 
2) Um título de R$ 25.000,00 está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. 
Sabendo que a taxa da operação é de 15% a.a. efetiva, calcule o desconto e o 
valor descontado: 
 
a) utilizando o desconto “por dentro”; 
a) utilizando o desconto “por fora”. 
 
 
 
 
 
 
Fluxos de Caixa, Projeções Financeiras e Equivalência de Fluxos de Caixa 
 
“Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou de recebimentos que se 
estima ocorrer em determinado intervalo de tempo” (ASSAF NETO, p. 105, 2012). 
Operações financeiras como um empréstimo comumente envolve desembolsos de 
caixa de forma periódica – pagamento mensal, por exemplo. Outras modalidades 
podem envolver um único pagamento ao final do contrato. A representação de um 
fluxo de caixa, como já estudado, é representado pelo PMT. 
 
Veja o seguinte exemplo: uma empresa está avaliando quatro opções de pagamentos 
para um financiamento de R$ 300.000,00, de acordo com a tabela abaixo. Sabendo 
que a taxa de juros da operação é de 7% a.m., qual seria a melhor opção para a 
empresa? 
 
Mês Plano I Plano II Plano III Plano IV 
1 42.713,25 - - - 
2 42.713,25 - 105.026,60 - 
3 42.713,25 148.033,10 105.026,60 - 
4 42.713,25 - - - 
5 42.713,25 - - 82.499,85 
6 42.713,25 148.033,10 - 82.499,85 
7 42.713,25 - 105.026,60 82.499,85 
8 42.713,25 - - 82.499,85 
9 42.713,25 148.033,10 105.026,60 82.499,85 
10 42.713,25 - - 82.499,85 
Total 427.132,50 444.099,30 420.106,40 494.999,10 
Fonte: Assaf Neto (2012) 
 
Verifica-se que os planos possuem fluxos de caixa diferentes. O primeiro plano exige 
um desembolso mensal enquanto que o segundo exige desembolsos trimestrais. O 
quarto plano, por exemplo, tem um período de carência de 4 meses. Dessa forma, 
qual seria o plano economicamente mais atraente para a empresa? 
 
 
 
Em um primeiro momento é fácil perceber que o Plano III, ao final, pagará um menor 
montante (R$ 420.106,40). Logo, ele seria o mais atraente? Bem, não podemos 
esquecer de um dos principais conceitos da Matemática financeira: “dinheiro tem valor 
ao longo do tempo”. Dessa maneira, mesmo que os fluxos de caixa possuam 
desembolsos e montantes diferentes, a análise precisa ser mais detalhada. 
 
Neste caso, o correto é trazer todos os fluxos de caixa a uma mesma data. 
Normalmente os valores são trazidos a valor presente na data zero. Sendo assim: 
 
𝑉𝑃 =
𝐹𝑉
(1 + 𝑖)𝑛
 
 
Plano I: 
 
𝑉𝑃 =
148.033,10
(1,07)3
+
148.033,10
(1,07)2
+
42.713,25
(1,07)3
+ ⋯ +
42.713,25
(1,07)10
 
 
𝑉𝑃 = 300.000,00 
 
Plano II: 
𝑉𝑃 =
42.713,25
(1,07)
+
42.713,25
(1,07)6
+
148.033,10
(1,07)9
 
 
𝑉𝑃 = 300.000,00 
 
Que tal você fazer os mesmos cálculos para os Planos III e IV? O resultado, como é 
de se esperar, também serão os mesmos R$ 300.000,00, como foram nos Planos I e 
II. Agora que todos os valores estão em uma única data, podemos comparar. 
Deveríamos escolher aquele que tivesse o melhor valor presente na data 0 (por se 
tratar de um empréstimo; se fosse investimento, escolheria o de maior valor). 
Contudo, verifica-se que todos possuem o mesmo valor na data focal 0, evidenciando 
que é indiferente qual plano de pagamento escolher. 
 
 
 
Sendo assim, caberia ao administrador financeiro, por exemplo, decidir qual é o 
melhor plano com base somente no que diz respeito aos períodos de desembolso, de 
acordo com o planejamento financeiro da empresa. 
 
Questões de Fixação do Conhecimento 
 
1) Refaça o exemplo discutido no capítulo; contudo, leve todos os valores para o 
período 10 (utilizando, portanto, o Valor Futuro). 
 
2) Um veículo é vendido à vista por R$ 30.000,00 ou pode ser parcelado em 6 vezes 
(parcelas mensais e sucessivas) após dar uma entrada de 30%. Admitindo uma taxa 
de 2% a.m., qual seria o valor de cada parcela? 
 
 
 
Análise de Investimentos e Valor Presente Líquido (VPL) 
 
 
Para Bruni e Famá (p. 446, 2004), o Valor Presente Líquido (VPL) resulta da adição de 
todos os fluxos de caixa na data zero. Na HP 12C a função é expressa na tecla NPV, 
do inglês, Net Present Value. 
 
Importante destacar que, quando se tratar de projetos de investimentos, onde há um 
desembolso inicial, este deve ser subtraído do VPL dos futuros fluxos de caixa. O VPL 
é representado pela seguinte expressão: 
 
𝑉𝑃𝐿 = ∑
𝐹𝐶𝑗
(1 + 𝑖)𝑛
+
𝑉𝑅𝑛
(1 + 𝑖)𝑛
− 𝐼𝑛𝑣
𝑛−1
𝑗=1
 
 
Em que, 
FC = fluxo de caixa no período j 
i = taxa de juros da operação 
n = número de período 
j = período analisado 
VR = valor residual do projeto no ano n 
Inv = investimento inicial 
 
O VPL é analisado da seguinte maneira: quando o seu valor é maior que zero, diz que 
os fluxos de caixa futuros trazidos na data zero, superam o valor do investimento 
inicial. Dessa forma, quando o VPL for maior que zero, deveria ser aceito. 
 
Por exemplo, imagine uma empresa que precisa investir 100 em um projeto e espera 
receber três fluxos de caixa futuro: 50 no ano 1, 50 no ano 2 e 30 no ano 3. A 
empresa considerou uma taxa de atratividade de 5% para o projeto. 
 
 
 
 
A tabela a seguir mostra os fluxos esperados assim como o VPL de cada fluxo. 
Perceba que o VPL é o valor de cada fluxo na data zero descontado pela taxa de 
atratividade. 
 
Ano Fluxo de Caixa VPL 
0 -100 -100 
1 50 47,62 
2 50 45,35 
3 30 25,92 
Soma 
 
18,88 
 
𝑉𝑃𝐿 =
50
(1 + 0,05)1
+
50
(1 + 0,05)2
+
30
(1 + 0,05)2
− 100 
 
𝑉𝑃𝐿 = 47,62 + 45,35 + 25,92 − 100 
 
𝑉𝑃𝐿 = 18,88 
 
Como o VPL é maior que zero (18,88), o projeto deve ser aceito, pois recupera o 
investimento inicial e gera fluxos positivos de entrada, isto é, um lucro extra. 
Assim, como regra do VPL, tem-se que (BRUNI; FAMÁ, p. 448, 2004): 
 
I. Se o VPL foi maior que zero, o projeto deve ser aceito. 
II. Se o VPL for igual a zero, torna-se indiferente aceitar ou não o projeto. 
III. Se o VPL for menor que zero, o projeto não deve ser aceito. 
 
Para resolver o cálculo do VPL utilizando a HP 12C, basta fazer a seguinte sequência: 
[f] [REG]  limpa o registro; 
100 [CHS] [g] [CFo]  registra o investimento inicial; 
50 [g] [CFj]  registra o primeiro fluxo de caixa; 
 
 
 
50 [g] [CFj]  registra o segundo fluxo de caixa; 
30 [g] [CFj]  registra o terceiro fluxo de caixa; 
5 [i]  registra a taxa; 
[f] [NPV]  solicita o valor do VPL; 
Visor: 18,88 
 
A tecla CFo vem do inglês Cash Flow 0, que armazena o fluxo de caixa na data zero 
(normalmente é o investimento inicial); A tecla CFj vem do inglês Cash Flow j, que 
armazena o fluxo de caixa em uma data j. 
 
O VPL é a mais poderosa ferramenta de análise de investimento. Existem outras 
técnicas complementares que auxiliam o usuário a tomar decisão, como será visto no 
último capítulo. Ainda assim, o VPL é a técnica mais utilizada. 
 
Questões de Fixação do Conhecimento 
 
1) Uma empresa está avaliando dois projetos distintos, o Projeto A e o Projeto B. 
Sabendo que a empresa só pode escolher um deles e que a taxa desejada é de 10% 
a.a., qual projeto a empresa deveria escolher? Utilize o VPL. 
 
Ano Projeto A Projeto B 
0 -60 -80 
1 -5 10 
2 30 20 
3 20 40 
4 40 30 
 
2) A empresa XYZ deseja investir em um projeto que retornará, a partir do ano 1, osseguintes fluxos: 30, 50, 50, -10 e 20. O investimento inicial foi de 70. Considerando a 
taxa de 25% a.a., qual o VPL do projeto? Ele deveria ser aceito? 
 
 
 
Taxa Interna de Retorno (TIR) e Payback 
 
Além do clássico modelo do Valor Presente Líquido (VPL) estudado no capítulo 
anterior, existem outras técnicas para análise de investimento, sendo as mais usuais a 
Taxa Interna de Retorno (TIR) e o Payback. 
 
Taxa Interna de Retorno (TIR) 
 
A taxa interna de retorno (TIR) representa o valor do custo de capital que iguala o 
VPL a zero, isto é, torna o VPL nulo. “Corresponde, portanto, a uma taxa que 
remunera o valor investido no projeto” (BRUNI; FAMÁ, p. 454, 2004). Assim, a regra 
da TIR para aceitar um projeto é: 
 
I. Se a TIR for maior que a taxa desejada pelo projeto, este deve ser aceito; 
II. Se a TIR for igual a taxa desejada pelo projeto, é indiferente a sua aceitação; 
III. SE a TIR for menor que a taxa desejada pelo projeto, este deve ser rejeitado. 
 
Um dos maiores problemas da aplicação da TIR é quando há ocorrência de inversão 
de sinais do fluxo de caixa em mais uma vez. Logo, se há diversos valores de entrada 
e saída, a TIR poderá apresentar duas taxas ou ainda ser inviabilizada. 
 
Bruni e Famá (p. 454, 2004) destacam algumas conclusões a respeito da aplicação da 
TIR: 
 
I. durante o prazo de análise do projeto, todos os retornos gerados pelo projeto serão 
reinvestidos no valor da taxa interna de retorno; 
II. quando calculado com a taxa interna de retorno, o valor de todas as saídas é igual 
ao valor presente de todas as entradas do fluxo de caixa do projeto de investimento; 
III. a TIR mede a rentabilidade do projeto de investimento sobre a parte não 
amortizada do investimento, rentabilidade dos fundos que permanecem, ainda, 
internamente investidos no projeto. 
 
 
 
 
Veja o seguinte exemplo: 
Calcule a TIR do fluxo de caixa da tabela abaixo, sabendo que a empresa tem sua 
taxa de atratividade igual a 12% a.a. Nessas condições, o projeto deveria ser aceito? 
Além disso, calcule o VPL, tanto para a taxa exigida pela empresa quando pela taxa 
encontrada na TIR. 
 
Ano FC 
0 -1000 
1 400 
2 300 
3 300 
4 400 
5 200 
 
Para calcular a TIR, usa-se a HP 12C. Então faz-se a seguinte sequência de comandos: 
[f] [REG]  limpa o registro; 
1000 [CHS] [g] [CFo]  registra o investimento inicial; 
400 [g] [CFj]  registra o primeiro fluxo de caixa; 
300 [g] [CFj]  registra o segundo fluxo de caixa; 
300 [g] [CFj]  registra o terceiro fluxo de caixa; 
400 [g] [CFj]  registra o quarto fluxo de caixa; 
200 [g] [CFj]  registra o quinto fluxo de caixa; 
 [f] [IRR]  solicita o valor da TIR; 
Visor: 19,44 
 
A TIR encontrada é de 19,44%, ou seja, um valor maior que a taxa exigida pelos 
sócios de 12%. Logo, o projeto deveria ser aceito. O VPL para a taxa de 12% é de 
1.927,33, indicando também a aceitação do projeto. E quando usa a própria TIR 
(19,44%) para o cálculo do VPL? Bem, o valor, como era de esperar é zero. Surpreso? 
Verifique novamente a definição da TIR. 
 
 
 
 
Payback 
 
Payback é outra alternativa para avaliar investimentos. Ele indica o momento 
(período) de tempo necessário para a empresa recuperar seu investimento inicial em 
um projeto calculado a partir de seus fluxos de entrada de caixa (GITMAN, p. 300, 
2002). 
 
Para aceitar o projeto utilizando o payback, devem-se seguir os seguintes critérios: 
I. Se o período de payback é menor do que o período de payback máximo aceitável, 
aceitar o projeto. 
II. Se o período de payback é maior do que o período de payback máximo aceitável, 
rejeitar o projeto. 
 
Gitman (p. 300, 2002) salienta que o “tamanho do período de payback máximo 
aceitável é determinado pela alta administração”. Logo, esse período pode ser 
subjetivo, mostrando uma limitação à técnica. Entretanto, ele é bem utilizado por 
empresas para avaliar pequenos projetos ou mesmo como técnica suplementar ao 
VPL, utilizando-os em conjunto. 
 
Uma das maiores limitações do payback é que ele não leve em consideração o valor 
do dinheiro ao longo do tempo (alguns autores sugerem fazer o VPL dos fluxos de 
caixa e depois calcular o payback). Além disso, outro ponto fraco é o não-
reconhecimento de fluxos de caixa após o período de payback. 
 
Veja o exemplo na tabela abaixo de dois projetos: A e B. 
 
Ano Projeto A Projeto B 
0 -42.000 -45.000 
1 14.000 28.000 
2 14.000 12.000 
 
 
 
3 14.000 10.000 
4 14.000 10.000 
5 14.000 10.000 
Fonte: Gitman (2002) 
 
Utilizando a técnica do payback, verifica-se que no Projeto A o período de recuperação 
do investimento é de 3 anos [-42.000 + 14.000 (do ano 1) + 14.000 (do ano 2) + 
14.000 (do ano 3) = 0]. É exatamente ao final do ano 3 que o investimento é 
recuperado. Para o Projeto B, antes de mais nada, verifica-se a não uniformidade dos 
fluxos de caixa. Logo, tem-se que: [-45.000 + 28.000 (do ano 1) + 12.000 (do ano 2) 
+ 10.000 (do ano 3) = 5.000]. Como o fluxo não ficou igual a zero, mas sim positivo 
em 5.000, o investimento é recuperado em período entre o ano 2 e 3. Mas qual 
período exatamente? Perceba que foi necessário apenas 50% do fluxo de caixa do ano 
3 para que o payback fosse zero. Logo, o período é de 2 anos + 50% do ano 3, ou 
seja, 2,5 anos. 
 
E agora, qual projeto aceitar? Depende do período máximo aceitável pela empresa. Se 
o período máximo determinado fosse de 2 anos, ambos projetos poderiam serem 
aceitos. Se, por outro lado, o período máximo aceitável pela empresa fosse de 3 anos, 
apenas o Projeto B seria aceito. 
 
 
 
 
 
 
 
Questões de Fixação do Conhecimento 
 
1) Calcule a TIR de dois projetos, conforme tabela abaixo: 
 
Ano Projeto A Projeto B 
0 -10.000 -10.000 
1 5.000 3.000 
2 5.000 4.000 
3 1.000 3.000 
4 100 4.000 
5 100 3.000 
 
Admita uma taxa de atratividade para a empresa de 9% a.a. Qual projeto deveria ser 
aceito? 
 
3) Admitindo agora que essa empresa tenha que escolher entre dois projetos, A e B, 
e que o período máximo aceitável é de 2,5 anos, qual projeto é preferível? Utilize 
apenas o payback para a tomada de decisão. 
 
Agora, desconsiderando o payback, qual projeto traz mais benefícios à empresa? 
Repare nos fluxos dos anos 4 e 5. E com base na TIR calculada no exercício anterior? 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12ª ed. São Paulo: 
Editora Atlas. 2012. 
 
BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. Matemática financeira com HP 12C e Excel. São Paulo: 
Editora Atlas. 2004. 
 
GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira. Porto Alegre: Bookman. 
2002.