Gabarito de Probabilidade e Estatística

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Gabarito das Autoatividades
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
(MATEMÁTICA)
2011/2
Módulo V
3UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
UNIDADE 1
TÓPICO 1
Questão única - Para exercitar, você pode montar a árvore de possibilidades 
para o exemplo anterior. Outra sugestão é acrescentar mais um tipo de roupa 
para montar o conjunto. Que tal pensar se você tivesse que escolher também 
entre três casacos? Será que suas opções aumentariam? 
R.: Agora, além de sete blusas, quatro calças e dois sapatos você tem também 
três casacos.
Pelo princípio fundamental da contagem, suas opções serão:
7 · 4 · 2 · 3 = 168 opções diferentes de conjuntos, ou seja, suas opções 
aumentariam sim!
TÓPICO 1
Questão única - Você percebeu a diferença quando a ordem dos elementos 
importa e quando ela não importa? Essa é a principal diferença entre arranjos 
e combinações! 
Faça um rápido exercício, considere os números 3, 5 e 7. Agora forme as 
combinações e os arranjos possíveis com estes elementos, tomados dois a 
dois. 
R.: Combinações: 35 – 37 – 57
 Veja que a ordem não importa, e o que vale é formar números com algar-
ismos diferentes e entender que o 35 e o 53 seriam a mesma representação 
para o 3 e o 5.
Arranjos: 35 – 37 – 53 – 57 – 73 – 75
	 	 Veja	 que	a	 ordem	 importa,	 afinal,	 invertendo	a	 posição	dos	números,	
obtemos um novo número!
TÓPICO 1
Questão única - Antes de passar para o próximo tópico, olhe só a questão 
que estava no ENADE 2005 (questão 12) do curso de Licenciatura em 
Matemática. 
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Um restaurante do tipo self-service oferece 3 opções de entrada, 5 de 
prato principal e 4 de sobremesa. Um cliente desse restaurante deseja compor 
sua refeição com exatamente 1 entrada, 2 pratos principais e 2 sobremesas. 
De quantas maneiras diferentes esse cliente poderá compor a sua refeição?
Tente você resolver esta situação! A dica é montar o esquema de 
possibilidades de acordo com a quantidade de entradas, pratos principais e 
sobremesas que o cliente vai comer. Saiba que a resposta é 180. 
R.: Entrada: 3!/(1!2!) = 3/1 = 3 
 Prato principal: 5!/(2!3!) = (5.4)/(2.1) = 10 
Sobremesa: 4!/(2!2!) = (4.3)/(2.1) = 6
Ao multiplicar as possibilidades de entrada, prato principal e sobremesa 
chegamos	em	3	∙	10	∙	6	=	180
TÓPICO 1
Questão única - Exercite agora mesmo, desenvolva (x + a)n para n = 4 e 
para n = 5.
R.: Para n = 4, (x + a)4 = 1x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + 1a4
Para n = 5, (x + a)5 = 1x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + 1a5
TÓPICO 1
Questão única - Agora, acadêmico(a), é com você! Faça o mesmo 
procedimento do exemplo 1, só que utilize (x - 5)6. A sugestão é que você 
encontre o terceiro e o quinto termos e desenvolva utilizando o Binômio de 
Newton. Lembre-se dos passos a serem seguidos! E outra, lembre-se de 
que (x - 5)6 é o mesmo que (x + (- 5))6. 
( ) ( ) ( )24242263 5155!2!4
!65
2
6
−⋅⋅=−⋅⋅
⋅
=−⋅





= − xxxT 15 . x4 . (-5)²
( ) ( ) ( )42424465 5155!4!2
!65
4
6
−⋅⋅=−⋅⋅
⋅
=−⋅





= − xxxT 15 . x² . (-5) 4
R.: 
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TÓPICO 1
1 Uma fábrica de bicicletas produz três modelos diferentes e para cada um 
deles os clientes podem escolher entre cinco cores e dois tipos de assentos. 
Alem disso, opcionalmente, pode ser acrescentado o espelho retrovisor ou 
o assento traseiro ou ambos. Quantos exemplares diferentes de bicicletas 
você pode escolher nesta fábrica? 
R.: Trata-se de uma série de escolhas:
•	escolha	do	modelo	(3	modos)
•	escolha	da	cor	(5	modos)
•	escolha	do	assento	(2	modos)
•	escolha	do	opcional	espelho	retrovisor	(2	modos:	sim	ou	não)
•	escolha	do	opcional	assento	traseiro	(2	modos:	sim	ou	não)
Então	há	3	∙	5	∙	2	∙	2	∙	2	=	120	exemplares	diferentes	de	bicicletas.
2 Quantos anagramas da palavra MATEMÁTICA apresentam as vogais 
juntas, na ordem alfabética? E as vogais juntas, em qualquer ordem? 
R.: A palavra MATEMÁTICA possui 10 letras, sendo que as vogais são 5 e 
na ordem alfabética aparecem assim: AAAEI
Entendendo que a sequência de vogais deve ocupar o espaço de 5 letras 
sequenciais, temos a possibilidade de permutar 6 vezes, gerando anagramas 
anagramas.
E as vogais juntas, em qualquer ordem? 
Se as vogais podem estar em qualquer ordem, multiplicamos os 180 
anagramas do item anterior pelas possibilidades de combinação das 
próprias vogais no espaço que ocupam, o que resultará em
 
as vogais em qualquer ordem, os anagramas são 3600.
3 Com os algarismos ímpares, quantos números de quatro algarismos 
distintos, maiores que 5 319, você pode escrever? 
R.: Considere os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9
180
2
3456
!2!2
!62,2
6 =
⋅⋅⋅⋅
=
⋅
=P
2045
!3
!53
5 =⋅==P 20 . Assim, com a possibilidade de considerar 
* 1º algarismo maior que 5: 482·3·4·2
2342
5
=→
>
para completar as 4 lacunas
__ __ __ __.
48
* 1º algarismo igual a 5 e 2º algarismo maior que 3: 
122·3·2·1
232
3
1
5
=→
>=
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4 Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis 
pode associar 6 destas substâncias se, entre as 10, duas somente não 
podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva? 
R.: Os compostos que não podem se misturar serão A e B. Exceto estes, há 
mais 8 que não têm nenhuma restrição. Então há 3 possibilidades:
i) Associar a substância A e mais 5 substâncias entre as outras 8.
Já temos a substância A e queremos escolher 5 entre as 8 restantes. Para 
isso temos que calcular o número de combinações de 8 elementos tomados 
5 a 5, ou seja C(8, 5):
C(n, p) = n!/[p!.(n - p)!]
C(8, 5) = 8!/[5!.(8 - 5)!]
C(8, 5) = 56
Então, com a substância A, como não podemos misturar a substância B, 
podemos formar 56 misturas de 6 compostos.
ii) Associamos a substância B e mais 5 substâncias entre as outras 8. Já 
temos a substância B e queremos escolher 5 entre as 8 restantes. Para isso 
temos que calcular o número de combinações de 8 elementos tomados 5 a 
5 novamente:
C(8, 5) = 56
Então, com a substância B, como não podemos misturar a substância A, 
podemos formar 56 misturas de 6 compostos.
iii) Associamos 6 das 8 substâncias sem problemas. Agora precisamos 
calcular o número de subconjuntos de 6 elementos que podemos formar a 
partir do conjunto de 8 elementos. Isso é obtido pela fórmula da combinação 
de 8 elementos tomados 6 a 6:
C(n, p) = n!/[p!.(n - p)!]
C(8, 6) = 8!/[6!.(8 - 6)!]
C(8, 6) = 28
Então podemos formar 28 misturas de 6 elementos com os 8 elementos 
fora A e B.
Para saber o total de misturas temos que somar os itens i), ii) e iii), que 
são todas as associações possíveis: 56 + 56 + 28 = 140 maneiras.
* 1º algarismo igual a 5, 2º algarismo igual a 3 e 3º algarismo maior que 1: 
42·2·1·1
22
1
1
3
1
5
=→
>==
* 1º algarismo igual a 5, 2º algarismo igual a 3, 3º algarismo igual a 1 e 4º 
algarismo maior que 9: 00·1·1·1
0
9
1
1
1
3
1
5
=→
>===
Assim 48 + 12 + 4 + 0 = 64 são os números que podem ser escritos.
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R.: Caso não existissem os 3 pontos colineares, o número de triângulos seria C(9, 
3). Porém, desse número, devemos subtrair as combinações formadas por 3 
pontos escolhidos entre os 4 alinhados, isto é, C(4, 3), pois essas combinações 
não correspondem a triângulos. 
Assim, o número de triângulos é resultante da subtração entre C(9, 3) e C(4, 3).
Logo: C(9,3) – C(4, 3) = 84 – 4 = 80.
6 De uma novela participam 8 atores e 12 atrizes. Para uma cena que será 
filmada	na	Europa,	apenas	6	participantes	deverão	viajar,	sendo	3	atores	e	3	
atrizes. De quantos modos podem ser escolhidos os participantes desta cena? 
R.: Observeque são duas combinações, uma para atores e outra para atrizes.
Temos então uma multiplicação das combinações C(8,3) e C(12,3), o que 
resultará em 
 8! . 12! = 8 . 7 . 6 . 12 . 11 . 10 = 336 . 1320 = 443520 = 12320 modos.
 3!5! 3!9! 3 . 2 . 1 3 . 2 . 1 6 6 36 
7 Numa urna há 12 etiquetas numeradas, 6 com números positivos e 6 
com números negativos. De quantos modos podemos escolher 4 etiquetas 
diferentes tais que o produto dos números nelas marcados seja positivo? 
R.: Para que o produto seja positivo, devem-se considerar as seguintes 
situações:
- 4 etiquetas positivas;
- 4 etiquetas negativas;
- 2 etiquetas positivas e 2 negativas.
8 Na loteria são sorteados 6 números entre os naturais 0, 1, 2, 3, ..., 60. 
Quantos são os resultados possíveis para o sorteio? Quantos são os 
resultados possíveis formados por três números pares e três ímpares? 
5	Na	figura	a	seguir	há	9	pontos,	entre	os	quais	não	há	3	colineares,	exceto	
os 4 que marcamos numa mesma reta. Quantos triângulos existem com 
vértices nestes pontos? 
_______ _________ ____ ____ _________ ___
C(6,4) = 15!2!4
!6
=
⋅
15
C(6,4) = 15!2!4
!6
=
⋅
15
C(6,2)·C(6,2) = 22515·15!4!2
!6·
!4!2
!6
==
⋅⋅
15.15 = 225
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Quantos são os resultados possíveis com pelo menos quatro números 
pares? 
R.: Os resultados possíveis são 
Para 3 números pares e 3 ímpares temos: 
-	Pares:	30	∙	29	∙	28	=	4060
-	Ímpares:	30	∙	29	∙	28	=	4060
Multiplicando possibilidades de pares e ímpares, temos 16.483.600 
(mais de 16 milhões).
Para pelo menos 4 números pares, temos:
-	Para	4	pares:	30	∙	29	∙	28	∙	27	∙	30	∙	29		=	11.921.175
-	Para	5	pares:	30	∙	29	∙	28	∙	27	∙	26	∙	30	=	4.275.180		
-	Para	6	pares:	30	∙	29	∙	28	∙	27	∙	26	∙	25		=	593.775
9 Sobre uma mesa estão 4 copos de suco de laranja, 3 de caju e 2 de 
manga. De quantos modos diferentes pode-se distribuí-Ios entre 9 crianças, 
dando um copo de suco para cada uma? 
R.: Temos 9 crianças e 9 copos de sucos, de frutas diferentes (4 de laranja, 
3 de caju e 2 de manga).
Vamos interpretar como sendo uma permutação com repetições, o que 
resultará em 
10 De quantos modos podemos formar uma sucessão de três números 
naturais (a, b, c), não necessariamente distintos, cuja soma é igual a 10? 
R.: Considere o primeiro número natural o 1. Temos, por tentativas, iniciando 
no 1; considere ainda que cada tentativa tem suas permutações:
1 + 1 + 8
1 + 2 + 7
1 + 3 + 6
1 + 4 + 5
2 + 2 + 6
2 + 3 + 5
2 + 4 + 4
3 + 3 + 4
60 59 58 57 56 55 = 36.045.979.200 = . . . . . 50.063.860__________________ _____________
6! 720
(mais de 50 milhões).
3!
__________
__________
3!
_____________ ______
4! 2!
________________
5!
____________________
6!
Somando as 3 possibilidades 11.921.175 + 4.275.180 + 593.775 = 16.790.130
260.1
!2!·3!·4
!92,3,4
9 ==P
323 =→ P
63 =→ P
63 =→ P
63 =→ P
323 =→ P
63 =→ P
323 =→ P
323 =→ P
O que resulta em 3 + 6 + 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 36 sucessões.
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11	0	gráfico	da	função	y	=	ax	+	b	no	plano	cartesiano	é	uma	reta.	Se	a	e	b	
são	números	inteiros,	1	≤	a	≤	9	e	1	≤	b	≤	9,	quantas	retas	podem-se	traçar?	
R.: Vamos considerar então 9 números para a e 9 números para b.
Para traçar uma reta é necessário haver dois pontos. Considerando que 
b é	o	ponto	em	que	a	reta	corta	o	eixo	y,	temos	9	possibilidades	para	cada	
valor de a, o que resulta em 81 possibilidades.
12 Num restaurante, o cardápio oferece escolha entre cinco sopas, três 
pratos principais, quatro sobremesas e seis bebidas. Uma refeição consiste 
obrigatoriamente num prato principal e numa bebida, podendo ser acrescidos, 
opcionalmente, de uma sopa, ou de uma sobremesa, ou de ambas. Quantos 
tipos de refeições, todas diferentes entre si, podem-se fazer?
R.: Para compor uma refeição, temos que escolher, obrigatoriamente, um 
prato principal, o que pode ser feito de 3 modos distintos, uma bebida, que 
pode ser escolhida de 6 modos distintos. 
Agora, com relação à escolha da sopa, temos 6 opções distintas, os 5 
tipos disponíveis no cardápio e a opção de não acrescentar uma das sopas 
à refeição. 
De modo semelhante, temos 5 opções para a escolha da sobremesa: 
os 4 tipos disponíveis no cardápio e a opção de não escolher nenhuma 
delas. 
Portanto, é possível fazer 3 x 6 x 6 x 5 = 540 tipos de refeições, todas 
diferentes entre si.
13 Uma fábrica de automóveis produz três modelos de carros. Para cada 
um, os clientes podem escolher entre sete cores diferentes; três tipos de 
estofamento, que podem vir, seja em cinza, seja em vermelho; dois modelos 
distintos de pneus; e entre vidros brancos ou vidros verdes. Ademais, 
opcionalmente em um pacote, é possível adquirir os seguintes acessórios: 
um porta-copos; uma de duas marcas de rádio ou um modelo de CD player; 
um aquecedor de bancos; e um câmbio automático. Quantos exemplares de 
carros distintos entre si a fábrica chega a produzir?
R.: Vamos multiplicar as possibilidades de montagem do carro: 3 modelos x 
7 cores x 3 tipos de estofamento x 2 cores de estofamento x 2 modelos de 
pneus x 2 modelos de vidros. Até aqui há 504 possibilidades.
Com os opcionais temos, 2 (com ou sem porta copos) x 4 (com um dos 
dois	rádios,	ou	o	CD	player	ou	sem	som)	x	2	(com	ou	sem	aquecedor	de	
bancos) x 2 (com ou sem câmbio automático), o que resulta em 32 opções. 
 Assim, temos 504 x 32, ou seja, 16.128 opções de montagem do carro.
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Sendo assim, temos não mais 5, e sim 4 posições para preencher, das 
quais uma é de Cristiane e Rafael juntos, e as outras três de Jairo, Débora 
e Emília.
Temos	então:	4	∙	3	∙	2	∙	1	=	24	maneiras	de	dispor	os	estudantes.	
Porém Cristiane e Rafael podem trocar de lugar na posição em que 
ocupam, o que indica que devemos multiplicar as 24 maneiras por 2, 
resultando em 48.
15 Considere os números obtidos do número 12.345 efetuando-se todas 
as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem 
crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43.521? 
R.: Primeiro vamos considerar os números iniciados em 1, 2 e 3.
Iniciando	em	1,	temos	1	∙	4	∙	3	∙	2	∙	1		=	24,	o	mesmo	para	os	iniciados	
em 2 e em 3. Ou seja, são 72 números iniciados em 1, 2 ou 3 (72 maneiras).
Dos iniciados em 4 queremos o 43.521. Podemos contar todos os 
possíveis números iniciados em 4 seguidos de 1, veja: 41235 – 41253 – 
41325 – 41352 – 41523 – 41532 (6 maneiras).
O mesmo vale para os iniciados em 42 (6 maneiras).
Para os iniciados em 43, temos:
43125 – 43152 – 43215 – 43251 – 43512 – 43521
Observe que encontramos o número que queríamos! (6 maneiras). 
Sendo assim, o 43.521 ocupa a posição 90 de todos os números formados 
com os algarismos 12.345.
16 Calcule quantos números múltiplos de três, de quatro algarismos distintos, 
podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9. 
R.: Para ser múltiplo de 3 o número deve ter uma característica, ter a soma 
de seus algarismos divisível por 3. Para resolver este problema a sugestão é 
listar todas as possibilidades de números de 4 algarismos distintos, iniciando 
pelo 2, por exemplo, que atendem à regra.
Por exemplo: 2.346 é divisível por 3, pois ao somar 2+3+4+6 resulta em 
15, que é divisível por 3.
Fazendo	o	mesmo	com	as	demais	possibilidades,	chega-se	ao	resultado	final.
Resultado	final	=	72	números.
_, _, _, _, _
14	Deseja-se	dispor	em	fila	 cinco	estudantes	para	uma	apresentação	na	
escola: Jairo, Débora, Emília, Cristiane e Rafael. Calcule o número das 
distintas maneiras que elas podem ser dispostas de modo que Cristiane e 
Rafael	fiquem	sempre	vizinhos.	
R.: Imagine que Cristiane e Rafael sejam uma pessoa e ocuparão 1 posição, ok?
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17 Uma pessoa faz uma relaçãode nomes de onze pessoas amigas. Calcule 
de quantas maneiras ela poderá convidar cinco destas pessoas para jantar 
sabendo-se que na relação há um único casal inseparável. 
R.: Neste caso, resolva considerando as duas situações. Primeiro, considere 
que o casal não será escolhido, depois, considere que o casal será 
escolhido. Utilize a questão 4 como diretriz para esta resposta. Resposta = 
210 maneiras.
18 Num zoológico há dez animais, dos quais devem ser selecionados cinco 
para ocupar determinada jaula. Se entre eles há dois que devem permanecer 
sempre juntos, encontre o total de maneiras distintas de escolher os cinco 
que vão ocupar tal jaula. 
R.: Para responder a esta pergunta siga o mesmo método da pergunta 17. 
Resposta = 112 maneiras.
19 Tomam-se 6 pontos sobre uma reta e 8 pontos sobre uma paralela a esta 
reta. Quantos triângulos existem com vértices nesse conjunto de 14 pontos?
R.: Como três pontos colineares não formam um triângulo é necessário que 
enquanto dois pontos estiverem em uma reta o terceiro ponto esteja na 
outra. Assim considerando 2 pontos na 1ª reta e um na 2ª temos: C(6,2)·8 = 
15·8 = 120. E considerando 2 pontos na 2ª reta e 1 na 1ª temos: C(8,2)·6 = 
28·6 = 168. 
Então: 120 + 168 = 288
20 A diretoria de uma empresa multinacional é constituída por 7 diretores 
brasileiros e 4 japoneses. Quantas comissões de 3 brasileiros e 3 japoneses 
podem ser formadas? 
R.: Não há ordem de importância nesta diretoria, por isso trata-se de uma 
combinação. Basta fazer uma combinação para os brasileiros e uma para os 
japoneses e multiplicá-las. Observe:
C(7,3)·C(4,3) = 35·4 = 140
Multiplicando as duas combinações, temos 140 possibilidades de formar 
a diretoria com brasileiros e japoneses
21 Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é 
possível tirar 7 bolas das quais pelo menos 4 bolas sejam pretas? 
R.: Considere que pelo menos 4 devem ser pretas. Então, poderemos ter:
•	4	pretas	e	3	brancas:	C(10,4)·C(6,4) = 120·15 = 1.800
•	5	pretas	e	2	brancas:	C(10,2)·C(6,5) = 45·6 = 270
•	6	pretas	e	1	branca:	C(10,1)·C(6,6) = 10·1 = 10
Somando as 3 possibilidades temos 1.800 + 270 + 10 = 2.080 modos.
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1 8 28 56 70 56 28 8 1
Assim, o termo médio é o que acompanha o 70. 
Ou você também pode entender o termo do meio como o quinto termo, 
uma vez que no desenvolvimento de (2x + 1)8 há 9 termos, pois n = 8. 
Lembre-se de que o número de termos é sempre n + 1, ou seja, 9. Sendo 
assim, o Termo Geral é dado por: 
22 Numa reunião de 20 professores, exatamente 6 lecionam Matemática. 
Qual o número de comissões de 4 professores que podem ser formadas 
de modo que exista no máximo um professor de Matemática na comissão? 
R.: Seguindo a mesma linha de raciocínio da pergunta 21, vamos pensar 
nas situações. Utilizando o princípio fundamental da contagem, pode-se 
resolver:
•	1	professor	de	matemática	e	3	de	outras	disciplinas:	6	∙	C(14,3) = 6 · 364 
= 2.184
•	Nenhum	professor	 de	matemática	e	 4	 de	outras	disciplinas:	C(14,4) = 
1.001
Somando as duas possibilidades de formar as comissões, temos 2.184 
+ 1.001 = 3.185.
23 Num exame, um professor dispõe de 12 questões que serão entregues 
a três alunos, cada um recebendo quatro questões. Quantas diferentes 
situações teremos? 
R.: Primeiro pense em quantas possibilidades de provas podemos formar se 
temos	12	questões	para	utilizar	4.	Observe:	12	∙	11	∙	10	∙	9	=	11880
Como temos 11.880 possibilidades de provas com 4 questões, podemos 
contabilizar as possibilidades que os três alunos poderão receber:
11880	∙	11879	∙	11878	=	1.676.253.292.560	(mais	de	1,5	trilhão).
24 Qual é o valor do termo médio do desenvolvimento de (2x + 1)8?
R.: Pelo Triângulo de Pascal, temos os seguintes elementos:
Tk+1 = 





k
8
 (2x)8 – k 1k 
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Lembre que n é igual a 8 e que o expoente de 2x somado ao 
expoente de 1, que é k, deve resultar em 8. 
Para obter o quinto termo considere k = 4, pois k+1 = 4+1 = 5
Quinto termo T5 = T4+1 = 





4
8
 (2x)8 – 4 ·14 = 
!4!.4
!8
(2x)4 = 1120x4 
25 Determine	o	coeficiente	de	x
3 do desenvolvimento de (4x – 5)5.
R.: O x3 no desenvolvimento de (4x - 5) 5 é o terceiro termo.
Para obter o terceiro termo (n = 3), considere k = 2, pois k = n - 1. 
Quarto termo ⇒ k = 2 ⇒ T = 4x5 – 2 (-5)2 = 
!2!.3
!5
4x3 . 25 = 500x3 
 






2
5
 
26 Determine o termo geral do desenvolvimento de (3x + 5)7.
R.: No desenvolvimento de (3x + 5)7 há 8 termos, pois n = 7. Lembre-se que 
o número de termos é sempre n + 1, ou seja, 8. Sendo assim, o Termo Geral 
é dado por: 
Tk+1 = 





k
7
 (3x)7 – k 5k
Lembre que n é igual a 7 e que o expoente de 3x somado ao expoente 
de 5, que é k, deve resultar em 7. 
27	Encontre	o	coeficiente	de	x5 no desenvolvimento de (1 - x) 8.
R.: O x5 no desenvolvimento de (- x + 1) 8 é o 4º termo
Quarto termo ⇒ T4 = T3+1 = 





3
8
 (-x)8 – 3 13 = 
!3!.5
!8
(-x)5 . 1 = -56x5
28 Desenvolva (x + 6)5 a partir do Binômio de Newton.
R.: Para n = 5, (x + 6)5 = 1x5 + 5x46 + 10x362 + 10x263 + 5x64 + 65
(x + 6)5 = x5 + 30x4 + 360x3 + 2160x2 + 6480x + 7776
29 Determine o quarto e o sétimo termos de (6 - x)8.
14 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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TÓPICO 2
1 Se você tiver em mãos um baralho comum de 52 cartas, determine a 
probabilidade de, ao retirar aleatoriamente uma carta do baralho, você pegar:
a) Uma carta vermelha.
R.: Em um baralho de 52 cartas temos 26 de cada cor, ou seja, (26/52) = 
50% são vermelhas.
b) Um rei.
R.: Em um baralho de 52 cartas temos 4 reis, um de cada cor, ou seja, (4/52) 
≈	7,7%
c) Um 6 de espadas.
R.:	Há	apenas	um	6	de	espadas	no	baralho,	ou	seja,	(1/52)	≈	1,9%
d) Um 10 vermelho ou um 4 preto.
R.:	Há	dois	10	vermelhos	e	dois	4	pretos,	(4/52)	≈	7,7%
e)	Uma	figura	(J,	Q	ou	K).
R.:	Temos	figuras	dos	quatro	naipes,	ou	seja,	12	figuras	no	baralho	completo.	
Assim,	(12/52)	≈	23%
R.: No desenvolvimento de (-x + 6)8 há 9 termos, pois n = 8. Lembre-se que 
o número de termos é sempre n + 1, ou seja, 9. Sendo assim, o Termo Geral 
é dado por: 
Tk+1 = 6
8–k·(-x)k 
Para obter o quarto termo
Quarto termo ⇒ T4 = T3+1 = 





3
8
 68–3·(-x)3 = . .(– x)3 = -435.456x3
Para obter o sétimo termo (n = 7)
Sétimo termo ⇒ T7 = T6+1 = 





6
8
 68–6·(-x)6 = 
!2!·6
!8
62 . (– x)6 = 1.008x6






k
8
!3!·5
!8
65
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2 Suponha que você lançou um dado equilibrado apenas uma vez. Determine 
então a probabilidade de a face de cima conter:
a) Um 3. R.: (1/6) = 16,67%
b) Um número par. R.: (3/6) = 50%
c) Um número ímpar. R.: (3/6) = 50%
d) Um número menor que 6. R.: (5/6) = 83,33%
3 Agora, suponha que você lançou um dado equilibrado duas vezes e observou 
a face que caiu voltada para cima. Determine:
R.:
a) Os elementos do espaço amostral.
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), 
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), 
(5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
b) Os elementos do evento B: sair soma 7 em suas faces.
B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,5), (5,2), (6,1)}
c) Os elementos do evento C: sair o mesmo número em ambas as faces. 
C = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} 
d) Os elementos do evento D: sair soma menor que 10 em suas faces. 
D = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), 
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (5,1), 
(5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3)}
e) Os elementos do evento E: sair com soma maior que 12 em suas faces.E = { }
4 No famoso jogo de loteria, a mega-sena, são sorteadas 6 dezenas. Você 
pode montar seu jogo escolhendo algumas entre as 60 dezenas. Suponha 
que você escolheu 10 dezenas, qual é a probabilidade de você acertar:
R.: n (S) = 50.063.860 (C60,6)
a) 4 dezenas? 
1º passo: calcular o número de elementos do evento “X: acertar 4 dezenas 
e errar 2 dezenas”. 
E1: acertar 4 dezenas (C(10,4) = 210)
E2: errar 2 dezenas (C(50,2) = 1.225)
Então temos n(X) = 210 · 1.225 = 257.250
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Assim P(Y) = 12.600 = 0,000252 = 0,000252 % 
 50.063.860 
c) 6 dezenas? 
1º passo: calcular o número de elementos do evento “Z: acertar 6 dezenas”, 
n(Z) = C(10,6) = 252
Assim P(Z) = 252 = 0,000005033 = 0,0005033 %
5 Você jogou dois dados perfeitos e pretende analisar a soma das faces 
voltadas para cima. Qual é a probabilidade de essa soma ser 6?
R.: Possibilidades de a soma ser 6:
1 + 5
2 + 4
3 + 3
3 + 3
4 + 2
5 + 1 
Ou	seja,	são	6	possibilidades	em	36	(6/36)	≈	16,67%.
6 Num sorteio de um número natural de 1 a 150, qual é a probabilidade de 
sair um número múltiplo de 10 ou de 15?
R.: - Múltiplo de 10: (15/150) = 10%
-	Múltiplo	de	15:	(10/150)	≈	6,67%
7 No lançamento simultâneo de um dado honesto e uma moeda honesta, 
qual é a probabilidade de se obter um 5 ou uma cara?
R.: - Um 5: (1/6) = 16,67%
- Uma moeda: (1/2) = 50%
8 Uma urna contém 9 bolas verdes numeradas de 1 a 9 e 6 bolas azuis 
numeradas de 10 a 15. Se você, ao acaso, retirar uma das bolas, qual será 
a probabilidade:
a) De sair uma bola verde? R.: (9/15) = 60%
~
~
Assim P(X) = %5138,0005138,0
860.063.50
250.257
=≅
b) 5 dezenas? 
1º passo: calcular o número de elementos do evento “Y: acertar 5 dezenas 
e errar 1 dezena”. 
E1: acertar 5 dezenas (C(10,5) = 252)
E2: errar 1 dezenas (C(50,1) = 50)
Então temos n(Y) = 252 · 50 = 12.600
17UNIASSELVI
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b)	De	sair	uma	bola	com	número	ímpar?	R.:	(8/15)	≈	53,33%
c) De sair uma bola azul com número par? R.: Sair bola azul: (6/15) = 40% 
e sair número par azul (3/6) = 50%, ou seja, 20% de sair bola azul com 
número par.
9 Uma máquina produziu 200 peças, das quais 25 estavam com defeito. Ao 
retirar, aleatoriamente, 4 peças, com reposição, qual é a probabilidade de que:
R.: Temos: n(S) = 200, 25 peças com defeitos e 175 perfeitas.
a) Todas sejam perfeitas?
Sejam os eventos “A: retirar a 1º peça perfeita”, “B: retirar a 2º peça 
perfeita”,“C: retirar a 3º peça perfeita” e “D: retirar a 4º peça perfeita”. Como 
os eventos são dependentes, temos as seguintes probabilidades:
P	(A∩B∩C∩D)	=	
b) Todas tenham defeito?
Sejam os eventos “E: retirar a 1ª peça defeituosa”, “F: retirar a 2ª peça 
defeituosa”,“G: retirar a 3ª peça defeituosa” e “G: retirar a 4ª peça defeituosa”. 
Como os eventos são dependentes, temos as seguintes probabilidades:
P	(E∩F∩G∩H)	= 25 . 25 . 25 . 25 = 390.625 = 0,000244
 200 200 200 200 1.600.000.000
c) Pelo menos uma seja perfeita?
Nesse caso pode sair: 1 peça perfeita, ou 2 peças perfeitas, ou 3 peças 
perfeitas ou 4 peças perfeitas.
Como calcular a probabilidade para todos os casos e depois somar 
o resultados pode ser trabalhoso, vamos calcular a probabilidade de sair 
nenhuma peça perfeita (ou todas defeituosas) e tomar sua probabilidade 
complementar.
Como já conhecemos essa probabilidade da letra b 390.625 , temos 
como resultado 1.600.000.000
1 - 390.625 = 0,9998
 1.600.000.000 
d) Pelo menos uma tenha defeito?
Utilizamos o mesmo raciocínio da questão anterior, porém vamos subtrair 
de 1 a probabilidade de todas serem perfeitas:
~
586,0
200
175.
200
175.
200
175.
200
175
≅=
0001.600.000.
5937.890.62
18 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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1 - 937.890.625 = 0,414
 1.600.000.000 
10 Numa sala de aula com 28 estudantes, 15 são meninos e 12 são more-
nos, dos quais 7 são meninas. Escolhendo um estudante ao acaso, qual é a 
probabilidade de ele ser moreno ou menina?
R.: Temos então: 15 meninos e 13 meninas.
- 12 morenos (7 meninas e 5 meninos) e 16 não morenos
	 Então,	a	probabilidade	de	ser	moreno	é	(12/28)	≈	43%	e	de	ser	menina	é	
(15/28)	≈	54%.
11	A	probabilidade	de	que	o	filho	de	um	casal	nasça	com	olhos	verdes	é	1. 
Se	o	casal	tiver	três	filhos,	qual	é	a	probabilidade	de	todos	terem	olhos			4	
verdes? E de nenhum ter olhos verdes? E de pelo menos um ter olhos 
verdes?
R.:	R.:	Seja	o	evento	“A:	1º	filho	nascer	com	olhos	verdes”,	“B:	2º	filho	
nascer	com	olhos	verdes”	e	“C:	3º	filho	nascer	com	olhos	verdes”.
Como os eventos são independentes P(A) = 1 , P(B) = 1 e P(C) = 1
 4 4 4
,	assim,	P(A∩B∩C)	=	1 . 1 .1 . = 1
 4 4 4 64
Como a probabilidade de não nascer com olhos verdes é 3 temos que 
P =3/4, P = 3/4. e P = 3/4. Assim a probabilidade de nenhum ter 
olhos verdes é 
 
P
A probabilidade de pelo menos um ter olhos verdes é a probabilidade 
complementar de nenhum ter olhos verdes, assim P (pelo menos um ter olhos 
verdes) = 1 – 27/64 = 37/64 = 57,81%.
12 Um grupo de 83 estudantes apresenta, de acordo com o sexo e a altura, 
a seguinte situação:
4
Menos de 1,40 m De 1,40 m a 1,60 m Mais de 1,60 m
Meninos 15 12 8
Meninas 11 24 13
Escolhendo uma pessoa desse grupo ao acaso, determine:
a)	A	probabilidade	de	ser	um	menino.	R.:	P	(35/83)	≈	42%
~
( )A ( )B ( )C
( ) %19,42
64
27
4
3·
4
3·
4
3CBA ===∩∩ 27 = 42,19%64
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b) A probabilidade de ser uma menina com menos de 1,40 m. R.: P (11/83) 
≈	13%
c) A probabilidade de ser um menino, se o escolhido tiver de 1,40 m a 1,60 m.
R.:		P	(12/36)	≈	33%
d) A probabilidade de ser uma menina, se o escolhido tiver no máximo 1,60 m.
R.:	P	(35/62)	≈	56%
13 Uma prova é composta por 15 questões e cada uma possui 4 alternativas, 
das quais apenas uma é correta. Para alguém que esteja respondendo 
aleatoriamente uma alternativa em cada questão, qual é a probabilidade de:
a) Acertar as 15 questões?
R.: A probabilidade de acertar cada questão é ¼, então, a probabilidade de 
acertar a 1ª e a 2ª e a 3ª ... e a 15ª é (¼)15.
b) Errar as 15 questões?
R.: A probabilidade de errar cada questão é ¾, então, a probabilidade de errar 
a 1ª e a 2ª e a 3ª ... e a 15ª é (¾)15.
c) Acertar 2 das questões? 
 3
R.: O primeiro passo é determinar de quantas formas se podem acertar 10 
questões: C15,10 = 3003 (podem ser as cinco primeiras, ou as cinco últimas, 
ou intercaladas, ...). Como calcular a probabilidade para cada uma delas é 
trabalhoso, vamos calcular para uma (acertar as 10 primeiras) e multiplicar 
o resultado por 3003.
Acertar as 10 primeiras:
Acertar 10 questões: 
 
 3003 . 243 = 729.729 = 0,00068 = 0,068 % 
 1.073.741.824 1.073741.824
~~
TÓPICO 3
1 Uma caixa em forma de urna contém 5 bolas azuis e 3 rosa. E uma segunda 
caixa contém 3 bolas azuis e 2 rosa. Se uma bola azul é sorteada ao acaso, 
 243 
1.073.741.824
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qual é a probabilidade de ela ter vindo da primeira caixa?
R.: Seja o evento “B: sair bola azul”.
Há duas urnas e a probabilidade de escolher uma das duas urnas é ½. 
Assim, P(U1) = P(U2) = ½ 
A probabilidade de sair bola azul dado que escolheu a U1 é 5/8.
P(B/U1) = 5/8
A probabilidade de sair bola azul dado que escolheu a U2 é 3/5.
P(B/U2) = 3/5
Queremos saber a probabilidade de a bola ter vindo da U1 dado que saiu 
uma	bola	azul,	ou	seja:	P(U1/B)	=	?.	Aplicando	o	Teorema	de	Bayes:
2 Três empresas de brinquedosA, B e C produziram, respectivamente, 
40%, 50% e 10% do total de brinquedos de uma escola. A porcentagem de 
brinquedos defeituosos da fábrica A é 3%, da fábrica B é 5% e da fábrica C 
é 2%. Uma criança recebeu, ao acaso, um brinquedo defeituoso. Qual é a 
probabilidade de que essa peça tenha vindo da fábrica B? Qual das empresas 
tem mais chance de ter fabricado a peça defeituosa?
R.: Seja o evento “D: sair brinquedo defeituoso”
A probabilidade de um brinquedo vir de cada fábrica é:
P(A) = 0,40 , P(B) = 0,50 e P(C) = 0,10.
A probabilidade de a fábrica A produzir um brinquedo defeituoso é: 0,03
P(D/A) = 0,03.
A probabilidade de a fábrica B produzir um brinquedo defeituoso é: 0,05
P(D/B) = 0,05.
A probabilidade de a fábrica C produzir um brinquedo defeituoso é: 0,02
P(D/C) = 0,02
Queremos saber a probabilidade de o brinquedo ter vindo da fábrica 
B dado que é um brinquedo defeituoso, ou seja, P(B/D) = ?. Aplicando o 
Teorema	de	Bayes:
P(B/D)	=	P(B∩D)	=																											P(B)	. (P(D/B)
 P(D) P(A) . P(D/A) + P(B) . P(D/B) + P(C) . P(D/C) = 
P(B/D) = 0,50. 0,05 = 0,025 = 0,025 = 0,6410
 0,40 . 0,03 + 0,50 . 0,05 + 0,10 . 0,02 0,012 + 0,025 + 0,002 0,039
~
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3 Considerando os dados da questão anterior, determine qual é a probabilidade 
de uma criança receber um brinquedo defeituoso.
R.: Essa probabilidade é representada pelo denominador do Teorema de 
Bayes	e	é	0,039.
4 Uma urna contém 9 bolas: 3 pretas, 1 branca e 5 vermelhas. Uma segunda 
urna contém 9 bolas: 4 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. E uma terceira 
urna contém 8 bolas: 2 pretas, 3 brancas e 3 vermelhas. Escolheu-se uma 
urna,	ao	acaso,	e	dela	se	extraiu	uma	bola,	ao	acaso.	Verificando-se	que	a	bola	
sorteada é branca, qual é a probabilidade de a bola ter saído da terceira urna?
R.: Seja o evento “B: sair bola branca”.
Como temos três urnas, a probabilidade de escolher uma das urnas é 1/3.
P(U1) = P(U2) = P(U3) =1/3.
A probabilidade de sair bola branca dado que se escolheu a U1 é 1/9.
P(B/U1) = 1/9.
A probabilidade de sair bola branca dado que se escolheu a U2 é 3/9.
P(B/U2) = 3/9 = 1/3.
A probabilidade de sair bola branca dado que se escolheu a U3 é 3/8.
P(B/U3) = 3/8.
Queremos saber a probabilidade de a bola ter vindo da U3 dado que 
saiu	uma	bola	branca,	ou	seja:	P(U3/B)	=	?.	Aplicando	o	Teorema	de	Bayes:
Como a probabilidade de a peça defeituosa ter vindo da empresa B é de 
0,6410 = 64,1%, todas as outras juntas têm probabilidade de apenas 100% 
– 64,1% = 35,9%, logo a empresa B tem a maior chance de ter fabricado a 
peça defeituosa.
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5 O proprietário de uma facção estima que uma roupa feita por um funcionário 
experiente tem 90% de chance de não apresentar defeito e que uma roupa 
feita por um funcionário novato tem 50% de chance de não apresentar 
defeito. Se uma roupa selecionada ao acaso apresentar defeito, determine 
a probabilidade de ela ter sido feita por um funcionário novato, sabendo-se 
que 2/3 das roupas são feitas por funcionários experientes.
R.: Seja o evento “D: selecionar roupa defeituosa”.
A probabilidade de uma roupa ser feita por um funcionário experiente é 2/3.
P(E) = 2/3.
A probabilidade de uma roupa ser feita por um funcionário novato é 1/3.
P(N) = 1/3.
A probabilidade de um funcionário experiente fazer uma roupa defeituosa é 
10%.
P(D/E) = 10% = 1/10
A probabilidade de um funcionário novato fazer uma roupa defeituosa é 50%.
P(D/N) = 50% = ½.
Queremos saber a probabilidade de uma roupa ter sido feita por um funcionário 
novato dado que é uma roupa defeituosa, ou seja, P(N/D) = ?. Aplicando o 
Teorema	de	Bayes:
6 Segundo um professor de probabilidade, a chance de um aluno se dar bem 
numa prova é de 80% se estudou e 50% se não estudou. Se um determinado 
aluno não estuda para 15% das provas que realiza, qual será a probabilidade 
de esse aluno se dar bem na prova?
R.: Seja o evento “B: se dar bem na prova”.
A probabilidade de esse aluno estudar é 85%.
P(E) = 0,85
A probabilidade de esse aluno não estudar é 15%.
P(E ) = 0,15
A probabilidade de um aluno que estudou se dar bem é 80%.
P(B/E) = 0,80
A probabilidade de um aluno que não estudou se dar bem é 50%.
P(B/E ) = 0,50
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TÓPICO 4
1 Os documentos que regem a Educação Básica são os PCN e os PCNEM. 
De que maneira eles tratam e evidenciam o ensino de Combinatória e 
Probabilidade? Comente.
R.: Nos documentos norteadores para a Educação Básica temas relacionados à 
estatística e à probabilidade estão sempre ligados ao tratamento de informação, 
o que indica a importância do ensino de combinatória e probabilidade para 
os	estudantes,	desde	as	séries	finais.	Para	tanto,	atividades	que	envolvam	
o Princípio Fundamental da Contagem podem servir para inserir conteúdos 
de probabilidade já nas séries iniciais, pois os estudantes posteriormente 
poderão explorar problemas complexos com mais facilidade, sobretudo no 
Ensino Médio.
2	A	 partir	 das	 duas	 atividades	 relatadas	 e	 exemplificadas	 neste	 Tópico	 4,	
cite e explique duas possibilidades de atividades que possam ser aplicadas 
no Ensino Fundamental e que contribuam para que o estudante chegue ao 
Ensino Médio melhor preparado para aprender os conteúdos referentes à 
Combinatória.
R.: A resposta é pessoal, mas pode girar em torno de atividades que envolvam 
o cotidiano dos estudantes, como a escolha de um celular, de um computador 
ou mesmo de uma roupa. Podem ser utilizados materiais concretos que 
incentivem os estudantes e construírem as próprias situações. 
3 No Tópico 1 você estudou a diferença entre Arranjo e Combinação, o 
que geralmente confunde os estudantes no Ensino Médio. Que estratégia 
(macete, atividade, relação, jogo etc.) você, como professor(a) futuramente, 
Assim P(B) = probabilidade de estudar e se dar bem + probabilidade de 
não estudar e se dar bem. Matematicamente:
P(B) = P(E) . P(B/E) + P(E ) . P(B/E ) = 0,85 . 0,80 + 0,15 . 0,50 = 0,755 = 
75,5%
7 Considerando os dados da questão anterior, qual é a probabilidade de o 
aluno ter estudado, dado que ele se deu bem na prova?
Queremos	saber	P(E/B)	=	?.	Aplicando	o	Teorema	de	Bayes:
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utilizaria em sala para que os estudantes não tivessem dúvidas ao resolver 
um problema que implicasse o uso de uma das duas fórmulas? 
R.: Há várias estratégias válidas, porém é necessário que eles entendam que 
os arranjos são caracterizados pela natureza e pela ordem dos elementos 
escolhidos, e as combinações são caracterizadas apenas pela natureza dos 
elementos, sem levar em consideração a ordem em que aparecem. Exemplos 
que envolvam rankings, pódios, comissões e diretorias servem para dar 
significado	aos	arranjos,	por	exemplo.
UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 O quadro a seguir apresenta o número de acidentes com vítimas fatais 
durante o feriado de carnaval nas rodovias do estado.
Nº de vítimas fatais 0 1 2 3 4
Quantidade de acidentes 29 15 10 5 1
Considerando a variável aleatória X o número de vítimas fatais em cada 
acidente (durante o feriadão de carnaval nas rodovias do estado), construa 
uma distribuição de probabilidades para essa variável em forma de quadro 
e determine: E(X), Var(X) e DP(X).
R.: Distribuição de probabilidades:
E(X), Var(X) e DP(X):
E(X) = x1 . P(X = x1) + x2 . P(X = x2) + x3 . P(X = x3) + x1 . P(X = x1) + x5 .P(X = x5) 
E(X) = 0 . 29 + 1 . 1 + 2 . 1 + 3 . 1 + 4 . 1 = 0 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9 = 0,9 
 60 4 6 12 60 4 3 4 15 10
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Var(X) = (0 - 0,9)2 . 29 + (1 - 0,9)2 . 1 + (2 - 0,9)2 . 1 + (3 - 0,9)2 . 1 + (4 - 0,9)2 . 1 
 
 60 4 6 12 60
Var(X) = 0,3915 + 0,0025 + 0,2017 + 0,3675 + 0,1602 = 1,1234 
~
2 A partir dos dados da questão anterior construa a distribuição de 
probabilidade acumulada de X e determine a probabilidade de um automóvel 
que se envolveu em um acidente nesse feriadão ter, no máximo, 2 vítimas 
fatais.
R.:
A probabilidade de ter no máximo 2 vítimas fatais é de 9/10.
3 Considerando o lançamento de 1 dado, determine os elementos que as 
variáveis aleatórias a seguir podem assumir:
X: pontos da face voltada para cima;
Y: pontos pares da face voltada para cima;
Z: pontos ímpares da face voltada para cima.
R.: X {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Y = {2, 4, 6} 
Z = {1, 3, 5} 
4 Construa a distribuição de probabilidade das variáveis X, Y e Z do exercício 
anterior.
R.:
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5 Num certo jogo de dados, ganha-se toda vez que saem os números 1 ou 2. 
Considerando a variável aleatória X o número de vezes que se ganha, quais 
são os valores que X pode assumir em 5 jogadas?
R.: X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
6 Em uma sala de aula há 12 mulheres e 8 homens. Sorteiam-se ao acaso 
3 alunos. Sendo a variável aleatória X o número de mulheres sorteadas, 
determine:
a) os valores que X pode assumir;
R.: X = {0, 1, 2, 3} 
b) a distribuição de probabilidade de X; 
R.: 
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c) a distribuição de probabilidade acumulada de X;
R.:
d)	P(X	≤	2),	P(X	≤	3).
R.:
7 Dada uma variável aleatória X com distribuição de probabilidade dada a 
seguir, obtenha E(X), Var(x) e DP(X).
X -3 0 1 3
P(X = xi) 0,2 0,1 0,4 0,3
R.: 
8 Uma empresa de aluguel de carros registrou os seguintes números de 
carros alugados por mês e suas respectivas probabilidades, conforme quadro 
a seguir:
X 55 66 84 39
P(X = xi) 0,38 0,29 0,20 0,13
Considerando a variável aleatória X o número de carros alugados por 
mês, determine E(X), Var(X) e DP(X).
R.: E(X) = 55·0,38+66·0,29+84·0,2+39·0,13 = 61,91
Var(X) = (55 – 61,91)2·0,38+(66 – 61,91)2·0,29+(84 – 61,91)2·0,2+(39 – 
61,91)2·0,13 = 188,8219 
Dp(X) = 7412,138219,188 =13,7412
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9 O tempo para uma criança realizar uma determinada tarefa em horas 
foi modelado por uma variável aleatória X com a seguinte distribuição de 
probabilidade:
X 0,35h 0,40h 0,45h 0,50h
P(X = xi) 0,38 0,29 0,20 0,13
Qual é o tempo esperado para uma criança realizar essa tarefa?
R.: E(X) = 0,35 . 0,38 + 0,40 . 0,29 + 0,45 . 0,20 + 0,05 . 0,13 = 0,404 h
10 Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Três bolas são retiradas 
ao acaso e sem reposição. Faça X a variável aleatória número de bolas pretas 
e determine a distribuição de probabilidades da variável X.
R.:
TÓPICO 2
1 Uma escola recebe, em média, 20 alunos novos por ano. Qual é a 
probabilidade de que, em um ano selecionado aleatoriamente, a escola não 
receba nenhum aluno novo?
R.:
2 Considere que a probabilidade de nascimento de menino ou menina é a 
mesma, determine a probabilidade de que, em 5 nascimentos:
a) apenas dois sejam meninos; 
R.:
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b) pelo menos dois sejam meninos.
R.:
3 Uma fábrica de balões apresenta 5% da sua produção com defeito. Numa 
amostra de 100 balões, escolhidos ao acaso, qual é a probabilidade de:
a) 5 serem defeituosos; 
R.:
b) no máximo 3 serem defeituosos.
R.:
4	Uma	pesquisa	médica	verificou	a	eficiência	de	uma	determinada	droga	para	
95% da população. Se um médico receita essa droga para 3 pacientes, qual 
é	a	probabilidade	de	a	droga	não	ser	eficiente	para	nenhum	deles?
R.:
P(X = 0) = 1755,0
!5
5·e 55
≅
−
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6 Em uma rodovia há uma média de 5 acidentes por dia. Qual é a probabilidade 
de que, em um dia selecionado aleatoriamente,
a) ocorra nenhum acidente? 
R.:
b) ocorram no máximo dois acidentes?
R.:
7 Um telefone recebe chamadas a uma taxa de 0,8 por hora. Qual é a 
probabilidade de, em 4 horas, receber:
R.: Primeiro calcula-se a média de chamadas em 4 horas:
5 Um teste com 10 questões de múltipla escolha, com 4 alternativas cada 
uma e com apenas uma alternativa correta, aprova o aluno que acertar, no 
mínimo, 7 questões. Qual é a probabilidade de aprovação de um aluno que 
não estudou?
R.:
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b) no máximo 3 chamadas? 
R.: Lembrando que x pode ser 0, 1, 2 ou 3:
a) exatamente 5 chamadas? 
c) pelo menos 4 chamadas?
R.: Leve em consideração o cálculo da probabilidade anterior:
8	Em	uma	gráfica	verificou-se	que,	a	cada	200	páginas	impressas,	ocorrem	
50	erros	tipográficos.	Ao	selecionar	10	páginas	ao	acaso	de	um	livro,	qual	é	
a probabilidade de nenhuma conter erros? E no máximo duas terem erros?
R.: Primeiro calcule a média de erros para 10 páginas:
Depois calcule a probabilidade de x = 0:
E no máximo duas terem erros?
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TÓPICO 3
Questão única - Para exercitar, encontre o valor de X2tab para uma distribuição 
com:
a)	gl	=	1	e	α	=	5%
b)	gl	=	10	e	α	=	10%
c)	gl	=	15	e	α	=	2,5%
R.: 
TÓPICO 3
Questão única - Para exercitar, encontre o valor de ttab para uma distribuição 
com:
a)	gl	=	1	e	α	=	5%
b)	gl	=	10	e	α	=	10%
c)	gl	=	15	e	α	=	2,5%
R.: 
TÓPICO 3
Questão única - Que tal exercitar um pouco? Utilize a tabela Z (Apêndice A) 
para calcular as probabilidades:
a) P(0,2 < Z < 1,35)
a) P(0,2 < Z < 1,35) = P(Z < 1,35) - P(Z < 0,2) = 0,9115 - 0,5793 = 0,3322 
b) P(Z > - 3,5) 
b) P(Z > - 3,5) = 1 – P(Z < 3,5) = 1 – 0,0002 = 0,9998
c) P(-1,96 < Z < 1,96) 
c) P(-1,96 < Z < 1,96) = P(Z < 1,96) - P(Z < - 1,96) - [1 - P(Z < 1,96)] = 0,975 
- [1 - 0,975] = 0,95 
d) Para que valor de z a área sob a curva normal padrão vale 0,95, de –z até z?
d) z = 1.96
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TÓPICO 3
Questão única - Pratique e encontre o valor de Ftab para uma distribuição com:
a)	gl1	=	1,	gl2	=	7	e	α	=	1%
b)	gl1	=	5,	gl2	=	25	e	α	=	2,5%
c)	gl1	=	9,	gl2	=	40	e	α	=	5%
R.: a) 
TÓPICO 3
1 A probabilidade de uma empresa produzir uma peça defeituosa é de 10%. Ao 
selecionar aleatoriamente uma amostra de 400 peças, qual é a probabilidade 
de que, no máximo, 30 tenham defeito?
R.:
2 Em uma empresa de perfumes, o volume do conteúdo dos frascos 
segue uma distribuição normal de média 70 ml e desvio padrão 2,5 ml. Ao 
selecionarmos um frasco ao acaso, qual é a probabilidade de:
a) ter mais de 70 ml?
R.: 
P(X	≤	30)	=	P(Z	≤	-1,67)	=	1	-	P(Z	≤	1,67)	=	1	–	0,9525	=	0,0475	=	4,75%
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b) ter menos de 70 ml?
R.:
c) ter entre 65 e 75 ml?
R.:
3 Os salários mensais dos metalúrgicos são distribuídos normalmente em 
torno de uma média de R$ 500,00 e desvio padrão de R$ 90,00. Determine 
a probabilidade de um operário ter salário mensal:
a) maior que R$ 600,00;
R.: 
b) menor que R$ 600,00;
R.:
c) entre R$ 400,00 e R$ 600,00.
R.:
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4 Usando as informações do exercício 3, determine quantos funcionários de 
uma metalúrgica com 100 funcionários ganham entre R$ 400,00 e R$ 600,00.
R.: 100 . 0,4458 = 44,58 = 45 funcionários ~
5 Suponha que os pesos dos estudantes de uma escola de Ensino Médio 
seguem uma distribuição normal com média de 55 kge desvio padrão 4,3 kg. 
Selecionando um estudante ao acaso, qual é a probabilidade de ele pesar:
a) menos de 45 kg?
R.:
µ	=	55	e	σ	=	4,3	
z = 45 - 55 = - 2,33 
 4,3 
P(X < 45) = P(Z < - 2,33) = 1 - P(Z < 2,33) = 1 - 0,9901 = 0,0099 ou 0,99%
b) entre 45 kg e 60 kg?
R.: 
z1 = 45 - 55 = - 2,33 e z2 = 60 - 55 = 1,16 
 4,3 4,3 
P(45 < X < 60) = P(-2,33 < Z < 1,16) = P(Z < 1,16) - P(Z < - 2,33) = 
P(Z < 1,16 - [1 - P(Z < 2,33) = 0,877 - [1 - 0,9901] = 0,8671 ou 86,71%
c) mais de 60 kg?
R.: 
z = 60 - 55 = 1,16
 4,3
P(X > 60) = P(Z > 1,16) = 1 - P(Z < 1,16) = 1 - 0,877 = 0,123 ou 12,3% 
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1	O	quadro	e	os	valores	apresentados	a	seguir	são	fictícios	e	representam	o	
resultado de uma grande pesquisa sobre população praticante de exercício 
físico no Brasil e nas regiões brasileiras. Os dados estão divididos quanto 
ao sexo, área/sexo e área.
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Brasileiras
População fumante
Sexo Área/sexo
Total Homens Mulheres
Urbana Rural
Total Homens Mulheres Total Homens Mulheres
Brasil 44.840.402 35.099.710 9.740.692 35.281.715 26.753.198 8.528.517 9.558.687 8.346.512 1.212.175
Região 
Norte 3.514.898 2.822.616 692.282 2.325.379 1.776.650 548.729 1.189.519 1.045.966 143.553
Região 
Nordeste 12.763.114 10.129.040 2.634.074 8.375.218 6.311.667 2.063.551 4.387.896 3.817.373 570.523
Região 
Sudeste 18.840.494 14.532.028 4.308.466 16.772.754 12.724.072 4.048.682 2.067.740 1.807.956 259.784
Região Sul 6.644.573 5.211.064 1.433.509 5.209.693 3.958.647 1.251.046 1.434.880 1.252.417 182.463
Região 
Centro-Oeste 3.077.323 2.404.962 672.361 2.598.671 1.982.162 616.509 478.652 422.800 55.852
Com base nos dados do quadro, determine:
a) a média de mulheres que praticam exercícios físicos nas regiões brasileiras;
R.:
x = 
Ʃ	xi 
 i = 1 = 9740692 = 1948138,4
n
n 5
b) a média de homens que praticam exercícios físicos nas áreas urbana e 
rural das regiões brasileiras;
R.:
Área Urbana: 
x = 
Ʃ	xi 
 i = 1 = 26753198 = 5350639,6
Área Rural: 
x = 
Ʃ	xi 
 i = 1 = 8346512 = 1669302,4
n
n 5
n
n 5
c) a variância e o desvio padrão dos que praticam exercícios físicos nas 
regiões brasileiras;
R.:
x = 
Ʃ	xi 
 i = 1 = 44840402 = 8968080,4
n
n
5
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s2 = (3514898 - 8968080,4)2 + (12763114 - 8968080,4)2 
 5 - 1
+ (18840494 - 8968080,4)2 + (12763114 - 8968080,4)2 
 5 - 1
s2 = 181703737985773 = 4542593449644,3 
 4
s2 = √45425934496443,3 
s = 6739876,4452 ~
d) a variância e o desvio padrão dos que praticam exercícios físicos nas áreas 
urbana e rural das regiões brasileiras;
R.: 
Área Urbana: 
x = 35281715 = 7056343 
 5ç
s2 = (2325379) - 7056343)2 + (8375218 - 7056343)2 
 5 - 1 
+ 16772754 - 7056343)2 + (5209693 - 7056343)2 + (2598671 - 7056343)2
 5 -1
s2 = 141811050237926 = 35452762559481,5 
 4
s2 = 5954222,2464
Área Rural: 
x = 9558687 = 1911737,4 
 5
s2 = (1189519 - 1911737,4)2 + (4387896 - 1911737,4)2
 5 - 1 
+ (2057740 - 1911737,4)2 + 1434880 - 1911737,4)2 + (478652 - 1911737,4)2
 5 - 1 
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s2 = 8958424384487,2 = 2239606096121,8
 4 
s = √2239606096121,8
s = 1496531,3549 ~
e) qual região tem a maior proporção de mulheres que praticam exercícios 
físicos (em relação ao total de que praticam exercícios físicos de cada região)?
R.: 
É na região Sudeste que há maior proporção de mulheres fumantes.
f) qual área tem a maior proporção de homens que praticam exercícios físicos 
(em relação ao total de que praticam exercícios físicos de cada área)?.
R.:
Área urbana: 
p = 26573198 = 0,7532 
 35281751 
Área Rural:
p = 8346512 = 0,8732 
 9558687
~ ~^
~~^
Assim, a área rural tem maior proporção de fumantes.
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TÓPICO 2
1 Determine as hipóteses H0 e H1, nos seguintes casos (testes):
a)	uma	pesquisa	pretende	verificar	se	a	média	de	uma	população	é	diferente	
de 20;
R.: H0 : µ = 20 e H1:	µ	≠	20	
b) o professor de probabilidade e estatística deseja averiguar se a variância 
das notas de seus alunos é igual a 4,8 contra a hipótese de que é maior; 
R.: H0 :	σ
2 = 4,8 e H1:	σ
2 > 4,8 
c)	uma	pesquisa	deseja	verificar	se	a	proporção	de	fumantes	entre	as	mulheres	
é menor que 30%.
R.: H0 : p = 03 e H1: p < 0,3 
2 Com base nas hipóteses formuladas em cada item do exercício anterior, 
diga se o teste é bilateral, unilateral à esquerda ou unilateral à direita.
R.:	Os	testes	são	classificados,	respectivamente	em:	(a)	bilateral,	(b)	unilateral	
à direita e (c) unilateral à esquerda.
3 Uma amostra de 25 elementos apresentou média de 123. Sabe-se que a 
variância	populacional	é	igual	a	81.	Ao	nível	de	significância	de	5%,	teste	a	
hipótese que a média populacional é igual a 120 (µ = 120) contra a hipótese 
que:
a) µ > 120
b)	µ	≠	120
R.: 
n	=	25,	X	=	123,	µ	=	120,	σ2	=	81	→	σ	=	9	e	ɑ	=	0,05	
(a) unilateral à direita 
H0 : µ = 120 
H1 : µ > 120 
Para	ɑ	=	0,05	temos	ztab = 1,645 
Conclusão: Rejeitamos H0, pois 1,6667 > 1,645 
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(b) bilateral
H0 : µ = 120 
H1 :	µ	≠	120
Para	ɑ/2	=	0,025	temos	ztab = 1,96. 
Conclusão: Aceitamos H0, pois - 1,96 < 1,6667 < 1,96. 
4 Uma fábrica de baterias para notebook	afirma	que	suas	baterias	têm	um	
tempo	médio	de	duração	de	4	horas.	Para	verificar	 tal	 fato,	uma	 loja	que	
trabalha	com	essa	fábrica	selecionou	aleatoriamente	10	baterias	e	verificou	
os seguintes tempos de duração de cada bateria: 3,9 h; 4,1 h; 3,8 h; 4,3 h; 3,5 
h;	3,7	h;	3,5	h;	4,2	h;	3,7	h;	4	h.	Utilizando	α	=	5%,	podemos	concluir	que	o	
tempo médio de duração das baterias desse fabricante é menor que 4 horas?
R.: 
n	=	10,	X	=	3,87,	µ	=	4,	s	=	0,2791	e	ɑ	=	0,05	
H0 : µ = 4 
H1 : µ < 4 
Para	gl	=	9	(10	-	1)	e	ɑ	=	0,05	temos	ttab = - 1,8331 (unilateral à esquerda)
Conclusão: Aceitamos H0,	pois	-	1,	4723	>	-	1,8331,	isso	significa	que	o	tempo	
médio de duração das baterias é de 4h e que a diferença encontrada se deve 
aleatoriedade da amostra. 
5	Para	verificar	se	há	excesso	no	processo	de	enchimento	de	caixas	de	1	kg	
de	cereal,	o	controle	de	qualidade	da	empresa	verificou	que	uma	amostra	de	
30 caixas de cereal tem peso médio de 1,3 kg com desvio padrão 0,65 kg. 
Em	nível	de	significância	de	1%,	o	que	se	pode	concluir?
R.:
n	=	30,	X	=	1,3,	µ	=	1,	s	=	0,65	e	ɑ	=	0,01	
H0 : µ = 1 
H1 :	µ	>	1	(verificar	se	há	excesso)	
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Para	gl	=	29	(30	-	1)	e	ɑ	=	0,01	temos	ttab = 2,4620 (unilateral à direita) 
Conclusão: rejeitamos H0,	pois	2,5274	>	2,4620,	isso	significa	que	há	excesso	
no processo de enchimento das caixas de cereais. 
6	Se	o	 fabricante	 de	 cereais,	 da	 questão	anterior,	 deseja	 verificar	 se	 há	
deficiência	e	excesso	no	enchimento	das	caixas,	o	que	você	conclui	utilizando	
o	mesmo	nível	de	significância?
R.: 
n	=	30,	X	=	1,3,	µ	=	1,	s	=	0,65	e	ɑ	=	0,01
H0 : µ = 1 
H1 :	µ	≠	1	(verificar	se	há	deficiência)	
Para	gl	=	29	(30	-	1)	e	ɑ/2	=	0,005	temos	ttab = 2,7564 
Conclusão: Aceitamos H0,	pois	-	2,7564	<	2,5274	<	2,7564,	isso	significa	que	
não	há	deficiência	no	processo	de	enchimento.	
7 Numa amostra de 25 elementos de uma população normal obteve-se 
variância	de	16.	Em	nível	de	significância	de	10%,	testea	hipótese	que	a	
variância	populacional	é	20	(σ2 = 20) contra a hipótese que:
a)	σ2	≠	20
b)	σ2 > 20
R.:
n = 25, s2	=	16	e	ɑ	=	0,10	
(a) σ2 ≠ 20 BILATERAL
H0 :	σ
2 = 20 
H1 :	σ
2	≠	20
X2calc = (n - 1)s
2 = 25 - 1 16 = 19,2 
																		σ2 20
Para	gl	=	24	(25	-	1)	e	ɑ/2	=	0,05	temos	X2A = 36,4150. 
Para	gl	=	24	(25	-	1)	e	1	-	ɑ/2	=	0,95	temos	X2B = 13,8484. 
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Conclusão: Aceitamos H0, pois, 13,8484 < 19,2 < 36,4150. 
(b) σ2 > 20 UNILATERAL À DIREITA 
H0 :	σ
2 = 20 
H1 :	σ
2 > 20
X2calc = (n - 1)s
2 = 25 - 1 16 = 19,2 
																		σ2 20
Para	gl	=	24	(25	-	1)	e	ɑ	=	0,1	temos	X2A = 33,1962. 
Conclusão: Aceitamos H0, pois, 19,2 < 33,1962 
8 Um	fábrica	de	parafusos	afirma	que	o	desvio	padrão	do	diâmetro	de	seus	
parafusos é de 0,1 mm. O controle de qualidade toma uma amostra aleatória 
de 51 parafusos e constata um desvio padrão de 0,15 mm. Utilizando um nível 
de	significância	de	1%,	podemos	dizer	que	o	desvio	padrão	dos	parafusos	
é superior a 0,1 mm?
R.:
σ	=	0,1	→	σ2	=	0,01,	n	=	51,	s	=	0,15	→	s2 =	0,0225	e	ɑ	=	0,01
H0 :	σ
2 = 0,01 
H1 :	σ
2 > 0,01
X2calc = (n - 1)s
2 = (51 - 1) 0,0225 = 112,5 
															σ2 0,01 
Para	gl	=	50	(51	-	1)	e	ɑ	=	0,01	temos	X2tab = 76,1539 
Conclusão: Rejeitamos H0,	pois,	112,5	>	76,1539,	isso	significa	que	o	desvio	
padrão é maior que 0,1. 
9	Para	verificar	se	certa	moeda	é	honesta,	foi	lançada	a	moeda	100	vezes	ao	
ar e anotado o resultado da face voltada para cima. Se nesse experimento 
foram obtidas 60 coroas, podemos dizer que a moeda não é honesta? (use 
α	=	5%).
R.:
p = 0,5 e p = 60/100 = 0,6 
H0 : p = 0,5 
H1 :	p	≠	0,5	
.
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Para	ɑ/2	=	0,025	temos	ztab = 1,96. 
Conclusão: Rejeitamos H0,	pois	2	>	1,96,	o	que	significa	que	a	moeda	não	
é honesta. 
10	Uma	empresa	de	cigarros	afirmou	que	a	proporção	de	mulheres	fumantes	
em	1990	é	de	40%.	Para	verificar	se	houve	um	aumento	na	proporção	de	
mulheres	fumantes,	tomou-se	uma	amostra	de	400	mulheres	e	verificou-se	
que	260	fumam.	Em	nível	de	significância	de	5%,	o	que	podemos	concluir?
R.:
p = 0,4 e p = 260/400 = 0,65. 
H0 : p = 0,4 
H1 :	p	≠	0,4
^
Para	ɑ	=	0,05	temos	ztab = 1,645. 
Conclusão: Rejeitamos H0,	 pois	 10,2041	>	 1,645,	 o	 que	 significa	 que	 a	
proporção populacional é maior que 0,4. 
TÓPICO 3
1	Uma	 fábrica	de	sapatos	 infantis	deseja	verificar	se	o	 investimento	 feito	
em propagandas resultou em um aumento no número de sapatos vendidos 
na região Sul do Brasil. O quadro a seguir apresenta o número de sapatos 
vendidos, em um mês qualquer, antes e depois a propaganda.
Antes da propaganda Depois da propaganda
Paraná 10,3 mil 13 mil
Santa Catarina 12 mil 11,5 mil
Rio Grande do Sul 9,7 mil 10,2 mil
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A	5%	de	significância,	podemos	concluir	que	o	investimento	em	propa-
gandas contribuiu para o aumento do número de sapatos vendidos? 
R.:
Para	gl	=	2	e	ɑ	=	0,05	temos	ttab = 2,92. 
Conclusão: Como tcal < ttab aceita-se H0, o investimento em propagandas 
aumentou as vendas. 
2 Após um programa de capacitação, foram verificadas as diferenças 
na produtividade diária de 8 funcionários: +4, -1, 0, +2, -1, +3, 0, 1. Em 
nível	de	significância	de	10%	e	supondo	que	as	diferenças	seguem	uma	
distribuição normal, podemos dizer que o programa de capacitação aumentou 
a	produtividade	dos	funcionários?	E	a	5%	de	significância,	o	que	podemos	
concluir?
R.:
Média das diferenças: 1 
Desvio padrão das diferenças: 1,8516 
H0 : xσ	= 0 
H1 : xd > 0 
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Para	gl	=	7	e	ɑ	=	0,1	temos	ttab = 1,3830.
Para	gl	=	7	e	ɑ	=	0,05	temos	ttab = 1,8331. 
Conclusão:	Ao	nível	de	significância	de	10%	rejeitamos	H0, ou seja, podemos 
dizer que o programa de capacitação não aumentou a produtividade, pois 
tcal < ttab.	Já	ao	nível	de	significância	de	5%	aceitamos	H0,	o	que	significa	que	
o programa aumentou a produtividade. 
3 Deseja-se saber se 2 máquinas de empacotar erva-mate estão fornecendo 
o mesmo peso médio em kg. Para isso extraem-se ao acaso duas amostras, 
uma de cada máquina:
Máquina A: 15 amostras, média = 0,51 kg, variância = 0,0020 kg2
Máquina B: 20 amostras, média = 0,48 kg, variância = 0,0135 kg2
Supondo que os pesos amostrais seguem uma distribuição normal, qual 
é	a	sua	conclusão	a	5%	de	significância?
R.: 
1º	passo:	verificar	se	as	variâncias	desconhecidas	são	 iguais	aplicando	o	
teste F. 
Para gl1 = 14 e gl2	=	19	e	ɑ	=	0,025	temos	Ftab = 2,6469. 
Como Fcal < Ftab aceitamos H0, indicando que as variâncias desconhecidas 
são iguais. 
2º passo: resolver o teste para o caso em que as variâncias desconhecidas 
são iguais. 
H0 : µ1 = µ2 
H1 : µ1	≠	µ2 
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Para gl = n1 + n2 -	2	=	15	+	20	-	2	=	33	e	ɑ	=	0,025	temos	que	ttab é menor que 
2	(basta	comparar	com	gl	=	30	e	ɑ	=	0,025).	
Para	gl	=	7	e	ɑ	=	0,05	temos	ttab = 1,8331. 
Conclusão: Rejeitamos H0, pois tcal > ttab, o que indica que as máquinas não 
estão fornecendo o peso médio. 
4	Com	a	finalidade	de	verificar	se	há	diferença	entre	as	vendas	de	grandes	
marcas de cervejas, o dono de uma rede de supermercados registrou o 
número de caixas vendidas de 3 marcas concorrentes durante um mês em 
5 supermercados de sua rede.
Supermercado Marca A Marca B Marca C
1 304 297 348
2 236 482 554
3 134 315 195
4 351 176 410
5 110 273 347
Comparando-as	duas	a	duas,	verifique	se	há	diferença	significativa	entre	
essas	marcas.	Use	α	=	10%.
R.:
Marca A: média = 227, variância = 10.931 
Marca B: média = 308,6, variância = 12.273,3 
Marca C: média = 370,8, variância = 16.772,7 
Verificando	que	há	diferença	entre	A	e	B	
1º	passo:	verificar	se	as	variâncias	desconhecidas	da	marca	A	e	B	são	iguais	
aplicando o teste F. 
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Para gl1 = gl2	=	4	e	ɑ	=	0,025	temos	que	Ftab = 9,6045.
Conclusão: Como Fcal < Ftab aceitamos H0, indicando que as variâncias 
desconhecidas são iguais. 
A propósito, com esse valor Ftab = 9,6046 e com as variâncias que temos, 
podemos dizer que as variâncias desconhecidas da marca A, B e C são 
todas iguais. 
Então, nesse exercício, não vamos nos dar mais ao trabalho de comparar 
variâncias. 
2º passo: resolver o teste para o caso em que as variâncias desconhecidas 
são iguais. 
H0 : µA = µB 
H1 : µA	≠	µB
Para gl1	=	8	e	ɑ	=	0,025	temos	que	ttab = 1,8595.
Conclusão: Aceitamos H0, pois - 1,8595 < tcalc	>	1,8595,	o	que	significa	que	
as vendas médias de cerveja da marca A e B são iguais. 
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Verificando se há diferença entre A e C
H0 : µA = µC 
H1 : µA	≠	µC
Para gl1	=	8	e	ɑ	=	0,025	temos	que	ttab = 1,8595.
Conclusão: Rejeitamos H0, pois tcalc > ttab,	o	que	significa	que	as	vendas	médias	
de cerveja da marca A e C são diferentes. 
Verificando se há diferença entre B e C
Como já sabemos que as variâncias desconhecidas são iguais, vamos 
direto ao 2º passo: 
H0 : µB = µC 
H1 : µB	≠	µC
Para	gl	=	8	e	ɑ	=	0,025	temos	que	ttab = 2,3060.
Conclusão: Aceitamos H0, pois - 2,3060 < tcalc	>	2,3060,	o	que	significa	que	
as vendas médias de cerveja da marca B e C são diferentes. 
5	Para	verificar	a	eficácia	de	duas	rações	na	engorda	de	tilápias,	realizou-
se um experimento com 20 tilápias, todas com mesmo tempo de vida. As 
tilápias foram divididas aleatoriamente em dois grupos: no primeiro grupo, 
com 8 tilápias, usou-se a ração A; no segundo grupo, as 12 tilápias foram 
tratadas	com	a	ração	B.	No	finalde	um	mês	encontraram-se	as	seguintes	
médias de peso:
Ração A: média = 1,26 kg; variância = 0,0053 kg2
Ração B: média = 1,31 kg; variância = 0,0013 kg2
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A	5%	de	significância,	podemos	concluir	que	as	rações	produzem	efeitos	
diferentes? 
R.:
1º	passo:	verificar	se	as	variâncias	desconhecidas	são	 iguais	aplicando	o	
teste F. 
Para gl1 = 7 e gl2	=	11	e	ɑ	=	0,025	temos	que	Ftab = 3,7586.
Como Fcal > Ftab rejeitamos H0, indicando que as variâncias populacionais 
desconhecidas são diferentes. 
2º passo: resolver o teste para o caso em que as variâncias desconhecidas 
são diferentes. 
H0 : µA = µB 
H1 : µA	≠	µB
Como as variâncias populacionais são desconhecidas e diferentes a 
variável t terá os graus de liberdade calculados pela fórmula a seguir: 
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Com isso a variável t-Student terá 10 graus de liberdade, e para obter o valor 
ttab 	devemos	entrar	na	tabela	t	com	ɑ	=	0,025	(0,05/2)	e	gl	=	10,	assim	ttab = 
2,2281. 
Conclusão: Aceitamos H0, pois - 2,2281 < tcalc	<	2,2281,	o	que	significa	que	
as rações produzem os mesmos efeitos. 
6 Um empresa de ônibus está testando a durabilidade de duas marcas de 
pneus. Para isso, testou 8 pneus de cada marca e constatou: para a marca 
G uma durabilidade média de 34.100 km e variância 122.650 km2; para a 
marca P uma durabilidade média de 32.500 km e variância 100.850 km2. Ao 
nível	de	significância	de	1%	teste	a	hipótese	de	que	a	durabilidade	média	
dos pneus da marca G é maior que da marca P (para gl1 = gl2	=	7	e	α	=	0,005	
use Ftab = 8,8854).
R.:
1º	passo:	verificar	se	as	variâncias	desconhecidas	são	 iguais	aplicando	o	
teste F. 
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Para gl1 = gl2	=	7	e	ɑ	=	0,005	temos	Ftab = 8,8854.
Como Fcal < Ftab aceitamos H0, indicando que as variâncias populacionais 
desconhecidas são iguais. 
2º passo: resolver o teste para o caso em que as variâncias desconhecidas 
são iguais. 
H0 : µG = µP 
H1 : µG	≠	µP
Para	gl	=	nA	+	nB	-	2	=	8	+	8	-	2	=	14	e	ɑ	=	0,01	temos	que	ttab = 2,6245. 
Conclusão: Rejeitamos H0, pois tcalc > ttab, o que indica que os pneus da marca 
G têm maior durabilidade que os pneus da marca P. 
7	Em	um	estudo	para	verificar	se	existe	relação	entre	o	consumo	de	cigarro	
e	a	ocorrência	de	enfisema	pulmonar,	um	hospital	selecionou	125	pacientes	
ao acaso. De acordo com o quadro de resultados a seguir, podemos concluir 
que	as	ocorrências	 de	enfisema	pulmonar	 e	 o	 consumo	de	 cigarros	 são	
independentes?	(Use	α	=	5%.)
 Enfisema
Fumantes
Sim Não
Sim 39 29
Não 23 34
R.:
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A
A primeira coisa a fazer é calcular os totais (linha, coluna e geral). 
H0 :	A	ocorrência	de	enfisema	pulmonar	independe	do	consumo	de	cigarros.
H1:	A	ocorrência	de	enfisema	pulmonar	depende	do	consumo	de	cigarros.	
1º passo: montar o quadro de valores esperados: 
ei.j = total da linha i x total da coluna j 
total geral
2º passo: calcular o valor de x2calc, pela fórmula: 
Para isso vamos montar o seguinte quadro: 
53UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
P
R
O
B
A
B
I
L
I
D
A
D
E
 
E
 
E
S
T
A
T
Í
S
T
I
C
A
Para	gl	=	(r	-	1)	.	(s	-	1)	=	(2	-	1)	=	1	e	ɑ	=	0,05	temos	que	x2tab = 3,8415. 
Conclusão: Aceitamos H0, pois x
2
calc < x
2
tab,	 isso	significa	que	a	ocorrência	
de	enfisema	pulmonar	 independe	do	consumo	de	cigarros,	nos	pacientes	
desse hospital.