Oscilações Forçadas com Força Externa Periódica
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Oscilações Forçadas com Força Externa Periódica


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Oscilac¸o\u2dces Forc¸adas com Forc¸a Externa
Perio´dica
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
21 de agosto de 2010
2
Vamos supor que uma forc¸a externa perio´dica Fext(t), com per\u131´odo T, e´ aplicada a`
massa. Enta\u2dco a equac¸a\u2dco para o movimento da massa e´
mu\u2032\u2032 + \u3b3u\u2032 + ku = Fext(t).
Supondo que a forc¸a externa seja seccionalmente cont\u131´nua com a sua derivada tambe´m
seccionalmente cont\u131´nua, enta\u2dco como ela e´ perio´dica de per\u131´odo T, ela pode ser repre-
sentada por sua se´rie de Fourier.
Fext(t) =
a0
2
+
\u221e
\u2211
n=1
an cos
2npit
T
+
\u221e
\u2211
n=1
bn sen
2npit
T
em que os coeficientes sa\u2dco dados por
an =
2
T
\u222b T
2
\u2212 T2
f (t) cos
2npit
T
dt, para n = 0, 1, 2, . . .
bn =
2
T
\u222b T
2
\u2212 T2
f (t) sen
2npit
T
dt. para n = 1, 2, . . .
1 Oscilac¸o\u2dces Forc¸adas sem Amortecimento
Neste caso a equac¸a\u2dco diferencial para o movimento da massa e´
mu\u2032\u2032 + ku = Fext(t) (1)
A soluc¸a\u2dco geral e´ a soma da soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco homoge\u2c6nea correspondente com
uma soluc¸a\u2dco particular da equac¸a\u2dco na\u2dco homoge\u2c6nea. A equac¸a\u2dco homoge\u2c6nea correspon-
dente e´
mu\u2032\u2032 + ku = 0,
que e´ a equac¸a\u2dco do problema de oscilac¸a\u2dco livre na\u2dco amortecida. A equac¸a\u2dco carac-
ter\u131´stica e´
mr2 + k = 0 \u21d4 r = ±
\u221a
k
m
i
Assim a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco homoge\u2c6nea e´
u(t) = c1 cos
(\u221a
k
m
t
)
+ c2 sen
(\u221a
k
m
t
)
3
Seja \u3c90 =
\u221a
k
m . Enta\u2dco a equac¸a\u2dco acima pode ser escrita em termos de \u3c90 como
u(t) = c1 cos (\u3c90t) + c2 sen (\u3c90t) . (2)
Assim a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco na\u2dco homoge\u2c6nea e´ da forma
u(t) = c1 cos (\u3c90t) + c2 sen (\u3c90t) + up(t).
Pelo me´todo das coeficientes a determinar, devemos procurar uma soluc¸a\u2dco particular
da forma
up(t) = A0 +
\u221e
\u2211
n=1
An cos
2npit
T
+
\u221e
\u2211
n=1
Bn sen
2npit
T
,
em que An e Bn sa\u2dco coeficientes a serem determinados substituindo-se up(t) na
equac¸a\u2dco diferencial (1). Temos que supor que \u3c90 6= 2npi
T
, para n = 1, 2, 3 . . . (por
que?)
0 x
F
e
 = \u2212 k x
F
e
 = \u2212 k x
F
ext(t)
F
ext(t)
F
ext(t)
Figura 1: Sistema massa-mola forc¸ado sem amortecimento
Exemplo 1. Vamos considerar o problema de valor inicial
{
u\u2032\u2032 + \u3c920u = f (t),
u(0) = 0, u\u2032(0) = 0
4
-1
-0.5
 0.5
 1
 1 2 3 4 5 6 7 8 t
y
Figura 2: Parte na\u2dco homoge\u2c6nea, f (t) da equac¸a\u2dco do problema de valor inicial do Exem-
plo 1
f (t) =
{
1, se 0 \u2264 t < 1
\u22121, se 1 \u2264 t < 2 e tal que f (t + 2) = f (t)
A soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco diferencial e´
u(t) = c1 cos\u3c90t + c2 sen\u3c90t + up(t),
em que up(t) e´ uma soluc¸a\u2dco particular. Como f e´ \u131´mpar, seccionalmente cont\u131´nua com
derivada seccionalmente cont\u131´nua, ela pode ser representada por sua se´rie de Fourier
de senos:
f (t) =
\u221e
\u2211
n=1
bn sen npit.
com
bn = 2
\u222b 1
0
f (t) sen npit dt = \u2212 2
npi
cos s
\u2223\u2223\u2223npi
0
=
2
npi
(1\u2212 (\u22121)n)
Vamos procurar uma soluc¸a\u2dco particular da forma
up(t) =
\u221e
\u2211
n=1
(An cos npit + Bn sen npit)
com coeficientes An, Bn a determinar. Vamos supor que a derivada da se´rie seja igual
a se´rie das derivadas:
u\u2032p(t) =
\u221e
\u2211
n=1
(\u2212npiAn sen npit + npiBn cos npit),
5
-0.5
 0.5
 1 2 3 4 5 6 7 8 t
u
Figura 3: Soluc¸a\u2dco do problema de valor inicial do Exemplo 1 para \u3c90 = pi/2.
u\u2032\u2032p(t) = \u2212
\u221e
\u2211
n=1
(n2pi2An cos npit + n
2
pi
2Bn sen npit).
Substituindo-se up(t) e u\u2032\u2032p(t) na equac¸a\u2dco diferencial obtemos
\u2212
\u221e
\u2211
n=1
n2pi2(An cos npit + Bn sen npit)
+ \u3c920
\u221e
\u2211
n=1
(An cos npit + Bn sen npit) =
\u221e
\u2211
n=1
bn sen npit,
que podemos reescrever como
\u221e
\u2211
n=1
[Bn(\u3c9
2
0 \u2212 n2pi2)\u2212 bn] sen npit +
\u221e
\u2211
n=1
(\u3c920 \u2212 n2pi2)An cos npit = 0.
De onde obtemos
An = 0, Bn =
bn
\u3c920 \u2212 n2pi2
, para n = 1, 2, . . .
Assim uma soluc¸a\u2dco particular da equac¸a\u2dco diferencial e´
up(t) =
\u221e
\u2211
n=1
bn
\u3c920 \u2212 n2pi2
sen npit =
2
pi
\u221e
\u2211
n=1
1\u2212 (\u22121)n
n(\u3c920 \u2212 n2pi2)
sen npit
A soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco diferencial e´ enta\u2dco
u(t) = c1 cos\u3c90t + c2 sen\u3c90t +
2
pi
\u221e
\u2211
n=1
1\u2212 (\u22121)n
n(\u3c920 \u2212 n2pi2)
sen npit
6
Substituindo-se t = 0 e u = 0, obtemos c1 = 0. Substituindo-se t = 0 em
u\u2032(t) = \u3c90c2 cos\u3c90t + 2
\u221e
\u2211
n=1
1\u2212 (\u22121)n
\u3c920 \u2212 n2pi2
cos npit
obtemos
c2 =
2
\u3c90
\u221e
\u2211
n=1
(\u22121)n \u2212 1
\u3c920 \u2212 n2pi2
Logo a soluc¸a\u2dco do PVI e´
u(t) =
(
2
\u3c90
\u221e
\u2211
n=1
(\u22121)n \u2212 1
\u3c920 \u2212 n2pi2
)
sen\u3c90t +
2
pi
\u221e
\u2211
n=1
1\u2212 (\u22121)n
n(\u3c920 \u2212 n2pi2)
sen npit
=
(
4
\u3c90
\u221e
\u2211
n=0
1
(2n + 1)2pi2 \u2212 \u3c920
)
sen\u3c90t
+
4
pi
\u221e
\u2211
n=0
1
(2n + 1)(\u3c920 \u2212 (2n + 1)2pi2)
sen(2n + 1)pit
Para encontrar up(t) fizemos a suposic¸a\u2dco de que as derivadas da se´rie eram a se´rie
das derivadas. Seja
up(t) =
\u221e
\u2211
n=1
un(t).
Enta\u2dco
u\u2032p(t) =
\u221e
\u2211
n=1
u\u2032n(t),
u\u2032\u2032p(t) =
\u221e
\u2211
n=1
u\u2032\u2032n(t)
pois,
|u\u2032n(t)| \u2264
4
pi
1
\u3c920 \u2212 n2pi2
,
|u\u2032\u2032n(t)| \u2264
4
pi
n
\u3c920 \u2212 n2pi2
.
7
2 Oscilac¸o\u2dces Forc¸adas com Amortecimento
Neste caso a equac¸a\u2dco diferencial para o movimento da massa e´
mu\u2032\u2032 + \u3b3u\u2032 + ku = F0(t) (3)
A soluc¸a\u2dco geral e´ a soma da soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco homoge\u2c6nea correspondente com
uma soluc¸a\u2dco particular da equac¸a\u2dco na\u2dco homoge\u2c6nea. A equac¸a\u2dco homoge\u2c6nea correspon-
dente e´
mu\u2032\u2032 + \u3b3u\u2032 + ku = 0,
que e´ a equac¸a\u2dco do problema de oscilac¸a\u2dco livre amortecida. A equac¸a\u2dco caracter\u131´stica e´
mr2 + \u3b3r + k = 0 e \u2206 = \u3b32 \u2212 4km
Aqui temos tre\u2c6s casos a considerar:
(a) Se \u2206 = \u3b32 \u2212 4km > 0 ou \u3b3 > 2\u221akm, neste caso
u(t) = c1e
r1t + c2e
r2t,
em que
r1,2 =
\u2212\u3b3±\u221a\u2206
2m
=
\u2212\u3b3±
\u221a
\u3b32 \u2212 4km
2m
< 0
Este caso e´ chamado superamortecimento.
(b) Se \u2206 = \u3b32 \u2212 4km = 0 ou \u3b3 = 2\u221akm, neste caso
u(t) = c1e
\u2212 \u3b3t2m + c2te\u2212
\u3b3t
2m
Este caso e´ chamado amortecimento cr\u131´tico.
(c) Se \u2206 = \u3b32 \u2212 4km < 0 ou 0 < \u3b3 < 2\u221akm, neste caso
u(t) = e\u2212
\u3b3t
2m (c1 cos µt + c2 senµt) (4)
em que
µ =
\u221a
4km\u2212 \u3b32
2m
=
\u221a
\u3c920 \u2212
\u3b32
4m2
< \u3c90
Aqui, µ e´ chamado quase freque\u2c6ncia e T =
2pi
µ
e´ chamado quase per\u131´odo. Este
caso e´ chamado subamortecimento.
8
Observe que nos tre\u2c6s casos a soluc¸a\u2dco tende a zero quando t tende a +\u221e.
Seja u(t) = c1u1(t) + c2u2(t) a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco homoge\u2c6nea correspon-
dente. Enta\u2dco a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco na\u2dco homoge\u2c6nea (3) e´
u(t) = c1u1(t) + c2u2(t) + up(t)
em que up(t) e´ uma soluc¸a\u2dco particular. Pelo me´todo dos coeficientes a determinar
up(t) = A0 +
\u221e
\u2211
n=1
An cos
2npit
T
+
\u221e
\u2211
n=1
Bn sen
2npit
T
,
em que An e Bn sa\u2dco coeficientes a serem determinados substituindo-se up(t) na
equac¸a\u2dco diferencial (3).
A soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco homoge\u2c6nea correspondente, c1u1(t) + c2u2(t), e´ a
soluc¸a\u2dco do problema de oscilac¸a\u2dco livre amortecida e ja´ mostramos que tende a zero
quando t tende a +\u221e, por isso e´ chamada soluc¸a\u2dco transiente, enquanto a soluc¸a\u2dco par-
ticular, up(t), permanece e por isso e´ chamada soluc¸a\u2dco estaciona´ria.
0 x
F
r
 = \u2212\u3b3 v
F
e
 = \u2212 k x
F
r
 = \u2212\u3b3 v
F
r
 = \u2212\u3b3 v
F
e
 = \u2212 k x
F
ext(t)
F
ext(t)
F
ext(t)
Figura 4: Sistema massa-mola forc¸ado com amortecimento
Exemplo 2. Vamos considerar o problema de valor inicial{
u\u2032\u2032 + 3u\u2032 + 2u = f (t),
u(0) = 0, u\u2032(0) = 0
9
-0.5
 0.5
 1 2 3 4 5 6 7 8 t
u
Figura 5: Soluc¸a\u2dco estaciona´ria do problema de valor inicial do Exemplo 2.
f (t) =
{
1, se 0 \u2264 t < 1
\u22121, se 1 \u2264 t < 2 e tal que f (t + 2) = f (t)
A soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco diferencial e´
u(t) = c1e
\u2212t + c2e\u22122t + up(t),
em que up(t) e´ uma soluc¸a\u2dco particular. Como f e´ \u131´mpar, seccionalmente cont\u131´nua com
derivada seccionalmente cont\u131´nua, ela pode ser representada por sua se´rie de Fourier
de senos:
f (t) =
\u221e
\u2211
n=1
bn sen npit
com
bn = 2
\u222b 1
0
f (t) sen npit dt = \u2212 2
npi
cos s
\u2223\u2223\u2223npi
0
=
2
npi
(1\u2212 (\u22121)n)
Vamos procurar uma soluc¸a\u2dco particular da forma
up(t) =
\u221e
\u2211
n=1
(An cos npit + Bn sen npit)
com coeficientes An, Bn a determinar. Vamos supor que a derivada da se´rie seja igual
a se´rie das derivadas:
u\u2032p(t) =
\u221e
\u2211
n=1
(\u2212npiAn sen npit + npiBn cos npit),
u\u2032\u2032p(t) = \u2212
\u221e
\u2211
n=1
(n2pi2An cos npit + n
2
pi
2.Bn sen npit)
10
Substituindo-se up(t), u\u2032p(t) e u\u2032\u2032p(t) na equac¸a\u2dco diferencial obtemos
\u2212
\u221e
\u2211
n=1
n2pi2(An cos npit + Bn sen npit)
+ 3
\u221e
\u2211
n=1
(\u2212npiAn sen npit + npiBn cos npit)
+ 2
\u221e
\u2211
n=1
(An cos npit + Bn sen npit) =
\u221e
\u2211
n=1
bn sen