Lista de Exercícios 03

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO 
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA 
MICROECONOMIA III 2009.2 
Professores:Antônio Marcos Hoelz Ambrozio e Hamilton Kai 
 
3º Lista de exercícios 
 
 
1) Dois irmãos, Gabriel e Lucas, encontraram R$100,00 na rua. Decidiram que iriam jogar 
“par ou impar” para decidir quem seria o 1º a propor uma divisão do dinheiro. No caso do 
outro irmão não aceitar a divisão proposta, seria a vez dele de fazer uma proposta 
alternativa. Combinaram também que após 2 tentativas de insucesso iriam dividir o 
dinheiro igualmente entre ambos.(Barganha com ofertas alternadas e no caso de não haver 
acordo em T=1 e em T=2, o jogo terminaria com cada irmão recebendo R$50,00). 
Gabriel escolheu par e Lucas impar. 
 
A. Supondo que: 
1. o resultado do jogo foi par, 
2. o fator de desconto do Gabriel é de δG=0.5 e do Lucas é de δL=0.2 
3. a utilidade do dinheiro para Gabriel é de uG=4x e a utilidade do dinheiro para 
Lucas é de uL=2x 
calcule o resultado do ENPS. 
 
B. Calcule novos resultados do ENPS e verifique se as afirmações abaixo são Verdadeiras 
ou Falsas: 
 
i) Aumenta a parcela de R$100,00 que Gabriel receberá no ENPS, se o fator de desconto do 
Lucas aumentar para δL=0.4 e o de Gabriel permanecer constante em δG=0.5. 
ii) Aumenta a parcela de R$100,00 que Gabriel receberá no ENPS, se o resultado do jogo 
for impar. 
iii) Aumenta a parcela de R$100,00 que Gabriel receberá no ENPS, se a utilidade do 
dinheiro para Gabriel passar para uG=8x. 
iv) Aumenta a parcela de R$100,00 que Gabriel receberá no ENPS, se na ausência de 
acordo, ele recebesse R$60,00 do dinheiro achado. 
 
2) Considere um modelo de barganha com taxa de desconto 10 << δ com estrutura definida 
pela seqüência de decisões abaixo. 
 
(1a) Jogador 1 propõe uma divisão ( )11 1, ss − , onde 1s é a fração do jog. 1; 
(1b) Jogador 2 aceita ou rejeita; 
(2a) Jogador 2 propõe uma divisão ( )22 1, ss − , onde 2s é a fração do jog. 1; 
(2b) Jogador 1 aceita ou rejeita; 
(3) A barganha se encerra e os jogadores recebem ( )ss −1, . 
 
Suponha, adicionalmente, que há um custo de rejeição 0>c . Isto é, o jogador que rejeitar 
uma proposta incorre em um custo c . Dado isso, encontre a partição referente ao equilíbrio 
perfeito em subjogos do jogo de três períodos descrito acima. 
 
3) Considere o seguinte modelo de barganha unilateral para a divisão de um prêmio de 
$100: o jogador 1 propõe uma divisão que o jogador 2 pode aceitar ou rejeitar. Se o jogador 
2 rejeitar, o jogador 1 propõe outra divisão e o jogador 2 novamente pode aceitar ou 
rejeitar. E o jogo pode persistir até o período T em que ambos os jogadores recebem s, tal 
que 2s < 100. A cada rodada em que o jogador 1 faz uma nova oferta, o valor do prêmio é 
descontado por δ < 1. (Note que o jogador 1 é sempre o que faz a oferta e o jogador 2 
sempre decide se aceita ou rejeita a proposta de 1) 
 (a) Suponha T = 2 e encontre o resultado do equilíbrio perfeito de subjogos. 
 (b) Calcule o equilíbrio perfeito em subjogos para T finito. Qual é o 
resultado quando T → ∞? 
 
4) Mostre que no modelo de barganha com ofertas alternadas o resultado de ENPS quando 
o horizonte é infinito é o limite quando T → ∞ dos resultados em ENPS quando o horizonte 
é finito (suponha uma taxa de desconto comum). 
 
5) Considere uma Firma que visa contratar um Trabalhador para realizar uma determinada 
atividade. Se o Trabalhador se esforçar (o que é observável pela Firma), será gerado um 
produto que tem valor de y para a Firma. Caso o Trabalhador não se esforce, nada é 
produzido. Suponha que o Trabalhador tem um custo (em unidades monetárias) de se 
esforçar dado por c, e suponha adicionalmente que seja y > c. O jogo tem a seguinte 
seqüência: A Firma contrata o Trabalhador, este decide se faz esforço ou não e a Firma, 
observando a decisão do Trabalhador (e se apropriando do produto em caso de esforço) 
decide se paga ou não um salário w para o Trabalhador (note que a Firma pode decidir não 
pagar mesmo que o Trabalhador se esforce). Dado isso, responda: 
a) (0,5 pontos) Se o jogo acima for jogado uma única vez, para quais valores de y, c e 
w estritamente positivo é possível obter um ENPS onde o Trabalhador se esforce? 
b) (0,5 pontos) Como sua resposta se modificaria caso o jogo acima seja repetido duas 
vezes? Justifique. 
c) (1,5 pontos) Suponha agora que o jogo seja repetido infinitamente. Seja y = 10, c =2 
e suponha que a taxa de desconto comum dos agentes (entre as repetições do jogo) 
seja δ = ¾. Considere que tanto o Trabalhador quanto a Firma adotem estratégias do 
gatilho: a Firma paga o salário prometido w enquanto observar o Trabalhador se 
esforçando, caso o Trabalhador não se esforce em alguma rodada passa a não pagar 
dali em diante; e o Trabalhador começa o jogo se esforçando e se esforça enquanto 
o resultado nas rodadas passadas for (esforço,pagamento), passando a não se 
esforçar caso contrário. Para que valores de w é possível obter um ENPS 
sustentado por estas estratégias do gatilho onde o Trabalhador se esforce e a Firma 
pague o salário em todas as rodadas? 
d) (0,5 pontos) Suponha agora que a firma passa a jogar não com o mesmo 
trabalhador, mas com uma seqüência de trabalhadores, ou seja, a cada período a 
firma contrata um trabalhador diferente. Supondo que cada trabalhador consegue 
observar como a firma e os demais trabalhadores se comportaram antes dele, ainda é 
possível obter um ENPS onde os trabalhadores se esforcem a cada período? 
Justifique. 
 
6) Considere uma repetição em dois períodos do jogo abaixo, supondo que não haja taxa de 
desconto intertemporal. O ganho de cada jogador no jogo repetido consiste na soma dos 
ganhos de cada período. 
 
 Jogador 2 
 B1 B2 B3 
 A1 10,10 2,12 0,13 
Jogador 1 A2 12,2 5,5 0,0 
 A3 13,0 0,0 1,1 
 
(a) Descreva o espaço de estratégias de cada jogador (no jogo repetido). 
(b) Existe um equilíbrio de Nash perfeito em subjogos onde (A1,B1) é escolhido no 
primeiro período? Justifique. 
(c) Existe um equilíbrio de Nash perfeito em subjogos onde (A2,B2) é escolhido no 
primeiro período e (A3,B3) no segundo? Justifique. 
 
7) Imagine que existam apenas dois paises no mundo, Finlândia e Alemanha. Estes países 
devem decidir quanto a sua política externa, tendo duas opções, livre comércio ou 
protecionismo. Caso os dois paises decidam pelo livre comércio, eles estarão melhor do que 
quando os dois optam pelo protecionismo. No entanto, quando o outro país decide pelo 
livre comércio, o melhor que se tem a fazer é optar pelo protecionismo. A matriz de payoffs 
será dada por: 
 
(onde a > L > P > b). 
a) Suponha que este jogo será repetido por dois períodos. Escreva este jogo na 
forma extensiva. Determine o espaço estratégico de cada jogador e encontre 
todos os ENPS em estratégias puras. O payoff final será a soma dos payoffs de 
cada rodada. 
 
b) Agora suponha que este jogo se repetirá infinitamente, sendo 0 < δ < 1 a taxa de 
desconto de ambos os países. Defina uma estratégia para cada jogador. Encontre 
o δ mínimo necessário para sustentar um ENPS eficiente no sentido de pareto 
(para isto, suponha que os dois jogadores jogam estratégias de gatilho). Defina 
tal equilíbrio. 
 
c) Suponha que a opinião pública finlandesa seja formada por fervorosos 
defensores do livre comercio, fazendo com que a adoção de uma política 
protecionista seja bastante custosa. A matriz de payoffs passaria a ser: 
 
Livre comércio Protecionismo
Livre comércio L, L b, a
Protecionismo a', b P', P
Alemanha
Fi
nl
ân
di
a
 
onde a > a’ > L > P > P’ > b. 
Sejam δF e δA as taxas de desconto da Finlândia e da Alemanha, 
respectivamente. O que ocorrerá com a taxa de desconto mínima de sustentação 
do ENPS eficiente no sentido de pareto de cada país em relação ao item b? 
Podemos dizer que se torna mais fácil um equilíbrio de livre comércio? 
 
8) Seja G o seguinte jogo estágio: 
 
 
 2 
 C NC 
1 C 60,60 0,Y 
 NC X,0 30,12 
 
Onde X e Y são maiores que 60. Suponhaque ambos os jogadores tenham uma taxa de 
desconto comum de δ = 1/3 . 
 
 
a) (1,25 pontos) Suponha que G seja repetido um número infinito de vezes, para que 
valores de X e Y o resultado cooperativo (C,C) será sustentado em ENPS caso os 
jogadores adotem estratégias do gatilho – punição ilimitada em caso de desvio? 
Compare os valores de X e Y e comente a intuição. 
 
b) (0,75 pontos) Responda intuitivamente: o que deve acontecer com os valores 
encontrados para X e Y caso os jogadores tivessem adotado estratégias que 
prescrevessem punição por apenas 1 período em caso de desvio? 
 
c) (0,75 ponto) Responda intuitivamente: o que deve acontecer com os valores 
encontrados para X e Y caso os jogadores fossem mais pacientes (δ maior que 1/3)? 
 
 
 
9) Uma determinada firma (F) e o governo (G) estão envolvidos no seguinte jogo: a firma 
decide se realiza um determinado investimento (I) ou não (NI), e o governo escolhe uma 
taxação baixa (TB) ou alta (TA). Caso a firma não invista, ambos os agentes recebem payoff 
zero (independente da escolha da taxa). Caso a firma decida investir e o governo escolha a 
taxa baixa, ambos recebem um pagamento de 1, enquanto que se a firma investir e o 
governo escolher a taxa alta, este tem um pagamento de 2 enquanto a firma tem prejuízo de 
(-1). Suponha que as decisões dos agentes sejam simultâneas. 
 
a) Supondo que o jogo acima seja jogado uma única vez, represente matricialmente 
esse jogo e encontre o(s) Eq. de Nash em estratégias puras. 
 
b) Suponha agora que a situação descrita anteriormente seja repetida um número 
infinito de vezes. Em cada rodada os jogadores observam os resultados das rodadas 
anteriores e ambos os jogadores têm uma taxa de desconto comum δ. Verifique em 
cada um dos casos abaixo se existe 0 < δ < 1 tal que as estratégias constituam 
ENPS. 
 
(i) F: “Escolho I sempre” 
 G: “Escolho TB sempre” 
 
(ii) F: “Escolho NI sempre” 
 G: “Escolho TA sempre” 
 
(iii) F: “Escolho I em t=1. Em cada rodada t, se o resultado das rodadas 
anteriores for (I, TB), jogo I, e se for algo diferente de (I, TB) jogo NI dali em 
diante”. 
 G: “Escolho Tb em t=1. Em cada rodada t, se o resultado das rodadas anteriores 
for (I, TB), jogo Tb, e se for algo diferente de (I, TB), jogo TA dali em diante”. 
 
10) A demanda de um mercado é dada por Q = A – p. A cada período, as n firmas 
presentes nesse mercado competem à maneira de Bertrand, i.e., a firma com o menor 
preço fica com todo o mercado, que é repartido igualmente em caso de preços iguais. 
As firmas produzem um bem homogêneo, com o mesmo custo marginal constante c, 
sem custo fixo. O jogo de Bertrand é repetido T vezes, onde T pode ser finito ou 
infinito. Cada firma busca maximizar o valor presente descontado de seus lucros, isto é: 
) ,...,( 
0
1 tn
T
t
ti
t pp∑
=
Πδ . 
a) Se o jogo for repetido por 2 períodos (T=2), no ENPS qual é o preço que as 
n firmas escolhem em cada período T=1 e T=2 ? 
 
b) Suponha que o mercado seja composto de duas firmas. Sabendo que o lucro 
máximo Πm que um monopolista poderia obter em cada período é dado por 
πM =
4
)( 2cA − , mostre que existe um δ * < 1 tal que todo δ ≥δ * sustente um 
ENPS de colusão ótima se T = ∞. 
Encontre esse δ * supondo as seguintes estratégias para sustentar o regime 
de colusão ótimo: ambas as firmas fixam um preço igual ao de monopólio, 
pm, no primeiro período e a cada período onde nas rodadas anteriores ambas 
as firmas escolheram pm (dividindo igualmente o lucro de monopólio Πm por 
período em que ambas escolhem pm); se em um período t observa-se que 
alguma firma desvia de pm em qualquer rodada anterior, ambas fixam o 
preço igual ao custo marginal dali em diante. 
 
c) Supondo que o fator de desconto seja δ =4/5, calcule o número máximo de 
firmas capaz de sustentar uma colusão ótima. (considere que as firmas sigam 
as estratégias descritas no item anterior). 
 
d) Novamente, suponha que o mercado seja composto de duas firmas, que 
seguem as estratégias descritas no item b). Considere agora que a traição só 
é detectável após uma investigação que leva um período, isto é, uma vez 
tendo traído a firma só será punida depois do período seguinte. A colusão 
ótima ainda é alcançável? Justifique e em caso afirmativo, encontre o menor 
δ capaz de sustentar a colusão. 
 
e) Seja δ a taxa de desconto mínima de colusão encontrada no item (b), e 
suponha que como nesse item existam duas firmas e que a traição é 
detectável logo no próximo período. Suponha que as firmas possuem taxas 
de desconto diferentes, sendo δ1 = (1/2)δ e δ2 = (3/2)δ. Mostre que uma 
solução de conluio ainda pode ser sustentada por uma estratégia gatilho 
como ENPS com base em uma divisão assimétrica do lucro de monopólio. 
Neste caso, (3/4) deste lucro iriam para a firma 1. 
 
 
11) Considere o seguinte jogo no qual o jogador 1 escolhe entre as linhas e o jogador 2 
entre as colunas: 
 
a) Encontre todos os equilíbrios de Nash desse jogo estático. 
b) Considere agora que esse jogo é repetido infinitamente e, ainda, que os dois 
jogadores compartilham a mesma taxa de desconto q. 
Determine para quais valores de q as estratégias indicadas abaixo configuram um 
equilíbrio de Nash. Discuta a viabilidade e credibilidade de cada uma. 
 
i. O jogador 1 joga s1 sempre. O jogador 2 joga t1 no primeiro período 
e continua assim até o jogador 1 jogar s2. Nesse caso, ele passa a 
jogar t2 ad infinitum. 
 
ii. O jogador 1 joga s1 no primeiro período e assim continua enquanto 
observar o resultado (s1,t1). Caso o resultado seja diferente, ele 
passa a jogar s2 até observar o resultado (s2,t2), quando então 
volta a jogar s1 e o processo se reinicia. Já o jogador 2 joga t1 no 
primeiro período e assim continua enquanto observar o resultado 
t1 t2
s1 5,5 -1, -2
s2 6,-1 0,-3Jo
ga
do
r 1
Jogador 2
(s1,t1). Caso o resultado seja diferente, ele passa a jogar t2 até 
observar o resultado (s2,t2), quando então volta a jogar t1 e o 
processo se reinicia. 
 
 
12) “No início dos anos 60 duas grandes empresas, GE e Westinghouse, dominavam o 
mercado de turbinas para geradores elétricos nos EUA. Dado a presença de elevados custos 
fixos nessa indústria, a possibilidade de competição potencial era baixa, e então as duas 
empresas se encontravam numa situação de duopólio. Apesar disso, os preços negociados 
nesse mercado, decorrente de negociações fechadas entre demandantes e uma das 
empresas, eram considerados competitivos. Em um certo ponto do tempo, a GE decidiu 
mudar sua estratégia de vendas, estabelecendo, entre outros pontos: (i) tornou sua política 
de preços pública; (ii) prometeu estender qualquer desconto fornecido a um cliente numa 
certa data a todos os clientes que fizeram negócios até 6 meses antes. Pouco depois, a 
Westinghouse acabou por adotar políticas semelhantes, até que o governo norte-americano 
interviu e pôs fim a essas práticas”. Comente.