POLINÔMIOS

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1. (Q2.AV2-2014.1)
(a) Usando o fato de que x4 = (x4 + 1) − 1 mostre que
x2014 = ((x4 + 1) − 1)503 · x2 = [((x4 + 1) − 1) · q(x) + (−1)503] · x2
para algum polinômio q(x). Conclua que o resto da divisão de x2014 por (x4 + 1) é −x.
(b) Determine o resto da divisão do polinômio p(x) = 2x2014 + 15x5 + 9x − 2014 pelo polinômio
d(x) = x4 + 1.
Sugestão para o item (b): Use o fato de que o resto da divisão de p1(x) + p2(x) por d(x) é igual à
soma r1(x) + r2(x) dos restos r1(x) e r2(x) das divisões de p1(x) e p2(x) por d(x), respectivamente.
Solução:
(a) Note que 2014 = 2012+ 2 = 4 · 503+ 2 então, x2014 pode ser escrito como
x2014 = x2012+2 = (x4)503+2 = (x4)503 · x2 = ((x4 + 1) − 1)503 · x2.
Pelo Binomial de Newton, temos (a + b)n =
n∑
p=0
(
n
p
)
an−p · bp. Logo, fazendo −1 = b e
(x4 + 1) = a temos:
x2014 = ((x4 + 1) − 1)503 · x2
=
(
503∑
p=0
(
503
p
)
(−1)503−p · (x4 + 1)p
)
· x2
=
(
503∑
p=0
(
503
p
)
(x4 + 1)p · (−1)503−p
)
· x2
=
(
(−1)503 +
503∑
p=1
(
503
p
)
(x4 + 1)p · (−1)503−p
)
· x2
=
(−1)503 + (x4 + 1) ·
503∑
p=1
(
503
p
)
(x4 + 1)p−1 · (−1)503−p
︸ ︷︷ ︸
polinômio q(x)
 · x2
= [((−1)503 + (x4 + 1) · q(x))] · x2 = [((x4 + 1)q(x) + (−1)503)] · x2
Considere, sem perda de generalidade, os polinômios k(x), p(x), r(x) e z(x) com k(x) ̸= 0. Ao
dividir p(x) por k(x) temos p(x) = k(x) · z(x) + r(x) em que k(x) é o divisor, z(x) o quociente
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e r(x) o resto da divisão. Logo, se x2014 = [((x4 + 1)q(x) + (−1)503)] · x2 = (x4 + 1)q(x) · x2 − x2,
então (x4 + 1) é o divisor, q(x) · x2 é o quociente e −x2 é o resto.
(b) Pelo item (a), o resto da divisão de x2014 por (x4 + 1) é −x2 então, o resto da divisão de 2x2014
por (x4 + 1) será 2 · (−x2) = −2x2. Considerando então o polinômio do problema, temos que
calcular o resto da divisão de 15x5 + 9x− 2014 por (x4 + 1). Assim:
15x5 + 9x− 2014 x4 + 1
15x− 15x5 − 15x
− 6x− 2014
Logo, o resto da divisão será −2x2 − 6x− 2014
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2. (Q4.AVF-2014.2) Seja p(x) um polinômio do sétimo grau tal que
p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(6) = p(7) = 10
Sabendo que p(8) = 30 determine p(−3).
Solução:
Vamos determinar o polinômio q(x) do sétimo grau tal que q(x) = p(x) − 10. Desse modo, temos
que 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são raízes de q(x), isto é,
q(1) = q(2) = q(3) = q(4) = q(5) = q(6) = q(7) = 0
Então, podemos escrever o polinômio q(x) como:
q(x) = a(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(x− 6)(x− 7)
Agora note que se p(8) = 30, q(8) = 30− 10 = 20. Logo,
q(8) = a(8− 1)(8− 2)(8− 3)(8− 4)(8− 5)(8− 6)(8− 7)
= a · 7!
20 = a · 7! =⇒ a =
20
7!
Agora, temos que p(−3) = q(−3) + 10 então:
p(−3) =
20(−3− 1)(−3− 2) · · · (−3− 7)
7!
+ 10
=
−20 · 10!
3! · 7!
+ 10
=
−20 · 10 · 9 · 8 · 7!
6 · 7!
+ 10
=
−20 · 10 · 9 · 8
6
+ 10
=
−20 · 720
6
+ 10
= (−20 · 1200) + 10
= −2390
∴ p(−3) = −2390
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Que você alcance o seu melhor!
Prof. Darlley Barbosa, PROFMAT - UFTM