Introducao a Matematica Financeira

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Introdução à Matemática Financeira 
 
O que é melhor? Juros simples ou juros compostos? 
Pagar a vista ou comprar a prazo? 
Receber hoje R$ 1,00 é melhor que receber o mesmo valor daqui a um 
ano? 
Podemos ver que, durante o prazo da operação, o valor do dinheiro 
envolvido numa transação financeira varia com o tempo. Em geral, todo 
empreendimento envolvendo dinheiro necessita de avaliações periódicas, 
antes de ser aceito e no decorrer do prazo até a data final do empreendimento. 
Portanto, necessitamos de procedimentos de avaliação do resultado de uma 
operação em qualquer data. A Matemática Comercial e Financeira é a 
disciplina dedicada ao estudo do comportamento do dinheiro em função do 
tempo. 
A apostila tem como objetivo capacitar e atender as necessidades de 
conhecimentos e atualizações dos profissionais e de graduando de todas as 
áreas do conhecimento, proporcionando maior agilidade na tomada de decisão. 
Além de permitir ao profissional maior capacitação para o competitivo mercado 
de trabalho. 
Uma advertência deve ser feita àqueles que pretendem estudar 
Matemática Financeira ou se dedicar a algum trabalho nessa área. São 
exigidos desses estudantes e profissionais análise atenta dos problemas que 
 
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querem resolver, compreensão clara das operações financeiras ali envolvidas e 
familiaridade não só com a linguagem dos negócios, como também com 
fórmulas e calculadoras que utilizará. E tudo isso só se consegue com muito 
exercício, principalmente para aqueles que se lançam na área pela primeira 
vez. 
A matemática financeira por muitas vezes é considerada matéria difícil 
porque as pessoas tentam usá-la sem método. Antes de se lançar de cabeça 
na resolução dos problemas lembre-se que existem passos a serem seguidos. 
Primeiro é necessária uma correta interpretação dos problemas, ver realmente 
o que ele quer que seja calculado; segundo organize os dados do problema, 
veja o que se tem e o que se quer calcular e quais são as ferramentas 
(fórmulas) que se tem disponível e, por fim, faça o desenvolvimento do 
raciocínio aplicando o método correto, sempre testando para ver se o resultado 
encontrado e condizente com os dados do problema. 
Neste trabalho quase todos os exercícios estão resolvidos apenas com a 
utilização das fórmulas. 
Portanto prepare-se, já estamos no século XXI, e o mundo não acabou, 
pelo contrário, estamos mais vivos do que nunca. Entramos na era do “saber” 
fazer a diferença, aprender a fazer coisas novas, desaprender as velhas e 
reaprender novamente. 
 
A Matemática Financeira é um ramo da matemática que analisa algumas 
alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Faz 
usos de alguma ferramentas para melhorar o desempenho e agilizar 
processos, atuando assim, na simplificação de operações financeiras a um 
Fluxo de Caixa. Alguns de seus elementos básicos são: capital, juros, taxas e 
montante. 
O conhecimento de algumas siglas é importante para o entendimento deste 
conteúdo. 
 
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C = capital ou P = principal – significam o mesmo 
J = juros 
n = número de períodos 
t = tempo ou período 
i = taxa de juros 
M = montante 
s = montante de capitalização composta 
A matemática financeira possibilita um maior estudo sobre a área financeira de 
determinado segmento ou pessoa e o contexto em que ela está inserida. Esse 
ramo da matemática auxilia na compreensão de áreas como Engenharia 
Financeira e Análise de Investimentos. 
Para que haja maior rentabilidade em uma empresa, é necessário que o 
investidor conheça alguns conceitos e saiba aplicar técnicas que resultam na 
tomada de decisões e no gerenciamento financeiro da organização. 
Matemática Financeira na Prática 
Visto que as organizações cada vez mais precisam estabelecer relações 
comerciais entre consumidores, fornecedores e investidores, a matemática 
financeira, ajuda na capacitação dos profissionais e na busca de maiores 
oportunidades de negócios. Por exemplo, se a empresa SC produções, do 
ramo de eventos, precisa de um empréstimo de R$ 400.000,00 para auxiliar 
nas suas despesas financeiras e pagar alguns fornecedores, uma instituição 
financeira poderá avaliar esse valor e definir um prazo em que ele será pago. 
Após a análise da proposta, em suposição, o banco estipulou o prazo de quatro 
meses para o pagamento. Assim, haverá R$ 400.000,00 na conta da empresa 
e ao final de quatro meses, esta empresa deverá pagar ao banco R$ 
420.000.00. 
 
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1. Com base nesse exemplo, verificamos que houve uma operação financeira 
em que empresa e banco realizaram uma transação; 
2. Essa operação, tem um valor inicial de R$ 400.000,00 (Capital) e um valor 
final R$ 420.000.00 (Montante); 
3. O tempo dessa operação, estipulado pelo banco, é de quatro meses; 
4. Entre o montante e o capital existe uma taxa de juros que beneficiará o 
banco (credor) e será um custo para a empresa (devedor). 
Conceitos Principais em Matemática Financeira 
Para a realização dessas situações, é necessário entender os conceitos 
básicos e termos principais utilizados dentro de matemática financeira: 
Capital 
É chamado também de valor atual, presente ou aplicado. É o valor 
representado por uma determinada quantia de dinheiro, títulos ou bens, 
disponível numa certa data para aplicação numa operação financeira. Também 
entende-se por capital qualquer valor expresso em moeda. É representado pela 
letra C, de capital ou P, de principal. 
Juros 
Valor cobrado pelo credor pelo empréstimo do capital em um período de tempo 
específico, valor do atraso de uma prestação ou o lucro de uma aplicação 
financeira. Pode ser dividido em Juros Simples e Juros Compostos. É 
representado pela letra J. A grande diferença dos juros é que no final das 
contas quem financia por juros simples obtêm um montante inferior ao que 
financia por juros compostos. 
Regime de Juros Simples e Juros Compostos 
Capitalização: adicionar os juros ao capital. 
Regime de Juros Simples (Juros Simples): acontece quando os juros são 
calculados por um período juntamente com o capital inicial aplicado. Assim, 
apenas o capital inicial é o que rende juros. Geralmente é utilizado para 
 
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aplicações de curto período, descontos simples e duplicatas. A fórmula 
utilizada para calcular juros simples é: 
J = C x i x n 
Regime de Capitalização Composta (Juro Composto): acontece quando o 
juro de cada período é adicionado ao capital inicial, para dar origem ao novo 
valor de capital do próximo período. Geralmente, esse regime é utilizado na 
maioria das operações financeiras, como empréstimos, financiamentos, 
correção de poupança, etc. A fórmula utilizada para o cálculo dos juros 
compostos é: 
M = C (1 + i)t 
Taxa de Juros 
É a taxa cobrada por um credor, definida de acordo com o valor do 
empréstimo. É apresentada em porcentagem de acordo com o valor inicial, o 
tempo, a taxa de inflação e o risco de crédito. Indica qual remuneração será 
paga ao dinheiro emprestado e pode ser especificada, variando de caso para 
caso. 
Taxas de Juros aplicadas: 
a.a. - ao ano; 
a.m. - ao mês; 
a.d. - ao dia; 
a.b. - ao bimestre; 
a.t. - ao trimestre; 
a.q. - ao quadrimestre; 
Montante 
O juro, adicionado ao capital, em determinado período de tempo, é chamado 
de montante em uma operação financeira. A fórmula utilizada para o cálculo é:M = C + J 
 
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Desconto 
O desconto é a redução sob um valor ou título de crédito quando o pagamento 
é antecipado. Conceitos utilizados em desconto: 
 Valor Nominal (valor de face): valor no título a ser pago no vencimento. 
 Valor Atual: valor a ser efetuado ou recebido antes do vencimento, 
geralmente, já é vem com o desconto. 
 Dia do Vencimento: data definida para o pagamento do titulo. 
 Tempo ou Prazo: diferença em dias entre a data do vencimento e a data 
da negociação. 
O desconto é definido pela diferença existente entre o valor nominal (N) para 
um valor na data do vencimento e o valor atual (A) na data em que é realizado 
o pagamento e permite saber qual o desconto a ser dado no título em questão. 
É representada pela fórmula: 
D = N – A 
Eles são divididos em simples ou compostos derivados dos dois regimes de 
capitalização existentes. O Desconto Simplesé dividido em: 
Desconto Comercial ou Bancário (Por fora): desconto do valor futuro (valor 
nominal) com base no valor presente. 
Desconto Racional (Por dentro): o desconto é oferecido na diferença 
existente entre o valor futuro (valor nominal) e o valor atual (valor líquido). 
Geralmente, é calculado em juros simples. 
Já os Descontos Compostos, são calculados juntamente com a taxa de juros 
compostos, considerados os períodos determinados. 
Fluxo de Caixa 
É um instrumento operacional e gerencial que controla e informa 
movimentações financeiras referentes as entradas e saídas de valores 
monetários de caixa recebido e gasto por um órgão público num determinado 
 
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período de tempo. Seus dados são compostos através de contas a pagar, 
contas a receber, de vendas, de despesas, de saldos de aplicações, e todos os 
demais que representem as movimentações de recursos financeiros 
disponíveis da organização. 
O que é Juro? 
Na Introdução à Matemática Financeira 
existem conceitos fundamentais que auxiliam nas operações financeiras. 
Dentro disso, foram dadas definições sobre o regime de juros simples e 
o regime de capitalização composta. E, para entender melhor sobre juros 
simples e compostos é preciso saber o que são juros e como calculá-lo em 
cada situação imposta pelo mercado. 
Geralmente, os juros são determinados pelo Copom (Comitê de Política 
Monetária), um órgão do Banco Central que estabelece as normas da política 
monetária e da taxa de juros. 
Todos os anos, durante as reuniões feitas pelos membros do Copom são 
definidos os índices de consumo e produção que afetam o crescimento do país. 
Eles publicam relatórios sobre a inflação e informam sobre a situação 
econômica do país. 
De acordo com Samanez (2002), em seu livro 'Matemática Financeira: 
Aplicações à Análise de Investimentos' a definição de juro é: 
“Juro é remuneração do capital empregado” 
Segundo essa definição, se aplico ou empresto capital a outrem, existe um 
valor adicional a ser cobrado pela utilização desse dinheiro. Por exemplo, ao 
aplicar um capital, em um período de tempo específico, ao final dessa 
 
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aplicação o capital terá adquirido outro valor, chamado de montante. O 
montante é o capital aplicado mais os juros que foram acumulados durante o 
período da aplicação. 
O juro, também chamado de remuneração, rendimento ou juros ganhos é 
dado pela diferença entre o montante (M) e o capital (C). A fórmula utilizada 
para o cálculo do juros é: 
J = M - C 
Importante: 
No mercado financeiro, a taxa de juros sempre é dada na forma percentual, 
mas para a realização dos cálculos é preciso transformar a taxa em fracionária. 
Veja o quadro: 
 Valor Percentual Valor Fracionário 
30% 30/100 = 0,30 
1% 1/100 = 0,01 
0,20% 0,2/100 = 0,002 
 
Outro fato que deve ser considerado no cálculo dos juros é o tempo da 
aplicação. Se os meses forem de 30 dias, os juros são comerciais, referente 
aos anos comerciais (360 dias). Se for considerado o ano civil (365 dias), 
os juros serão chamados de exatos. 
Saiba como calcular juros: 
1) Calcule os juros de uma aplicação de R$5.000 durante um ano à uma taxa 
simples de 25% a.a. 
Dados encontrados: 
C = R$ 5.000 
i = 25%a.a. 
J = ? 
 
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Conversão da taxa de juros: 
25% → 25/100 → 0,25 
Resolução: 
J = C x i → J = R$ 5.000 x 0,25 → J = R$ 1.250,00 
 
2) Descubra o montante do capital aplicado de R$ 2.600 durante um ano à taxa 
simples de 55% a.a. 
Dados encontrados: 
C = R$ 2.600 
i = 55%a.a. 
J = ? 
Conversão da taxa de juros: 
55% → 55/100 → 0,55 
Resolução: 
J = C x i → J = R$ 2.600 x 0,55 → J = R$ 1.430,00 M = C + J → M = R$ 2.600 
+ R$ 1.430 → M = R$ 4.030,00 
Os juros são divididos em simples e compostos, de acordo com o cálculo a ser 
feito. 
 Juros Simples e Compostos 
Juros Simples 
 
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Regime de Juros Simples 
O regime de juros simples não é muito utilizado pelo atual sistema financeiro 
nacional, mas ele se relaciona à cobrança em financiamentos, compras a 
prazo, impostos atrasados, aplicações bancárias, etc. Nesse regime, a taxa de 
juros é somada ao capital inicial durante o período da aplicação. O cálculo para 
juros simples é dado pela fórmula: 
J = PV x i x n 
J = Juro 
PV = Capital inicial, principal ou valor presente 
i = taxa de juros 
n = número de períodos em que foi aplicado o capital 
No cálculo do juro simples, também chamado de juro comercial, o juro sob o 
capital aplicado é diretamente proporcional ao capital e o tempo de aplicação. 
Através da taxa de juros, irá variar ao longo do período. Assim, utiliza-se o ano 
comercial, sendo 360 dias no ano e 30 dias no mês. Ex.: 
Saiba Calcular Juros Simples 
1) Qual o valor dos juros aplicados a um empréstimo de R$ 200, durante 6 
meses, numa taxa de juros simples de 6% ao mês? 
Dados encontrados: 
PV= R$ 200 
 
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i = 6 %a.m. 
n = 6 meses 
J = ? 
Conversão da taxa de juros: 
6% → 6/100 → 0,06 
Resolução: 
J = PV x i x n → J = R$ 200 x 0,06 x 6 → J = R$ 72,00 
Explicação do Problema em Juros Simples 
1º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 
de juros) 
2º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 
de juros) 
3º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 
de juros) 
4º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 
de juros) 
5º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 
de juros) 
6º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 
de juros) 
Na soma dos juros durante seis meses temos R$ 72,00 de juros. Com esse 
exemplo, verifica-se que no cálculo de juros simples, os juros são iguais, pois 
ele sempre será acrescentado ao capital inicial. 
Importante 
Os períodos sempre devem estar na mesma unidade de tempo da taxa de 
 
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juros: 
Taxa de Juros = 6% ao mês (a.m.) 
Número de Períodos= 6 meses 
Caso contrário, é preciso ajustar os elementos. Veja: 
Taxa de Juros = 0,06% ao semestre (a.s.) 
Número de Períodos = 3 anos → 8 semestres 
 
Cálculo de Juros Simples em Períodos Não Inteiros 
Existem situações em que o prazo da aplicação é um número não inteiro, 
sendo preciso utilizar frações de períodos para que nãohajam erros no valor 
final. Supondo que o período de aplicação é 5 anos e 9 meses, é sugerido as 
seguintes soluções para transformá-lo de acordo com a taxa de juros: 
1) transformar o período para semestres ou meses: 69 meses ou 11,5 
semestres. 
2) transformar o período e a taxa para a mesma unidade de tempo: 
n = 5 anos e 9 meses → 69 meses 
i = 20% a.s → 20/6 → 3,3 % ao mês 
 Juro Exato 
O juro exato é utilizado quando o período de tempo da aplicação está 
expressa em dias ou quando é considerado o ano civil (365 dias ou 366 dias 
para ano bissexto) para a realização do cálculo. A fórmula a ser utilizada será: 
J = Pv i n / 365 
Saiba Calcular Juro Exato 
1) Qual é o juro exato de um capital de R$ 20.000 aplicado por 40 dias à taxa 
de 30% ao ano? 
 
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Dados encontrados: 
PV= R$ 20.000 
i = 30 %a.a. 
n = 40 dias 
J = ? 
Conversão da taxa de juros: 
30% → 30/100 → 0,3 
Resolução: 
J = Pv i n / 365 → J = R$ 20.000 x 0,3 x 40 / 365 → J = R$ 240.000 / 365 → J = 
R$ 657,53 
 
Juros Compostos 
Regime de Capitalização Composta 
Esse regime é utilizado amplamente pelo sistema financeiro, no dia a dia e em 
diversos cálculos econômicos. Os juros são gerados em cada período e 
acrescentados ao capital principal para o cálculo dos juros no período posterior. 
Nesse regime, diz-se que os juros são capitalizados, pois a cada período o juro 
é adicionado ao capital inicial. Assim, não existe capitalização no regime de 
juros simples, pois apenas o capital inicial rende juros. 
Então a capitalização composta também conhecido por juros sobre juros. 
Para o cálculo do juro composto é utilizado a seguinte fórmula: 
M= C (1+i)ᵑ 
 
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Saiba Calcular Juros Compostos 
1) Qual será o montante de um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa 
taxa de juros composta de 6% ao mês? 
Dados encontrados: 
PV= R$ 200 
i = 6 %a.m. 
N = 6 meses 
M= ? 
Conversão da taxa de juros: 
6% → 6/100 → 0,06 
Resolução: 
M = C (1+i)n → M = R$ 200 (1+ 0,06)⁶ → M = R$ 200 (1,06)⁶ → M = R$ 200 x 
1,41 → M= R$283,70 
A diferença entre o capital inicial e o montante é o Juro Composto. Veja: 
J = C – M → J = R$ 200 – 283,70 → J = R$ 83,70 
Veja a diferença dos juros simples para os juros compostos: 
 Juros Simples Juros Compostos 
Mês Rendimento Montante Rendimento Montante 
1 R$ 200 x 0,06 = R$12,00 R$ 212,00 R$ 200,00 x 0,06 = R$ 12,00 R$ 212,00 
2 R$ 200 x 0,06 = R$12,00 R$ 224,00 R$ 212,00 x 0,06 = R$ 12,72 R$ 224,72 
3 R$ 200 x 0,06 = R$12,00 R$ 236,00 R$ 224,72 x 0,06 = R$13,48 R$ 238,20 
4 R$ 200 x 0,06 = R$12,00 R$ 248,00 R$ 238,20 x 0,06 = R$14,29 R$ 252,49 
5 R$ 200 x 0,06 = R$12,00 R$ 260,00 R$ 252,49 x 0,06 = R$15,14 R$ 267,63 
6 R$ 200 x 0,06 = R$12,00 R$ 272,00 R$ 267,63 x 0,06 = R$16,05 R$ 283,70 
 
 
 
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Rendas em Matemática Financeira 
 
Renda, também conhecida como anuidade, é todo valor utilizado 
sucessivamente para compor um capital ou pagar uma dívida. As rendas são 
um dos principais conceitos que baseiam os financiamentos ou empréstimos. 
Nessas rendas são realizadas uma série de pagamentos (parcelas ou termos) 
para arrecadar um fundo de poupança, pagar dívidas, financiar imóveis, etc. 
No caso da poupança, para acumularmos determinado valor, realizamos vários 
pagamentos que geram um montante ao final, chamado de montante 
equivalente da renda. 
Já no pagamento de uma dívida, os débitos são feitos posteriormente, ou seja, 
as prestações são pagas ao credor com períodos e parcelas determinadas. Um 
exemplo é o pagamento de um aluguel. Esse pagamento de dívidas é chamado 
de amortização. Existem diversos tipos de sistemas de amortização, são 
eles: Sistema de Amortização Francês, Sistema de Amortização 
Constante (SAC), Sistema de Amortização Alemão, etc., sendo que cada um 
têm sua particularidade. 
 
 
 
 
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Dentro da renda, são trabalhados os seguintes conceitos: 
 Número de prestações ou termos de renda: quantidade de pagamentos 
ou recebimentos feitos; 
 Valores dos termos de renda: valor de cada termo da renda; 
 Período de Vencimento: data de vencimento ou pagamento dos termos da 
renda. 
As rendas de acordo com as formas de pagamento podem ser divididas em: 
Rendas Certas 
As rendas certas, também chamadas de séries periódicas uniformes, são 
aquelas em que todos os elementos já estão pré-determinados e podem ser 
classificados de acordo com o tempo, a variação dos elementos, o valor, o 
período do vencimento, etc, que por sua vez podem ser divididas em: 
 Rendas Postecipadas: Rendas em que o pagamento é feito apenas ao 
final de cada período. Ex.: faturas de cartão de crédito, empréstimos e 
financiamentos, etc. 
 Rendas Antecipadas: Rendas em que há a exigência do pagamento ser 
feito no início de cada período. Ex.: financiamentos pagos à vista. 
 Rendas Diferidas: O período de pagamento está num prazo entre o início 
da compra do período de pagamento da primeira parcela. Ex.: Essas séries 
são utilizadas em promoções de “Compre hoje e comece a pagar em tal 
dia.” 
Rendas Aleatórias 
As rendas aleatórias são utilizadas quando alguns de seus elementos não 
podem ser previamente determinados. Ex.: o seguro de vida, com relação ao 
valor do seguro (de acordo com a causa da morte) e a data do recebimento 
(data da morte) que não podem ser determinados durante o fechamento do 
contrato. 
Classificação das rendas 
 
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Como foi dito, as rendas são uma sucessão de pagamentos ou depósitos em 
determinado período e tempo. Mas, ainda de acordo com cada tipo de 
elemento que estiver determinado no contrato, elas podem ser classificadas de 
formas diferentes. Veja: 
Rendas Temporárias: quando os pagamentos possuem um prazo para 
acabar. 
Rendas Perpétuas: quando os pagamentos são infinitos. 
Rendas Fixas ou Uniformes: quando os pagamentos são iguais. 
Rendas Variáveis: quando os pagamentos mudam. 
Rendas Constantes: quando os termos são constantes. Ex.: Prestações. 
Rendas Variáveis: quando as rendas são variáveis. Ex.: Depósitos crescentes 
na poupança. 
Rendas Imediatas: quando o primeiro pagamento é feito no primeiro período 
(mês) da série. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Taxa de Juros 
 
A taxa de juros é representada pela letra "i" e tem uma unidade de tempo 
correspondente para cada resultado. Ela é um índice que determina o valor de 
um capital com base num período. Por exemplo, se em determinado período 
queremos saber a taxa de juros de uma cálculo financeiro devemos utilizar a 
fórmula: 
ap = ao período de tempo ou 
em percentual. 
 
Geralmente, a taxa de juros é acompanhado por uma expressão que significa a 
periodicidade da taxa: 
a.d. = ao dia 
a.t. = ao trimestre 
a.s. = ao semestre 
a.m. = ao mês 
a.q. = ao quadrimestre 
a.a. = ao ano 
Por exemplo, um capital de $ 2.000,00 rende juros de $ 30,00 em dois meses. 
Qual a taxa correspondente? 
i = J/C → 30/2000,00 → 0,015 a.b. (ao bimestre) – forma unitária 
 
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No mercado financeiro existem vários tipos de taxas de juros que irão se 
relacionar ao cálculo financeiro em diferentes situações. 
Taxa de JurosNominal 
É usada quando os juros são acrescentados ao capital mais de uma vez no 
período da taxa de juros. A unidade de tempo é diferente daquela aplicada nos 
períodos de capitalização. Ela é utilizada em operações com juros simples e 
sempre apresentadas em períodos semestrais, anuais, mensais, trimestrais ou 
diários. Como: 
36% a.a. capitalizados trimestralmente; 
10% a.t. capitalizados mensalmente. 
Entende-se por capitalização, o período em que os juros são formados e 
incorporados ao capital inicial. Como não apresenta uma taxa efetiva, não 
deve ser utilizada em cálculos com juros compostos. 
Mas, toda taxa nominal possui uma taxa efetiva 'escondida' de uma taxa 
nominal anual, obtida de forma proporcional através dos juros simples, sendo 
que esse valor será dado pela taxa efetiva. 
Taxa de Juros Efetiva 
Como a taxa nominal não incorpora capitalizações, é preciso realizar o cálculo 
da taxa efetiva quando queremos fazer operações com juros compostos. 
Apenas uma vez em cada período os juros são acrescidos nessa taxa. É uma 
taxa em que sua unidade de tempo é equivalente a unidade dos períodos de 
capitalização. Ex.: 
26% ao ano/ano (vinte e seis por cento ao ano com capitalização anual) 
4% ao mês/mensal (quatro por cento ao mês com capitalização mensal) 
1% ao dia/diária (um por cento ao dia com capitalização diária) 
 
 
 
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Através da taxa nominal é possível encontrar o valor da taxa efetiva através de 
um cálculo de taxa proporcional. Ex.: 
Taxa nominal Taxa efetiva 
24% ao ano/mês →Taxa Proporcional → 2% ao mês/mês 
Taxa de Juros Proporcional (taxa linear) 
Essa taxa é calculada nas operações de multiplicação e divisão dentro dos 
juros simples. Por exemplo: se deseja saber a taxa de juros anual proporcional 
a taxa de 2% ao mês, multiplica-se a taxa por 12, a quantidade de meses 
dentro de uma ano. 
2% x 12 (meses) = 24% ao ano 
Importante: Ao calcular a taxa anual e a taxa diária é preciso saber quando 
utilizar o ano civil ou comercial. No ano civil deve-se dividir a taxa anual por 365 
ou 366 e no ano comercial deve-se dividir por 360. 
Taxas Equivalentes 
As taxas equivalentes são aquelas produzidas em tempos diferentes, mas 
possuem o mesmo capital e no mesmo prazo geram o mesmo montante. Ela é 
calculada em juros compostos e para isso é preciso utilizar a seguinte fórmula: 
1 + ia = (1 + ip)n 
ia = taxa anual 
ip = período da taxa 
n = número de períodos 
 Veja um exemplo sobre taxa de juros proporcional: 
1) Descubra o valor da taxa de juros anual equivalente a 2% ao mês. 
2% → 2/100 → 0,02 Taxa de juros anual = 12 equivalente a 1 ano. 
 
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1 + ia = (1 + ip)n 
1 + ia = (1 + 0,02)12 
1 + ia = 1,02 12 
1 + ia = 1,2682 
ia = 1,2682 – 1 
ia = 0,2682 
ia = 26,82% 
Taxa Over (taxa por um dia) 
Também conhecida como taxa over night, é uma taxa que regula as relações 
econômicas nacionais dentro do mercado financeiro. Esses juros são 
contabilizados apenas nos dias úteis por período geralmente, multiplicado por 
30. Ela é utilizada por instituições financeiras e instituições autorizadas pelo 
Banco Central. 
Exemplo: Em um capital de R$ 100.00.00 aplicado à taxa over de 27%, qual 
será o montante durante um período de 21 dias? 
1) Primeiro, deve-se procurar a taxa efetiva diária da aplicação: 
n x i = x 
30 (dias/mês) x i = 27% 
i = 27% / 30 i = 0,9% 
0,9% representa a taxa efetiva diária 
2) Segundo, deve ser feito o cálculo do montante: 
M = C x (1 + i)n 
M = 100.000 x (1 + 0,0009)²¹ 
 
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M = 100.000 X ( 1, 009 )²¹ 
M = 100.000 X 1,20702 
M = 120.702,0069 
M = 120.702,01 reais 
Taxa de Juros Aparente e Taxa de Juros Real 
A Taxa Aparente é a taxa efetiva de juros em que não são considerados os 
efeitos da inflação dentro de uma operação financeira, ou seja, se a inflação for 
zero, tanto a taxa aparente, quanto a taxa real serão iguais. 
Já a Taxa de Juros Real é determinada desconsidera os efeitos da inflação e 
é correspondente ao período da operação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
BRUNI, Adriano Leal. Matemática Financeira: com HP 12 C e Excel. 2. ed. 
São Paulo: Atlas, 2003. 
MARQUES, Paulo. Matemática Financeira: juros composto. 
http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/juros-compostos.html 
acessado em 18/07/2009 
MATHIAS, Washinton Franco. GOMES, José Maria. Matemática Financeira. 
São Paulo: Atlas, 1982. 
PARENTE, Eduardo Afonso de Medeiros. Matemática Comercial e 
Financeira. São Paulo: FTD, 1996. 
SOUZA, Edison Andrade. Matemática Financeira, Capitalização Composta. 
http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/capitalizacao-
composta.html. Acessado no dia 20/07/2009 
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com utilização do Excel 2000. 
2. ed. São Paulo: Atlas, 2002. 
VERAS, Lília Ladeira. Matemática Financeira: uso de calculadora 
financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1991.