Lista de Exercícios com resolução

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Resistência dos Materiais
Lista de Exercícios
Exemplo 1
Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal 
em C.
Solução:
Diagrama de corpo livre
mN180
9
270
6
== w
w
A intensidade da carga distribuída em C 
é determinada por proporção,
O valor da resultante da carga distribuída é
( )( ) N5406180
2
1 ==F
que age a de C.( ) m263
1 =
Equações de equilíbrio
( )
(Resposta) mN 008.1 
02540 ;0 
(Resposta) 540 
0540 ;0
(Resposta) 0 
0 ;0
−=
=−−=+
=
=−=+
=
=−=→+



C
CC
C
Cy
C
Cx
M
MM
V
VF
N
NF
Aplicando as equações de equilíbrio, temos
Exemplo 3 
Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em B 
do cano. A massa do cano é de 2 kg/m e ele está sujeito a uma força vertical de 
50 N e a um momento de 70 N·m em sua extremidade ao final de A. O tubo está 
preso a uma parede em C.
Diagrama corpo livre
( )( )( )
( )( )( ) N 525,2481,925,12
N 81,981,95,02
==
==
AD
BD
W
W
Calculando o peso de cada segmento do tubo,
Aplicando as seis equações escalares de equilíbrio,
( )
( )
( )
( ) (Resposta) N 3,84 
 050525,2481,9 ;0
(Resposta) 0 ;0
(Resposta) 0 ;0
=
=−−−=
==
==



xB
zBz
yBy
xBx
F
FF
FF
FF
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) (Resposta) 0 ;0
(Resposta) mN8,77 
025,150625,0525,24 ;0
(Resposta) mN3,30 
025,081,95,0525,245,05070 ;0
==
−=
=++=
−=
=−−−+=



zBzB
yB
yByB
xB
xBxB
MM
M
MM
M
MM
Solução:
Exemplo 4 
A barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. 
Determine a tensão normal média máxima na barra quando ela é 
submetida à carga mostrada.
Solução:
Por inspeção, as forças internas axiais são constantes, mas têm valores 
diferentes.
Graficamente, o diagrama da força normal é como mostrado abaixo:
Por inspeção, a maior carga é na região 
BC, onde kN. 30=BCP
Visto que a área da seção transversal da barra
é constante, a maior tensão normal média é
( )
( )( )
(Resposta) MPa 7,85
01,0035,0
1030 3
===
A
PBC
BC
A peça fundida mostrada é feita de aço, cujo peso específico é . 
Determine a tensão de compressão média que age nos pontos A e B.
3
aço kN/m 80=
Exemplo 5 
Solução:
Desenhando um diagrama de corpo livre do segmento superior, a força axial 
interna P nesta seção é
( )( ) ( )
kN 042,8 
02,08,080 
0 ;0
2
aço
=
=−
=−=+ 
P
P
WPFz

A tensão de compreensão média torna-se:
( )
(Resposta) kN/m 0,64
2,0
042,8 2
2
===


A
P
Exemplo 6
O elemento inclinado está submetido a uma força de compressão de 3.000 N. 
Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas 
definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano 
horizontal definido por EDB.
Solução:
As forças de compressão agindo nas áreas de contato são
( )
( ) N 400.20000.3 ;0
N 800.10000.3 ;0
5
4
5
3
==−=+
==−=→+


BCBCy
ABABx
FFF
FFF
A força de cisalhamento agindo no plano horizontal secionado EDB é
N 800.1 ;0 ==→+  VFx
As tensões de compressão médias ao longo dos planos horizontal e vertical do 
elemento inclinado são
( )( )
( )( )
(Resposta) N/mm 20,1
4050
400.2
(Resposta) N/mm 80,1
4025
800.1
2
2
==
==
BC
AB


( )( )
(Resposta) N/mm 60,0
4075
800.1 2
méd ==
A tensão de cisalhamento média que age no plano 
horizontal definido por BD é
Exemplo 7
O braço de controle está submetido ao carregamento mostrado na figura abaixo. 
Determine, com aproximação de 5 mm, o diâmetro exigido para o pino de aço 
em C se a tensão de cisalhamento admissível para o aço for . 
Note na figura que o pino está sujeito a cisalhamento duplo.
MPa 55adm =
Solução:
Para equilíbrio, temos:
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) kN 3002515 ;0
kN 502515 ;0
kN 150125,025075,0152,0 ;0 
5
3
5
4
5
3
==−−=+
==+−−=+→
==−==+



yyy
xxx
ABABC
CCF
CCF
FFM
O pino em C resiste à força resultante em C. Portanto,
( ) ( ) kN 41,30305 22 =−=CF
mm 8,18 
mm 45,246
2
 
m 1045,276
1055
205,15
2
26
3
adm
2
=
=





=

== −
d
d
V
A


O pino está sujeito a cisalhamento duplo, uma força de cisalhamento de 15,205 kN 
age sobre sua área da seção transversal entre o braço e cada orelha de apoio do 
pino.
A área exigida é
Use um pino com um diâmetro d = 20 mm. (Resposta)
Uma chapa é deformada até a forma representada pelas
linhas tracejadas mostradas na figura ao lado. Se, nessa
forma deformada, as retas horizontais na chapa 
permanecerem horizontais e seus comprimentos não
mudarem, determine (a) a deformação normal ao longo
do lado AB e (b) a deformação por cisalhamento média
da chapa em relação aos eixos x e y.
Exemplo 8 
Solução:
Parte (a)
A reta AB, coincidente com o eixo y, torna-se a reta AB’ após a deformação. 
Logo, o comprimento da reta é:
Portanto, a deformação normal média para AB é:
O sinal negativo indica que a deformação causa uma contração de AB.
( ) mm 018,24832250' 22 =+−=AB
( ) ( ) (Resposta) mm/mm 1093,7
250
250018,248' 3
méd
−−=
−
=
−
=
AB
ABAB
AB
Parte (b)
Como observado, o ângulo BAC entre os lados da chapa, em relação aos eixos 
x, y, que antes era 90°, muda para θ’ devido ao deslocamento de B para B’.
Visto que , então é o ângulo mostrado na figura. Assim,'
2
  −=xy xy
(Resposta) rad 0121,0
2250
3
tg 1 =





−
= −xy
O diagrama tensão-deformação para uma liga
de alumínio utilizada na fabricação de peças
de aeronaves é mostrado ao lado. Se um 
corpo de prova desse material for submetido à 
tensão de tração de 600 MPa, determine a 
deformação permanente no corpo de prova
quando a carga é retirada. Calcule também o 
módulo de resiliência antes e depois da 
aplicação da carga.
Exemplo 9 
Uma barra de aço A-36 tem as dimensões mostradas abaixo. Se uma força axial 
P = 80 kN for aplicada à barra, determine a mudança em seu comprimento e a 
mudança nas dimensões da área de sua seção transversal após a aplicação da 
carga. O material comporta-se elasticamente. 
Exemplo 
para o aço A-36, Eaço = 200 GPa
O conjunto é composto por um tubo de alumínio AB com área de seção transversal 
de 400 mm2. Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar 
rígido e que passa pelo tubo. Se uma carga de tração de 80 kN for aplicada à barra, 
determine o deslocamento da extremidade C da barra. (Eaço = 200 GPa, Eal = 70 
GPa )
Exemplo 10 
( ) ( )
( )  ( ) 
→=−=
−
==
−
m 001143,0001143,0
107010400
4,01080
96
3
AE
PL
B
O deslocamento da extremidade B em relação à
extremidade fixa A é
Visto que ambos os deslocamentos são para direita, 
o deslocamento resultante de C em relação à 
extremidade fixa A é, portanto, 
Resposta)(mm 20,4m 0042,0/ →==+= BCCC 
Solução:
Encontre o deslocamento da extremidade C em
relação à extremidade B.
( ) ( )
( ) ( ) 
→+=
+
== m 003056,0
10200005,0
6,01080
9
3
/


AE
PL
BC
A haste de aço tem diâmetro de 5 mm e está presa à 
parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga
de 1 mm entre a parede B’ e a haste. Determine as 
reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força
axial P = 20 kN. Despreze o tamanho do colar em C. 
(Eaço = 200 GPa)
Exemplo 12 
( ) ( ) (2) mN 0,927.38,04,0
001,0/
=−
−==
BA
CBBACA
AB
FF
AE
LF
AE
LF

A condição de compatibilidade para a haste é .m 001,0/ =AB
Usando a relação carga-deslocamento,
As equações1 e 2 nos dá FA = 16,6 kN e 
FB = 3,39 kN. (Resposta)
Solução:
O equilíbrio da haste exige
( ) (1) 01020 ;0 3 =+−−=→+  BAx FFF
Uma barra rígida está presa à parte superior de três postes feitos de aço A-36 e 
alumínio 2014-T6. Cada um dos postes tem comprimento de 250 mm quando não 
há nenhuma carga aplicada à barra e a temperatura é de T1 = 20°C. Determine a 
força suportada por cada poste se a barra for submetida a um carregamento 
distribuído uniformemente de 150 kN/m e a temperatura aumentar até T2 = 80°C.
Exemplo 13
( ) (2) alaço  =+
( ) (1) 010902 ;0 3alaço =−+=+  FFFy
Solução:
Do diagrama de corpo livre nós temos
A parte superior de cada poste sofre o 
mesmo deslocamento. Em consequência,
A posição final da parte superior de cada poste é igual ao deslocamento causado 
pelo aumento da temperatura e a força de compressão axial interna.
( ) ( ) ( ) ( )
FTFT alaçoaçoaço
 +−=+−
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
FT
FT
alalal
açoaçoaço
 
 


+−=+
+−=+
Aplicando a equação 2, temos
Com referência às propriedades dos materiais, temos
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) 
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) 
( ) (3) 109,165216,1 
101,7303,0
25,0
25,020801023
1020002,0
25,0
25,020801012
3
alaço
92
al6
92
aço6
−=
+−−=+−− −−
FF
FF

Resolvendo equações 1 e 3 simultâneamente, (Resposta) kN 123 e kN 4,16 alaço =−= FF
O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão 
de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção a–a do eixo.
Exemplo 14 
Solução:
Pelo diagrama de corpo livre do segmento esquerdo,
( ) mm 1097,475
2
74 ==

J
mmkN 250.10000.3250.4 ;0 ==−−= TTM x
O momento polar de inércia para o eixo é
Visto que A se encontra em ρ = c = 75 mm,
( )( )
(Resposta) MPa 89,1
1097,4
75250.1
7
=

==
J
Tc
B
Da mesma forma, para B, em ρ =15 mm, temos
( )( )
(Resposta) MPa 377,0
1097,4
15250.1
7
=

==
J
Tc
B
Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor M ao qual 
está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma tensão de 
cisalhamento admissível τadm = 100 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo 
com precisão de mm.
Exemplo 15
Solução:
O torque no eixo é
Nm 6,204
60
2175
750.3 =




 
=
=
TT
TP


Assim,
( )( )
( )
mm 92,10
100
000.16,20422
2
3/13/1
adm
adm
4
=





=







=
==



T
c
T
c
c
c
J
Visto que 2c = 21,84 mm, selecione um eixo com diâmetro 22 mm.
Os dois eixos maciços de aço estão interligados por meio das engrenagens. 
Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o 
torque 45 Nm. Considere G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar dentro dos 
mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem diâmetro de 
20 mm.
Exemplo 16
Solução:
Do diagrama de corpo livre,
( ) ( ) Nm 5,22075,0300
N 30015,0/45
==
==
xD
T
F
O ângulo de torção em C é
( )( )
( )( ) ( ) 
rad 0269,0
1080001,02
5,15,22
94
+=
+
==


JG
TLDC
C
Visto que as engrenagens na extremidade estão engrenadas,
( ) ( )( ) rad 0134,0075,00269,015,0 =B
Visto que o ângulo na extremidade A em relação ao extremo B do eixo AB 
causada pelo torque de 45 Nm,
( )( )
( )( ) ( ) 
rad 0716,0
1080010,02
245
94/
+=
+
==


JG
LT ABAB
BA
A rotação da extremidade A é portanto
(Resposta) rad 0850,00716,00134,0/ +=+=+= BABA 
Um tubo quadrado de alumínio tem as mesmas dimensões. Determine a tensão de 
cisalhamento média no tubo no ponto A se ele for submetido a um torque de 85 Nm. 
Calcule também o ângulo de torção devido a esse carregamento.
Considere Gal = 26 GPa.
Exemplo 17 
Solução:
Por inspeção, o torque interno é T = 85 Nm.
( )
( )( )
(Resposta) N/mm 7,1
500.2102
1085
2
2
3
méd ===
mtA
T

Para tensão de cisalhamento média,
22 mm 500.250 ==mAA área sombreada é .
( )( )( )
( ) ( ) 
( ) 
−−=== ds
ds
t
ds
GA
TL
m
14
32
33
2
mm 10196,0
101026500.24
105,11085
4

Para ângulo de torção,
A integral representa o comprimento em torno da linha central do contorno do tubo. 
Assim,
( ) ( )  ( ) (Resposta) rad 1092,350410196,0 34 −− ==
Represente graficamente os diagramas de força cortante 
e momento fletor para a viga dada.
Exemplo 18
Solução:
Um diagrama de corpo livre do segmento esquerdo é mostrado abaixo. A aplicação 
das equações de equilíbrio produz
( ) (4) 
222
 ;0 
(3) 
2
0
2
 ;0
 xL
P
Mx
PL
xPMM
P
VVP
P
Fy
−=−





−+=
−==−−=




==+
==+
(2) 
2
 ;0
(1) 
2
 ;0
x
P
MM
P
VFy
Segmento esquerdo da viga se estende até a distância 
x na região BC.
O diagrama tensão representa as equações 1 e 3 ➔
O diagrama de momento representa as equações 2 e 4 ➔
Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a 
viga mostrada na figura.
Exemplo 19
Solução:
A carga distribuída é substituída por sua força resultante.
L
w
w
L
w
x
w 00 ou ==
( )
( )

=+











+−=+
−==−





−=+
(2) 0
3
1
2
1
23
 ;0
(1)
2
0
2
1
2
 ;0
00
2
0
22000
Mxx
L
xw
x
LwLw
M
 xL
L
w
VVx
L
xwLw
Fy
A intensidade da cargar triangular na seção é determinada por cálculo proporcional:
A resultante do carregamento distribuído é determinada pela área sob o diagrama:
O diagrama de força cortante representa a equação 1 ➔
Momento fletor representa a equação 2 ➔
Represente graficamente os diagramas de força cortante
e momento fletor para a viga.
Exemplo 20
Solução:
A reação no apoio fixo é mostrada no diagrama de corpo livre:
Visto que não existe nenhuma carga distribuída na viga, 
o diagrama de força cortante terá inclinação nula em 
todos os pontos.
Pelo diagrama de força cortante, a inclinação do diagrama de
momento será nula. V = 0.
Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 kNm. Determine a tensão 
normal máxima na viga e a orientação do eixo neutro.
Exemplo 21
Solução:
Ambas as componentes do momento são positivas. Temos
( )
( ) kNm 50,730sen15
kNm 99,1230cos15
==
==
z
y
M
M
Para propriedades da seção, temos
( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
m 0890,0
2,003,004,01,0
2,003,0115,004,01,005,0
=
+
+
==


A
Az
z
Pelo teorema dos eixos paralelos, , os principais momentos da inércia 
são:
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( ) ( ) 4623
23
4633
m 1092,13089,0115,003,02,003,02,0
12
1
 
05,0089,004,01,01,004,0
12
1
m 1053,202,003,0
12
1
04,01,0
12
1
−
−
=





−++






−+=
=+=
y
z
I
I
2AdII +=
A maior tensão de tração ocorre em B e a maior tensão de compressão ocorre em C.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(Resposta) MPa 3,90
1092,13
089,099,12
1053,20
02,05,7
MPa 8,74
1092,13
041,099,12
1053,20
1,05,7
66
66
−=
−
+−=
=+
−
−=
+−=
−−
−−
C
B
y
y
z
z
I
zM
I
yM



y deve representar o eixo para o momento principal de inércia mínimo, e z deve 
representar o eixo para o momento principal de inércia máximo.
( )
( )
=






=
−
−
6,68 
60tg
1092,13
1053,20
tg
6
6


A viga é composta por quatro tábuas coladas. Se for submetida a um 
cisalhamento V = 850 kN, determine o fluxo de cisalhamento em B e C ao qual a 
cola deve resistir.
Exemplo 22
Solução:
( ) 46 m 1052,87 −=I
m 1968,0
~
==


A
Ay
y
O eixo neutro (centroide) será localizado em relação à parte 
inferior da viga,
O momento de inércia calculado em torno do eixo de inércia, é, 
portanto, .
 ( )( ) ( ) 33 m 10271,001,0250,01968,0305,0'' −=−== BBB AyQ
Visto que a cola em B e B’ mantém a tábua da parte superior 
presa à viga,
( )()
( )( )
MN/m 0996,0
1052,87
1001026,0850
'
MN/m 63,2
1052,87
10271,0850
'
6
3
6
3
=


==
=


==
−
−
−
−
I
VQ
q
I
VQ
q
C
C
B
B
(Resposta) MN/m 0498,0 e MN/m 31,1 == CB qq
Da mesma forma, a cola em C e C’ mantém a tábua interna presa à viga, portanto
Temos para BB’ e CC’
 ( )( ) ( ) 33 m 1001026,001,0125,01968,0205,0'' −=−== CCC AyQ
Visto que são usadas duas linhas de junção para prender cada tábua, a cola por 
metro de comprimento de viga em cada linha de junção deve ser forte o bastante 
para resistir à metade de cada valor calculado de q’.
O tanque tem raio interno de 600 mm e uma espessura de 12 mm. Está cheio até
em cima com água cujo peso específico é γágua = 10 kN/m
3. Se o tanque for feito
de aço com peso específico de γaço = 78 kN/m
3, determine o estado de tensão no 
ponto A. A parte superior do tanque é aberta.
Exemplo 23
Solução:
( ) kN 56,31
000.1
600
000.1
612
78
22
açoaçoaço =














−





==  VW
A pressão do tanque no nível A é .( )( ) kPa 10110água === zp 
O peso do tanque é
Para tensão circunferencial e longitudinal, temos
( )
( )
( ) ( )  (Resposta) kPa 9,77
56,3
(Resposta) kPa 500
10
2
000.1
6002
000.1
612
aço
aço
2
000.1
12
000.1
600
1
=
−
==
===



A
W
t
pr
O estado plano de tensão em um ponto da superfície da fuselagem do avião é 
representado no elemento orientado como mostra a figura. Represente o estado de 
tensão no ponto em um elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à 
posição mostrada.
Exemplo 24
Solução:
O elemento é secionado pela reta a–a.
O diagrama de corpo livre do segmento é mostrado.
( ) ( )
( ) ( )
(Resposta) MPa 8,68 
030sen30cos2530cos30sen80 
30cos30cos2530sen30cos50 ;0'
=
=+−
−−=+
x'y'
x'y'y
AA
AAAF


Aplicando as equações de equilíbrio de força nas 
direções x’ e y’,
( ) ( )
( ) ( )
(Resposta) MPa 15,4 
030cos30sen2530sen30sen80 
30sen30cos2530cos30cos50 ;0
'
''
−=
=++
+−=+
x
xx
AA
AAAF


( ) ( )
( ) ( )
(Resposta) MPa 8,68 
030cos30sen5030sen30sen25 
30sen30cos8030cos30cos25- ;0'
=
=+−
++=+
x'y'
x'y'y
AA
AAAF


Repita o procedimento para obter a tensão no plano perpendicular b–b.
( ) ( )
( ) ( )
(Resposta) MPa 8,25 
030sen30sen5030cos30cos25 
30cos30cos8030sen30cos25 ;0
'
''
−=
=−−
+−=+
x
xx
AA
AAAF


O estado de tensão no ponto pode 
ser representado escolhendo um 
elemento orientado.
O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento mostrado na 
figura. Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30º 
no sentido anti-horário em relação à posição mostrada.
Exemplo 25
Solução:
Pela convenção de sinal, temos
Para obter as componentes de tensão no plano CD,
−=−==−= 30 MPa 25 MPa 50 MPa 80  xyyx
(Resposta) MPa 8,682cos2sen
2
(Resposta) MPa 8,252sen2cos
22
''
'
−=+
−
−=
−=+
−
+
+
=






xy
yx
yx
xy
yxyx
x
Para obter os componentes de tensão no plano BC,
−=−==−= 60 MPa 25 MPa 50 MPa 80  xyyx
(Resposta) MPa 8,682cos2sen
2
(Resposta) MPa 15,42sen2cos
22
''
'
=+
−
−=
−=+
−
+
+
=






xy
yx
yx
xy
yxyx
x
Os resultados são motrados na figura abaixo.
Quando a carga de torção T é aplicada à barra, ela produz um estado de tensão 
de cisalhamento puro no material. Determine (a) a tensão de cisalhamento 
máxima no plano e a tensão normal média associada, e (b) as tensões principais.
Exemplo 26
Solução:
Pela convenção de sinal definida .
a) Tensão de cisalhamento máxima é
 −=== xyyx 0 0
(Resposta) 0
2
 
2
méd
2
2
plano no
máx =
+
==+




 −
=
yx
xy
yx 



b) Para tensões principais,
( )
(Resposta) 
22
135,45
2/
2tg
2
2
2,1
12







=+




 −

+
=
==
−
=
xy
yxyx
pp
yx
xy
p
Exemplo 27
Um elemento diferencial de material em um ponto está sujeito a um estado de 
plano de deformação definido por 
que tende a distorcer o elemento como mostra a figura abaixo. Determine a 
deformação por cisalhamento máxima no plano no ponto e a orientação do 
elemento associada.
( ) ( ) ( )666 1080 , 10200 , 10350 −−− ==−= xyyx 
Solução:
Olhando pela orientação do elemento,
Para deformação por cisalhamento máxima no plano
O estado plano de deformação em um ponto é representado pelas 
componentes;
Determine as deformações principais e a orientação do elemento.
( ) ( ) ( )666 10120 , 10150 , 10250 −−− =−== xyyx 
Exemplo 28
Das coordenadas do ponto E, nós temos
Para orientar o elemento, podemos determinar o ângulo em sentido horário 
Solução:
A viga de madeira laminada mostrada na figura (a) suporta uma carga 
distribuída uniforme de 12kNm. Se for necessário que a viga tenha uma 
relação altura/largura de 1,5, determine sua menor largura. A tensão de 
flexão admissível é 9 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é 
0.6 MPa. Despreze o peso da viga.
Exemplo 29
Dos diagramas de força cortante e momento 
fletor,
Aplicando a fórmula de flexão, obtemos
Considerando que a largura é a, e a altura é 
h = 1,5a,
Solução:
Aplicando a fórmula do cisalhamento para seções retangulares, temos
Considerando que o critério do cisalhamento falhou, a viga tem de ser 
calculada novamente com base no cisalhamento.
Esta seção maior também resistirá adequadamente à tensão normal.