EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER2A

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EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E FUNÇÃO DE ONDA 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr 
 
 O estudo da teoria quântica foi desenvolvido a partir de 1925 através de duas formulações 
diferentes e independentes: a formulação de Schrödinger com funções de onda e a formulação 
matricial-operatorial de Heisenberg, Jordan e Dirac. Enquanto a primeira está baseada no uso de 
funções de onda (representativas das propriedades das partículas) e na teoria das ondas piloto de de 
Broglie, a segunda é construída em cima do princípio da incerteza e da formulação matricial para os 
operadores. A primeira é totalmente baseada na equação de Schrödinger e nos conceitos associados 
à função de onda, passando pelo fundamental postulado de Max Born, responsável pela 
interpretação probabilística. Recebeu a denominação de “mecânica ondulatória de Schrödinger”; a 
segunda é totalmente baseada na álgebra dos operadores, suas relações de comutação, 
propriedades operatoriais e matriciais, tendo sido denominada de “mecânica quântica matricial”. 
A história do desenvolvimento da teoria de Schrödinger para a Mecânica Quântica inicia-se 
por volta de 1925, quando Schrödinger entrou em contato com a teoria das ondas de matéria de 
Louis de Broglie1. Schrödinger sentiu-se fortemente atraído pela idéia das ondas de matéria, e 
percebeu que esta nova concepção talvez fosse a chave para o desenvolvimento de uma nova teoria 
para os fenômenos atômicos em que as hipóteses de quantização desempenhassem papel relevante. 
A influência das idéias de de Broglie sobre o trabalho de Schrödinger foi tamanha que hoje se 
discute a razão pela qual houve tamanha receptividade e simpatia por parte de Schrödinger em 
relação à teoria de Broglie enquanto a maioria dos físicos teóricos alemães da época observavam a 
teoria de Broglie com desconfiança2. 
A idéia central de Schrödinger era desenvolver uma teoria para descrever o movimento de 
partículas que fosse baseada no comportamento ondulatório destas partículas. Desta forma, o foco 
de interesse seria as ondas associadas às partículas materiais (ondas de de Broglie), em vez das 
próprias partículas. Para levar este intento adiante, era necessário encontrar uma equação mestra 
que regesse a evolução das ondas de matéria através do espaço, ou seja, era preciso encontrar a 
equação de onda da teoria. O início do desenvolvimento da teoria de Schrödinger consiste 
exatamente na busca por esta equação de onda. 
 
A equação de Schrödinger é a equação-mestra da formulação ondulatória, pois desempenha 
o papel fundamental da equação de onda para as ondas de de Broglie, ou seja, é esta equação que 
governa a evolução das ondas que descrevem o comportamento (ondulatório) do sistema físico em 
questão. Portanto, todas as propriedades de evolução das ondas advêm e estão contidas na própria 
equação de Schrödinger e suas soluções. As soluções desta equação são dadas em termos da 
função de onda, ( , )x tΨ , que assumem forma matemática diferente para cada potencial 
considerado. Tais propriedades da função de onda e da equação de Schrödinger são 
fundamentais para uma boa descrição de um sistema quântico. 
( )V x
 
Em dezembro de 1926, foi publicado um artigo de Schrödinger no Physical Review3, 
contendo os principais resultados obtidos e publicados por Schrödinger no Annalen der Physik ao 
longo de 1926. No início deste artigo, Schrödinger afirma: 
 
“A teoria que é apresentada neste trabalho é baseada nas 
interessantíssimas e fundamentais pesquisas de L. de Broglie sobre aquilo 
que ele próprio denominou de “ondas de fase”, supostas associadas ao 
movimento de pontos materiais, e especialmente com o movimento de 
elétrons ou prótons. O ponto de vista aqui adotado, primeiramente 
publicado em uma série de artigos alemães, é que pontos materiais 
consistem de, ou são, nada mais que ondas. Esta concepção extrema 
pode estar errada, uma vez que ainda não existe a menor evidência de 
 
1 A tese de doutorado de de Broglie, intitulada “Reserches sur la théorie dês quanta” (Pesquisas sobre a teoria 
dos quanta), foi publicada em novembro de 1924, e contém uma exposição coerente e global sobre suas idéias a 
respeito das ondas de matéria que foram publicadas no biênio 1923-1924 em uma série de artigos menores. 
2 Para maiores detalhes sobre esta questão, vide ref. [2]. 
3 E. Schrödinger, “An undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules”, Physical Review 28, 1049 
(1926). 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
1
 
que tais ondas sejam realizadas na natureza como correspondentes a 
partículas pontuais de massa e carga conhecidas. Por outro lado, o 
ponto de vista oposto, que despreza totalmente as ondas de de Broglie, 
tem conduzido a grandes dificuldades para a descrição da mecânica 
do átomo - mesmo após um longo século de desenvolvimento e 
refinamento. Deste modo, além de não parecer uma opção perigosa, a 
presente formulação mostra-se como uma opção desejável... . As 
principais vantagens da presente teoria ondulatória são as seguintes: 
a) As leis do movimento e as condições quânticas são ambas 
deduzidas de um único princípio Hamiltoniano. 
b) A discrepância existente até o momento na teoria quântica 
entre a freqüência de movimento e a frequência de emissão 
desaparece. 
c) A nova teoria parece capaz de explicar em detalhes as 
chamadas transições atômicas, que permanecem um grande 
mistério até este momento. “ 
 
 Por meio desta passagem, percebe-se que no final de 1926 ainda não havia nenhuma 
evidência experimental que a teoria ondulatória proposta por de Broglie fosse realizada na natureza. 
De fato, sabemos que os primeiros experimentos de Davisson & Germer e G.P. Thomson só foram 
realizados a partir de 1927. Por este motivo, Schrödinger não havia como sustentar a sua nova teoria 
em cima de dados observacionais. Contudo, sua teoria tinha o trunfo de ser um novo caminho teórico, 
diferente da conhecida combinação da teoria corpuscular newtoniana com o eletromagnetismo de 
Maxwell, empregada desde o final do século XIX, e principalmente no início do século XX na tentativa 
de descrever a mecânica do átomo (sem sucesso). Em seguida, Schrödinger apresenta três pontos 
em que a sua nova teoria mostrava-se muito superior que as teorias precedentes (velha mecânica 
quântica). Primeiro afirma que na sua teoria as leis do movimento e as regras de quantização são 
ambas obtidas de um mesmo ponto de partida: a sua equação de onda. Segundo, mostra que a sua 
teoria é capaz de explicar a emissão de radiação em freqüência diferente da freqüência de oscilação 
do sistema, ponto contraditório para a teoria de Maxwell, e sem explicação consistente na velha 
mecânica quântica. Por fim, sua teoria parecia capaz de descrever as transições atômicas. Baseado 
nestas evidências, Schrödinger levou adiante sua teoria, realizando aplicações de sua nova equação 
ao átomo de hidrogênio e ao oscilador harmônico. 
A equação de Schrödinger foi desenvolvida por meio de uma analogia entre a óptica 
geométrica e a mecânica analítica, desenvolvida por Hamilton, com a qual Schrödinger tinha grande 
intimidade. 
Nesta seção, estudaremos a formulação de Schrödinger para a mecânica quântica, passando 
pelas propriedades das funções de ondas que satisfazem a equação de Schrödinger, ( , )x tΨ , e 
desta própria equação. Nosso ponto de partida é a equação de Schrödinger unidimensional (escrita 
em termos de apenas uma variável): 
 
 (1) 
 
2 2
2
( , ) ( , )( ) ( , ) ,
2
x t xV x x t ih
m t
t
x
∂ Ψ ∂Ψ
− + Ψ =
∂∂
 
 
 
onde ( , )x tΨ é a função de onda representativa das propriedades do sistema físico em questão. Esta 
equação foi obtida pela primeira vez em 1925 por Erwin Schrödinger, quando buscava desenvolver 
uma equação de onda para as ondas-piloto de de Broglie. Esta é uma equaçãonão-relativística, 
compatível com a relação de energia newtoniana: 2 / 2 ( )E p m V x⎡ ⎤= +⎣ ⎦ . É importantíssimo ressaltar 
que Schrödinger buscava, em 1925, uma equação de onda para as ondas piloto de de Broglie que 
fosse relativística4, ou seja, fosse compatível com a relação de energia 
2 2
0 ( ) ( )E m c pc V x⎡= + +⎣
⎤
⎦
 
. A razão era que, além da teoria de de Broglie ser de natureza 
 
4 Para maiores detalhes sobre o processo de gênese da equação de Schrödinger, vide Ref. [ 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
2
 
relativística, Schrödinger estava interessado em obter uma equação cuja solução, quando aplicada ao 
átomo de hidrogênio, fornecesse uma explicação para estrutura fina. Sabia-se, desde 1916, com o 
advento do modelo de Sommerfeld, que tal fenômeno estava relacionado com correções atômicas 
relativísticas. A despeito de suas inúmeras tentativas, Schrödinger não conseguiu obter uma equação 
de onda relativística que fosse consistente com a explicação da estrutura fina do espectro atômico. 
Por este motivo, ele abandonou sua intenção original de obter uma equação relativística, partindo 
então para a dedução de uma equação de onda de natureza não relativística. Foi assim que chegou à 
forma de sua famosa equação, que domina o cenário da Mecânica Quântica não-relativística. 
Na teoria de Schrödinger, a função de onda tem caráter complexo e contém toda informação 
sobre o sistema que é acessível, ou seja, tudo aquilo que pode ser conhecido sobre o sistema. 
Importante destacar que, na teoria quântica, ao contrário da mecânica clássica, nem tudo pode ser 
conhecido. Isto é um reflexo do caráter probabilístico desta teoria, que permite obter apenas 
probabilidades e não certezas. Este aspecto fundamental da teoria foi formulado por Max Born, que é 
reconhecido como o pai da interpretação probabilística da Mecânica Quântica de Schrödinger. 
Na verdade, a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial de segunda ordem, 
similar a equações diferenciais que surgem em problemas de difusão. A solução desta equação pode 
ser obtida por métodos matemáticos. 
 
 
Interpretação Probabilística e a Conservação da Probabilidade 
 
Sendo a função de onda uma entidade complexa, surge a questão de como a mesma pode 
representar um sistema físico real. Na verdade, a grande questão que se coloca é como relacionar tal 
função com grandezas físicas que podem ser mensuradas em experimentos. Tudo que é medido em 
aparatos experimentais tem caráter real, sendo as respectivas magnitudes representadas por 
números reais. Certamente, se a função de onda é um elemento representativo de um sistema físico, 
a mesma deve conter informações sobre o mesmo, o que passa invariavelmente por atribuir valores 
(reais) a grandezas físicas. Como fazer esta ponte entre uma entidade complexa e grandezas físicas 
reais foi uma questão de primeira grandeza resolvida por Max Born em 1926, através do seguinte 
postulado: 
“Seja ( , )x tΨ a função de onda representativa do comportamento de uma determinada 
partícula, a probabilidade desta partícula ser encontrada no intervalo [ , ]x x dx+ no instante t é dada 
por: 
2( , )dP x t dx= Ψ , onde 2( , )x tρ = Ψ é conhecida como a densidade de probabilidade.” 
 
Se é uma função complexa, ela admite um complexo conjugado: . Ao 
associar o módulo quadrático da função de onda a uma densidade de probabilidade, 
),( txΨ ),(* txΨ
2 *( , ) ( , ) ( , ) ( , ),x t x t x t xρ = Ψ = Ψ Ψ t o postulo de Born não apenas resolve a questão da conexão 
da natureza complexa da função de onda com o mundo real, mas principalmente estabelece o caráter 
probabilístico da Mecânica Quântica de Schrödinger. Com o advento do postulado de Max Born, 
a mecânica quântica de Schrödinger assume um caráter probabilístico permanente. De fato, como 
será possível observar ao longo dos desenvolvimentos futuros, tudo que esta teoria nos permite 
conhecer são probabilidades. As previsões que esta teoria fornece sobre sistemas físicos nada mais 
são que números (reais) que representam probabilidades de tais sistemas encontrarem-se em 
determinados estados físicos. Neste sentido, o caráter determinístico da mecânica newtoniana é 
perdido, e a física do mundo atômico passa a ser caracterizada pela incerteza (não há mais como 
determinar com certeza absoluta o comportamento ou estado físico do sistema). O melhor que a 
mecânica quântica pode fazer é calcular a probabilidade do sistema estar num estado a ou b. O 
postulado de Born está para a versão de Schrödinger da mecânica quântica assim como o princípio 
da incerteza está para a versão matricial da mecânica quântica. 
 
 Uma decorrência imediata do postulado de Born é a condição de integrabilidade da função de 
onda, também conhecida como condição de normalização. Se ( , )x tΨ representa uma partícula 
localizada ao longo do eixo-x, a probabilidade desta partícula ser encontrada sobre o eixo-x tem que 
ser igual a 1. Esta afirmação leva inequivocamente a: 
 
 
 
∞
2( , ) 1x t dx
−∞
Ψ =∫ 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
3
 
 (2) 
 
 
Esta expressão estabelece que a soma das probabilidades de encontrar a partícula ao longo dos 
diversos pontos do eixo-x é 1. A lógica é simples: se a partícula existe sobre este eixo, a mesma deve 
ser encontrada sobre o mesmo. Deve-se observar que a condição de integrabilidade, dada pela eq. 
(2), pode ser igualmente satisfeita por: 
2( , )x t dx N
∞
−∞
Ψ∫ = , (3) 
sendo N um número real (finito). Neste caso, a eq. (2) pode ser facilmente recuperada normalizando-
se a função de onda, o que consiste em multiplicá-la por 1/ N . A função de onda normalizada tem 
então a forma: 
1( , ) ( , )x t
N
′Ψ = Ψ x t . Toda e qualquer função de onda ),( txΨ que satisfaça as 
eqs. (2) ou (3) são chamadas de “funções de quadrado integrável”. Esta é a característica 
essencial que toda função de onda que descreva um sistema quântico deve apresentar. Somente as 
funções de quadrado integrável são úteis para fazer a descrição de um sistema quântico qualquer. 
 Uma outra observação relevante acerca o postulado de Born é sobre a escolha do módulo 
quadrático da função de onda como a densidade de probabilidade do sistema. A questão é que esta 
não seria a única escolha possível para a densidade de probabilidade. Outras opções seriam 
possíveis, tais como, o módulo da função de onda, ( , )x tΨ , ou o módulo quártico da função de 
onda, 
4( , )x tΨ . Tais opções também garantem a obtenção de um valor real a partir da função 
complexa, o que resolve o problema de extrair valores reais de uma função de onda complexa. 
Existe, no entanto, uma demonstração de que a escolha de 
2( , )x tΨ como densidade de 
probabilidade é a única opção correta. Para isto, devemos obter uma equação de continuidade para a 
densidade de probabilidade, partindo da equação de Schrödinger. Para tanto, tomamos inicialmente o 
complexo-conjugada da eq. (1): 
 
2 2 * *
*
2
( , ) ( , )( ) ( , ) ,
2
x t xV x x t ih
m t
t
x
∂ Ψ ∂Ψ
− + Ψ = −
∂∂
 (4) 
 
Multiplicando a eq. (4) por , e a eq. (1) por ),( txΨ * ( , )x tΨ , encontramos: 
 
 
2 2 * *
*
2
( , ) ( , )( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )
2
x t xx t x t V x x t ih x t
m t
t
x
∂ Ψ ∂Ψ
− Ψ + Ψ Ψ = − Ψ
∂∂
,(5) 
 
2 2
* * *
2
( , ) ( , )( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) .
2
x t xx t x t V x x t ih x t
m t
t
x
∂ Ψ ∂Ψ
− Ψ + Ψ Ψ = Ψ
∂∂
 (6) 
 
Subtraindo agora a eq. (6) da eq. (5), temos: 
 
2 2 * 2 *
* *
2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )
2
x t x t x tx t x t ih x t x t
m tx x
⎡ ⎤ ⎡∂ Ψ ∂ Ψ ∂Ψ ∂Ψ
− Ψ −Ψ = − Ψ +Ψ⎢ ⎥ ⎢ ∂ ∂∂ ∂⎣ ⎦ ⎣
x t
t
⎤
⎥
⎦
 (7) 
Observando as seguintes relações, 
, 
* 2 2
* *
2 2x x x
*
x x
⎛ ⎞∂ ∂Ψ ∂Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ
Ψ −Ψ = Ψ −Ψ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
 , 
podemos reescrever a eq. (7) como: 
 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
4
 
2 *
* *( )
2
i
t m x x x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂Ψ ∂Ψ
Ψ Ψ + Ψ −Ψ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
0 , 
*
* *( )
2t i m x x x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂Ψ ∂Ψ
Ψ Ψ + Ψ −Ψ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
0 . 
Esta equação assume a forma de uma equação de continuidade5, 
 
 (8) ( , ) ( , ) 0x t j x t
dt x
ρ∂ ∂ , + = 
∂ 
 
quando são feitas as seguintes identificações: 
 *( , ) ( , ) ( , )x t x t xρ = Ψ Ψ t , 
*
*( , )
2
j x t i
m x x
⎛ ⎞∂Ψ ∂Ψ
= − Ψ −Ψ⎜ ∂ ∂⎝ ⎠
⎟ . (9) 
Aqui, ( , )j x t é a densidade de corrente de probabilidade, que descreve a mobilidade da 
probabilidade, ou seja, como a probabilidade se desloca ao longo do eixo-x. A probabilidade cresce 
na direção em que a corrente ( , )j x t aponta. A corrente é um elemento que leva ou retira 
probabilidade de alguma região do espaço. Fazendo uma analogia com a descrição corpuscular, 
podemos afirmar que a probabilidade se desloca acompanhando o movimento da partícula, de modo 
que a corrente de probabilidade deve apontar na direção do movimento da partícula cuja evolução 
está sendo descrita pela equação de Schrödinger. 
 A expressão (8) representa a equação de continuidade para a probabilidade, que estabelece 
a conservação da probabilidade num sistema quântico. Mas precisamente, esta equação 
estabelece a conservação da probabilidade numa determinada região do espaço6. É interessante 
observar que, quando a eq. (8) é integrada em todo espaço, obtém-se que a probabilidade total deve 
ser constante. Vejamos: 
 
 
( , ) ( , ) 0x t dx j x t dx
t x
ρ∞ ∞
−∞ −∞
∂ ∂
+ =
∂ ∂∫ ∫ ⇒ ( , ) ( , ) 0x t dx j x tt ρ
∞
∞
−∞
−∞
∂
+ =
∂ ∫ . 
Lembrando-se que a probabilidade total do sistema é dada por , temos: ( , )P x tρ
∞
−∞
= ∫ dx
( , )P j x t
t
∞
−∞
∂
= −
∂
 ⇒ 
*
*
2
P i
t m x x
∞
−∞
⎛ ⎞∂ ∂Ψ ∂Ψ
= − Ψ −Ψ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
. 
Sendo uma função de quadrado integrável, a mesma deve se anular no infinito, ou seja, 
. Deste modo, obtemos: 
),( txΨ
( , ) 0j t±∞ =
 
 
5 A equação de continuidade faz-se presente em sist as físicos compostos por fluidos que exibem propriedades 
conservadas, sendo conhecida pelos alunos do curso de Física II, onde tal equação aparece pela primeira vez 
para estabelecer a conservação da massa de um fluido em um determinado volume V. Neste caso, 
em
( , )P x t dx cteρ
∞
= =∫ . 
−∞
ρ designa a 
densidade de massa, enquanto j representa a densidade de corrente de fluido. Tal equação volta a ser vista no 
curso de Física III, desta vez estabelecendo o conceito fundamental da conservação da carga elétrica dentro de 
um volume V. Neste caso, ρ designa a densidade volumétrica de carga, enquanto j uρ= representa a 
densidade de corrente elétrica. A equação de continuidade no contexto da Mecânica Quântica desempenha o 
mesmo papel que executa no contexto da fluidodinâmica e do eletromagnetismo: estabelecer e assegurar a 
conservação de uma grandeza física, que neste caso é a probabilidade. Esta equação aparece também no 
contexto das Teorias de Campos, onde estabelece a conservação de quantidades associadas com os campos. 
Vemos assim que esta é uma equação que surge em diversos sistemas físicos de interesse. 
6 Esta região é um segmento de reta no caso de um sistema unidimensional, uma área S no caso de um sistema 
bidimensional, e um volume V no caso de um sistema tridimensional. 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
5
 
 
 (10) 
 
 
Vemos assim que a probabilidade total, P, é constante no tempo. Interessante também é o caso em 
que os extremos de integração são finitos e delimitam um intervalo específico do espaço (eixo-x), 
. A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo [ , vale: [ , ]a b ]a b
( , ) ( , )
b
a
P a b x t dxρ= ∫ . 
Integrando a equação de continuidade entre os extremos , temos: e a b
 ( , ) ( , ) 0,
b b
aa
x t dx j x t
t
ρ∂ + =
∂ ∫ ⇒ ( , ) ( , ) ( , ) 0
b
a
x t dx j b t j a t
t
ρ∂ + − =
∂ ∫ . (11)
 
 
 (12) 
 
A eq. (12) mostra que, quando a probabilidade aumenta no tempo, então existe uma 
corrente líquida (diferença entre a corrente de probabilidade que entra e sai) entrando no intervalo 
, ou seja, 
( , )P a b
[ , ]a b ( , ) ( , )j a t j b t> . Por outro lado, quando a probabilidade diminui no tempo, 
então 
( , )P a b
( , ) ( , )j a t j b t< , de modo que há uma corrente líquida de probabilidade saindo do intervalo 
. Em resumo: se há variação temporal da probabilidade de encontrar a partícula num certo 
intervalo do eixo-x, é porque há um fluxo líquido de probabilidade saindo ou entrando nesta região. 
Se a probabilidade é constante, é porque o fluxo líquido de probabilidade para fora ou para dentro da 
região é nulo (a mesma quantidade de corrente que entra também sai). 
[ , ]a b
( , ) ( , ) ( , )P a b j a t j b t
t
∂
= −
∂
, 
 
Quando a equação de Schrödinger está definida em três dimensões, também é possível obter 
uma equação de continuidade para de sidade probabilidade. Nesta situação, obviamente, a 
densidade de corrente será um vetor, 
n
j , dependente de ( , , )r x y z= , em termos do qual a 
equação será expressa. A função de onda agora está definida em todo espaço, ou seja: . O 
ponto de partida é a equação de Schrödinger em 3 dimensões, escrita em termos de : 
( , )r tΨ
( , )r tΨ
 
2 2 2 2
2 2 2
( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
2
x y z ti x y z t V x y z t x y z t
t m x y z
⎛ ⎞∂Ψ ∂ ∂ ∂
= − + + Ψ + Ψ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
, (13) 
 
ou ainda: 
2
2( , ) ( , ) ( ) ( , )
2
r ti r t
t m
∂Ψ
= − ∇ Ψ + Ψ
∂
V r r t . (14) 
 
A versão conjugada-complexa desta equação é: 
 
 
* 2
2 * *( , ) ( , ) ( ) ( , )
2
r ti r t V
t m
∂Ψ
− = − ∇ Ψ + Ψ
∂
r r t . (15) 
 
 Neste caso, a densidade de probabilidade continua definida na forma: 
),(),(),(),( *2 trtrtrtr ΨΨ=Ψ=ρ , cuja derivada temporal é dada por: 
 
t
trtrtr
t
tr
t
tr
∂
Ψ∂
Ψ+Ψ
∂
Ψ∂
=
∂
∂ ),(),(),(),(),(
*
*ρ . (16) 
Substituindo na expressão (16) as derivadas temporais da função de onda e sua versão conjugada, 
extraídas das eqs. (14), (15), obtemos: 
 
 
*
2 * 2( , ) ( ) ( , ) )( , ) ,
2 2
r t V r r t Vr t
t mi i mi i
ρ ⎛ ⎞∂ Ψ⎛ ⎞= − ∇ Ψ + Ψ + Ψ + ∇ Ψ −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
* Ψ (17) 
Reagrupando os termos e simplificando, 
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propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
6( )
*
2 * 2 * ( )( )
2
V r
t mi hi
ρ ΨΨ∂
= − ∇Ψ Ψ −Ψ∇ Ψ +
∂
*( )V r
hi
Ψ Ψ
−
 
 
 
, 
 
resulta: 
 ( * 2 2 *2t mi
ρ∂
= − Ψ ∇ Ψ − Ψ∇ Ψ
∂
) . (18) 
 
Fazendo uso da seguinte identidade vetorial, ( ) ( ) f f fϕ ϕ ϕ∇ = ∇ + ∇i i i , calculamos: 
( ) ( ) ( )* * * * 2∇ Ψ ∇Ψ −Ψ∇Ψ = ∇Ψ ∇Ψ + Ψ ∇ Ψi i ( ) ( )* 2 2− ∇Ψ ∇Ψ − Ψ∇ Ψi
( )* * * 2 2 *,∇ Ψ ∇Ψ −Ψ∇Ψ = Ψ ∇ Ψ −Ψ∇ Ψi
 
 
Com isto, a eq. (18) é reescrita na forma: 
 ( * * 02t mi
ρ∂
+ ∇ Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ =
∂
i ) . (19) 
Definindo a densidade de corrente vetorial, j , na forma: 
 
 
 (20) ( )j r * *( , ) 2t mi= Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ , 
 
percebemos que a eq. (19) recai na forma da equação da continuidade generalizada: 
 
 
 (21) 
( , ) ( , ) 0t r t j r tρ∂ +∇ =i 
 
Devemos agora nos ater no significado da equação da continuidade. Para tanto, tomamos a sua 
integral no espaço dentro de um volume V: 
 3 3( , ) 0
V V
d r j r t d r
t
ρ∂
+ ∇ =
∂∫ ∫ i . 
Sabendo que 3( , )
V
P r t d rρ= ∫ é a probabilidade de encontrar a partícula regida pela equação de 
Schrödinger dentro do volume V e, usando o teorema integral de Gauss, escrevemos: 
 ( , ) 0
S
P j r t dS
t
∂
+ =
∂ ∫ i , (22) 
onde a integral de superfície está definida sobre a superfície S que delimita o volume V. Tal integral 
designa justamente o fluxo da corrente de probabilidade por tal superfície. A eq. (20) estabelece que 
a variação temporal da probabilidade P dentro do volume V é igual a menos a integral do fluxo de 
corrente pela superfície S, ou seja: ( , )t SP j r t dS∂ = −∫ i
>
. Se tal fluxo é positivo (corrente de 
probabilidade saindo pela superfície7), então temos redução da probabilidade ( ∂ ) dentro do 
volume V. Por outro lado, se fluxo é negativo (corrente de probabilidade entrando pela superfície), 
então temos aumento da probabilidade (
0t P
0t P∂ < ) dentro do volume V. Se tal fluxo é nulo (quantidade 
igual de corrente entrando e saindo pela superfície), então a probabilidade é constante, ∂ . 0t P =
 
 
 
7 Observe que o fluxo é positivo quando a corrente j é paralela ou forma um ângulo agudo com o versor normal 
 à superfície S. Portanto, quando n̂ ( , ) 0
S
j r t dS >∫ i , tem-se mais corrente saindo que entrando na superfície. 
Observe ainda que, mesmo quando a integral por toda superfície é positiva, ( , ) 0
S
j r t dS >∫ i , é possível ter 
 em alguns pontos da superfície. Obviamente, estes são pontos onde a corrente entra no volume 
V. Mas o fluxo total positivo, é compatível com o cenário em que entra mais corrente do que sai da superfície S. 
( , ) 0j r t dS <i
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
7
 
 
 
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER PARA PARTÍCULA LIVRE E PRESCRIÇÃO 
OPERATORIAL: 
 
 A equação de Schrödinger descreve o comportamento quântico de uma partícula nas mais 
diversas situações. Cada situação é particularizada pela adoção de um potencial de interação (V) 
diferente. No fundo, o potencial de interação é que diferencia a solução da equação regente: para 
cada potencial, corresponde uma solução e uma “física” diferente. De todas as soluções possíveis 
para a equação de Schrödinger, a mais simples e de fácil obtenção corresponde a de uma partícula 
livre, dada quando o potencial de interação é nulo (V=0). Consideremos então a equação de 
Schrödinger unidimensional para partícula livre: 
 
2 2
22
i
t m x
∂Ψ ∂
= −
∂
Ψ
∂
. (21) 
Iniciamos propondo uma solução do tipo: ( , ) ( ) i tx t x e ω−Ψ = Ψ , que ao ser substituída na eq. (21), 
conduz a: 
 
22
2
( )( )( )
2
xi x i
m x
ω ∂ ΨΨ − = −
∂
. (22) 
Rearranjando os termos: 
2
2
2
( ) ( ) 0x k x
x
∂ Ψ
+ Ψ =
∂
, onde foi usado 2 2
2mEk = e E ω= . Esta é a 
equação de um oscilador harmônico simples, cuja solução é: 0( )
ikxx eΨ =Ψ . Compondo então a 
solução geral, ( , ) ( ) i tx t x e ω−Ψ = Ψ , temos: 
 
 
 (23) 
t
 
( )
0( , ) .
i kx tx t e ω−Ψ Ψ =
 
Esta função de onda representa uma onda plana que se propaga pelo espaço de acordo com o vetor 
de onda . Portanto, uma partícula livre é representada por uma onda plana no espaço. Aplicando o 
operador à solução de onda plana, resulta: 
k
/i ∂ ∂
 
( , ) ( , )( ) ( , ) ( , )x t x ti i . (24) i x t i E x t
t t
ω∂Ψ ∂Ψ= − Ψ ⇒ = Ψ
∂ ∂
x
Portanto, vale a seguinte representação diferencial para a energia (E): 
 
 
 (25) .E i
t
∂
=
∂
 
 
 
Desta forma, a energia passa a ser vista como um operador (diferencial) que atua sobre as funções 
de onda de Schrödinger. Da mesma forma, aplicando o operador diferencial /i− ∂ ∂ sobre a função 
de onda plana, temos: 
 
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )i x t i ik x t k x t p x t
x
∂
− Ψ = − Ψ = Ψ = Ψ
∂
, 
 ( , ) ( , )i x t p x
x
∂
− Ψ = Ψ
∂
t , (26) 
onde p k= é o momento linear da partícula, aqui visto como um autovalor do operador P (momento 
linear). Portanto, vale a representação: 
 
 (27) .P i x
∂ =
∂
 
 
Na verdade, as eqs. (24,26) representam equações de autovalor, também lidas na forma: 
 
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propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
8
 
 
( , ) ( ) ( , ),
( , ) ( , ).
E x t x t
P x t p x t
ωΨ = Ψ
Ψ = Ψ
 (28) 
Neste caso, E e P são operadores que atuam sobre a função de onda, enquanto ω e p k= são 
os correspondentes autovalores. As eqs. (25,27) constituem o que se chama de prescrição 
operatorial, a regra simples que permite escrever tais grandezas como operadores diferenciais 
[ , t xE i P i→ ∂ → − ∂ ]. Tal prescrição faz-se importante no estudo de todos os sistemas onde a 
mecânica quântica seja relevante. Da mesma forma que se define o operador momento no eixo – x 
se define também suas outras componentes: , y zp i p iy z
∂ ∂
= − = −
∂ ∂
. Deste modo, o vetor 
momento pode ser escrito como: 
ˆˆ ˆp i i j k
x y z
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
= − + +⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
⎟
 
2
, (29) 
ou seja, 
 
 . (30) 
 
No caso tridimensional o momento quadrático tem a forma: 
 
 2 2 p p p= = − ∇i . 
 
 É também possível escrever uma forma diferencial para o operador posição, x , que fornece 
a posição da partículano espaço. Este operador, como de hábito, irá atuar sobre uma função de onda 
escrita em termos do momento p, ( , )p tΨ seguindo a seguinte prescrição x i
p
∂
→ −
∂
. Em geral, a 
função ( , )p tΨ é definida como a transformada de Fourier da função ( , )x tΨ . Para fins ilustrativos, 
podemos aplicá-lo sobre a função de onda plana, dada pela eq. (23). Temos assim: 
( )( )
0 0( , ) [ ] [ ] ( , ) ( , ),
pi x ti px t xx x t i e i e i i x t x x t
p p
ωω −−∂ ∂Ψ = − Ψ = − Ψ = − Ψ = Ψ
∂ ∂
 
 
sendo esta última também uma equação de autovalores. Portanto, vale a seguinte prescrição 
operatorial: 
 
 
 (31) 
 
 
Usando-se a prescrição operatorial, podemos obter a equação de Schrödinger rapidamente a 
partir da relação de energia não-relativística: 2 / 2 ( )E p m V x⎡ ⎤= +⎣ ⎦ , que ao ser aplicada sobre a 
função de onda, ( , )x tΨ , estabelece a seguinte relação de autovalores: 
2
( , ) ( ) ( )
2
pE x t V x x
m
⎡ ⎤
Ψ = + Ψ⎢ ⎥
⎣ ⎦
. (32) 
Observando-se que 2 2 2/ , / 2E i t p x= ∂ ∂ = − ∂ ∂ , a equação de autovalores acima assume a 
forma: 
 
2 2
2( , ) ( ) ( )2
i x t V x
t m x
⎡ ⎤∂ ∂
Ψ = − + Ψ⎢∂ ∂⎣ ⎦
x⎥
2
, (33) 
que exatamente a equação de Schrödinger unidimensional. No caso de um sistema tridimensional, 
vale: , o que leva a: 2 2 p = − ∇
.x i
p
∂
= −
∂
 
p i= − ∇ 
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propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
9
 
2
2( , ) ( ) ( , )
2
i r t V r r
t m
⎡ ⎤∂
Ψ = − ∇ + Ψ⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦
t , (34) 
que é a equação de Schrödinger escrita no espaço. 
SOLUÇÕES ESTACIONÁRIAS DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER 
 
 A equação de Schrödinger apresenta clara dependência temporal, o que implica em soluções 
dependentes do tempo. No entanto, existem soluções independentes do tempo, denominadas 
soluções estacionárias, que possuem energia constante. Tais soluções são conhecidas como 
autofunções, enquanto as energias correspondentes, são os autovalores associados, denominadas 
de auto-energias. Em geral, para cada autofunção há uma auto-energia correspondente, como um 
problema geral de autovalores. Neste sentido, a equação de Schrödinger deve ser vista como uma 
equação de autovalores. 
 Para obter a equação de Schrödinger estacionária, é necessário separar a dependência 
temporal da função de onda da dependência espacial. Neste sentido, devemos propor uma 
separação de variáveis: 
 ( , ) ( ) ( )r t r tψ ϕΨ = . (35) 
 
Substituindo esta proposta na equação de Schrödinger, resulta: 
 
 
2
2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
i r t t r V r r t
t m
ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ∂ = − ∇ +
∂
. (36) 
 
Dividindo esta equação por ( ) ( )r tψ ϕ , obtemos: 
 
2
21( ) ( ) ( )
( ) 2 ( )
i t
t t m r
ϕ ψ
ϕ ψ
∂
= − ∇ +
∂
r V r . (37) 
 
Esta última equação diferencial já está separada: o lado esquerdo depende de ( )tϕ e t, enquanto o 
lado direito envolve apenas ( )rψ e a coordenada r . Como ( )tϕ e ( )rψ são funções 
independentes, a única forma de haver uma solução para a eq. (25) é igualando os dois lados a uma 
mesma constante. Fazendo isto, temos: 
 ( )
( )
i t C
t t
ϕ
ϕ
∂
=
∂
, (38) 
 
2
21 ( ) ( )
2 ( )
r V r C
m r
ψ
ψ
− ∇ + = . (39) 
 
Solucionando inicialmente a eq. (26), escrevemos: 
( )
( )
d t Ci dt
t
ϕ
ϕ
= − , cuja integração leva a: 
 
0
ln ( ) t Ct iϕ = − t , ou seja: 0( )
Ci t
t eϕ ϕ
−
= . (40) 
Com este resultado, a função de onda assume a forma: ( , ) ( )
Ci t
r t A r eψ
−
Ψ = , sendo A uma 
constante de normalização que incorpora a constante 0ϕ presente na solução (28). Aplicando o 
operador energia sobre a função /E i t= ∂ ∂ ( , )r tΨ , temos: 
0 0( ) ( )
C Ci t i tCi r e i i r e
t
ψ ϕ ψ ϕ
− −∂ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦
, 
0 0 [ ( ) ] [ ( ) ]
C Ci t i t
E r e C r eψ ϕ ψ ϕ
− −
= . 
 
Vemos assim que a constante C é igual à energia: C E= (autovalor do operador energia). Com isto, 
a eq. (27) pode ser reescrita como: 
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propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
10
 
 
2
2 ( ) ( ) ( ) ( )
2
r V r r E r
m
ψ ψ− ∇ + = ψ . (41) 
 
Esta é a equação de Schrödinger estacionária, que depende apenas das coordenadas espaciais, e 
tem auto-energia igual a E. A solução desta equação só pode ser determinada quando o potencial 
 é conhecido. A resolução da equação de Schrödinger estacionária consiste num problema de 
equação diferencial com condição de contorno. Da solução desta equação, são obtidos os 
autovalores de energia associados com cada autofunção, e as próprias autofunções. 
( )V r
 
 
Valor Esperado (Valor Médio) - “Expectation value” 
 
Dado que a mecânica quântica é uma teoria científica, deve ser capaz de fazer previsões 
potencialmente falseáveis acerca dos sistemas a que se aplica. Tendo em vista o caráter 
probabilístico da Mecânica Quântica, esta teoria não é capaz fazer previsões precisas acerca do 
estado (posição, momento, energia, etc...) de uma partícula ou sistema quântico. Não há certezas de 
ocorrências, há apenas possibilidades de ocorrências, que são expressas em forma de números que 
refletem probabilidades. 
Em teorias probabilísticas, o valor médio ou valor esperado é uma grandeza que representa o 
comportamento médio do sistema. É possível calcular o chamado valor esperado ou valor médio 
destas grandezas se é conhecido a distribuição de probabilidade do sistema em todo espaço 
amostral. Na verdade, o cálculo destes valores esperados é de fundamental importância em qualquer 
teoria estatística, pois constituem um dos dados mais relevantes que tais teorias podem fornecer. 
Podemos ilustrar o procedimento de cálculo da média de uma grandeza B sobre um sistema 
discreto de N elementos, distribuídos em estados diferentes. Em cada um destes estados, a 
grandeza 
m
B assume um valor específico. Uma análise estatística revela que no j-ésimo estado, 
concentram-se jn elementos e a grandeza assume valor jB . A soma dos elementos sobre todos os 
 estados vale N, ou seja, n
1
m
j
j
N n
=
=∑ . O valor médio da grandeza B é obtido fazendo-se uma 
média ponderada do valor da grandeza B pelo número de elementos em cada dos estados 
(sobre todos os estados do sistema), ou seja: 
n
1 1
1
 
m m
j j j
j j
j
j
jB n B
B
n N
= =
=
= =
∑ ∑
∑
n
. (42) 
Podemos observar que a probabilidade de encontrar um dos N elementos no i-ésimo estado é 
. Portanto, o valor médio /i iP n N= B da Eq. (42) é dado por 
i
i
i i
n
i iB B N
= =∑ ∑B P , (43) 
que é o produto da probabilidade da ocorrência do estado pelo valor da grandeza sobre este estado, 
somado sobre todo o sistema. Este método de cálculo de valores médios é valido para sistemas 
discretos em que a distribuição de probabilidade é também discreta. 
 No caso em que o sistema sob análise é contínuo, a distribuição de probabilidade e a 
grandeza B passam a ser funções contínuas de alguma variável x do sistema, ou seja,e ( )P x
( )B x . Nesta situação, o valor médio (“expectation value”) da grandeza B é então dado por uma 
integral sobre todo o sistema: 
 
( ) ( )B B x P x dx= ∫ . (44) 
 
Sendo a distribuição de probabilidade do sistema, deve valer a seguinte relação de 
normalização: . 
( )P x
( ) 1P x dx
+∞
−∞
=∫
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propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
11
 
No contexto da Mecânica Quântica de Schrödinger, todas as informações físicas relevantes 
estão contidas na função de onda que representa o estado do sistema. Um estado físico é 
caracterizado por grandezas tal como posição, momento, energia. Uma questão de primeira 
grandeza é saber como extrair da função de onda os valores correspondentes destas grandezas. A 
resposta a esta questão é dada por meio dos valores médios de grandezas físicas ou operadores, 
também calculados pela Eq. (44). Neste caso, a distribuição de probabilidade é dada pela 
densidade de probabilidade, 2 *( , ) ( , ) ( , ) ( , )r t r t r t r tρ = Ψ = Ψ Ψ , de modo que o valor médio de um 
operador calculado sobre o estado quântico representado pela função de onda O ( , )x tΨ é dado 
por, * ( , ) ( , )O O x t x t dx= Ψ Ψ∫ , sendo mais convenientemente escrito como: 
* ( , ) ( , )O x t O x t= Ψ Ψ∫ dx . (45) 
A razão pela qual o operador O é colocado exatamente entre as funções será 
justificada mais adiante. O cálculo destes valores esperados é de fundamental importância, pois este 
é o tipo de dado que a teoria da Mecânica Quântica pode fornecer sobre um determinado sistema 
físico para ser confrontado com observações experimentais. Como exemplos, podemos escrever o 
valor esperado de posição, momento, e energia: 
* ,Ψ Ψ
* ( , ) ( , )x x t x x t dx
+∞
−∞
= Ψ Ψ∫ , (46) 
* ( , ) ( , )p x t p x t d= Ψ Ψ∫ x ou * ( , ) ( , )x t i x t dxx
∂⎛ ⎞= Ψ − Ψ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫p , (47) 
* ( , ) ( , )E x t E x t dx= Ψ Ψ∫ ou * ( , ) ( , )E x t i x t dxt
∂⎛ ⎞= Ψ Ψ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ . (48) 
As quantidades x , p , E refletem os valores médios da posição, momento, e energia da partícula 
descrita pela função ( , )x tΨ no instante t. É ilustrativo observar que a expressão (48) pode ser 
prontamente confirmada partindo-se da equação de Schrödinger e da prescrição operatorial. De fato, 
sabendo-se que , escrevemos: 2 / 2 ( )E p m V x⎡= +⎣ ⎤⎦
* 2( , ) / 2 ( ) ( , )E x t p m V x x t dx⎡ ⎤= Ψ + Ψ⎣ ⎦∫ . 
Lembrando-se que p i
x
∂
= −
∂
, e a equação de Schrödinger (dependente do tempo), temos: 
* 2 *
( , )
1( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )
2
t
x
ï x t
E x t V x x t dx x t i x t dx
m t
∂ Ψ
∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Ψ − ∂ + Ψ = Ψ Ψ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ , 
onde usamos a notação compacta 2 2 2/x x∂ = ∂ ∂ , /t t∂ = ∂ ∂ . 
 Em geral, no caso de uma função f que depende de x, p, t, o seu valor médio é escrito na 
forma: 
 
*( , , ) ( , ) ( , , ) ( , )f x p t x t f x i t x t dx
x
∂
= Ψ − Ψ
∂∫ , 
onde foi a aplicada à prescrição operatorial sobre o momento p. No caso, x é mantida como variável 
de integração. 
 Em uma teoria estatística, sabemos que o valor médio de uma dada grandeza B não é uma 
informação auto-suficiente para descrever o valor da grandeza B sobre todo o sistema. Há 
sistemas em que o valor da grandeza B sobre os seus vários estados pode ser bem diferente do 
valor médio. Nesta situação, o valor médio B não é uma boa representação dos valores da 
grandeza B sobre todo sistema. Há casos, entretanto, em que os valores da grandeza B sobre os 
vários estados do sistema são bastante próximos do valor médio. Nesta segunda situação, o valor 
médio B constitui uma boa representação dos valores de B sobre todo sistema. Na teoria estatística, 
estas duas situações são diferenciadas pelo chamado desvio quadrático médio ou desvio padrão 
da grandeza B, dado por: 
 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
12
 
2 2 2 2 ( ) 2 2 2B B B B BB B B BB BΔ = − = − + = − + , 
2 2 B B BΔ = − , 
onde 2 * 2( , ) ( , )B x t B x t dx
+∞
−∞
= Ψ Ψ∫ , ( )22 * ( , ) ( , )B x t B x t dx+∞−∞= Ψ Ψ∫ . 
 
Esta grandeza reflete o quão próximo ou o quão distante os valores da grandeza B , sobre os vários 
estados do sistema, estão em relação ao valor médio B . Na situação em o valor médio é uma boa 
representação dos valores da grandeza em todos os estados do sistema, o desvio quadrático médio 
é pequeno, na situação oposta, o desvio quadrático médio é grande. 
 O desvio padrão da posição é dada por: 
 
2 2 x x xΔ = − , 
ou 
( )2* 2 * 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )x x t x x t dx x t x x t dx+∞ +∞−∞ −∞Δ = Ψ Ψ − Ψ Ψ∫ ∫ . 
 
Podemos também apresentar a derivada temporal total do valor médio de um operador: 
*
* * ( , ) ( , ) ( , )d BB x t B B dx x t x t dx
dt t t t
⎛ ⎞∂Ψ ∂Ψ ∂⎛ ⎞= Ψ + Ψ + Ψ Ψ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ ∫ . 
No caso em que o operador B não depende explicitamente do tempo, esta expressão reduz-
se a: 
*
* ( , )d B x t B B dx
dt t t
⎛ ⎞∂Ψ ∂Ψ
= Ψ +Ψ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∫ . 
 
 
“TEOREMA DE EHRENFEST” E O PRINCÍPIO DA CORRESPONDÊNCIA (Limite clássico da 
mecânica quântica) 
 
O teorema de Ehrenfest consiste em demonstrar que um pacote de onda evolui de acordo 
com as equações de Newton escritas para x , p , os valores médios da posição e do momento de 
da partícula representada por tal pacote. Portanto, devem valer as seguintes equações: 
 
dp m x
dt
= , (E1) 
 
dp V
dt x
∂
= −
∂
, (E2) 
 Podemos começar demonstrando a eq. (E1). Lembrando que *( , ) ( , )x x t x x t dx= Ψ Ψ∫ e, 
sabendo que na mecânica quântica o operador posição x não apresenta dependência temporal, 
temos: 
 
*
* *( , ) ( , )dp m x t x x t dx m x x
dt t t
⎛ ⎞∂Ψ ∂Ψ
= Ψ Ψ = Ψ +Ψ⎜
∂ ∂⎝ ⎠
∫ ∫ dx⎟ . (E3) 
 
Da equação de Schrödinger, advém: 
 
 
2 2
2
1 ; 
2
V
t i m x
⎛ ⎞∂Ψ ∂ Ψ
= − + Ψ⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
* 2 2 *
*
2
1 
2
V
t i m x
⎛ ⎞∂Ψ ∂ Ψ
= + −⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
Ψ . (E4) 
Substituindo estas derivadas temporais na equação ( ), resulta: 
2 2 *
*
2 2
mp x V x
i m x
∂ Ψ
= Ψ − Ψ Ψ
∂
2 2
* *
2 2
x xV
m x
∂ Ψ
− Ψ + Ψ Ψ
∂
dx
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ , 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
13
 
 
2 * 2
*
22 2
p x x
i x x
⎛ ⎞∂ Ψ ∂ Ψ
= Ψ −Ψ⎜
∂ ∂⎝ ⎠
∫ dx⎟ , (E5) 
 
Uma boa estratégia para resolver a eq. (E3) consiste em reescrever o integrando em termos 
de derivadas primeiras, dadas pelas eqs. (E4). Para isso, fazemos: 
 
* 2 * * *
*
2x x x xx x x x x xx
⎛ ⎞∂ ∂Ψ ∂Ψ ∂ Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ
Ψ −Ψ = Ψ + Ψ +⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂⎝ ⎠
*
x
x x
∂Ψ ∂Ψ
−
∂ ∂
2
* *
2xx x
⎛ ⎞∂Ψ ∂ Ψ
−Ψ −Ψ⎜ ⎟
⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
 
 
* 2 * 2 *
* *
2 2x x x x
*
x x x xx x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂Ψ ∂Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂Ψ
Ψ −Ψ = Ψ −Ψ + Ψ −Ψ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x
∂Ψ
. (E6) 
 
Considerando que: 
 ( )
*
* * 2 *
x x x x
∂Ψ ∂Ψ ∂
Ψ −Ψ = Ψ Ψ − Ψ
∂ ∂ ∂
∂Ψ
∂
, (E7) 
 
temos: 
 ( )
2 * 2 *
* * *
2 2 2x x x x
*
x x x xx x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ Ψ ∂ Ψ ∂ ∂Ψ ∂Ψ ∂ ∂Ψ⎛ ⎞Ψ −Ψ = Ψ −Ψ − Ψ Ψ − Ψ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟x∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂
. (E8) 
 
Tendo reescrito o integrando da eq. (E5) como acima, temos: 
 ( )
*
* * *2
2
p x x
i x x x x x
∞
−∞
dx
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂Ψ ∂Ψ ∂ ∂Ψ⎛ ⎞= Ψ −Ψ − Ψ Ψ − − Ψ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ . (E9) 
Integrandoo primeiro termo do integrando, implica: 
 ( ) ( )
*
* * * *2
2 2
p x x
i x x i x x
∞
∞
−∞
−∞
⎛ ⎞∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂ dx⎡ ⎤= Ψ −Ψ + Ψ Ψ + Ψ − Ψ Ψ⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎝ ⎠
∫ . (E10) 
Dado que a função de onda e suas derivadas devem ser nulas no infinito de modo a assegurar a 
integrabilidade do sistema (a função deve ser de quadrado integrável), decorre: 
 *2
2
p
i x
+∞
−∞
∂Ψ⎛ ⎞= Ψ⎜ ∂⎝ ⎠∫ dx⎟ , (E11) 
 *p
i x
+∞
−∞
∂⎛ ⎞= Ψ Ψ⎜ ∂⎝ ⎠∫ dx⎟ . (E12) 
 
Esta última expressão vem confirmar a prescrição operatorial para o operador momento, dada pela 
eq. (27). Este resultado também vem justificar o fato do valor médio de um operador ser dado tal qual 
na Eq. (45), onde o operador aparece justamente entre as funções * eΨ Ψ , e não em outra 
posição. 
Para demonstrar a eq. (E2), usamos a notação operatorial, /p i x= − ∂ ∂ , e escrevemos o 
valor médio do momento como: * * xp p dx i= Ψ Ψ = Ψ − ∂ Ψ∫ ∫ dx , cuja derivada temporal é: 
 
* 2
*d p d dx dx dx
dt dt i x i t x x t
⎛ ⎞∂ ∂Ψ ∂Ψ ∂⎛ ⎞= Ψ Ψ = + Ψ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫ *
Ψ
⎟∂
. (E13) 
 Da equação de Schrödinger, obtemos as derivadas temporais da função de onda: 
 
 
* 2 2 * 2 2
*
2 2
1 1 , 
2 2
V V
t i m t i mx x
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛∂Ψ ∂ Ψ ∂Ψ ∂ Ψ
= − − + Ψ = − + Ψ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦
⎞
⎟
⎠
. (E14) 
 
 Substituindo estas derivadas na eq. (E2), resulta: 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
14
 
2 2 * 2 2
* *
2 2
1 ,
2 2
d p V V
dt i i m x x x mx x
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂ ∂ Ψ
= − − + Ψ −Ψ − + Ψ⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ dx 
 
2 2 *
*
2 2
d p V
dt m x xx
∂ Ψ ∂Ψ ∂Ψ
= − + Ψ
∂ ∂∂
2 2
* * *
22
V V
m x x xx
∂ ∂ Ψ ∂ ∂Ψ
+ Ψ −Ψ Ψ − Ψ
∂ ∂ ∂∂
,dx
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ (E15) 
Simplificando e reagrupando termos, temos: 
 
2 2 2 *
* *
2 2 , 2
d Vp d
dt m x x xx x
⎧ ⎫⎛ ⎞∂ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂Ψ ∂⎪ ⎪= Ψ − −Ψ Ψ⎨ ⎜ ⎟ ⎬∂ ∂ ∂∂ ∂⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
∫ x (E16) 
 
Podemos mostrar que 
2 2 * 2 *
* *
2 2 2x x x x xx x x
⎡ ⎤∂ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂Ψ ∂ ∂ Ψ ∂Ψ ∂Ψ
Ψ − = Ψ −⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
, pois: 
 
2 * * 2
*
2 2x x x xx x
⎡ ⎤∂ ∂ Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂ Ψ
Ψ − =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎣ ⎦
3 2 * * 2
*
3 2 x x 2x x x
∂ Ψ ∂ Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂ Ψ
+Ψ − −
∂ ∂∂ ∂ ∂
. (E17) 
Com isto, a integral (E5) é reescrita na forma: 
 
2 2 *
* *
2 , 2
d Vp d
dt m x x x x x
⎧ ⎫⎡ ⎤∂ ∂ Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂⎪ ⎪= Ψ − −Ψ Ψ⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
∫ x (E18) 
que conduz a: 
2 2 *
*
22
d Vp d
dt m x x x x
∞
−∞
⎡ ⎤∂ Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂⎧ ⎫= Ψ − − Ψ Ψ⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭⎣ ⎦
∫ * x . (E19) 
 
Dado que a função de onda e suas derivadas são nulas no infinito, resulta simplesmente: 
 * , d Vp dx
dt x
∂⎧ ⎫= − Ψ Ψ⎨ ⎬
∂⎩ ⎭∫ (E20) 
que é o resultado abaixo: 
 
d p V
dt x
∂
= −
∂
. (E21) 
 
Limite Clássico da Mecânica Quântica 
 
As equações acima encerram o conteúdo matemático do teorema de Ehrenfest, que firma 
que a evolução temporal de um pacote de onda é completamente explicável pelas equações de 
evolução de uma partícula Newtoniana quando as dimensões do pacote de onda (que representa a 
partícula) e, portanto, as incertezas do sistema, podem ser desprezadas perante os valores médios 
do momento e da posição, ou seja: , p p x xΔ Δ , de modo que vale: 
, x x p p . 
Nestas situações, a partícula evolui tendo seu momento médio e posição média regida pelas leis de 
Newton. Este teorema está relacionado ao princípio da correspondência, pois evidencia que, nas 
situações em que as dimensões do pacote (as incertezas na posição e momento) podem ser 
desprezadas e, conseqüentemente, o princípio da incerteza deixa de ser significativo, o sistema 
passa a ser regido pelas leis da Mecânica Clássica. De acordo com o princípio da correspondência, 
sabemos que a relevância do princípio da incerteza constitui um elemento essencial na definição do 
regime de validade dos domínios quântico e clássico. 
 
 
COMUTADORES DE OPERADORES
 
Em Mecânica Quântica, é muito comum se falar do comutador entre dois operadores, 
principalmente no âmbito da formulação matricial de Heisenberg. Entretanto, este conceito revela-se 
importante no estudo de toda teoria quântica. Define-se o comutador de dois operadores A e B 
como: 
 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
15
 
[ ] BAABBA −=, . 
 
Quando [ ],A B = 0 , dizemos que os operadores e A B comutam. Entretanto existem operadores 
que não comutam, ou seja, cujo comutador seja diferente de zero: [ ],A B 0≠ . Para demonstrar isto, 
lançamos mão da representação diferencial. Para calcular o comutador dos operadores posição e 
momento, aplicamo-lo sobre a função de onda: 
 
[ ] ( ), ( , ) ( , ) ( ) ( )p x x t px xp x t i x x i i x
x x x
∂ ∂ ∂Ψ
Ψ = − Ψ = − Ψ − − Ψ = − Ψ +
∂ ∂ ∂
x
x
∂Ψ
−
∂
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
, 
[ ], ( , ) ( ,p x x t i x tΨ = − Ψ ) . 
 
Lendo esta última expressão como uma equação de autovalores, resulta: 
 
[ ] ixp −=, 
 
Dado que [ ] [ ], ,A B B= − A , então vale: [ ],x p i= . 
 
Podemos usar os comutadores para demonstrar a relação 
dp m x
dt
= . Considerando o operador 
Hamiltoniano: )(
2
2
xV
m
pH += , a equação de Schrödinger e sua forma complexo-conjugada 
assumem a forma: 
t
iH
∂
Ψ∂
=Ψ , 
t
iH
∂
Ψ∂
−=Ψ
*
* . 
 
( )
*
* * * *1 1 ( )d x x x dx H x xH dx xH Hx d
dt t t i i
⎛ ⎞< > ∂Ψ ∂Ψ
= Ψ +Ψ = − Ψ Ψ +Ψ Ψ = Ψ −⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ xΨ 
[ ]*1 ,dx x H dx
dt i
= Ψ Ψ∫ . 
 
Para finalizar, devemos calcular o comutador [ ],x H , dado por: 
 
[ ] [ ]
2 2
, , ( ) , , (
2 2
p p )x H x V x x x V x
m m
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
. 
 
Temos que o comutador [ ], ( ) 0x V x = , pois [ ],x x 0= . Ocorre que, como potencial pode ser 
expandido como uma série de potências em x: 
( )V x
( ) nn
n
V x a x=∑ , o comutador [ ], ( )x V x recai em 
. Como , decorre que , nn
n
a x x⎡⎣∑ ⎤⎦ 0, nx x⎡ ⎤ =⎣ ⎦ [ ], ( ) 0x V x = . No caso do primeiro comutador, 
temos: 
( )
2
2 2 2
[ , ] [ , ]
1 1 1, , ( ) ( )
2 2 2 2
x p i p x i
px x p xp p x xp px p p px xp
m m m m
= =−
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤= = − = − − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, 
o que leva a: 
 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
16
 
2 1, (2 )
2 2
p px i p i
m m m
⎡ ⎤
= =⎢ ⎥
⎣ ⎦
, 
* *1 1dx pi dx p d
dt i m m
= Ψ Ψ = Ψ Ψ∫ ∫ x , 
 
*1dx p dx
dt m
= Ψ Ψ∫ . 
 
Resultado este que demonstra o pretendido. 
PROPRIEDADES GERAIS DAS FUNÇÕES DE ONDA 
No âmbito da formulação de Schrödinger, a função de onda é o elemento que encerra todas as 
informações sobre o sistema físico por ela representado. Portanto, convém descrever as 
propriedades da função de onda. No caso do potencial ser uma função apenas da posição, 
, sabemos que a função de onda do sistema admite a seguinte forma: ( )V V x=
( ) ( ) /iEtx eψ −,x tΨ = . Nesta situação, solucionar o problema implica em encontrar a solução para 
( )xΨ , que obedece a equação de Schrödinger estacionária: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2) xm x− ∂ +( 2 V x x E xψ ψ ψ= . A função de onda ( )xψ , para constituir uma solução 
ACEITÁVEL da equação de Schrödinger deve satisfazer as seguintes propriedades: 
(1) ( )xψ deve ser de quadrado integrável, 
(2) ( )xψ e 
( )
x
x
∂
∂ψ
devem ser FINITAS, CONTÍNUASE DIFERENCIÁVEIS. 
A condição (1) é importante para assegurar a interpretação probabilística, garantida em termos de 
funções de onda NORMALIZÁVEIS, ou seja, aquelas para as quais vale: . 
Estas são as funções DE QUADRADO INTEGRÁVEL, condição matemática que nos permite 
normalizar a anterior a 1, ou seja, , o que assegura a implementação da 
interpretação probabilística da mecânica quântica. 
( ) ( )∫
∞
∞−
∞<dxxxψψ *
( ) ( )∫
∞
∞−
=1* dxxxψψ
A condição (2) é fundamental para que densidade de probabilidade, ( , )x tρ , e a densidade de 
corrente, ( , )j x t , sejam bem definidas, ou seja, finitas e diferenciáveis, em todo o espaço. Esta 
exigência física assegura que a partícula possa ser encontrada, a priori, em qualquer ponto do 
espaço. A condição (2) também é importante para assegurar que a derivada segunda da função de 
onda ( )2 2/ xψ∂ ∂ , que compõe a própria equação de Schrödinger, não sofra descontinuidade e 
também seja finita ao longo de todo espaço. Esta condição também assegura a continuidade da 
densidade de corrente ( , )j x t , que envolve derivadas primeiras da função de onda. 
PROPRIEDADES MATEMÁTICAS DAS FUNÇÕES DE ONDA 
(a) Toda função de onda, ( )i xψ , que satisfaz a equação de Schrödinger independente do 
tempo, possui autovalores de energia, iE obtidos através da solução da equação de 
Schrödinger. A função ( )i xψ satisfaz uma equação de autovalores: 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
17
 
i iH E iψ ψ= , (S1) 
na qual 2 / 2 ( )H p m V x⎡= +⎣ ⎤⎦ é o chamado operador Hamiltoniano. Usando a prescrição operatorial, 
vemos facilmente que 
2 2
2 ( )2
H
m x
∂
= − +
∂
V x , de modo que a equação de autovalores (S1) 
corresponde exatamente à equação de Schrödinger escrita para ( )i xψ . 
(b) O conjunto de todas as funções de onda, ( ){ }i xψ , que satisfazem a equação de 
Schrödinger, constitui o que se denomina de CONJUNTO COMPLETO DE AUTOFUNÇÕES 
do sistema: 
{ } 1 2 3 4( ) { ( ), ( ), ( ), ( ),...}i x x x x xψ ψ ψ ψ ψ= . (S2) 
A cada ( )i xψ está associado a solução particular completa da equação de Schrödinger, 
dada por: ( ) ( ) /, iiE ti ix t x eψ −Ψ = ; portanto, o conjunto completo das soluções está agora 
dado na forma: 
( ) ( ) ( ) ( ){ }31 2 / // /1 2 3, , ,..., niE t iEiE t iE t ne x e x e x eψ ψ ψ ψ− −− − x
)
. (S3) 
(c) Se cada é uma SOLUÇÃO PARTICULAR da equação de Schrödinger, então 
qualquer COMBINAÇÃO LINEAR destas soluções é também solução desta equação. Esta é 
uma conseqüência da LINEARIDADE da equação de Schrödinger. A solução mais geral 
possível será uma combinação linear de todas as soluções particulares 
( txi ,Ψ
( ),i x tψ , sendo 
dada por: 
( ) (∑
∞
=
=Ψ
1
,,
n
nnT txatx ψ )
)
, (S4) 
onde são coeficientes complexos na ( Can /∈ . É fácil perceber que ( ),T x tΨ é solução da equação 
de Schrödinger, o que pode ser verificado por simples inspeção: 
( ) ( ) (
2
2 , ( ) , ,
2 T T
)Tx t V x x t i x tm t
∂
− ∇ Ψ + Ψ = Ψ
∂
, (S5) 
( ) ( ) ( )
2
2 , ( ) , ,
2 T T T
x t V x x t i x t
m t
∂
− ∇ Ψ + Ψ − Ψ = 0
∂
, (S6) 
( ) ( ) ( )
2
2
1
, ( ) ,
2n n n nn
a x t V x x t i
m t
∞
=
⎡ ⎤∂
− ∇ Ψ + Ψ − Ψ =⎢ ⎥∂⎣ ⎦
∑ 0x . (S7) 
 
Esta última expressão é uma identidade, uma vez que o que aparece entre colchetes é a própria 
equação de Schrödinger para cada uma das soluções particulares, ( , )n x tψ , que é nula para 
qualquer valor de n. Deste modo, a igualdade (S5) é satisfeita. 
 
 A expressão (S4) pode ser escrita explicitamente na forma: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , , ... ,T n nx t a x t a x t a x t a x tψ ψ ψ ψΨ = + + + + , (S8) 
 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
18
 
onde cada coeficiente representa o peso da função particular na ( , )n x tψ na função total do sistema. 
Tais coeficientes, como será elucidado mais adiante, estão conectados com probabilidades. O 
coeficiente revela a probabilidade de encontrar a partícula no estado particular na ( , )n x tψ , que é 
dada por 2na . 
 
(d) A densidade de probabilidade associada à função de onda total ( ),T x tΨ é dependente do 
tempo. 
Partindo de e , podemos escrever a 
densidade de probabilidade total do sistema na forma: 
( ) (∑
=
−=Ψ
1
/,
i
i
tiE
iT xeatx i ψ ) )( ) (∑
=
+=Ψ
1
*/** ,
j
j
tiE
j xeatx jT ψ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) /* * * * *
1
, , i j
n n n
i E E t
T T i i i i j i j i
i j i j
x t x t a a x x a a x x eψ ψ ψ ψ − −
= ≠
Ψ Ψ = +∑ ∑ ∑ , (S9) 
A dependência no tempo vem exatamente dos termos para os quais ji ≠ , que ostentam uma fase 
igual a . ( ) /i ji E E te− −
 No caso da partícula se encontrar num estado PARTICULAR bem definido, a função total 
apresenta apenas 1 termo, correspondente à função de onda da partícula neste estado particular. 
Neste caso, a densidade probabilidade fica constante. Como exemplo, considere o caso da partícula 
estar no estado ( )xjψ , para o qual vale: ( ) (/, jiE tT )jx t e xψ−Ψ = , o que implica em: 
2/ /* * *( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j jiE t iE tT T j j j j jx t x t e e x x x x xψ ψ ψ ψ ψ
−Ψ Ψ = = = . (S10) 
 
Neste caso, a densidade de probabilidade não depende do tempo em que a medida é efetuada; a 
partícula é então dita ocupar um ESTADO ESTACIONÁRIO, também denominado de AUTO-
ESTADO, que por definição possui ENERGIA CONSTANTE igual ao autovalor jE . Observe que um 
auto-estado representado pela autofunção correspondente tem suas propriedades mensuráveis 
independentes do tempo. 
 
(e) A função de onda TOTAL, ( )txT ,Ψ , também deve ser de QUADRADO INTEGRÁVEL ou 
NORMALIZÁVEL, para satisfazer a interpretação probabilística. Deste modo, deve valer: 
* ( , ) ( , ) 1T Tx t x t dx
∞
−∞
Ψ Ψ =∫ . O resultado do produto ( ) ( )* ,T T ,x t xΨ Ψ t é conhecido da eq. 
(S9), que agora deve ser integrado em dx, de modo a obter-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 ( ) /* *
1 ( )
, , i j
n n n
i E E t
T T i i j i j i
i i i j
*x t x t dx a x dx a a e x xψ ψ
∞ ∞ ∞
− −
= ≠−∞ −∞ −∞
Ψ Ψ = +∑ ∑∑∫ ∫ ∫ dxψ , 
Usando-se agora a relação de normalização para ( )i xψ , ( )
2
1i x dxψ
∞
−∞
=∫ , escrevemos: 
( ) ( )2 ( ) /* *
1
1i j
n n n
i E E t
i j i j i
i i j i
a a a e x x dψ ψ
∞
− −
= ≠ −∞
+ =∑ ∑∑ ∫ x . (S9) 
Para finalizar este cálculo, é necessário calcular a integral , que corresponde às 
chamadas relações de ORTONORMALIZAÇÃO, que implicam em: 
( ) ( )∫
∞
∞−
dxxx ij ψψ
*
( ) ( ) ijij dxxx δψψ =∫
∞
∞−
* , (S10) 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
19
 
onde ijδ é o delta de Kronecker: 
1, para 
0, para ij
i j
i j
δ
=⎧
= ⎨ ≠⎩
. Considerando este último resultado, a Eq. (S9) é 
lida na forma: 
2 ( ) /*
1 ,
1i ji E E ti j i ij
i i j
i j
a a a e δ− −
=
≠
+ =∑ ∑ . 
O segundo somatório desta expressão se anula, uma vez que está definido para . Deste modo, 
obtemos: 
i j≠
2
1
1i
i
a
∞
=
=∑ , (S11) 
22 2
1 2 3 ... 1Na a a a
2+ + + + = . (S12) 
 
A relação (S11) estabelece e assegura a normalização da função de onda total de um sistema, 
, dada como uma superposição quântica de estados, tal qual a expressão (S8). A Eq. (S12) 
representa uma soma de probabilidades, em que cada um dos termos representa uma probabilidadeda partícula encontrar-se no estado 
( txT ,Ψ )
( )i xψ correspondente. Obviamente, a soma das probabilidades 
de encontrar a partícula nos diversos estados representados pelos diversos ( )i xψ é igual a unidade, 
como seria se esperar. Dentro da visão de que cada coeficiente fornece a probabilidade ia
2
ia de 
encontrar a partícula no estado ( )i xψ , observamos que a partícula terá maior probabilidade de ser 
encontrada no estado ( )j xψ cujo coeficiente possui maior módulo dentro todos os outros. Vemos 
assim que a função de onda total é dada como uma superposição (mistura) dos vários estados 
particulares 
ja
( )j xψ , tendo a partícula uma certa probabilidade de estar em cada um destes estados. 
Antes do procedimento de medida que determina a localização da partícula, costuma-se dizer que a 
partícula está dispersa sobre a superposição de estados do sistema, sendo impossível afirmar em 
qual dos estados ela se encontra. Todo e qualquer procedimento de medida gera uma perturbação 
sobre o sistema, uma vez que para medir ou observar é necessário interagir com o objeto observado. 
Esta tal interação ou influência leva a partícula a se localizar em um dos n estados ( )j xψ acessíveis. 
Este estado particular é aquele em que a partícula aparece quando é medida. Este processo de 
passagem de uma configuração em que a partícula está dispersa em n estados para uma 
configuração em que a partícula está em um estado particular conhecido, é denominado de colapso 
da função de onda, que tem gerado grandes discussões físicas e filosóficas na comunidade 
acadêmica. 
 
 
(f) DEMONSTRAÇÃO DA PROPRIEDADE DE ORTONOMALIDADE: . ( ) ( ) ijij dxxx δψψ =∫
∞
∞−
*
 Sejam ( ) ( )xex iΨΨ duas autofunções que satisfazem a equação de Schrödinger 
independente do tempo: 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2j j j j j j j
H E x V x x E
m x
ψ ψ ψ ψ ψ∂= ⇒ − + =
∂
x , (S13) 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2i i i i i i i
H E x V x x E x
m x
ψ ψ ψ ψ ψ∂= ⇒ − + =
∂
. (S14) 
 
Multiplicando a Eq. (S13) por ( )*i xΨ , obtemos: 
 ( )
2 2
* *
22 i j i j j i
x V E
m x
*
jψ ψ ψ ψ ψ
− ∂
+ =
∂
ψ . (S15) 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
20
 
 
Multiplicando o complexo-conjugada da eq. (S14) por ( )j xψ , obtemos: 
 ( ) ( )
2 2
* *
22 j i j i i
x x V E
m x
*
j iψ ψ ψ ψ ψ
− ∂
+ =
∂
ψ . (S16) 
 
Subtraindo as Eqs. (S15) e (S16), temos: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
* * * *
2 2
2 2 2
* *
2 2
,
2
.
2
i j j i i j j i j i i j
i j j i j i i j
x V E E
m x x
d d
*
*x x x x E E x x
m dx dx
ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
⎡ ⎤− ∂ ∂
− + − = −⎢ ⎥
∂ ∂⎣ ⎦
⎡ ⎤−
− = −⎢ ⎥
⎣ ⎦
 
Integrando em todo espaço, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
* *
2 2 2
2
i j j i j i i j
d d m *x x x x dx E E x x
dx dx
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
∞ ∞
−∞ −∞
⎡ ⎤
− = − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫ dx . 
e observando que o primeiro termo pode ser escrito como uma derivada total, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*2 2
* * *
2 2
j i
i j j i i j
d dd d dx x x x x x
dx dx dxdx dx
ψ ψ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
⎡ ⎤⎡ ⎤
− = −⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, (S17) 
Obtemos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*
* *
2
2j i
i j j i i
d x d x m
jx x E E xdx dx
ψ ψ
ψ ψ ψ ψ
∞ ∞
−∞−∞
⎡ ⎤
− = − −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ x dx . (S18) 
Considerando que a função de onda e suas derivadas são nulas no infinito (funções de quadrado 
integrável), então resulta: 
( ) ( ) ( )* 0j i i jE E x x dxψ ψ
∞
−∞
− =∫ . (S19) 
Dado que Ei e Ej são dois autovalores discretos, associados às autofunções i jeψ ψ , 
teremos , a menos que ji EE ≠ ji eψψ sejam duas autofunções DEGENERADAS. Trabalhando 
inicialmente na hipótese de que ji eψψ não são degeneradas, devemos ter: i jE E≠ , e 
, o que implica em: 0i jE E− ≠
 ( ) ( )* 0i jx x dxψ ψ
∞
−∞
=∫ , para ji ≠ (S20) 
 Para o caso em que jiji ψψ =⇒= ( temos a mesma autofunção) , de modo que vale a 
relação de NORMALIZAÇÃO : 
( ) ( )∫
∞
∞−
=1* dxxx ii ψψ . (S21) 
As eqs. (S20) e (S21) podem ser escritas como uma só integral: 
( ) ( )∫
∞
∞−
= ijji dxxx δψψ
* , (S22) 
onde ijδ é o delta de Kronecker : 
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
ji
ji
ij ,0
,1
δ
OBS.: No caso em que as autofunções ji eψψ são degeneradas, temos , de modo que o 
coeficiente presente na equação (S19) se anula. Desta forma não é mais possível estabelecer o 
resultado da eq. (S20) nesta situação. Entretanto, pode-se mostrar que autofunções degeneradas são 
ortogonais, o que corresponde ao resultado da eq. (S20). 
ji EE =
 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
21
 
(g) Determinação dos coeficientes . na
Supondo conhecida a função de onda total no instante 0t = , ( )0,xΨ , é possível então 
determinar a função de onda total no instante t, ( )tx,Ψ , uma vez que vale a expressão geral: 
( ) ( )/
1 1
, ( , ) n
N N
iE t
T n n n
n n
 nx t a x t a e xψ ψ
−
= =
Ψ = =∑ ∑ . 
Para que esta expressão seja toda conhecida, é necessário determinar os coeficientes da função 
de onda total 
ia
( ),T x tΨ . Como ponto de partida, devemos multiplicar ( ),T x tΨ por ( )xj*ψ e, em 
seguida, integrar em todo o espaço, ou seja: 
( ) ( ) ( ) ( )* *
1 1
,0
jn
N N
j T n j n n
n n
jn jx x dx a x x dx a a
δ
ψ ψ ψ
∞ ∞
= =−∞ −∞
Ψ = =∑ ∑∫ ∫ δ = , 
obtendo assim: 
 
( ) ( )∫
∞
∞−
Ψ= dxxxa jj 0,
*ψ , (S23) 
relação geral válida para qualquer valor do índice j. Uma vez determinado o conjunto de coeficientes 
, no instante t = 0, a função de onda total, { }na ( )tx,Ψ , pode ser escrita para qualquer instante t 
futuro como: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (/ /*
1 1
, , , 0n niE t iE tn n n n
n n
)x t a e x x t x x dx eψ ψ
∞∞ ∞
− −
= = −∞
⎡ ⎤
Ψ = ⇒ Ψ = Ψ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑ ∫ xψ (S24) 
Isto é possível porque os coeficientes determinados num instante particular são os mesmos em 
qualquer instante futuro. Toda dependência temporal está contida na própria função de onda, mas 
precisamente nos termos de fase do tipo . 
{ }na
/tiEne−
 
(h) Determinação da energia do estado quântico geral. 
 
 Se o estado quântico em que a partícula se encontra é uma solução particular da equação de 
Schrödinger, a energia da partícula é automaticamente dada pela relação de autovalores 
correspondente, ( , ) ( , )i i iH x t E x tψ ψ= . Se o estado do sistema é representado pela função de onda 
total, , que representa uma superposição dos estados que são solução da equação de 
Schrödinger, a sua energia pode ser calculada pela relação da energia média, 
( txT ,Ψ )
* ( , ) ( , )E x t H x t dx= Ψ Ψ∫ . Sabendo-se ( ) ( )
1
,T i i
i
,x t a xψ
=
Ψ =∑ t , podemos determinar o efeito de H 
sobre esta superposição aplicando-o sobre ( ),T x tΨ : 
( ) ( ) ( )
1 1
, , ,T i i i i i
i i
H x t a H x t a E xψ ψ
= =
Ψ = =∑ ∑ t . 
Empregando este resultado na expressão da energia média, resulta: 
* * *
1 1 1 1
( , ) ( , ) * *j j i i i i j i j
j i j i
E x t H x t dx a a E a a E iψ ψ ψ
= = = =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= Ψ Ψ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
∑ ∑ ∑∑∫ ∫ ∫ ψ , 
* * * *
1 1 1 1 1
ij
i j i j i i j i ij i i i
j i j i i
E a a E dx a a E a a E
δ
ψ ψ δ
= = = = =
= = =∑∑ ∑∑ ∑∫ , 
2
1
| |i i
i
E a E
=
=∑ . 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
22
 
Vemos assim que a energia média do estado ()tx,Ψ é dado por uma média ponderada da energia 
iE de cada estado particular ( , )i x tψ pela probabilidade da partícula estar localizada neste estado, 
. 2| |ia
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
1) E. Schrödinger, “An undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules”, Physical 
Review 28, 1049 (1926). 
2) V.V. Raman and P. Forman, “Why was it Schrödinger who developed de Broglie’s ideas?”, 
Historical Studies in the Physical Sciences 1, 291 (1969). 
3) H. Kragh, “Erwin Schrödinger and the wave equation: the crucial phase”, International 
Magazine of the history of mathematics, science and technology” 26, 154 
4) David Bohm, “Quantum Theory”, Dover Publications, 1951. 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Equação de Schrödinger, função de onda, 
propriedades, equação de autovalores, valor esperado, teorema de Ehrenfest) 
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