Thomson_ Rutherford2B

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Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Modelo atômico de Thomson e Rutherford) 1 
Modelos atômicos de Thomson e Rutherford: a Descoberta do Núcleo Atômico 
 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr 
 
1 Introdução 
 
Os estudos sobre a estrutura atômica, na era moderna, iniciaram-se de maneira mais decisiva 
e objetiva com a proposição do modelo atômico de J.J.Thomson, por volta de 1903. Neste ano, 
Thomson sugeriu que os elétrons estariam dispersos em uma matriz contínua de matéria 
positivamente carregada, como passas em um pudim, nascendo desta analogia a denominação 
“pudim de passas”, pela qual o átomo de Thomson ficaria imortalizado. Importante destacar que, 
quase ao mesmo tempo, Hantaro Nagaoka (1865-1950), em Tóquio, propunha um modelo saturniano 
(planetário)
1
 para o átomo, segundo o qual os elétrons girariam em órbitas circulares em torno de 
uma carga central positiva. O processo histórico-científico mostrou que o modelo de Nagaoka
2
 
aproximava-se muito mais da realidade do átomo real que o modelo de Thomson. Entretanto, a idéia 
de Nagaoka não despertou muito interesse, permanecendo esquecida e desacredita até que o 
cientista neo-zelandês Ernest Rutherford a relançasse 10 anos depois para explicar os resultados dos 
experimentos com partículas- realizados por Marsden e Geiger (jovens assistentes de Rutherford). 
Logo após a chegada de Rutherford a Manchester, em 1907, o seu grupo de pesquisa 
recebeu dois novos assistentes: Hans Wilhelm Geiger (1882-1945), um jovem pós-doc, e Ernest 
Marsden (mais jovem ainda), cujo programa de pesquisa consistia em analisar o espalhamento 
sofrido por partículas- enquanto estas atravessam finas folhas metálicas. Rutherford dedicava-se 
ao estudo das partículas- desde 1899, tendo sido o primeiro a identificá-las como um núcleo de 
hélio duplamente ionizado
3
. 
Este fenômeno havia sido estudado primeiramente por Rutherford durante a sua estadia 
em McGill, Canadá, por volta de 1906. Partículas- emitidas por uma fonte radioativa de rádio eram 
colimadas através de fendas estreitas, de modo que somente um feixe estreito de partículas era 
obtido. Este feixe era então lançado sobre uma fina folha de metal, onde sofria diversos 
espalhamentos com as partículas constituintes, resultando em partículas espalhadas em várias 
direções diferentes (o feixe inicial é desdobrado num leque de feixes). As partículas espalhadas eram 
então detectadas por uma tela de sulfeto de zinco, material que cintilava (emitia uma pequena 
centelha de luz visível) quando atingido por uma partícula- . 
Já em 1908, Geiger relatou que o número de partículas- espalhadas diminuía 
dramaticamente com o aumento do ângulo de espalhamento (medido a partir da direção do feixe 
incidente). Deste modo, raros casos de espalhamento eram observados em ângulos maiores que 
alguns poucos graus. Na verdade, foi verificado que o ângulo médio de espalhamento girava em 
torno de 1
o
, e que mais de 99% das partículas eram espalhadas em ângulos menores que 3
o
. Estes 
resultados não revelavam qualquer surpresa, uma vez que estavam em bom acordo com o modelo 
atômico de Thomson, que estava sendo testado. As surpresas começariam a aparecer quando 
Rutherford estimulou os seus assistentes a procurar por espalhamentos em grandes ângulos, 
incluindo casos de retro-espalhamento. De acordo com as próprias palavras de Rutherford, proferidas 
em uma de suas conferências, podemos citar: 
“... um dia Geiger chegou para mim dizendo: - Você não acha que o jovem Marsden, 
aquele que estou treinando em métodos de pesquisa radioativa, já está pronto para 
iniciar uma pequena pesquisa? Eu também já andei pensando sobre isto, respondi. 
Então disse: - por que não deixamos o jovem Marsden verificar se alguma partícula- 
pode ser espalhada em um ângulo grande? E eu devo confessar que eu mesmo não 
acreditava que isto fosse ocorrer, visto que era conhecido que tais partículas eram muito 
rápidas e massivas, dotadas de uma grande quantidade de energia cinética. Além do 
mais, era sabido que, sendo o espalhamento observado uma resultante de uma 
seqüência de pequenos espalhamentos, a chance de ocorrer um retro-espalhamento 
seria mínima. Então eu lembro que dois ou três dias depois Geiger me procurou cheio 
de excitação dizendo: “Nós observamos algumas partículas alfa em retro-
 
1 Em analogia ao movimento dos planetas em torno do Sol, ou dos anéis de Saturno em torno deste planeta. 
2 Para saber mais sobre Nagaoka e seu modelo atômico, vide refs. [3,6]. 
3 Rutherford mediu primeiramente a razão massa/carga destas partículas, observando que era igual ao dobro da 
razão massa/carga do hidrogênio. Isto poderia corresponder a um átomo ionizado com massa 2. Como não se 
conhece nenhum átomo com massa 2, Rutherford concluiu acertadamente que deveria se tratar de um átomo de 
hélio duplamente ionizado. 
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espalhamento...” Este era de longe o evento mais incrível com o qual já me defrontara 
em minha vida. Isto era tão incrível quanto atirar num pedaço de papel e a bala 
ricochetear de volta em sua direção”.
4
 
 
Geiger & Marsden depois relataram que de cada 20 mil partículas espalhadas, apenas 1 
(uma) recuava em ângulo superior a 90
o
 (retro-espalhamento). A observação destes raros eventos de 
retro-espalhamento foi o que levou Rutherford a propor e desenvolver um novo modelo de átomo, 
muito similar ao átomo de Nagaoka. Para entender melhor o desenrolar histórico desta questão, 
iniciamos com o estudo do átomo de Thomson, e a verificação do seu fracasso ou inadequação para 
explicar a realidade da estrutura do átomo. 
 
2.1 Modelo de Thomson 
 
No final do século XIX, o elétron já estava estabelecido como partícula fundamental, 
constituinte do átomo, sendo este o maior legado dos famosos experimentos de J. J. Thomson que 
culminaram na identificação dos raios catódicos com elétrons, isto em 1897. Havendo um consenso 
de que os elétrons estariam localizados dentro do átomo, uma questão de primeira grandeza era 
entender como estes elétrons estariam lá dispostos, ou seja, como seria constituída a estrutura do 
átomo. Nesta época já havia boas estimativas para o tamanho médio do átomo: de fato, o volume 
atômico era estimável através da divisão do volume molar de um sólido, dado em centímetros cúbicos 
por mol, pelo número de Avogrado, obtendo um valor aproximado de 10
-24 
cm
3
, cuja raiz cúbica 
equivale ao tamanho médio estimado para o átomo, ou seja, 10
-8
cm. 
Sabia-se que os átomos eram eletricamente neutros, logo deveriam apresentar alguma 
forma de carga positiva, em igual quantidade à carga negativa total dos elétrons. Mas como a massa 
do elétron é muito pequena, então era lógico considerar a maior parte da massa do átomo como 
estando carregada positivamente, e ocupando a maior parte do seu volume. 
Com isso, Thomson propôs que o átomo fosse uma esfera uniforme, carregada 
positivamente, com um raio de cerca de 10
-8
cm, na qual os elétrons estariam inseridos de forma a 
obter o arranjo eletrostaticamente mais estável. A Fig. 1 exibe uma ilustração artística do átomo de 
Thomson, onde fica clara a famosa analogia com a denominação “pudim de passas”. 
 
 
Figura 1: Representação artística do átomo de Thomson 
 
Segundo esse modelo, os elétrons deveriam estar distribuídos uniformemente dento do 
átomo em decorrência da repulsão eletrostática entre eles (cargas de sinais iguais se repelem), que 
naturalmente iria privilegiar uma configuração de equilíbrio estático. Esta seria a configuração de mais 
baixa energia; configurações de energia mais alta, correspondentes a átomos excitados, seriam 
caracterizadas pela oscilação dos elétrons em torno das respectivas posições de equilíbrio, uma 
espécie de equilíbrio dinâmico estável. Sendo este movimento de vibração acelerado, o mesmo é 
acompanhado da emissãode radiação eletromagnética, que comporia o espectro atômico. Desta 
forma, observa-se que o modelo de Thomson consegue explicar a emissão de radiação pelo átomo, 
mas sem apresentar concordância quantitativa com o que era observado experimentalmente, uma 
vez que não conseguia explicar a natureza discreta do espectro atômico
5
. Sendo o átomo de 
 
4
 Vide ref. [1], pg. 114. 
5
 Cada átomo possui um espectro próprio, composto por um conjunto discreto de linhas, onde cada 
uma destas linhas corresponde à radiação de determinada freqüência. O espectro atômico é uma espécie de 
assinatura única, que pode ser usado para assinalar a presença do átomo correspondente. 
 
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Thomson um sistema clássico, deveria emitir radiação apenas na mesma freqüência que a radiação 
incidente sobre o mesmo. Este fato, entretanto, não correspondia aos espectros observados, que 
apresentam diversas linhas espectrais (evidenciando a emissão em várias freqüências diferentes). 
Para esclarecer um pouco melhor a limitação do modelo de Thomson no que concerne à 
explicação da natureza discreta do espectro, vamos tomar como exemplo o caso do átomo de 
hidrogênio, que possui apenas um elétron. A descrição deste átomo dada pelo modelo de Thomson 
corresponde a um elétron imerso numa massa de colóide positivo. Tal elétron permanece em 
movimento de vibração (tipo MHS) em torno do ponto central do átomo. 
Podemos mostrar que, especificamente neste caso, o modelo de Thomson prevê a vibração do 
elétron numa única freqüência. Seja r a posição radial deste elétron dentro do átomo (esfera da raio 
R). Sobre tal elétron, atua a força coulombiana devido à carga contida apenas na esfera de raio r, ou 
seja: 
34 / 3rq r  , sendo  a densidade de carga volumétrica: 
3/(4 / 3)Q R  e Q a carga 
positiva total do átomo. Para ter uma ilustração desta situação, vide Fig. 6. Assim obtemos: 
3 3/rq Qr R . Neste caso, a força coulombiana que atua sobre o elétron é dada por: 
2/e rF eq r , 
que implica em: 
 
3e
r
F eQ r
R
  . 
Tal força tem uma dependência linear na distância r, o que lhe confere o status de força 
restauradora, com constante elástica dada por: 
3/k eQ R . Na Física, é fato bem conhecido que 
partículas que sofrem ação de força restauradora executam movimento harmônico simples (MHS). 
Neste caso, a frequência angular do movimento oscilatório vale: /k m  , o que implica na 
seguinte freqüência de oscilação: 
 
3
1
2
eQ
mR


 
 
No contexto do eletromagnetismo de Maxwell, sabemos que uma carga em movimento oscilatório de 
freqüência  , emite apenas radiação de freqüência  . Portanto, concluímos que o átomo de 
hidrogênio, de acordo modelo de Thomson, poderia emitir radiação apenas numa única freqüência. A 
incapacidade do modelo de Thomson de explicar o espectro do átomo mais simples já o 
descredenciava a descrever o espectro de qualquer outro átomo. Esta era uma das graves 
deficiências do modelo de Thomson, que contribuíram para a sua derrocada. 
 
 
2.2 A inadequação do Modelo de Thomson 
 
Uma pergunta crucial na época era se o átomo era realmente como Thomson imaginara. 
Será que o modelo de Thomson era adequado para explicar as mais diversas manifestações dos 
fenômenos atômicos? Já vimos na seção anterior que o mesmo era inadequado para estudar o 
espectro atômico. E quanto a outros aspectos? 
 A fim de responder a esta pergunta e tentar verificar se o modelo atômico de Thomson 
correspondia a uma realidade da natureza, H. Geiger e E. Marsden, orientados por Rutherford, 
iniciaram uma série de experimentos com feixes colimados de partículas- , lançados sobre finas 
folhas (lâminas) metálicas. Era fato conhecido que a partícula alfa seguia uma trajetória bem definida 
quando espalhada por algum átomo, trajetória esta que podia ser calculada utilizando a lei de força 
de Coulomb e as leis de Newton. Baseando-se nesta premissa, a passagem de partícula alfa através 
de um único átomo de Thomson, como mostrado na Fig. 2.1, é tomado como elemento central de 
investigação por Geiger & Marsden, uma vez que este quadro certamente permitiria comparar dados 
experimentais com projeções teóricas obtidas das trajetórias clássicas das partículas observadas em 
laboratório. Na figura 2, é exibida uma representação esquemática do aparato experimental utilizado 
nos experimentos de Geiger e Marsden: 
 
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Fig. 2: Representação esquemática do aparato experimental usado por Geiger & 
Marsden. 
 
Os resultados experimentais observados por Geiger e Marsden mostraram que a grande 
maioria das partículas, cerca 99 % das mesmas, eram espalhadas em ângulos pequenos (menores 
que 3
o
), enquanto uma parcela mínima era espalhada em ângulos maiores que 10
o
. Destas, algumas 
eram espalhadas até mesmo em ângulos maiores de 90° (retro-espalhamento), o que realmente 
causou profunda perplexidade em Rutherford, sendo estes raros eventos decisivos para o 
desenvolvimento de um novo modelo atômico. Importante destacar que o modelo atômico de 
Thomson não conseguia explicar espalhamentos em grandes ângulos, como veremos a seguir. 
 
 
 
Figura 3: Representação artística do espalhamento de uma partícula alfa cruzando um átomo de 
Thomson, onde o ângulo de espalhamento está concebido em proporção exagerada (para efeito de clareza). 
 
O objetivo de Geiger e Marsden com tais experimentos era obter informações sobre a 
estrutura do átomo que pudessem colocar à prova o modelo atômico de Thomson. Mais 
especificamente, eles calcularam teoricamente as previsões esperadas para o espalhamento de 
partículas pelo átomo de Thomson. Verificaram que, sendo o átomo de Thomson muito “macio”, este 
só poderia produzir espalhamentos em pequenos ângulos (em relação à direção do feixe incidente). 
Em seguida, compararam esta previsão teórica com os resultados dos seus experimentos, 
constatando a impossibilidade de explicar os espalhamentos em grandes ângulos. Na interpretação 
destes resultados, é que entra em cena o talento de Ernest Rutherford. 
O passo inicial consiste em demonstrar que o átomo de Thomson só é capaz de gerar 
espalhamentos em ângulos pequenos (cerca de 1°). Para chegar a esta conclusão, é necessário 
estimar o desvio máximo devido à colisão de uma partícula alfa com um único átomo e, 
posteriormente, mostrar que nem mesmo uma sucessão de colisões, devido à passagem da 
partícula- pelos diversos átomos dispostos ao longo da espessura da folha metálica, conduz a um 
valor apreciável de ângulo de deflexão. 
 
2.2.A Deflexão devido ao choque com 1 (um) elétron 
 
Durante o choque com um único átomo, a partícula  interage com as cargas negativas 
(elétrons) e positivas (colóide). A deflexão máxima sofrida por uma partícula alfa em choque com um 
único átomo, pode ser estimada usando-se as leis da Mecânica Clássica e do Eletromagnetismo de 
Maxwell. A força coulombiana que atua sobre a partícula alfa é dada pela seguinte fórmula: 
 
2
2
2
ˆ
e
F r
r
 . (2.1) 
 
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sendo r a distância entre as partículas interagentes. A princípio, a realização rigorosa deste cálculo 
usando-se a lei de força coulombiana, pode ser complicado, uma vez que a distância r é variável, e 
as partículas estão ambas em movimento. No entanto, como a massa do elétron é muito menor que a 
massa da partícula- (7344 vezes menor), este problema pode ser tratado usando-seum resultado 
conhecido de colisões. De fato, sendo o elétron muito leve, o mesmo sofre grande desvio devido ao 
choque (interação) com a partícula alfa, que mantém sua trajetória praticamente inalterada, de acordo 
as previsões da mecânica clássica. Para estimar o desvio máximo sofrido pela partícula  durante um 
choque elástico com o elétron, vamos tomar como preceito um resultado conhecido: o choque entre 
duas esferas maciças, uma delas tendo massa muito maior que a outra (m >> me). A figura abaixo 
ilustra este processo. Após este choque, a partícula mais leve adquire velocidade igual ao dobro da 
velocidade inicial da partícula pesada. 
 
 
Figura 4: Variação do momento do elétron durante a colisão com a partícula alfa 
 
Nesta situação, a variação de momento da partícula alfa é igual à variação do momento 
do elétron, sendo dada pela expressão, 
02 veP m , que equivale ao momento transferido pelo 
elétron a mesma. O ângulo máximo de deflexão (desvio) 
max ocorrerá quando a variação do 
momento ΔP for perpendicular ao momento inicial P0 da partícula alfa, situação esta representada 
abaixo: 
 
 
Figura 5: Ângulo máximo de deflexão sofrido pela partícula , sendo P0 seu momento inicial. 
 
Desta forma, podemos estimar o ângulo máximo igualando-o à razão 0/P P , uma vez 
que tg  , para 1  . Disto resulta: 
 
 
40
max max
0 0
2 v 2 2
10 0,01
v 4 1836
e em mPtg rad rad
P m m 
   

   

 (2.2) 
 
Vemos assim que o ângulo máximo de deflexão, devido à colisão da partícula alfa com 1 
único elétron, é da ordem de 10
-4
rad, valor este muito pequeno. 
Devemos agora calcular a deflexão máxima determinada pelas cargas positivas. O modelo de 
Thomson propõe uma distribuição de carga positiva homogênea ao longo de toda esfera de raio 10
-
10
m (1Ǻ), que constitui o átomo, dada por uma densidade volumétrica de carga  . Com isso a força 
repulsiva varia enquanto a partícula alfa atravessa o átomo, sendo dada pela fórmula abaixo: 
 
2
( ) rR
q q
F r
r
 , (2.3) 
onde 
3(4 /3)rq r  é a carga no interior de uma esfera de raio r, em relação a qual a partícula 
alfa passa tangente. Sendo Q a carga total do átomo, temos 
34 /3Q R  , onde  é a 
densidade de carga. Logo, obtemos que qr será da seguinte forma:  
3
/rq Q r R . [Mesmo cálculo 
já descrito na seção 2.1]. 
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Para efeito de estimativa, é valido supor que a interação repulsiva será máxima quando r for 
igual a R, e rq for igual a Q (carga total do átomo), o que equivale aproximadamente à situação em 
que a partícula passa tangente à superfície do átomo, como ilustrado na Fig. 6. 
 
 
Figura 6: Partícula- passando pelo átomo em duas situações: tangente ao átomo, e cruzando-o 
por dentro. 
 
Como o nosso objetivo é calcular a deflexão máxima, então convém adotarmos a configuração onde 
a força repulsiva é máxima, dada pela seguinte equação: 
 max 2R
q Q
F
R
 (2.4) 
 
Durante o tempo t em que a partícula alfa passa próximo do átomo, a mesma sofre 
uma variação de momento igual a 
max maxRP F t   , onde 2 /t R v  é o tempo de travessia do 
átomo. Então escrevemos: 
 
max max2 2
0
2 2 22 1
 
v v v v v
q Q q Q q Q q QR P
P
R R P R m Rm
   
 


       (2.5) 
 
Para calcular explicitamente a variação de momento, substituímos os dados do problema: 
4q e  ,Q Ze , 
92 10 /v cm s , 
810R cm , 289 10em g
 , 
105 10e esu , de modo 
que o ângulo de desvio máximo resulta igual a: 
 
2 2 16
3 4
max 8 9 2 10 28 13
2 4 70 5,6 10 1,5 10 1
10 5,0 10
210 (2 10 ) 4 10 4 1386 9 10 3,6 10
e e e
rad
m


 
  
    
    
       
 
 
Logo, observamos que tanto o ângulo de desvio devido ao choque com elétrons (parte 
negativa), quanto o desvio devido ao choque com a parte positiva do átomo, gira em torno de 10
-4
rad, 
ângulo bastante pequeno. Esta é, portanto, a ordem de grandeza do ângulo de desvio máximo sofrido 
por uma partícula alfa durante a colisão com um único átomo. Por outro lado, sabemos que a folha 
metálica é composta por uma sucessão de camadas atômicas superpostas. Ao atravessar uma folha 
metálica de espessura igual a 10
-4
cm, uma partícula alfa passa por aproximadamente 10
4
 átomos. É 
necessário assim saber se uma seqüência de 10 mil colisões é capaz de produzir um ângulo final de 
desvio grande, o que compatibilizaria o modelo de Thomson com os resultados experimentais de 
Geiger & Marsden. Para este fim, procede-se à realização de uma análise estatística dos desvios. 
 
2.3 Análise Estatística dos Desvios 
 
Este é o procedimento matemático empregado para a obtenção de uma estimativa do 
desvio médio de uma partícula alfa que sofre uma grande sucessão de choques, isto é, uma 
seqüência de pequenos desvios. 
Durante a travessia de uma folha metálica de espessura aproximadamente de 10
-4 
cm = 
10
-5 
mm, a partícula alfa atravessa 
410M átomos, de modo que cada partícula alfa sofre 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Modelo atômico de Thomson e Rutherford) 7 
aproximadamente 10
4
 deflexões sucessivas (uma em cada átomo). Com isso, o desvio final ou desvio 
total de cada partícula alfa será uma composição vetorial de todos os desvios sofridos pela partícula 
com cada um dos átomos, podendo a princípio, ser grande ou pequeno. 
 
 
Figura 7A: Esquema de desvio no j-ésimo átomo Figura 7B: Desvio da partícula  no j-ésimo 
 choque. 
 
A Fig. 7A ilustra o desvio da partícula  pelo j-ésimo átomo, na qual jv é a velocidade 
da partícula  antes do espalhamento; jv é a velocidade da partícula depois do espalhamento, com 
módulo igual a 
jv . Aqui j é o desvio angular sofrido, representado em maior detalhe na Fig. 7B. 
Desta representação, escrevemos: j j jv v  , que em forma vetorial equivale a: 
j
j
j
v
v

  . É 
então possível obter o desvio total 
T como o somatório destes desvios individuais, ou seja: 
1 1
1N N
T j T j
j jj
v
v
   
 
    . Importante comentar sobre a natureza arbitrária dos desvios 
individuais, j , que podem ocorrer em qualquer direção do espaço. Além de tudo, são 
independentes uns dos outros, o que justifica o tratamento estatístico a ser adotado em seguida para 
determinação o módulo do desvio total | |j . Para facilitar o estudo deste problema, alinha-se o 
eixo-x do sistema de coordenadas à direção do feixe de partículas alfa incidente, como mostrado a na 
ilustração seguinte: 
 
 
 
Figura 8: Disposição Geométrica do eixo de coordenadas 
 
Neste caso, estaremos interessados nas projeções bidimensionais dos desvios 
j no 
plano y-z. Uma vez que os vetores 
jv são aproximadamente ortogonais a este plano (uma 
conseqüência do fato dos ângulos individuais de espalhamento serem muito pequenos - 
410j rad
 ), podemos assumir com boa aproximação que os desvios 
j realmente estejam 
contidos no plano y-z. Desta forma, a representação dos desvios tridimensionais fica reduzida a um 
diagrama bidimensional, onde cada um dos desvios 
j ocorre numa direção arbitrária no planoy-z. O 
diagrama abaixo ilustra este fato: 
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Figura 9: Representação bidimensional dos desvios 
 
A determinação do valor médio do módulo
6
 do desvio total, 
T , resultante de N desvios 
individuais, é dada pela teoria estatística, que correlaciona a raiz quadrada do valor quadrático médiodo desvio total,  2T , com raiz quadrada do valor quadrático médio do desvio individual,  2j , 
da seguinte forma: 
  
1
22 2 2
T T jN    (2.6) 
sendo N o número de choques considerados. Observe que se todos os desvios individuais 
ocorressem na mesma direção, o módulo do desvio total seria uma função linear de N e não de N , 
como visto acima. Dado que o valor médio do desvio individual gira por volta de 
410 rad , em 
410 colisões, o módulo do desvio médio equivale a: 
 
1
22 2 4 4 2 210 (10 ) 10 0,57oT T rad 
    . Este é um resultado consistente com as 
observações de Marsden & Geiger, que mostravam que 99% das partículas eram espalhadas em 
ângulos menores que 3
o
 (0.05 rad). Portanto esta análise estatística parece descrever bem o 
fenômeno, mostrando que as observações são compatíveis com as previsões do modelo de 
Thomson. 
A mesma teoria estatística que proporciona a fórmula para o valor quadrático médio do 
desvio, permite também obter uma expressão para a distribuição de comprimento do desvio total, 
T . Tal distribuição fornece o número de casos em que o módulo do desvio total, T , tem valor 
compreendido entre o intervalo [ , ]T T Td   . Este número está dado na forma: 
 
2
2
2
2
T
TT
T
T
N
dN e d

 


 , (2.7) 
onde N é o numero total de casos considerados. Observando que T deve equivaler ao ângulo de 
espalhamento, a equação precedente torna-se: 
 
2
2
2
2
( )
N
N d e d

  


 , (2.8) 
 
6
 Observe que, em se tratando de uma quantidade vetorial arbitrária, a média do desvio vetorial 
resultante , T , é nula, uma vez que os vetores resultantes apontam em quaisquer direções do plano 
y-z . Para obter uma medida confiável do valor médio do módulo desvio total, é então necessário 
trabalhar com a raiz quadrada de  2 . 
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expressão esta que fornece o número de partículas alfa espalhadas ( ( )N d  ) dentro do intervalo 
angular  , d   . Podemos agora usar esta fórmula para estimar o número de partículas 
espalhadas em ângulo maior que 90
o
: 
 
2
2
2
/ 2
2N
dN e d







  (2.9)  
2
2
2
/ 2
2dN
e d
N







  (2.10) 
Realizando esta integral, obtém-se um resultado proporcional a 
2(90) 8100 350010e e   , que 
evidencia um resultado absolutamente nulo, implicando na total ausência de espalhamentos em 
ângulos maiores que 90
o
. Portanto, de acordo com o modelo de Thomson, nenhuma partícula deveria 
ser espalhada em ângulo maior que 90
o
. No entanto, isto não corresponde à realidade, pois Geiger & 
Marsden mostraram que 1 a cada 10 mil partículas era espalhada nesta situação. Este resultado 
mostrava a inadequação do modelo de Thomson para explicar espalhamentos em grandes ângulos. 
Em resumo, podemos afirmar que o átomo de Thomson é muito “soft” (macio) para 
produzir grandes desvios, pois estando a carga positiva dispersa em todo o átomo, é incapaz de 
produzir grandes forças (e grandes desvios) sobre as partículas alfa. 
 
 
2.4 Modelo Atômico de Rutherford 
 
O modelo atômico de Thomson perdurou durante mais de uma década, até que por volta 
de 1911, Ernest Rutherford, eminente físico neo-zolandês, propôs um novo modelo atômico, análogo 
ao sistema planetário, onde os elétrons orbitariam em torno de uma carga central positiva, muito 
densa e pesada. Este novo modelo foi proposto para explicar consistentemente os resultados dos 
experimentos de Geiger & Marsden. A gênese desta nova idéia reside na impossibilidade de se 
produzir um grande desvio a partir de uma sucessão de muitas colisões, resultado demonstrado 
por Geiger & Marsden
7
, em 1909. De fato, a análise estatística realizada por Geiger & Marsden 
mostrou que a probabilidade de se produzir um espalhamento em grande ângulo como resultado de 
uma seqüência de espalhamentos em pequenos ângulos é absolutamente desprezível. Este 
resultado foi fundamental para Rutherford, pois conduziu a uma mudança de foco no entendimento da 
questão. Até este momento, os casos de espalhamento em grandes ângulos eram entendidos como 
resultantes de uma composição de diversos espalhamentos sucessivos em pequenos ângulos, ou 
seja, eram devido à interação (espalhamento) da partícula- com os muitos núcleos dispostos ao 
longo da sua espessura. Em uma palestra dada na “Clark University”, em setembro de 1909, 
Rutherford deixa claro que até este momento ainda atribuía os grandes desvios a uma sequência de 
encontros (colisões) com os átomos: 
 
- “Geiger e Marsden observaram o surpreendente fato que aproximadamente 1 em 8.000 
partículas- incidentes sobre uma folha de ouro é tão defletida pelos seus encontros 
com as moléculas da folha que ela emerge no mesmo lado do feixe incidente (retro-
espalhamento). Tal resultado traz à mente a certeza da enorme intensidade do campo 
elétrico nas cercanias e dentro do átomo”. 
 
 
Não se sabe ao certo quanto tempo Rutherford levou, após tomar ciência dos resultados 
de Geiger & Marsden, para conceber uma das maiores e mais bem-sucedidas idéias da sua vida: a 
idéia de que espalhamento da partícula- em grande ângulo era devido a um único átomo. 
Para Rutherford, a única maneira de ocorrer um grande desvio seria se houvesse entre a partícula-
 e o átomo uma interação coulombiana (pontual) suficientemente elevada para assegurar uma 
grande deflexão. Isto proporcionaria a possibilidade da partícula alfa ser espalhada em grande ângulo 
por um único átomo, dependendo obviamente das condições de aproximação (do choque) entre 
ambas. 
 
 
 
7
 Geiger & Marsden demonstraram isto por meio de uma análise estatística, tal como a descrita na 
seção anterior. Estes resultados foram publicados em 1909 e 1910. Vide Ref. [8]. 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Modelo atômico de Thomson e Rutherford) 10 
 
Fig. 10: Aparato experimento usado por Geiger & Marsden em seus experimentos, em que se 
observa a fonte de partículas- (M), a fina folha metálica (E), o detector de sulfeto de Zinco (R). Observe que 
este aparato estava inicialmente montado apenas para observar espalhamentos em pequenos ângulos. 
 
Para viabilizar este cenário e dar credibilidade ao mesmo, o átomo não poderia mais ser 
como Thomson propusera. Para que uma intensa força coulombiana pudesse ser gerada, toda 
carga positiva e toda massa do átomo deveriam estar concentradas numa pequena região do 
espaço, denominada de núcleo atômico (Fig. 11), em torno do qual os elétrons orbitariam. Este 
núcleo deveria muito pequeno de modo que pudesse ser considerado como pontual, hipótese que era 
corroborada pela ínfima fração de partículas desviadas em retro-espalhamento. No átomo de 
Rutherford, o núcleo atômico tem dimensão entre 10
-14
-10
-15
 m, sendo dez mil vezes menor que o raio 
do próprio átomo (R~10
-10 
m). Portanto, este é um átomo predominantemente “vazio”, oco. De acordo 
com este cenário, somente as partículas que incidissem quase frontalmente sobre o núcleo atômico 
sofreriam retro-espalhamento, o que estava em acordo quantitativo com as observações de Geiger & 
Marsden. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11: Representação artística do átomo de Rutherford. 
 
O objetivo do modelo de Rutherford era explicar os espalhamentos de partículas alfa não 
apenas em pequenos ângulos, mas principalmente em grandes ângulos, incluindo obviamente os 
casos de retro-espalhamento (espalhamento maiores que 90
o
), ponto no qual omodelo atômico de 
Thomson falhava completamente, como já visto. 
A concepção do modelo atômico planetário por Rutherford
8
 e da existência do NÚCLEO 
ATÔMICO nasceu da reflexão do que poderia ocasionar deflexões em grandes ângulos e retro-
espalhamento total de partículas alfa. A única maneira de conseguir este feito seria se a partícula alfa 
passasse bem próxima a uma região do átomo contendo grande massa e grande carga. A grande 
massa implicaria em um recuo desprezível para o núcleo atômico e grande desvio para a partícula-
 , enquanto a grande carga produziria a intensa repulsão coulombiana que defletiria a partícula. 
 
8
 Vide ref. [2]. 
 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Modelo atômico de Thomson e Rutherford) 11 
Sobre este ponto, o próprio Geiger declarou: “No início de 1911, Rutherford, em um dia de grande 
inspiração, entrou em minha sala e disse-me que agora sabia como o átomo deveria se parecer por 
dentro, e ao mesmo tempo, como explicar os espalhamentos de partículas alfa em grandes ângulos
9
.” 
Neste cenário, apenas as partículas alfa que se aproximassem consideravelmente do 
núcleo sofreriam espalhamentos apreciáveis, enquanto que todas as outras que não passassem tão 
próximo de um núcleo, sofreriam interação de pouca intensidade, resultando em ângulos de deflexão 
pequenos - correspondendo ao que era observado para a maioria das dos casos. Assim, o evento de 
interesse para Rutherford era exatamente o espalhamento de uma partícula alfa por um núcleo 
pesado à curtíssima distância, ou seja, um espalhamento de pequeno parâmetro de impacto e 
grande desvio (não explicado pelo modelo atômico de Thomson). 
A Fig. 12 representa a interpretação de Rutherford para o que deveria estar ocorrendo 
nos experimentos de Geiger & Marsden, onde somente as partículas que passam muito próximo dos 
núcleos alteram a sua trajetória de maneira significativa. A mudança mais drástica possível ocorreria 
quando a partícula  se chocasse de maneira perfeitamente frontal com algum deles, o que 
resultaria num caso de retro-espalhamento total (recuo em 180
o
). A Fig. 13, por sua vez, exibe uma 
ilustração (artística) comparativa para o espalhamento de partículas alfa por átomos de Rutherford e 
de Thomson, onde se observa os casos de retro-espalhamento apenas no caso dos átomos de 
Rutherford. 
 
 
Figura 12: Espalhamento de partículas  pelos núcleos do metal. 
 
 
Figura 13: Ilustração artística - comparação esquemática de espalhamentos com o átomo de 
Rutherford e o átomo de Thomson. 
 
 É necessário agora saber se a concepção atômica de Rutherford corresponde a uma 
verdade da natureza, ou seja, se explica bem os dados experimentais disponíveis na época. No caso, 
pretendemos mostrar que este modelo consegue explicar os dados de espalhamento colhidos por 
Geiger & Marsden. Foi isto que Rutherford a partir de 1909-1910. Neste intuito, precisamos saber se 
o modelo de Rutherford consegue fornecer o número de partículas espalhadas em cada janela 
angular do anteparo. Observe que este número equivale a uma probabilidade quando dividido pelo 
número total de partículas incidentes. Para calcular este número, devemos: (i) determinar a trajetória 
das partículas espalhadas, (ii) determinar a seção de choque diferencial do espalhamento. 
 
9Vide ref. [1], pg. 119. 
 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Modelo atômico de Thomson e Rutherford) 12 
 
Fig. 14: Trajetória da Partícula alfa ao passar próximo do núcleo 
 
Analisando a Fig. 14, observam-se alguns elementos importantes, tais como: b, 
parâmetro de impacto - distância entre o eixo que contém o núcleo e a reta inicial da trajetória da 
partícula;  (ângulo de espalhamento) - direção de propagação da partícula quando já está bem 
afastada do núcleo, onde este ângulo é medido a partir do eixo-x positivo. 
Durante o espalhamento o núcleo é suposto em repouso, uma vez que é muito mais 
pesado que a partícula alfa. Portanto, a dedução aqui realizada é válida apenas para núcleos 
pesados. A trajetória da partícula alfa é uma linha reta (assíntota) quando muito distante do núcleo 
(antes e depois do espalhamento). Como a força que atua é central ( )f f r r , ocorre conservação 
do momento angular: 
   v v 0 0
dL d dr d p dL
r p p r m r f r f r
dt dt dt dt dt
               , 
 
resultado este que implica em: 
 L cte . (2.11) 
 
Podemos ainda escrever este vetor na forma: v;L mr  sendo a velocidade em coordenadas 
polares dada por v rr r  , obtemos: 
 
2L mr z . (2.12) 
 
Na Fig. 14, podemos inferir que o momento angular inicial seja dado por 
0vL m b , 
enquanto o momento angular final vale: v' 'L m b , onde 0v e v' são as velocidades iniciais e finais 
da partícula alfa. Dado a conservação do momento angular, podemos igualá-los: 
0v v' 'b b ; sendo 
este espalhamento elástico, as velocidades inicial e final da partícula são iguais (
0v v' ). Observe 
que durante o processo de espalhamento, a velocidade da partícula varia, retomando entretanto seu 
valor inicial quando se encontra bem distante do núcleo. Das igualdades 
0v v' 'b b e 0v v' , 
concluímos que: 
 'b b , (2.13) 
evidenciando que os parâmetros de impacto inicial e final são iguais numa situação de choque 
elástico. 
 Para analisar o espalhamento da partícula alfa, tomaremos como ponto de partida a 
segunda Lei de Newton, F ma . Neste caso, como a força é central, só há componente de 
aceleração na direção radial, de modo que temos: rF ma . Sabendo que a aceleração radial em 
coordenadas polares vale,  2ra r r r  , a segunda lei de Newton para este problema assume a 
forma: 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Modelo atômico de Thomson e Rutherford) 13 
 
22 2
2 2
zZe d r d
m r
r dt dt
  
   
   
 (2.14) 
Para facilitar a solução analítica desta equação, é conveniente fazer a seguinte mudança 
de variável: ( , ) ( , )r u  ; onde 
1
u
r
 . Neste caso, a equação precedente deve ser reescrita em 
termos apenas das variáveis ( , )u  , de modo que as seguintes derivadas devem ser calculadas: 
 
 , 
dr dr d dr dr du dr dr du d
dt d dt d du d dt du d dt
 
   
    , (2.15A) 
de forma que obtemos: 
2
1dr du d
dt u d dt


  (2.15B) 
 
Usando a eq (2.12), 
2/L mr  , temos: 
 
 
2 2
1dr du L
dt du mr
  , (2.16A) 
o que nos leva a: 
dr L du
dt m d
  . (2.16B) 
Calculando a segunda derivada, 
2
2
d r
dt
, resulta: 
 
 
2 2 2
2
2 2 2
d r L d u
u
dt m d
  (2.17) 
 
Substituindo (2.15) e (2.17) em (2.14), obtemos a equação de movimento em termos das 
variáveis ( , )u  : 
 
 
2
2
2 2
d u m
u zZe
d L
   (2.18) 
 
Lembrando que L mvb , a equação acima assume a forma: 
 
 
2 2
2 2 2vd u zZe
u
d m b
   , (2.19) 
2
2 22
d u D
u
d b
   , (2.19B) 
 
onde 
2
2
0
1 v
2
zZe
D
m
 ou 
2
0
zZe
D
K
 , (2.20) 
representa a distância máxima de aproximação da partícula  em relação ao núcleo numa colisão 
frontal ( 0K é a energia cinética inicial da partícula). Este é o ponto em que a energia potencial se 
iguala à energia cinética inicial, isto é, o ponto de reversão do movimento, onde toda energia cinética 
inicial se transforma em energia potencial. De fato, tomando a energia mecânica inicial do sistema 
como sendo a energia cinética da partícula-- , 2
0
1 v
2Total
E m , a mesma deve se converter 
integralmente em energia potencial no ponto de reversão do movimento em choque frontal (ponto de 
máxima aproximação), ou seja: 
2 2
0 0
1 v /
2Total
E m zZe r  , que implica em 
0r D . 
 Nossa tarefa agora consiste em resolver a Eq. (2.19B), que é uma diferencial de segunda 
ordem, linear e não-homogênea. A solução desta equação é dada pela soma da solução da parte 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Modelo atômico de Thomson e Rutherford) 14 
homogênea com a solução da parte não-homogênea. A equação homogênea tem a forma: 
2 2/ 0d u d u   , cuja solução é: ( ) cosu A Bsen    . Logo, a solução geral é dada por: 
2( ) cos 2
Du A Bsen
b
     ; onde A e B são duas constantes arbitrárias a serem determinadas 
pelas condições iniciais do problema, que são dadas pela geometria do problema. Portanto: 
 
 
21 cos / 2A Bsen D b
r
    (2.21) 
 
No ponto inicial do movimento (infinitamente distante do núcleo), a partícula alfa tem 
coordenadas dadas por: 
 
  0 0e r u    
Substituindo essa condição assintótica na eq. (2.21), obtemos: 
20 / 2A D b  , o que nos leva a: 
2/ 2A D b . Resta ainda determinar a constante B, o que pode ser feito notando que na situação 
inicial a velocidade da partícula é dada por 0v , ou seja, quando [ e 0]r   , temos 
0v
dr
dt
 . Substituindo esta condição assintótica na Eq. (2.16B), aqui reescrita na forma: 
( cos )
dr L
Asen B
dt m
     , obtemos: 0v
L
B
m
   , o que equivale a ter: 1/B b . 
 
Desta forma, a Eq. (2.21) assume a forma: 
2 2
1
cos
2 2
D D
u sen
bb b
    , (2.22) 
que equivale ao seguinte resultado final: 
 
  2
1 1
cos 1
2
D
sen
r b b
    . (2.23) 
 
Esta é a equação da trajetória da partícula alfa em coordenadas polares, com as condições 
assintóticas já implementadas, e que servirá de base para determinação do ângulo de espalhamento 
e da distância máxima de aproximação do núcleo. Importante destacar que tal equação descreve a 
trajetória de movimento de apenas uma partícula alfa espalhada. Um experimento de Rutherford 
envolve várias partículas incidindo sobre a folha metálica por unidade de tempo. Como veremos mais 
à frente, tal equação é o ponto de partida para determinar o número de partículas espalhadas por 
elemento de ângulo sólido, ou seja, no intervalo angular [ , ]d   , dado essencial para a 
comparação dos resultados experimentais com as previsões do modelo teórico de Rutherford. 
 
Determinação do Ângulo de Espalhamento: 
 
Para determinar o ângulo de espalhamento da partícula, é necessário que consideremos 
a condição assintótica: r  e '  , sendo ' o ângulo de espalhamento, ou seja, o ângulo 
sob o qual a partícula se desloca quando se afasta bastante do núcleo ( r  ). Implementando 
esta condição assintótica na eq. (2.23) obtemos: 
 
1 cos ' 2
'
b
sen D



 (2.24) 
Usando a identidade trigonométrica,  2 1' (1 cos ')2 2sen
   , ocorre a seguinte simplificação: 
 
   
 
 
2 ' '22 2 2
' ' '2 cos cos
2 2 2
sen senb
D sen
 
  
  , 
o que conduz ao resultado: 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Modelo atômico de Thomson e Rutherford) 15 
  2 '2
b
tg
D
 . (2.25) 
A expressão (2.25) é importante porque relaciona o ângulo de espalhamento com o parâmetro de 
impacto, sendo usada nos desenvolvimentos posteriores. Desta última equação, o ângulo de 
espalhamento resulta igual a: 
2
' 2
b
arctg
D

 
  
 
. 
 Vale destacar que ' é o ângulo de espalhamento medido a partir da direção inicial do 
feixe incidente. É possível também trabalhar com o ângulo de espalhamento medido a partir do eixo-x 
positivo, dado por '    (de acordo com a Fig. 14). Podemos então expressar o ângulo de 
espalhamento também em termos de  . Para isto, calculamos primeiramente a  '/ 2tg  em termos 
do ângulo  , ou seja:     
 
 
 
cos / 2
'/ 2 / 2 / 2 cot / 2
/ 2
tg tg g
sen

   

    . Substituindo esse 
resultado na eq. (2.25), escrevemos: 
 
  2 cot 2
b
g
D
 , (2.26) 
de cuja fórmula o ângulo de espalhamento pode obtido: 
 
2
2
b
arccotg
D

 
  
 
. (2.27) 
 
Determinação da Distância de Aproximação Máxima do Núcleo (R): 
 
A partir da geometria da Fig. 14, é possível concluir que o ponto de menor distância ao 
núcleo, isto é r = R, tem coordenada angular dada por: '
2r R


 , uma vez que este segmento 
representa a bissetriz do ângulo ' . Esta coordenada angular, / 2 / 2 / 2     , quando 
substituída na eq. (2.23) conduz a: 
    21 1cos 12 2 2 22
D
sen
R bb
       
  
, (2.28) 
que pode ser simplificada à forma: 
 
        2 2 21 1 11 cos cos2 2 2 22 2 2
D D D
sen sen
R b bb b b
          
  
 (2.29) 
Fazendo uso agora de cot ( / 2)
2
D
b g  , temos: 
 
2 2 2 2
4 ( / 2) 2cos( / 2)1 2
,
cot ( / 2)cot ( / 2) 2 cot ( / 2)
DsenD
R D gD g D g
 
 
    
Tirando mínimo desta expressão e, realizando simplificações, obtemos: 
 
 
 2 2
2
( / 2) 1 ( / 2) cos ( / 2) ( / 2)1 2
cos ( / 2)
sen sen sen
R D
   

    
   
  
, 
cuja simplificação final conduz à expressão: 
 
1
1
2 ( / 2)
D
R
sen 
 
  
 
. (2.30) 
Considerando a eq. (2.26), este resultado pode também ser expresso na forma: 
 
( / 2) 1
cos( / 2) cos( / 2)
sen
R b

 
 
  
 
. (2.31) 
 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Modelo atômico de Thomson e Rutherford) 16 
A validade da fórmula anterior pode ser verificada em duas situações limites: colisão exatamente 
frontal e ausência de colisão (partícula não espalhada). Quando   , temos uma colisão frontal, 
pois o ângulo de espalhamento igual a 180
o
 indica recuo sobre a trajetória inicial. Nesta situação, a 
Eq. (2.30) nos fornece, por substituição direta, o resultado R D , confirmando a interpretação já 
apresentada do parâmetro D como sendo a distância máxima deaproximação do núcleo. Observe 
que neste caso o parâmetro de impacto é nulo. 
Por outro lado, quando 0  , temos o caso em que a partícula alfa não é espalhada pelo núcleo, 
ou seja, passa reta. Substituindo 0  na Eq. (2.31) temos R b , o que é consistente com o 
conceito de parâmetro de impacto. Vemos assim que o resultado obtido é consistente com as 
diversas possibilidades de espalhamento. 
Como um exemplo simples de aplicação, procedemos agora ao cálculo do valor da 
distância máxima de aproximação, D, para a colisão frontal de uma partícula- , cálculo este que 
revela indiretamente o tamanho máximo do raio do núcleo. Tomamos partículas- com velocidade 
de 
9v 1,6 10 /cm s   , aproximando-se de um núcleo de cobre ( 29Z  ). Partindo da expressão, 
2
21 v
2
zZe
D
m 
 , temos: 
 
10 2
12 14
24 9 2
2 29 (4,8 10 )
1,7 10 1,7 10
1 (4 1,67 10 )(1,67 10 )
2
D cm m

 

  
   
  
. 
Este valor representa o raio máximo do núcleo deste átomo, uma vez que a partícula- não chega a 
tocar no núcleo no momento da reversão do seu movimento, devido à forte interação coulombiana. 
Este tipo de cálculo revelou, pela primeira vez, a ordem de grandeza da dimensão máxima do núcleo. 
Verificou-se assim que o núcleo não poderia ser maior que 10
-14 
m, uma boa estimativa para a época. 
 
 
Parâmetro de Impacto e Secção de Choque 
 
Sabe-se que o parâmetro de impacto calculado anteriormente, dado pela Eq. (2.26), 
evidencia uma relação direta desta grandeza com o ângulo de espalhamento  . Observando a 
figura abaixo, percebe-se que toda partícula que se aproxima do núcleo com parâmetro de impacto 
menor que b, será espalhada com um ângulo  maior que o , que é o ângulo correspondente ao 
parâmetro b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15: Representação da partícula se aproximando de um núcleo em vários parâmetros de 
impacto diferentes. 
 
Consideremos um feixe de partículas- de intensidade 0I (número de partículas 
incidentes por segundo por unidade de área), dada por: 
 
0 /I N A , (2.32) 
 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Modelo atômico de Thomson e Rutherford) 17 
onde N é o número de partículas incidentes por segundo e A designa a área de seção transversal do 
feixe. A seção de choque ( ) é uma grandeza com dimensão de área que indica a razão do 
número de partículas espalhadas (por núcleo) numa dada janela angular pelo número de partículas 
incidentes por unidade de área, ou seja: 
 
/
dN
N A
  . (2.33) 
Desta definição, fica fácil perceber porque a seção de choque tem dimensão de área. Entretanto, tal 
definição não basta para produzir um entendimento mais físico acerca desta grandeza. Para isto, 
voltemos à situação representada na Fig. 15, onde observamos que o número total de partículas 
espalhadas (pelo núcleo) em um ângulo maior que o , dN , equivale ao número de partículas que se 
aproxima do mesmo com parâmetro de impacto menor que b, ou seja, todas aquelas contidas na 
seção transversal circular de área 
2b , medida em torno do núcleo. Este número pode ser escrito na 
forma: 
 
2
0dN b I , (2.34) 
onde 0I representa a intensidade do feixe. Como todas as partículas incidentes neste pequeno disco 
são espalhadas num ângulo igual ou maior que o , diz-se que a área 
2b representa a seção de 
choque para espalhamentos em ângulos maiores que o . Vemos assim o significado físico deste 
conceito: equivale à seção de área efetiva que um único núcleo (centro espalhador) apresenta (ou 
representa) para espalhar um feixe de partículas em determinada região (janela) angular. No caso da 
Fig. 15, o intervalo angular é 180oo   . 
 Até o presente momento, fizemos o tratamento do espalhamento das partículas- de um 
feixe por um único núcleo. Num experimento real do tipo realizado por Geiger & Marsden, entretanto, 
existem diversos núcleos (centros espalhadores) defletindo muitas partículas- simultaneamente. 
Todas estas partículas atingem o mesmo ponto do anteparo de detecção, e é impossível afirmar qual 
núcleo defletiu cada uma delas. Na verdade, como os núcleos espalhadores estão contidos numa 
pequena região do alvo (um ponto que tem a dimensão da área de seção do feixe de partículas-  , 
que costuma ser muito estreito), podemos supor que todas as trajetórias das partículas espalhadas 
possuem o mesmo ponto de origem, ou seja, o mesmo ponto de impacto do feixe com o alvo. Na 
escala macroscópica do experimento, onde estaremos medindo apenas os ângulos de deflexão no 
anteparo, esta é uma aproximação muito boa. 
 Dentro deste cenário de múltiplos centros espalhadores, é necessário obter um resultado 
que permita prever quantas partículas estarão atingindo determinada região do anteparo (por unidade 
de tempo). Seja  o número de núcleos espalhadores contidos na folha metálica por cm
3
. Numa folha 
de espessura t, há n núcleos espalhadores, sendo que: n At ; onde A é a seção de área da folha 
atingida pelas partículas, ou seja, equivale à própria seção transversal do feixe de partículas. Nesta 
situação, o número total de partículas espalhadas será dado pelo número de partículas espalhadas 
por um núcleo multiplicado pelo número de núcleos espalhadores: 
  2 20 0dN b I At b t I A     . (2.35) 
Aqui o termo
0N I A representa o número de partículas incidentes sobre a folha na 
área transversal A; dN equivale ao número de partículas espalhadas com o  . Desta forma, 
conseguimos determinar a fração de partículas- espalhadas em ângulos maiores que o , dada na 
forma: 
 
2 2 
dN
dN N b t b t
N
      . (2.36) 
 O resultado da eq. (2.36) não favorece uma fácil comparação com dados experimentais, 
pois envolve o número de partículas espalhadas em uma grande região do anteparo (toda região 
corresponde a ângulos o  ). Para a determinação experimental do número de partículas ser 
efetuada de forma mais precisa, é necessário restringir a região do plano em que as partículas serão 
detectadas e contadas. Isto é feito quando decidimos contar o número de partículas espalhadas por 
um núcleo entre os ângulos [ , ]d   , ou seja, em uma janela angular infinitesimal que subtende 
um elemento de ângulo sólido. Estas são as partículas do feixe incidente que possuem parâmetro de 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Modelo atômico de Thomson e Rutherford) 18 
impacto situado no intervalo [b, b + db]. Quantitativamente, este número equivale ao número de 
partículas dn que incide sobre o anel de espessura db, de área 2 bdb ,conforme a Fig. 16. 
Podemos então escrever: 
 0 (2 )dn I bdb , (2.37) 
e definir a seção de choque ( d ) para os espalhamentos no intervalo [ , ]d   : 
 
0
2
dn
d bdb
I
   , (2.38) 
que corresponde à área delimitada pelo anel infinitesimal de espessura db centrado em torno 
do núcleo. Podemos agora obter o fator bdb partindo da expressão (2.27) para o parâmetro de 
impacto (b), e derivando implicitamente: 
 
2
2 3
/ 2 cos / 2
 
2 / 2 8 / 2
D d D
db bdb d
sen sen
 

 
     ; (2.39) 
 usando 2 ( / 2)cos( / 2)sen sen   , temos: 
 
2
4162
D sen
bdb d
sen



  . (2.40) 
Desta forma, obtemos uma expressão para a quantidade dn em função do ângulo de espalhamento, 
a saber: 
 
 
2
0
4
2
16
2
D sen
dn I d
sen

 

 . (2.41) 
 Aqui, dn representa o número de partículas espalhadas por 1 núcleo na janela angular [ , ]d   . 
A seção de choque diferencial - ( )  - é definida na forma: 
 
 ( ) 
d
d

   

 ( )d d    , (2.42) 
onde sind d d    é o elemento de ângulo sólido, e d está dado pela eq. (2.38). Isto mostra 
que ( )  representa a área de seção para espalhamentos no elemento de ângulo sólido d . 
Integrando (2.42) na variável angular ( ), resulta: 
 2 ( )sind d     . (2.43) 
Lembrando que 
0/d dn I  e o resultado (2.41), temos: 
 
2
4
1
2
16
2
D
d sen d
sen
   

 . (2.44) 
Comparando as eqs. (2.43) e (2.44), surge o resultado: 
 
 
2
4
1
( )
4
2
D
sen
 

 
  
 
, (2.45) 
 
que é a seção de choque diferencial de Rutherford. Esta fórmula é usualmente encontrada e 
deduzida em livros de Mecânica Clássica
10
. A seção de choque diferencial (em espalhamentos de 
partículas) é medida em barns, sendo 1 barn = 10
-24
 cm
2
. Observe a pequenez desta unidade, 100 
milhões (10
8
) de vezes menor que área de seção de um átomo. 1 barn tem a mesma ordem de 
grandeza da área de seção do núcleo atômico: 1 barn = (10
-12 
cm)
2
. 
 
10
 Vide ref. [7], pg. 328, Cap. 8. 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Modelo atômico de Thomson e Rutherford) 19 
 Estamos agora próximos do resultado desejado: obter o número total de partículas 
espalhadas na janela angular [ , ]d   . Para isto, é necessário ainda multiplicar o número de 
partículas espalhadas por 1 único núcleo, dada pela eq. (2.41), pelo número de núcleos espalhadores 
( At ): 
 dN Atdn  20
48
2
sen
dN AtI D d
sen
 
 

 . (2.46) 
Dado que 
0 / ,I N A obtemos: 
2
48
2
sen
dN N t D d
sen
 
 

 (2.47) 
 
Esta expressão equivale ao número de partículas espalhadas no intervalo angular [,  + d], sendo a 
fração (razão) espalhada igual a: 
 
2
48 ( / 2)
dN sen
t D d
N sen
 
 

 (2.48) 
 
Este mesmo resultado pode ser escrito em termos da seção de choque diferencial: 
 ( ) ( )
dN
t d
N
    . (2.49) 
 
 Podemos ainda escrever a seção de choque total, que é a integral da seção de choque 
diferencial em todo espaço angular, ou seja: 
 
0
( ) 2 ( )sin .d d

           (2.50) 
 
 
 
 Fig. 16: Ilustração da seção de choque diferencial ( 2d bdb  ) para espalhamento de 
partículas com parâmetro de impacto entre b e b+db no intervalo angular [ , ]d   , que corresponde ao 
elemento de ângulo sólido 2 sind d    . 
 
 
 
 
 
Verificação Experimental dos Resultados previstos pelo Modelo Teórico de Rutherford e 
conclusão 
 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Modelo atômico de Thomson e Rutherford) 20 
 Uma vez deduzida as Eq. (2.45) e (2.49), feito realizado por Rutherford em 1911, Geiger 
& Marsden predispuseram-se a realizar inúmeros testes experimentais para verificar tais fórmulas
11
. 
Importante destacar que o estabelecimento da consistência da fórmula (2.40) equivalia a validar a 
idéia de átomo de Rutherford. E foi exatamente através deste tipo de comparação que este modelo 
atômico foi aceito pela comunidade científica como representativo da estrutura do átomo. Quando 
Geiger & Marsden publicaram em 1913 os resultados de suas extensas e minuciosas investigações 
sobre espalhamento de partículas alfa, o modelo de Rutherford estava sendo validado pela 
experiência. Nestes experimentos, Geiger & Marsden realizaram diversas repetições do mesmo 
esquema, variando a largura da folha metálica, a energia cinética das partículas incidentes, e 
varrendo o intervalo angulares de 5 a 150
o
. Chegaram as seguintes conclusões: 
- A dependência angular da Eq. (2.41) foi verificada e confirmada, sendo observada a concordância 
(com pequeno erro percentual) das previsões teóricas com os dados experimentais para a quantidade 
/dN N para ângulos que variaram de 5° a 150°. 
- A dependência linear em t da quantidade /dN N foi confirmada para folhas finas; 
- A dependência de /dN N em termos do inverso do quadrado da energia cinética da partícula alfa 
incidente,  
2
1/ K , foi confirmada. 
 Ademais, um dos resultados obtidos nesta longa série de experimentos foi a possibilidade 
de estimar o número atômico Z dos átomos das folhas metálicas. Importante destacar que, na época, 
o número atômico de diversos elementos químicos ainda era desconhecido. Por volta de 1913, o 
método mais preciso para determinação do número atômico dos elementos químicos estava sendo 
desenvolvido pelo jovem H.G. Moseley (na universidade de Manchester) e envolvia a difração de raio-
x. Com o seu método, Moseley conseguiu determinar com boa precisão o número atômico de alguns 
elementos de médio peso (titânio, cromo, magnésio, ferro, cobalto, níquel, cobre, zinco). Destes 
resultados, foi estabelecido uma relação aproximada para o número atômico: / 2Z A , onde A é a 
massa atômica. Os experimentos de Geiger & Marsden ofereceram um método diferente e 
independente de obter o número atômico, especialmente para metais pesados. 
 
 É também importante destacar que a dedução feita aqui da seção de choque de 
espalhamento e da fração de partículas espalhadas (dN/N) é totalmente clássica, ou seja, não 
envolve nenhum preceito da Mecânica Quântica. Sabemos atualmente que sistemas atômicos e 
moleculares são bem melhor descritos pelas leis da física quântica. Uma questão interessante então 
seria perguntar como a fórmula de Rutherford, clássica em sua essência, descreve tão bem um 
fenômeno que se passa na escala atômica, reino onde as leis da física clássica em geral falham. 
Ocorre que, por uma coincidência da natureza, a seção de choque deste espalhamento calculada por 
meio das leis da Mecânica Quântica, é inteiramente igual a aqui derivada
12
. Isto explica como a 
fórmula de Rutherford explicou tão bem os dados experimentais. Se a fórmula quântica fosse 
diferente da clássica, provavelmente Rutherford não teria confirmado ou mesmo chegado as suas 
conclusões sobre a estrutura atômica tão cedo. Hoje, sabe-se que tal coincidência ocorre apenas 
para o potencial coulombiano (
21/F r ): para qualquer outro potencial com dependência diferente 
do quadrado do inverso da distância, a seção de choque clássica é diferente da seção de choque 
quântica. Mais um dos milagres protagonizados pela lei de forças Coulombiana, a exemplo de tantos 
outros, como a lei de Gauss. 
É imprescindível também ressaltar que o átomo de Rutherford teve profundas implicações no 
cenário científico. Uma das questões abertas desde o final do século XIX diz respeito à natureza 
discreta do espectro atômico (formado por um conjunto enumerável de linhas espectrais). Explicar 
tais séries tomando como pressupostoas leis do eletromagnetismo de Maxwell mostrou-se desde o 
início uma tarefa impossível. Com o passar dos anos, permanecia o impasse, sem qualquer avanço 
teórico nesta direção. A primeira teoria que conseguiu abordar esta questão com sucesso foi proposta 
por Bohr, que em 1913 concebeu um modelo atômico baseado no átomo planetário de Rutherford, 
inserindo dentro deste contexto hipóteses de quantização. Os postulados de Bohr, embora 
constituam um conjunto de idéias contraditórias, por misturar as leis da Física Clássica com princípios 
de quantização, representou um fundamental avanço na explicação da estrutura do átomo, só 
superada definitivamente pela formulação da Mecânica Quântica, a partir de 1925-26. Considerando-
se que o modelo de Bohr é formulado em cima das concepções de Rutherford, fica patente a 
importância histórica deste modelo para o desenvolvimento da Física no século XX. 
 
11
 Vide ref. [7]. 
12
 Vide ref. [9], pg. 959, Cap. VIII. 
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Modelo atômico de Thomson e Rutherford) 21 
 
 Por fim, pode-se dizer que a técnica de investigação da natureza, pioneiramente 
desenvolvida por Geiger, Marsden e Rutherford, rendeu muitos e muitos frutos ao longo do Séc. XX. 
De fato, o espalhamento de partículas tornou-se o principal tipo de sonda usada pelo físicos de 
partículas para obter informações sobre a estrutura do átomo, do núcleo atômico, dos constituintes do 
núcleo atômico (prótons e nêutrons), e todo tipo de partícula composta. Tornou-se ainda uma 
importante ferramenta para descoberta de novas partículas elementares na era dos grandes 
aceleradores de partículas, iniciada nos anos 50. Nos anos 60, o deep ineslastic scattering 
(espalhamento inelástico profundo) entre dois prótons em grandes aceleradores revelou que os 
hádrons (prótons, nêutrons e mésons) possuem pontos de concentração de carga no seu interior, 
identificados como sendo os quarks. Vemos assim que, 50 anos mais tarde, o método de 
espalhamento inventado por Rutherford, mostrou-se importante para verificar a realidade do modelo 
dos quarks. 
 
Breve biografia de Ernest Rutherford (1871-1931): 
 
Ernest Rutherford nasceu em 1871, cidade de Brightwater, Nova Zelândia, em uma família de 
colonizadores britânicos. Foi o quarto filho em uma família de 12 irmãos. Estudou no “Nelson College” e 
“Canterbury College”, ambos na Nova Zelândia. Em 1895, conseguiu ingressar na Universidade de Cambridge, 
onde foi admitido como aluno de J.J. Thomson, então diretor do Laboratório Cavendish. Teve a felicidade de 
iniciar seus estudos na Inglaterra num período de importantes e férteis descobertas que iriam influenciar 
decisivamente sua carreira: em 1895, W. K. Röntgen descobriu os raios-x, em 1896 H. Becquerel descobriu a 
radioatividade, em 1897 J.J. Thomson descobriu o elétron. Seguindo a tradição de pesquisa do Laboratório 
Cavendish, Rutherford esteve inicialmente interessado no estudo da influência da radioatividade e dos raios-x na 
condutividade elétrica dos gases. Em 1898, trabalhando junto com J.J. Thomson, Rutherford mostrou que os 
raios-x e a radioatividade afetam a condutividade elétrica dos gases de maneira similar. Já nesta época, foi 
capaz de identificar a existência de dois tipos de radioatividade, designadas de raios-alpha e raios-beta. Os 
resultados destes trabalhos lhe valeram uma posição de professor pesquisador no recém-inaugurado Macdonald 
Laboratório de Física da Universidade McGill, em Montreal – Canadá. Em 1898, Rutherford relatou a observação 
de partículas alpha e beta rays na radiação emitida pelo Urânio, na época conhecida como raios de urânio. 
Em 1898, Rutherford embarcou para Montreal, levando consigo algumas amostras radioativas de sais 
de Urânio e Tório. Na universidade McGill, Rutherford iniciou uma profícua colaboração com um químico formado 
em Oxford, Frederick Soddy (1877-1956). Rutherford e Soddy realizaram diversas investigações sobre os 
diferentes tipos de radioatividade. Foi nesta época que eles descobriram as emanações radioativas do tório e 
rádio, e a teoria da desintegração radioativa, que considerava a radioatividade como um fenômeno atômico em 
vez de molecular. A teoria da desintegração radioativa explicou o fenômeno da radioatividade como sendo a 
emissão de partículas (alpha, beta, gamma) por um átomo que se transforma (decai) em outro átomo diferente. 
Esta teoria causou grande impacto na época, principalmente entre os químicos, que viram nela a concretização 
da transmutação entre os elementos químicos. Tanto que, em 1907, Rutherford foi agraciado com o prêmio 
Nobel de química. Em 1922, F. Soddy também foi agraciado pelo Nobel de química, também por este feito. 
Em 1907, Rutherford recebeu convite para ocupar a cátedra de Professor Langworthy da universidade 
de Manchester. Foi na universidade de Manchester que foram realizados os célebres experimentos de 
espalhamento de partículas- por finas folhas metálicas, por Geiger & Marsden. Foi também na neste local que, 
em 1917, Rutherford observou a primeira transmutação química artificialmente produzida (transmutação 
induzida), bombardeando átomos de nitrogênio com partículas- , gerando oxigênio e prótons: 
14 18
7 8N p O   . Trata-se da primeira desintegração nuclear induzida da história. Esta descoberta foi de 
fundamental importância para o desenvolvimento de estudos sobre o núcleo atômico (Física Nuclear) e para a 
posterior descoberta do nêutron, em 1932, no Laboratório Cavendish. 
Em 1919, Rutherford aceitou o convite para suceder Sir J. J. Thomson na cátedra de Professor 
Cavendish de Física, na Universidade de Cambridge. Agora, o Laboratório Cavendish, onde Rutherford havia 
trabalhado entre 1895 e 1898 como assistente de Thomson, estava sob sua direção. E sob sua chefia, novas e 
impactantes descobertas continuaram a ocorrer neste laboratório, consagrando-o como o mais importante centro 
de estudos sobre a estrutura nuclear nos anos 20 e início dos anos 30. Decididamente, Rutherford estava no 
meio das maiores descobertas que envolviam o nascimento da física do núcleo atômico. 
Sendo a grande liderança do Laboratório Cavendish, Rutherford teve sob sua orientação inúmeros 
jovens talentosos, que desenvolveram trabalhos de grande envergadura que valeram futuramente o prêmio 
Nobel de Física. Nesta lista, podemos citar James Chadwick (pela descoberta do núcleo atômico), Blackett 
(pelo desenvolvimento de método e uso da câmera de nuvens de Wilson, e suas descobertas em Física 
nuclear/raios cósmicos), Cockcroft e Walton (pelo trabalho pioneiro sobre a transmutação atômica induzida por 
partículas atômicas artificialmente aceleradas - no próprio acelerador inventado por ambos). Ao mesmo tempo, 
podemos citar outros pesquisadores laureados com o Nobel, que colaboraram com Rutherford nas dependências 
do Laboratório Cavendish: G.P. Thomson, Appleton, Powell, and Aston. Em resumo, pode-se dizer que o legado 
das contribuições de Rutherford à Física do século XX tem valor verdadeiramente incalculável. 
 
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1951/index.html
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1937/index.html
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1947/index.html
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1950/index.html
http://nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/1922/index.html
Prof. Manoel M. Ferreira Jr (Física Moderna: Modelo atômico de Thomson e Rutherford) 22 
 
 
REFERÊNCIAS 
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Kingdom, 2003. 
[2] A. PAIS, Inward Bound – of Matter and forces in the physical word, Oxford University Press, New 
York, 1986. 
[3] N. BOHR, “Sobre a constituição de átomos e moléculas”, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa, 
1963. 
[4] E. RUTHERFORD, “The Scattering of  and  particles by matter and the structure of the atom”,Philosophical Magazine Series 6, 21, 669 (1911). 
[5] H. GEIGER & E. MARSDEN, “The laws of Deflection of  particles through large angles”, 
Philosophical Magazine Series 6, 25, 604 (1913). 
[6] Francisco Caruso, Vitor Oguri, “Físca Moderna: Origens Clássicas e Fundamentos Quânticos”, 
Editora Elsevier Ltda, Rio de Janeiro (2006). 
[7] J. Marion & S. Thornton, “Classical Dynamics of Particles and Systems”, Hacourt Brace 
Javanovich Publisher, third edition, 1988. 
[8] H. Geiger & E. Marsden, “On a diffuse reflection of the  -particles”, Proceedings of the Royal 
Philosophical Society 82, 495-500 (1909); H. Geiger, “The scattering of  -particles by matter”, 
Proceedings of the Royal Society A83, 492-504 (1910). 
[9] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, “Quantum Mechanics”, Vol. II, Hermann & John Wiley & 
Sons, Inc., 1977.