EDI 008 - 11

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Aula 11 – Dimensionamento de Vigas 
 
UNIDADE 4 – DIMENSIONAMENTO 
ESTRUTURAL BÁSICO 
 
 
 
 
 
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Aula 11: Dimensionamento de Vigas 
 
Uma viga é um elemento de barra e tem por função vencer vãos, trabalhando 
predominantemente aos esforços de flexão e cisalhamento. Ela estará solicitada à flexão 
normal simples, quando atuar sobre a mesma somente esforço de flexão, cujo plano de ação 
contenha um dos eixos principais de inércia da seção transversal. 
 
1. Concepção de Vigas 
Na primeira parte desta aula serão revisitados alguns conceitos já apresentados e 
inseridos e alguns outros novos para que se possa atingir os seguintes objetivos no 
dimensionamento básico das vigas, exceto armaduras, que são: 
• Fazer a verificação da estabilidade de um elemento estrutural; 
• Identificar quais são as tensões que ocorrem em uma viga quando submetida 
a cargas; 
Vale salientar que, analogamente aos estudos das lajes, o aprofundamento no assunto 
se dará em esfera básica devido as relações envolvidas neste estudo transcendem as 
concepções matemáticas abordadas no 2º grau e, portanto, não utilizadas neste curso. 
Pode-se dizer que esta aula é um complemento das 7 primeiras aulas onde foram dados os 
pré-requisitos para que se chegasse a este nível de entendimento por parte do aluno e 
agora, naturalmente, serão sequenciados de maneira a se tentar evidenciar “na prática” os 
conceitos nesta apostila demonstrados ao longo das aulas. O cálculo de armaduras para 
vigas não será abordado pela complexidade conceitual não demandada de técnicos. 
1.1. Definição 
Como sabido, Viga é uma Estrutura linear que trabalha, geralmente, em posição 
horizontal (ou inclinada), assentada em um ou mais apoios e que tem a função de suportar 
os carregamentos normais à sua direção. As vigas podem ser de Madeira, Concreto, Aço ou 
mistas. 
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1.2. Tensão em Elementos Estruturais 
Resposta dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações), aos esforços 
internos aplicados - força normal (N) que dá origem à tração ou à compressão, momento 
fletor (M) que dá origem à flexão, momento torçor (Mt – não abordado neste curso) que dá 
origem à torção e força cortante (V) que dá origem ao cisalhamento. 
A fórmula geral para qualquer que seja a tensão (Normal, flexão, torção ou 
cisalhamento) é a já conhecida e batida σ = F/A, que, já se sabe, significa: 
Tensão = 
Esforço Aplicado
Característica Geométrica da Seção Transversal
 
Estas grandezas podem ser resumidas no seguinte quadro: 
 
1.3. Tensão de Flexão em Vigas 
Em vigas, quando submetidas a esforços externos (carregamentos transversais com 
relação ao seu eixo longitudinal), ocorrem deformações de flexão devido ao esforço de 
momento fletor, surgindo desta forma as tensões de flexão. 
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As fibras superiores tendem a se aproximar (tensões de compressão) e as fibras 
inferiores tendem a se afastar (tensões de tração), quando ocorre o momento fletor 
positivo e o contrário, quando ocorre o momento fletor negativo, conforme ilustrado nas 
figuras (a) e (b), respectivamente. 
 
1.4. Diagrama de Tensões Resultantes 
Resumidamente, ao analisarmos a figura (a), observamos que a tensão máxima de 
compressão ocorre na fibra superior e a tensão máxima de tração ocorre na fibra inferior da 
viga: 
 
Colocando-se os esforços de compressão nas fibras superiores, tração nas fibras 
inferiores e ainda nenhum esforço na fibra central, pode-se obter o diagrama de tensões, 
conforme ilustrado na figura (lembrando que a viga está submetida a esforço de momento 
fletor positivo). 
 
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A linha apontada na imagem acima será estudada nesta aula. O ponto de transição 
entre a compressão e a tração é chamado Ponto Neutro, e sua definição será dado adiante. 
1.5. Hipótese Fundamental da Teoria da Flexão – Lei de Navier 
As seções planas de uma viga, tomadas normalmente a seu eixo, permanecem planas 
após a viga ser submetida à flexão. Essa conclusão é válida para vigas de qualquer material, 
seja ele elástico ou inelástico, linear ou não-linear. As propriedades dos materiais, assim 
como as dimensões, devem ser simétricas em relação ao plano de flexão. 
As linhas longitudinais na parte inferior da viga são alongadas (tracionadas), enquanto 
aquelas na parte superior são diminuídas (comprimidas). 
1.6. Superfície Neutra 
É uma superfície em algum lugar entre o topo e a base da viga em que as linhas 
longitudinais não mudam de comprimento. 
Linha Neutra – é a interseção da superfície neutra com qualquer plano de seção 
transversal. Na LN, não há esforço, nem de tração, nem de compressão. 
Para materiais homogêneos (aço, madeira, concreto simples), a LN passa no centro de 
gravidade (CG) da seção transversal, como mostra a figura: 
 
Façamos agora a análise das distâncias entre as seções transversais e 
consequentemente dos esforços nas fibras superiores, inferiores e na LN em alguns pontos 
da viga ilustrada na figura: 
 
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2. Tensões na Flexão 
Esta tensão é a resposta da viga decorrente da flexão. A flexão aparece em uma viga 
devido ao esforço interno aplicado - momento fletor (M). 
 
Convenções: 
a) Tensão de flexão/compressão: positiva; 
b) Tensão de flexão/tração: negativa. 
A fórmula geral se dá por: 
σf =
M . y
ILN
 
Onde: 
σf: tensão de flexão (σfc ou σft); 
M : Momento fletor na seção considerada; 
y: distância da LN à fibra considerada; 
ILN; momento de Inércia em relação à Linha Neutra. 
Exemplo: Determinar as tensões de flexão nas fibras 1e 2, superior e inferior dos 
pontos D e B da viga abaixo: 
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Resolução: 
1º Passo: com as dimensões da seção da viga conhecidas, calcula-se o momento de 
inércia para o primeiro ponto, que será D. Como a seção é retangular, o momento de Inércia 
será (fórmula já estipulada em aula anterior) e as Tensões no ponto: 
Acima da linha Neutra (LN): 
ILN =
bh³
12
 → ILN = 
10 . 50³
12
 → ILN = 104167 cm
4 
Fibra 1: 
σf1 = 
M . y
ILN
 → σf1 =
30 . 12,5 . 100
104167
 → σf1 = 0,36 kN/cm² 
Fibra Superior: 
σfs = 
M . y
ILN
 → σfs =
30 . 25 . 100
104167
 → σfs = 0,72 kN/cm² 
Note que o valor 100 na fórmula acima serve para transformar o momento fletor de 
kNm para kNcm. O resultado foi positivo, logo a tensão de flexão na fibra superior no ponto 
D (meio do vão) é de compressão. 
Fibras abaixo da Linha Neutra: 
Fibra 2: 
σf2 = 
M . y
ILN
 → σf2 =
30 . − 12,5 . 100
104167
 → σf2 = − 0,36 kN/cm² 
Fibra Inferior: 
σfi = 
M . y
ILN
 → σfi =
30 . − 25 . 100
104167
 → σfi = − 0,72 kN/cm² 
O resultado foi negativo, logo a tensão de flexão na fibra inferior no ponto D (meio do 
vão) é de tração. Diagrama das tensões de flexão no ponto D: 
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2º Passo: Mesmos cálculos de tensões para o ponto B: 
Fibras acima da Linha Neutra: 
σf1 = 
M . y
ILN
 → σf1 =
−20 . 12,5 . 100
104167
 → σf1 = − 0,24 kN/cm² 
σfs = 
M . y
ILN
 → σfs =
− 20 . 25 . 100
104167
 → σfs = − 0,48 kN/cm² 
O resultado foi negativo, logo a tensão de flexão na fibra superior no ponto B (apoio) é 
de tração. 
Fibras abaixo da L.N.: 
σf2 = 
M . y
ILN
 → σf2 =
− 20 . − 12,5 . 100
104167
 → σf2 = 0,24 kN/cm² 
σfi = 
M. y
ILN
 → σfi =
− 20 . − 25 . 100
104167
 → σfi = 0,48 kN/cm² 
O resultado foi positivo, logo a tensão de flexão na fibra inferior no ponto B (apoio) é 
de compressão. 
2.1. Verificação da Estabilidade 
Para não haver rompimento, ou para que haja estabilidade, é necessário que as 
tensões aplicadas a uma viga obviamente sejam menores que ela suporta. A seguinte 
função é destacada para essa verificação: 
Tensão Admissível ≥ Tensão Máxima . Coeficiente de Segurança 
Portanto, para que se verifique a estabilidade à flexão de uma viga, as inequações 
abaixo devem ser obedecidas, tanto para a seção de Momento Fletor máximo positivo 
como para a seção de Momento Fletor máximo negativo. Não veremos neste curso o 
dimensionamento de armaduras de Vigas, porém, seu dimensionamento, que é complexo a 
nível técnico, devem ser dimensionadas de tal modo que satisfaçam as inequações. 
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σfc ≥ σfcmáx. atuante . 1,4 
σft ≥ σftmáx. atuante . 1,4 
Onde 1,4 é o coeficiente que indica que a tensão admissível ou de cálculo deve ser 40% 
superior à que realmente suporta. A barra acima dos símbolos de tensão de flexão indica 
que esta tensão é uma tensão admissível. 
Na verificação da estabilidade à flexão, o que interessa são as tensões máximas de 
flexão (tração ou compressão). Portanto, as tensões máximas de flexão ocorrem nas seções 
de momento fletor máximo positivo e negativo nas fibras superior e inferior da seção 
transversal de uma determinada viga. 
σfc ou ft máx =
Mmáx
+ ou− . y
ILN
 
As tensões máximas de flexão ocorrem nas seções de momento fletor máximo positivo 
e negativo nas fibras superior e inferior da seção transversal de uma determinada viga. 
As fibras superiores e inferiores são definidas a partir da LN (ysup e yinf), que passa pelo 
centro de gravidade da seção transversal, conforme ilustrado na figura. 
 
Exemplo: Seja o Diagrama de momentos fletores de uma viga onde 𝜎𝑓𝑐 =
2,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 e 𝜎𝑓𝑡 = 1,75 𝑘𝑁/𝑐𝑚², verificar se a viga as exigências de estabilidade. 
 
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1º Passo: Cálculo do Momento de Inércia 
ILN =
bh³
12
 → ILN = 
10 . 50³
12
 → ILN = 104167 cm
4 
2º Passo: Fibras Superiores e Inferiores 
Utilizaremos a fórmula da tensão admissível para os pontos limites de momento: 
σfc ou ft máx. = 
Mmáx
+ ou− . ysup. ou inf.
ILN
 
σfc máx. = 
50 . 25 . 100
104167
 → σfc máx. = 1,2 kN/cm
2(compressão) 
σft máx. = 
50 . − 25 . 100
104167
 → σft máx. = − 1,2 kN/cm
2(tração) 
3º Passo: Verificação 
Utiliza-se os valores das tensões em módulo, pois não teria sentido comparar uma 
tensão máxima com valor negativo com uma tensão admissível que é sempre positiva. 
Compressão: 
σfc ≥ σfc máx. . 1,4 → σfc = 2,0 kN/m² 
2 ≥ 1,2 . 1,4 
2 ≥ 1,68 (Ok, verifica) 
Tração: 
σft ≥ σft máx. . 1,4 → σft = 1,75 kN/m² 
1,75 ≥ 1,2 . 1,4 
1,75 ≥ 1,68 (Ok, verifica) 
Como as inequações relativas à flexão se verificaram, chega-se à conclusão de que a 
viga é estável considerando-se a flexão. 
3. Tensão de Cisalhamento 
Esta tensão é a resposta da viga decorrente do cisalhamento. O cisalhamento aparece 
em uma viga devido ao esforço interno aplicado - força cortante (chamaremos de V pois 
utilizaremos Q – que representava o cortante nas outras aulas - para Momento Estático). A 
tensão de cisalhamento é paralela ao plano da seção transversal, ao contrário da tensão de 
flexão que é normal ao plano da seção transversal, conforme ilustrado na Figura: 
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A tensão de cisalhamento é determinada segundo a equação dada abaixo: 
τ = 
V
bw . ILN
 . Q 
Onde: 
τ: Tensão de cisalhamento; 
V: Força cortante na seção considerada; 
Q: Momento Estático da área, definida pela fibra considerada, em relação à linha 
neutra; 
bw : Largura da seção transversal na fibra considerada; 
ILN: Momento de inércia em relação à Linha Neutra. 
Como visto na Aula 8, o Momento Estático de Área é o produto entre área (A) e 
distância (d) = A x d. Para a nossa análise, tem-se: 
A - Área compreendida entre a fibra analisada e a fibra superior; 
d – distância compreendida entre o centro de gravidade e a linha neutra. 
Para uma seção retangular, o comportamento das equações se dão conforme figura: 
 
Exemplo: Determinar as tensões cisalhantes nas fibras 1 e 2 e na fibra da LN na seção A 
da viga abaixo: 
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Resolução: 
1º Passo: Momento de Inércia 
ILN =
bh³
12
 → ILN = 
10 . 50³
12
 → ILN = 104167 cm
4 
2º Passo: Cálculo dos Cortantes 
Q1 = (b . h/4) . d → Q1 = (10 . 12,5) . 18,75 → Q1 = 2343,75 N 
QLN = (b . h/2) . d → QLN = (10 . 25) . 12,5 → QLN = 3125 N 
Q2 = (b . 3h/2) . d → Q2 = (10 . 37,5) . 6,25 → Q1 = 2343,75 N 
3º Passo: Cálculo da tensão de Cisalhamento 
τ1 = 
VA . Q1
bw . ILN
 → τ1 = 
25 . 2343,75
10 . 104167
 → τ1 = 0,056 kN/cm² 
τLN = 
VA . QLN
bw . ILN
 → τLN = 
25 .3125
10 . 104167
 → τLN = 0,075 kN/cm² 
τ2 = 
VA . Q2
bw . ILN
 → τ2 = 
25 . 2343,75
10 . 104167
 → τ2 = 0,056 kN/cm² 
4º Passo: Diagrama 
 
Obs.: nas fibras superior e inferior a tensão de cisalhamento é nula. 
3.1. Verificação da Estabilidade 
Analogamente às Tensões na Flexão, para não haver rompimento, ou para que haja 
estabilidade, é necessário que a seguinte inequação seja verificada: 
Tensão Admissível ≥ Tensão Máxima . Coeficiente de Segurança 
Onde 1,4 é o coeficiente que indica que a tensão admissível ou de cálculo deve ser 40% 
superior à que realmente suporta. Portanto, para que se verifique a estabilidade ao 
cisalhamento de uma viga, a inequação abaixo deve ser obedecida, para a seção de Força 
Cortante Máxima. 
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τ ≥ τmáx . 1,4 
Na verificação da estabilidade ao cisalhamento, o que interessa é a tensão máxima de 
cisalhamento. 
Exemplo: Verificar a estabilidade da viga quanto a tensão de cisalhamento, 
conhecendo-se o diagrama do esforço cortante e dimensões da seção transversal: 
 
Resolução: 
1º Passo: Características geométricas da seção transversal: 
bw = 10 cm; 
ILN = (bh³)/12 → ILN = (10 . 50³)/12 → ILN = 104167 cm4 
QLN = (b . h/2) . d → QLN = (10 . 25) . 12,5 → QLN = 3125 N 
2º Passo: Tensão no Cortante Máximo 
τmáx = 
Vmáx . QLN
bw . ILN
 → τmáx = 
70 . 3125
10 . 104167
 → τmáx = 0,21 kN/cm² 
3º Passo: Verificação de Admissibilidade 
τ ≥ τmáx . 1,4 → τ = 0,25 kN/cm² 
0,25 ≥ 0,21 . 1,4 
0,25 ≥ 0,30 (Não Verifica!) 
Como a inequação relativa ao cisalhamento não se verificou, chega-se à conclusão de 
que a viga não é estável considerando-se o cisalhamento. 
Para que uma viga seja estável, tanto as inequações relativas à flexão quanto à 
inequação relativa ao cisalhamento devem ser verificadas. Portanto se uma das 
inequações não for verificada, a viga "rompe". 
Baseado e adaptado de 
Edilberto Vitorino de Borja. 
Edições sem prejuízo de 
conteúdo.