Cálculo de uma variável: integrais e distância percorrida

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30/03/2021 GRA1569 CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL GR0550211 - 202110.ead-29778932.06
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_engine_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=ACCESS_CRT&COURSE_ID=_666621_1 1/8
Pergunta 1
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Avalie a escolha correta para aplicar o método de substituição de variável na
resolução da integral indefinida , que envolve a função
exponencial. Para tanto, é necessário verificar a escolha adequada, tal que a
derivada da parte escolhida esteja na integração a menos de alguma constante.
Após a resolução da integral, assinale a alternativa correta. 
 
 
.
.
Sua resposta está incorreta, pois, para resolver a integral por
substituição de variável, fazemos a substituição:
; portanto, 
.
Pergunta 2
O cálculo de área de regiões planas é possível por meio do cálculo integral
definido. Entre as regiões, podemos encontrar o valor exato da área de regiões
limitadas por duas curvas, como, por exemplo, a região limitada
simultaneamente pelas curvas e . Nesse sentido,
encontre a área proposta, usando como suporte o gráfico da figura a seguir, e
assinale a alternativa correta.
 
 Figura 4.1 - Região limitada pelas funções e 
 
 
 
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Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Fonte: Elaborada pela autora.
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para encontrar a área proposta,
resolvemos a integral ,
pois, de a , a função limita superiormente e, de a , a 
função limita superiormente. A região é limitada simultaneamente por
ambas as funções. Portanto: 
 
Pergunta 3
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
O método de substituição de variável é um método que nem sempre pode ser
aplicado para resolver integrais de funções não elementares. Para tanto, deve-
se, inicialmente, verificar se o método é aplicável e fazer a escolha para
mudança de variável convenientemente. Assim, avalie a escolha correta para
aplicar esse método para resolver a integral e assinale a
alternativa correta. 
 
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integral
por substituição de variável, fazemos a substituição:
; portanto, 
.
Pergunta 4
Resposta Selecionada:
Dada a integral indefinida , verifique que a função
integranda é um produto entre uma função polinomial e a função seno. No
entanto, sabemos que só é possível integrá-la pelo método por substituição de
variável se conseguirmos fazer uma escolha adequada. Nesse sentido, resolva
a integral e assinale a alternativa correta. 
 
 
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Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
.
.
Sua resposta está incorreta, pois, para resolver a integral
 por substituição de variável, fazemos a substituição:
; portanto,
Pergunta 5
Resposta
Selecionada:
 Sabendo-se que a distância percorrida por uma partícula em um dado instante é
a medida sobre a trajetória descrita no movimento, o seu valor depende da
trajetória. Com essa informação, resolva a seguinte situação-problema.
 
Considere a função velocidade de uma partícula que se
desloca ao longo de uma reta, em que a velocidade é expressa em metros por
segundo e o tempo em segundos. Utilize o gráfico da figura a seguir como
suporte para ajudar na resolução da questão. Nesse contexto, analise as
asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
 I. A distância percorrida da partícula do tempo inicial até é igual a
100 m.
 Pois:
 II. A distância percorrida é igual a área da região hachurada do gráfico da Figura
7. 
 
 A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
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Resposta
Correta:
Comentário
da resposta:
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma
justificativa correta da I.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a asserção I é uma proposição
verdadeira, uma vez que a distância percorrida é igual à área dada por
. Consequentemente, a asserção II também é verdadeira e justifica a I.
Pergunta 6
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Dadas as curvas e e as retas verticais e , é
necessário verificar qual dessas funções está limitando a região superiormente.
Observe a região limitada ao gráfico da figura abaixo, que serve como suporte
para o cálculo da área dessa região. Nesse sentido, encontre a área proposta e
assinale a alternativa correta.
 
 Figura 4.2 - Região limitada pelas funções e e a reta 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para encontrar a área proposta,
resolvemos a integral
. Verifique que a
função que limita superiormente é a exponencial, portanto, a função integranda é 
. Verifique, também, que a função exponencial não zera quando .
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Pergunta 7
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Considere o gráfico da função , mostrado na figura abaixo, que
servirá de suporte para resolução da questão. Verifique a região sombreada no
gráfico e determine os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo x.
Avalie também de que forma é possível calcular a área limitada por integração. 
 
 Figura 4.3 - Região limitada pela função e o eixo x
 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
 Considerando o contexto apresentado, sobre cálculo de área e integrais
definidas, analise as afirmativas a seguir.
 
 I. A integral definida .
 
II. A área hachurada no gráfico abaixo do eixo x é igual a 
 
III. Os pontos de interseção da curva e o eixo x são .
 
IV. A área limitada pela curva e o eixo x ao 1º quadrante é igual a 
u.a.
 
 
 É correto o que se afirma em:
II e IV, apenas.
II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a alternativa I é falsa, já que
. A alternativa II verdadeira pois, por simetria, a área abaixo do eixo x é dada por: 
 
A alternativa III é falsa, pois há interseção com o eixo x ocorre em
. Finalmente, a alternativa IV é verdadeira, pois a área
ao primeiro quadrante é dada por:
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Pergunta 8
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Para resolver a integral , é necessário aplicar o método de
integração por partes. Nesse caso, devemos resolver a integral por meio da
fórmula: , em que uma das partes é nomeada e a
outra parte, . Nesse sentido, faça as escolhas adequadas, resolva a integral
e assinale a alternativa correta. 
 
 
.
.
 
Sua resposta está incorreta, pois, para resolver a integral por
partes, fazemos a substituição: , e
; portanto, substituindo na fórmula, temos: 
 
 
Pergunta 9
Arquimedes (287-212 a. C.), inventor, engenheiro militar, médico e o maior
matemático dos tempos clássicos no mundo ocidental, descobriu que a área sob
um arco parabólicoé dois terços da base vezes a altura. Além disso, o cálculo
da área também pode ser calculado por meio da integral definida. 
 
Considerando o contexto apresentado e utilizando como suporte a figura a
seguir, analise as afirmativas e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s)
Falsa(s) 
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Fonte: Elaborada pela autora.
 
 I. ( ) A área limitada pela curva e o eixo x pode ser calculada por
meio da integral , e seu valor é igual à 
 
II. ( ) A altura do arco (ver Figura) é dada por 
 
III. ( ) Segundo Arquimedes, a área do arco parabólico é igual a dois terços da
base b vezes a altura h do arco, portanto, a área é igual à 
 
IV. ( ) A área hachurada no primeiro quadrante é igual 
 
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
 
 
F, V, V, F.
F, V, V, F.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a alternativa I é falsa, uma vez
que a área é igual a | . A
alternativa II é verdadeira, pois a altura do arco parabólico é dada pelo y do vértice
( ) da parábola: . Consequentemente, a alternativa
III também é verdadeira, pois, para Arquimedes, .
Finalmente, a alternativa IV é falsa, pois a área ao primeiro quadrante é igual a
Pergunta 10
Uma partícula move-se em uma linha reta, segundo a equação horária do
movimento em metros, em segundos, velocidade instantânea e
aceleração . Conhecendo-se a função velocidade, é possível determinar as
funções espaço-tempo (s) e a função aceleração por meio do cálculo diferencial
e integral. Nesse contexto, considere a função e seu gráfico como
suporte (figura a seguir) e analise as afirmativas a seguir.
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Fonte: Elaborada pela autora.
 
 I. Sabendo que e quando , a equação de s em função do
tempo é dada por .
 
II. O deslocamento da partícula é igual entre o tempo e , se,
para , é igual a integral 
 
III. A função aceleração da partícula no instante inicial é igual a 
. 
 
.IV. A distância percorrida pela partícula é igual ao seu deslocamento entre os
instantes e , em que .
 
 É correto o que se afirma em: 
 
II, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
Resposta correta. A resposta está correta, pois a alternativa I é verdadeira, uma
vez que, por mudança de variável, fazendo , temos: 
 
, substituindo , 
. A alternativa II é verdadeira, pois o deslocamento é dado por
É fácil ver que a aceleração é igual à derivada da função velocidade
. Por fim, a
alternativa é verdadeira, pois o deslocamento quando a função é toda positiva e a
posição inicial é igual a zero, coincide com a distância percorrida.