Capítulo 1 - Conceitos básicos de probabilidade - Murilo
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Capítulo 1 - Conceitos básicos de probabilidade - Murilo


DisciplinaEstatística Básica para Engenharia62 materiais320 seguidores
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as 3 propriedades anteriores, é uma função de distribuição acumulada.
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A.8) Tipos de variáveis aleatórias
 A.8.1) Variável aleatória discreta
 Definição 11. Uma variável aleatória X é discreta se toma um número finito ou infinito enumerável de valores, ou seja, se existe um conjunto finito {x1,...,xn} ou infinito enumerável {x1,...,xn,...}
 R tal que X(w) 
 {x1,...,xn,...}
w
 S
 Se a variável X é discreta, com contradomínio Rx = {x1,...,xn,...}, as probabilidades em Rx serão determinadas com a utilização da função de probabilidade px(x), definida da seguinte maneira:
 Definição 12. Se X é uma variável discreta com Rx = {x1,...,xn,...}, a função de probabilidade px(x) será definida como:
 px(x) = P(X =xi) para x = xi , i = 1,2,...,n,...
 px(x) = 0 para x \u2260 xi
 A função de probabilidade p(x) apresenta as seguintes propriedades:
Para qualquer evento A = [X \u2264 x]
 Teremos:
 P(A) = FX(x) = \u2211 p(xi) para i: xi \u2264 x
p(x) \u2265 0 para x 
 R
\ufffd\ufffd EMBED Equation.3 
OBS: Quando X é discreta, a função acumulada Fx(x) dá um \u201csalto\u201d de valor p(xj) em todo ponto xj 
 Rx . Nesse caso a função de probabilidade px(x) pode ser obtida da função acumulada Fx(x) através da expressão:
 
 A.8.2) Variável aleatória contínua
 Definição 13. Uma variável aleatória X é contínua se existir uma função fx(x) tal que, 
, 
 A função fx(x) é chamada função densidade de probabilidade de X e apresenta as seguintes propriedades:
f(x) \u2265 0 , 
OBS: 
A função acumulada FX(x) de uma variável contínua é chamada de absolutamente contínua.
Como conseqüência direta da propriedade (i), a função densidade fX(x) pode ser obtida da seguinte maneira: 
FX(x) = dFX(x)/dx
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 Exemplo 21 \u2013 Resistência de uma barra
 A resistência à tração de uma barra de aço é uma variável aleatória contínua R com a seguinte função densidade:
 fR(r) = (3/500)(r-10).(20-r) para 10 \u2264 r \u2264 20 (em r)
Determine a função acumulada FR(r)
 
\ufffd\ufffd EMBED Equation.3 
Se a barra for submetida a um esforço de tração da ordem de 11 toneladas, qual será a probabilidade de falha (ruptura) da barra?
 Sendo pf = probabilidade de falha. Teremos:
 pf = P(R \u2264 11 toneladas)
 pf = F(11) = 0,028
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A.9) Valor Esperado, Variância e Momentos.
 A caracterização paramétrica de uma variável aleatória é de especial importância para a interpretação e análise dos modelos probabilísticos. O conceito de Momento estará presente na definição de determinados índices de confiabilidade e segurança das estruturas, os quais serão utilizados na construção de importantes técnicas de análise.
 A.9.1) Valor Esperado
 Definição 14. Seja X uma variável aleatória. O valor esperado de X, representado por E(X) ou \u3bc(X), é definido por:
, se X for discreta
, se X for contínua
OBS.
O valor esperado é uma medida de tendência central para a variável aleatória X.
Uma análise cuidadosa das expressões de definição de E(X) sugere uma analogia com o conceito de centro de gravidade utilizado em física clássica. Com isso, o valor esperado apresenta uma interpretação estatística clara: representa o ponto de equilíbrio de uma série de dados, sendo, portanto, fortemente influenciado por valores extremos.
Para que o valor esperado exista, é necessário que a série, no caso discreto, seja absolutamente convergente ou a integral imprópria, no caso contínuo, também seja absolutamente convergente.
 A.9.2)Variância
 Definição 15. Seja X uma variável aleatória e µ(X) o seu valor esperado. A variância de X, representada por \u3c32(X), é definida por:
, se X for discreta.
, se X for contínua.
OBS:
Para que a variância exista é necessário que a série, no caso discreto, e a integral, no caso contínuo, sejam absolutamente convergentes.
A variância é uma medida de dispersão para a variável aleatória X.
A raiz quadrada positiva da variância, representada por \u3c3(X), recebe o nome de desvio padrão.
Se g(X) for uma função de uma variável aleatória X, o valor esperado de g(X), representado por E[g(X)], será dado por:
 se X for discreta.
 se X for contínua.
É claro que , se g(x) = x, teremos o valor esperado de X e se, g(x) = [x-µ(x)]2, teremos a variância de X.
 A.9.3) Momentos
 Definição 16. Seja X uma variável aleatória e seja g(X) = Xn, n = 1,2,.... O valor esperado E[Xn], quando existe, é chamado de momento de ordem n de X, sendo usualmente representado por 
, ou seja,
 
 Definição 17. Seja X uma variável aleatória e seja g(X) = (X-a)n, n = 1,2,.... O valor esperado E[(x-a)n], quando existe, é chamado de momento de ordem n centrado em a, sendo usualmente representado por µn, ou seja:
 µn = E[(X-a)n]
OBS: 
Se a = \u3bc(X), teremos que \u3bcn = E[(X-\u3bc(X)n) será o momento de ordem n centrado na média. É claro que \u3bc1 = 0 e \u3bc2 = \u3c32(X).
Determinados momentos centrados na média possuem uma interpretação estatística bem clara. Por exemplo, o \u3bc3, o terceiro momento centrado na média, é uma medida de assimetria para a distribuição de probabilidades de X enquanto o \u3bc4 é uma medida de curtose, ou seja, uma medida do grau de achatamento de uma distribuição na proximidade de seu ponto de máximo. Em função do \u3bc3 e do \u3bc4 podem ser definidos:
Ia = coeficiente de assimetria = 
Ic = coeficiente de curtose = 
Uma medida estatística muito importante e largamente utilizada em confiabilidade estrutural é o coeficiente de variação, definido por:
Iv = \u3c3(X) / \u3bc(X)
 A.9.4) Função Geratriz de Momentos
 Definição 18. Seja X uma variável aleatória. O valor esperado de etx, se o valor esperado existir para cada t em algum intervalo \u2013h < t < h, h > 0, é chamado de função geratriz de Momentos e representado por mX(t). Teremos então:
(a) - 
, se X for discreta.
(b) - 
, se X for contínua.
OBS: 
Uma importante propriedade da função geratriz pode ser verificada com a expansão em série de 
. Nesse caso teremos:
 
 
 Com a expressão acima podemos facilmente verificar que:
 
 ou seja, os momentos de ordem n podem ser determinados à partir da função geratriz.
Uma outra função importante para a análise de variáveis aleatórias e modelamento probabilístico é a função característica de X, definida por:
 
, onde 
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A.10) Vetores Aleatórios
 Em muitas situações práticas, o resultado de um experimento aleatório não é expresso apenas por uma única variável aleatória mas sim por um conjunto de variáveis que podem ser observadas simultaneamente .
 Apresentando uma situação corriqueira em engenharia de estruturas, poderíamos citar o caso clássico envolvendo o cálculo de confiabilidade de uma viga metálica sujeito a um carregamento de natureza aleatória. Além do carregamento, outras variáveis randômicas podem estar ligadas, por exemplo, às dimensões físicas da viga, ao módulo de elasticidade do material ou mesmo à resistência à tração do aço. Essas variáveis podem ser representadas por um vetor aleatório X = [X1,X2,...,Xn], ou seja, por uma variável aleatória de dimensão n. É claro que todos os conceitos e definições apresentados para uma variável unidimensional podem ser convenientemente extendidas para o caso n-dimensional.
 Definição 19. Seja o vetor aleatório X