MAPA - Material de Avaliação Prática

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MAPA – Material de Avaliação Prática da Aprendizagem
	Acadêmico:
	R.A.
	Curso: Licenciatura em Matemática
	 Disciplina: Análise Matemática
	Valor da atividade: 3,5 pontos
	Prazo: 01/10/2021
Instruções para Realização da Atividade
1. Todos os campos acima deverão ser devidamente preenchidos;
2. É obrigatória a utilização deste formulário para a realização do MAPA;
3. Esta é uma atividade individual. Caso identificado cópia de colegas, o trabalho de ambos sofrerá decréscimo de nota;
4. Utilizando este formulário, realize sua atividade, salve em seu computador, renomeie e envie em forma de anexo no campo de resposta da atividade MAPA;
5. Formatação exigida para esta atividade: documento Word, Fonte Arial ou Times New Roman tamanho 12, Espaçamento entre linhas 1,5, texto justificado; 
6. Ao utilizar quaisquer materiais de pesquisa referencie conforme as normas da ABNT;
7. É necessário responder as DUAS PARTES da Atividade.
8. Os cálculos e fórmulas devem ser realizados no próprio arquivo word (TEMPLATE disponível no Material da Disciplina). Para isso utilize o EQUATION, que é a ferramenta inserida no próprio word, ou outra ferramenta disponível. NÃO SERÃO ACEITOS TRABALHOS FEITOS À MÃO E INSERIDOS NO ARQUIVO.
Em caso de dúvidas, entre em contato com seu Professor Mediador.
Bons estudos!
PARTE 1 – Teorema do Valor Intermediário.
a) Enuncie e Demonstre o Teorema do Valor Intermediário para funções reais de uma variável real; 
	Seja 
{\displaystyle S=\left\{x\in [a,b]\,\vert \,(\forall y\in [a,x]):f(y)\leqslant d\right\}}
	Então  é limitado (nenhum elemento de  é maior do que ) e não é vazio (pois contém ).
	Logo, possui um supremo c. 
	Então , pois: se , então tem-se  por hipótese; caso contrário, como é contínua em  e d quando 
	Se se tivesse , haveria, pela continuidade de em , pontos  tais que  para os quais se teria  em todo o intervalo o que contradiz o fato de ser o supremo de .
	Logo, .
b) Dentre as hipóteses do Teorema do Valor Intermediário, existe uma condição muito importante que garante a existência de tais pontos. Qual é essa hipótese?
	
	A hipótese de que seja uma função contínua garante a existência de tais pontos. Além disso, é importante ressaltar a continuidade da função no compacto .
c) Enuncie pelo menos um corolário diretamente ligado ao Teorema do Valor Intermediário.
	Corolário: Se  é uma função contínua de em  e se  e têm sinais opostos, então existe pelo menos um número real  entre  e  tal que .
d) Resolva a seguinte situação-problema. 
O queniano Eliud Kipchoge se tornou o primeiro atleta a correr uma maratona em menos de duas horas. O campeão olímpico e recordista mundial marcou o tempo de 1 hora 59 minutos e 40 segundos neste sábado, em evento preparado especialmente para a tentativa em Viena, na Áustria. Kipchoge foi apoiado por 36 outros corredores que o acompanharam em grupos alternados.
Disponível em: <https://veja.abril.com.br/esporte/eliud-kipchoge-se-torna-primeiro-a-correr-uma-maratona-em-menos-de-2-horas/>. Acesso em Out. 2019
Sabendo que uma maratona possui um percurso de 42,195 km, prove que, em pelo menos dois momentos distintos da corrida, a velocidade instantânea de Eliud era de 5 metros por segundo.
	Seja a velocidade instanânea. Considere dois instantes de tempo e , onde . 
	Defina Tome um ponto tal que . Agora, observe que . Pelo Teorema do valor intermediário, existe um , tal que Portanto, .
	Sabendo que a velocidade média é dada por:
	Como a velocidade acima é média, existe pelo menos um instante de tempo em que a velocidade instantânea é menor que a média. Assumindo que < terminamos.
PARTE 2 – Teorema do Valor Médio.
a) Para a demonstração do Teorema do Valor Médio, um outro teorema (também conhecido por um nome) é utilizado. Qual é esse Teorema? Enuncie o Teorema em questão.
	Teorema de Rolle: Considere uma função f satisfazendo as seguintes condições: 
	(1) é contínua no intervalo fechado ;
	
	(2) é derivável no intervalo aberto ;
	(3) . 
	Então, existe um número em , tal que, .
	Demonstração: Como é contínua em , pelo teorema dos valores extremos assume um valor máximo e um valor mínimo em . Sejam e os pontos de onde estes valores são atingidos, isto é, sejam e tais que , para todo em .
	Existem dois casos a serem considerados:
	(i) A função é constante em . Neste caso, para todo de ]. Assim, para todo de . 
	(ii) para algum no intervalo aberto . Neste caso, ou ou é diferente das extremidades e do intervalo considerado.
	Sem perda de generalidade, suponhamos que seja este ponto. Como é um ponto de máximo e está no intervalo aberto onde é derivável, tem-se . Logo, o ponto satisfaz a conclusão do teorema.
b) Agora que já sabemos qual é o Teorema necessário para demonstrar o Teorema do Valor Médio, enuncie e demonstre o Teorema do Valor Médio (de Lagrange). (Pode, quando necessário, apenas citar o teorema visto anteriormente)
	Teorema do valor médio: Considere uma função satisfazendo as condições:
	(1) é contínua no intervalo fechado ];
	(2) é derivável no intervalo aberto .
	Então, existe um número em , tal que .
	Demonstração: A demonstração é feita usando-se o teorema de Rolle. Para isso, considere a função , onde é a reta que une os pontos e , isto é, . 
	A função satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle, isto é, é contínua em , diferenciável em , pois e o são, e, além disso, .
	Assim, existe um ponto onde .
	Logo, , ou seja, 
c) Resolva a seguinte questão:
Considere uma função diferenciável em todo o seu domínio, tal que , . Se , então, pelo Teorema do Valor Médio, determine o valor máximo de .
	Considerando as hipóteses da função do enunciado e aplicando o Teorema do Valor Médio ao intervalo [0, 4], pode-se afirmar que existe , , tal que:
	Mas , pela hipótese Logo,
	Sendo e , temos que:
	Portanto, o valor máximo de será .