Lista3 - gabarito

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Lista de exerćıcios - Semana 3
QUESTÃO 1 - Em uma reação qúımica, a quantidade em gramas de certa substância
S no instante t é dada pela função
s(t) =
30t2 + 80
40 + 15t2
,
onde o instante t = 0 é o instante inicial da reação.
Ache a quantidade em gramas da substância S restante após decorrido um tempo
suficientemente longo do ı́nicio da reação.
Resp.: O limite lim
x→+∞
s(t) informa a quantidade de substância que restará após
decorrido um tempo suficientemente longo do ı́nicio da reação. Calculando este
limite, temos:
lim
x→+∞
s(t) = lim
x→+∞
30t2 + 80
40 + 15t2
= lim
x→+∞
30t2
15t2
= lim
x→+∞
30
15
=
30
15
= 2.
Portanto restarão 2 gramas da substância S após decorrido um tempo suficiente-
mente longo do ı́nicio da reação.
QUESTÃO 2 - Ache a derivada f ′(x) para cada função f(x) abaixo:
(a) f(x) = 12x3 − 3x2 + x− 12;
Resp.: Temos
f ′(x) = 12 · 3x2 − 3 · 2x + 1− 0 = 36x2 − 6x + 1.
(b) f(x) = x6 − 2
x5
+ 3 3
√
x + 1;
Resp.: Temos f(x) = x6 − 2x−5 + 3x1/3 + 1 e logo
f ′(x) = 6x5 − 2 · (−5)x−5−1 + 3 · 1
3
x1/3−1 + 0
= 6x5 + 10x−6 + x−2/3 = 6x5 +
10
x6
+
1
x2/3
= 6x5 +
10
x6
+
1
3
√
x2
.
(c) f(x) =
3x− 2
2x + 1
;
Resp.: Usando a regra do quociente, temos
1
f ′(x) =
(3x− 2)′(2x + 1)− (3x− 2)(2x + 1)′
(2x + 1)2
=
(3− 0)(2x + 1)− (3x− 2)(2 + 0)
(2x + 1)2
=
3 · (2x + 1)− (3x− 2) · 2
(2x + 1)2
=
(6x + 3)− (6x− 4)
(2x + 1)2
=
6x + 3− 6x + 4
(2x + 1)2
=
7
(2x + 1)2
.
(d) f(x) =
4
3
4
√
x3
.
Resp.: Como
f(x) =
4
3
· 1
4
√
x3
=
4
3
· 1
x3/4
=
4
3
· x−3/4
então
f ′(x) =
4
3
·
(
−3
4
)
x−3/4−1 = −1 · x−7/4 = −1
x7/4
=
−1
4
√
x7
.
QUESTÃO 3 - A derivada de segunda ordem f ′′(x) de uma função f(x) é a derivada
da derivada de f(x). Por exemplo, com f(x) = 2x5 + x, temos
f ′(x) = 2 · 5x4 + 1 = 10x4 + 1
e portanto a derivada de segunda ordem fica
f ′′(x) = (f ′(x))′ = (10x4 + 1)′ = 10 · 4x3 + 0 = 40x3.
Ache a derivada de segunda ordem de f(x) = x3 + 4x + 6.
Resp.: Como a derivada de f(x) é
f ′(x) = 3x2 + 4,
então a derivada de segunda ordem é
f ′′(x) = (f ′(x))′ = (3x2 + 4)′ = 3 · 2x + 0 = 6x.
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