Res_Lista VIII_parte2

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Lista VIII de Microeconomia
Revisado em 2 de junho de 2011
Questa˜o 2.
Considere uma firma produtora de determinado bem de consumo q, cuja produc¸a˜o depende do uso de
bens de capital K e ma˜o de obra L. Apesar de ser livre para usar ambos os insumos em qualquer
quantidade, existe uma restric¸a˜o tecnolo´gica que na˜o permite que a raza˜o entre o maquina´rio e o nu´mero
de trabalhadores ultrapasse determinada raza˜o R; isto e´, para um determinado nu´mero de trabalhadores
L∗, qualquer ma´quina adquirida a mais que a quantia RL∗ na˜o sera´ utilizada na produc¸a˜o.
a) Defina alguma func¸a˜o de produc¸a˜o que parec¸a representar esse conceito.
Existem va´rias func¸o˜es que poderiam representar essa estrutura de produc¸a˜o (ou variac¸o˜es
da mesma). A t´ıtulo de exemplo, poder´ıamos citar:
f(K,L) = Lα (min{K,RL})β
ou
f(K,L) = αL+ βmin{K,RL}
b) Suponha que a tecnologia da firma seja
f(K,L) =
{
LαKβ , se K ≤ RL
Lα (RL)
β
, se K > RL
para α, β > 0. Defina o retorno de escala dessa firma como func¸a˜o de α e β.
Temos para essa func¸a˜o de produc¸a˜o para qualquer λ > 0
f(λK, λL) =
{
(λL)α(λK)β
(λL)α (RλL)
β
= λα+β
{
LαKβ
Lα (RL)
β
= λα+βf(K,L).
Assim, tera´ retornos de escala
• decrescentes se α+ β < 1
• constantes se α+ β = 1
• crescentes se α+ β > 1
c) Se o sala´rio do trabalhador e´ w e o custo do capital r, determine a func¸a˜o de custo mı´nimo dessa
firma para f(K,L) = LαK1−α e produto q0, sujeito a` restric¸a˜o K ≤ RL. Ou seja, resolva
Min
L,K
wL+ rK
s.a.
K ≤ RL
LαK1−α = q0
com α ∈ (0, 1) e escreva a func¸a˜o de custo mı´nimo.
Dica: separe e resolva em dois casos o problema (ou seja, um em que a restric¸a˜o tecnolo´gica e´ ativa
e outra em que na˜o e´ – o caso irrestrito e´ apenas um caso particular da questa˜o 1 em que b = 1− a e
A = 1).
1
Seguindo a dica vamos resolver 2 problemas. O primeiro e´ quando a restric¸a˜o na˜o e´ ativa:
K∗ < RL∗. Assim, temos que resolver
Min
L,K
wL+ rK
s.a. LαK1−α = q0
Montando o Lagrangeano, temos
L = wL+ rK − λ (LαK1−α − q0)
com C.P.O. dada por
∂L
∂L
= w − λαKL
1−α
= 0
∂L
∂K
= r − λ(1− α) LK
α
= 0.
Dividindo a primeira pela segunda, obtemos
α
1− α
K
L
=
w
r
⇒ K = (1− α)
α
w
r
L.
Usando esse resultado na restric¸a˜o, obtemos as demandas contingentes de K e L
L∗α
(
(1− α)
α
w
r
L∗
)1−α
= q0 ⇒ L∗ = q0
(
α
(1− α)
r
w
)1−α
e
K∗ = q0
(
(1− α)
α
w
r
)α
.
A func¸a˜o de custo mı´nimo sera´
C(w, r, q0) = wL
∗ + rK∗ = q0
[
w
(
α
(1− α)
r
w
)1−α
+ r
(
(1− α)
α
w
r
)α]
= q0w
αr1−α
[(
α
(1− α)
)1−α
+
(
(1− α)
α
)α]
= q0w
αr1−α
[
(1− α)α−1α−α] .
Vamos supor que a restric¸a˜o e´ ativa, isto e´, K = RL. Logo, o problema se reduz a substituir
essa expressa˜o na restric¸a˜o de produc¸a˜o de maneira que encontramos o Lr (o subscrito r
designa que estamos no caso restrito) o´timo:
Lα(RL)1−α = q0 ⇒ L∗r =
q0
R1−α
e, portanto,
K∗r = RL
∗
r = q0R
α.
A func¸a˜o de custo mı´nimo nesse caso sera´
Cr(w, r, q0) = wL
∗
r + rK
∗
r = q0
( w
R1−α
+ rRα
)
= q0
[
Rα−1(rR+ w)
]
.
d) Tome os seguintes valores para os paraˆmetros do modelo:
w = 16
r = 1
α = 1− α = 12
R = 9
2
q0 = 9
d.i) Verifique para esses valores se a demanda pelo fator K do problema irrestrito (isto e´, sem
considerar a restric¸a˜o tecnolo´gica K ≤ RL) viola ou na˜o a restric¸a˜o.
Para esses valores o capital do problema irrestrito sera´:
K∗ = q0
(
(1− α)
α
w
r
)α
= 9
(
(1/2)
1/2
16
1
)1/2
= 36
e o trabalho
L∗ = q0
(
α
(1− α)
r
w
)1−α
= 9
(
(1/2)
1/2
1
16
)1/2
=
9
4
.
Como
36 > 9
9
4
= 20, 25 = RL∗
temos que o capital o´timo na˜o respeita a restric¸a˜o.
d.ii) Calcule o custo mı´nimo da firma para ambos os casos (com e sem restric¸a˜o).
O custo mı´nimo irrestrito sera´:
C(w, r, q0) = q0w
αr1−α
[
(1− α)α−1α−α] = 9(16)1/2(1)1/2 [(1/2)−1/21/2−1/2] = 72
Ja´ o restrito:
Cr(w, r, q0) = q0
[
Rα−1(rR+ w)
]
= 9
[
9−1/2(9 + 16)
]
= 75.
d.iii) Suponha que exista um treinamento dispon´ıvel que permite aos trabalhadores lidar com qual-
quer quantidade de ma´quinas (ou seja, na˜o existiria mais a restric¸a˜o K ≤ RL). Se o custo
desse treinamento for 50, uma firma com esses paraˆmetros estaria disposta a adota´-lo?
A diferenc¸a entre o custo mı´nimo irrestrito e o restrito e´ igual a`
75− 72 = 3.
Se a firma adotasse a tecnologia o custo mı´nimo do problema irrestrito teria que levar em
conta o custo dessa adoc¸a˜o. Portanto, ter´ıamos
C(w, r, q0) = 72 + 50 = 122 > Cr(w, r, q0) = 75
de maneira que a firma na˜o adotaria a tecnologia.
Questa˜o 7.
Um produtor de soja adquiriu uma certa quantidade de terra a qual desmatou por completo valendo-se
da impunidade que prevalece no sistema jur´ıdico. Pore´m, existe a probabilidade Pr de passar um novo
co´digo florestal que cobrara´ uma quantia c de todos aqueles que desmataram de maneira ilegal.
Suponha que esse produtor decide quanta soja produzira´ de forma a maximizar seu lucro; isto e´, o
produtor escolhera´ q de forma a maximizar
pi(q) = p(q)q − C(q)
em que C(·) representa a func¸a˜o custo e p o prec¸o da soja. Imagine que
C(q) = q2 + Pr · c
e que
p(q) = αq−β
a) Resolva o problema de maximizac¸a˜o de lucro desse produtor em func¸a˜o de q.
3
O problema desse produtor sera´
Max
q
αq−βq − (q2 + Pr · c)
cuja condic¸a˜o de primeira ordem sera´ dada por
α(1− β)q−β − 2q = 0⇒ q∗ =
(
2
α(1− β)
) 1
1−β
b) O custo imposto pelo novo co´digo influencia a decisa˜o marginal desse produtor de alguma maneira?
Explique. Existe algum n´ıvel de custo esperado (E(c) = Pr · c) que faria com que esse produtor
obtivesse lucro negativo?
Na˜o. Como podemos ver pela condic¸a˜o de primeira ordem, a decisa˜o do produtor a respeito
da produc¸a˜o o´tima depende apenas da receita marginal e do custo marginal. Como o custo
imposto pelo co´digo florestal e´ fixo (i.e., independe da produc¸a˜o) enta˜o ele na˜o afeta a
decisa˜o desse proprieta´rio de terra. Dado o produto o´timo, temos que o lucro seria negativo
se
αq∗−βq∗ −
(
q∗2 + Pr · c
)
< 0⇒ Pr · c > 2
α(1− β) −
(
2
α(1− β)
) 2
1−β
c) Suponha agora que esse produtor e´ capaz de influenciar a probabilidade desse co´digo ser aprovado.
Isto e´, a partir de quantidade l de lobby esse cafeicultor afeta a probabilidade da seguinte maneira:
Pr = Pr (l) = 1− 1− e
−αl
2
=
1 + e−αl
2
.
Dessa forma, o novo problema desse produtor sera´
Max
q,l
αq−βq − q2 −
(
1 + e−αl
2
)
c− l.
Resolva esse problema considerando que αc > 2.
Novamente, percebam que o custo imposto pelo co´digo florestal na˜o afeta a decisa˜o de
produc¸a˜o desse indiv´ıduo (obviamente, essa na˜o e´ a hipo´tese mais realista; poder´ıamos
imaginar que a a produc¸a˜o esta´ associada ao desmatamento e que o custo e´ relativo a` a´rea
desmatada). Logo, do item a) temos
q∗ =
(
2
α(1− β)
) 1
1−β
.
Pore´m, esse produtor tambe´m escolhe a quantidade de lobby que ira´ exercer com o intuito
de barrar o co´digo. Assim, a C.P.O. para a quantidade o´tima de lobby e´ dada por(
e−αl
)
αc
2
− 1 = 0⇒ l∗ = ln
(
2
αc
)
−α
que sera´ positiva pois αc > 2⇒ ln ( 2αc) < 0.
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