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Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 01 
 
 
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Olá pessoal, tudo bem? Esta será a primeira aula de nosso curso e darei 
continuidade ao conteúdo que foi visto na aula demonstrativa. 
 
 
 
Darei especial atenção aos descontos simples, pois são os que mais caem 
em prova. 
 
Mesmo assim, veremos algumas questões de descontos compostos, 
assunto que irá voltar a aparecer em aulas mais à frente. 
 
Sintam-se à vontade para usar o meu email para dúvidas, sugestões e 
críticas. 
 
Forte abraço, 
 
Prof Alexandre Azevedo 
 
Janeiro/ 2012 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 01: Juros, capitalização e taxas 
(segunda parte) 
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1) (CESPE – 2011 – FUB – CONTADOR) Julgue os próximos 
itens,relativos ao regime de juros compostos.Para um mesmo 
capital aplicado a uma mesma taxa, o montante em regime de 
juros composto é sempre superior ao montante em regime de 
juros simples. 
 
Resolução: 
 
Para responder essa questão, o candidato deveria conhecer os gráficos 
dos montantes de juros simples e de juros compostos: 
 
 
 
 
Por esse gráfico, podemos perceber que: 
 
- o montante em juros simples cresce linearmente; 
 
- o montante em juros compostos cresce exponencialmente; 
 
- o montante em juros simples é maior que o montante em juros 
compostos quando tempo <1; 
 
- o montante em juros simples é igual ao montante em juros compostos 
quando tempo = 1; 
 
- o montante em juros simples é menor que o montante em juros 
compostos quando tempo >1. 
 
 
LEMBRETE: mesmo capital inicial e mesma taxa de juros tanto para juros 
simples quanto para compostos!!! 
 
Agora voltando a nossa questão. A questão fala que o montante em juros 
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compostos é sempre maior que o montante em juros simples, mas isso 
está errado, uma vez que quando t<1, o montante de juros simples é 
maior que o de juros compostos. 
 
GABARITO: ERRADO 
 
 
2) (CESPE – 2011 – FUB – CONTADOR) Julgue os próximos itens, 
relativos ao regime de juros compostos. 
 
Os juros em regime de juros compostos geram, ao longo do 
tempo, uma curva exponencial. 
 
Resolução: 
 
 
 
Essa é mais uma questão que pode ser respondida pelo gráfico: 
 
Por esse gráfico, podemos perceber que: 
- o montante em juros simples cresce linearmente(em forma de uma 
reta); 
- o montante em juros compostos cresce exponencialmente(é essa 
curva que temos no desenho); 
 
- o montante em juros simples é maior que o montante em juros 
compostos quando tempo <1; 
 
- o montante em juros simples é igual ao montante em juros compostos 
quando tempo = 1; 
 
- o montante em juros simples é menor que o montante em juros 
compostos quando tempo >1. 
 
GABARITO: CERTO 
 
 
 
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3) (CESPE – 2011 – STM) Carlos e Paulo ganharam R$ 200.000,00 
em uma loteria. Com a sua metade do prêmio, Carlos comprou um 
apartamento e o alugou por R$ 600,00 ao mês. No mesmo dia, 
Paulo investiu a sua parte em uma aplicação financeira à taxa de 
juros compostos de 0,6% ao mês. Carlos guardava em casa o 
valor do aluguel recebido; Paulo deixava o seu rendimento na 
aplicação, para render nos meses seguintes. 
 
Com base nessa situação, e considerando as aproximações 1,006² 
= 1,012 , 1,006³ = 1,018 e 1,0066 = 1,0363, julgue os itens que se 
seguem. 
 
O rendimento obtido por Paulo no primeiro mês de aplicação é o 
mesmo que o obtido por Carlos no primeiro mês de aluguel. 
 
Resolução: 
 
Dados da questão: 
- Cada rapaz recebeu R$100000 de prêmio. 
- Carlos recebe R$600 de aluguel por mês. 
 
- Paulo faz um investimento a juros composto cuja a taxa é de 0,6% ao 
mês: 
 
i = 0,6% ao mês = 0,006 ao mês (juros compostos) 
 
Vo = 100000 
 
A questão afirma que o investimento de Paulo no primeiro mês rendeu o 
mesmo que o aluguel de Carlos, vamos descobrir quanto o investimento 
de Paulo lhe rendeu aplicando a fórmula: 
 
J = Vo (1 + i)t – Vo 
 
J = 100000 (1+0,006)¹ - 100000 
 
(t=1, porque a questão fala em um transcurso de tempo do primeiro mês 
apenas) 
 
J = 100000.1,006 – 100000 
 
J = R$600 
 
Ou seja, o rendimento de Paulo lhe rendeu o mesmo que o aluguel de 
Carlos: R$600. 
 
GABARITO: CERTO 
 
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Essa questão também poderia ter sido resolvida pelo gráfico dos 
montantes de juros simples e juros compostos. 
 
Para isso, o candidato precisaria perceber que Carlos fez um investimento 
a juros simples! Vamos explicar melhor: 
 
Carlos comprou um apartamento e o aluga por R$600 por mês. Ou seja, 
é como se ele tivesse aplicado os R$100000 num investimento de juros 
simples que lhe rendesse R$600 por mês. É juros simples porque incide 
apenas no capital inicialmente aplicado. Vamos achar que taxa de juros 
seria? 
 
Antes disso vamos destacar os dados da questão: 
 
Vo = 100000 
 
J = 600 (juros mensal de uma taxa de juros simples) 
 
t = 1 mês 
 
Agora vamos aplicar a fórmula de juros simples: 
 
J = Vo . i .t (juros simples) 
 
600 = 100000 . i . 1 
 
i = 600/100000 = 0,006 ao mês = 0,6% ao mês 
 
Paulo – a banca nos informa que ele investiu a juros compostos. Vamos 
ver os dados: 
 
i = 0,6% ao mês = 0,006 ao mês (juros compostos) 
 
Com isso, o aluno poderia visualizar o nosso conhecido gráfico de 
montantes de juros simples e juros compostos: 
 
 
 
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Por esse gráfico, podemos perceber que: 
 
 
- o montante em juros simples cresce linearmente; 
 
- o montante em juros compostos cresce exponencialmente; 
 
- o montante em juros simples é maior que o montante em juros 
compostos quando tempo <1; 
 
- o montante em juros simples é igual ao montante em juros 
compostos quando tempo = 1; 
 
- o montante em juros simples é menor que o montante em juros 
compostos quando tempo >1. 
 
LEMBRETE: mesmo capital inicial e mesma taxa de juros tanto 
para juros simples quanto para compostos!!! 
 
Observe que no exemplo da nossa questão que temos a mesma taxa de 
juros simples e compostos (0,6% ao mês) e o mesmo capital inicial 
(R$100000), logo, quando o transcurso de tempo for de 1 mês, teremos o 
mesmo montante. 
 
 
4) (ADMINISTRADOR PETROBRAS DISTRIBUIDORA CESGRANRIO 
2010) A avaliação da taxa de retorno de um investimento pode ser 
feita em termos nominais e em termos reais. Se determinado 
investimento apresenta uma taxa de retorno nominal de 10% em 
seis meses e a taxa de inflação no mesmo período foi de 3%, a 
taxa real desse investimento para o período de seis meses é 
 
(A) igual a 7%. 
(B) igual a 13%. 
(C) superior a 3% e inferior a 6%. 
(D) inferior a 7%. 
(E) inferior a 10% e superior a 7,1 %. 
 
Resolução: 
 
Esta questão não foi do Cespe, mas coloquei aqui pois achei interessante 
para nós. 
 
Vou dar um outro exemplo,diferente desta questão, para que você 
entenda a idéia.A idéia da questão é a seguinte.Imagine que você ganha 
um salário de 100 reais.Imagine também que,com esta quantidade, você 
consiga comprar determinada coisa. 
 
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Se eu pego esta quantia e aplico, o valor que terei daqui a 6 meses será 
de 100 x 1,2 = 120 reais.Essa taxa que utilizei de 20% é a taxa real de 
juros. 
 
Você deve estar imaginando que com estes 120 reais você vai até a loja, 
compra o mesmo objeto de 100 reais e ainda sobram 120 – 100 = 20 
reais ,não é? 
 
Só que para imaginar isso você está achando que o preço da camisa 
permanecerá o mesmo, o que não aconteceu, já que vamos imaginar que 
tivemos uma inflação de 5%.Com isso, a camisa(ou qualquer outra coisa), 
que custava 100 reais, passará a custar 100 x 1,05 = 105 reais. 
 
Isso quer dizer que,embora pareça que o meu dinheiro aumentou o seu 
poder de compra em 20 reais, ele ,na realidade, aumentou em 20 – 5 
=15 reais. 
 
A taxa utilizada para chegar a este aumento é que é a taxa nominal do 
investimento. 
 
Ou seja, devemos imaginar que,caso não aplicássemos o 
dinheiro,deixando ele parado, teríamos o aumento do valor do objeto de 
100 para 105.A taxa nominal é aquela que aplicamos sobre estes 105 
reais para que eles se transformem em 120. 
 
Logo, tal taxa será igual a: 
 
120 = 105 x f 
 
f = 120/105 =1,14286 
 
Para encontrar a porcentagem,fazemos: 
 
P = f – 1 = 0,14286 = 14,286 % 
 
Na prática, você pode observar que fizemos um primeiro aumento de 5% 
e,sobre ele,fizemos um aumento de 14,286%.Ou seja,estamos falando de 
aumentos sucessivos.E,multiplicando os fatores multiplicativos 
correspondentes, temos: 
 
1,05 x 1,14286 = 1,2 , que é justamente o fator multiplicativo de um 
aumento de 20%. 
 
Professor, complicou... 
 
Vamos resumir então? 
 
 
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A avaliação da taxa de retorno de um investimento pode ser feita em 
termos nominais e em termos reais. A taxa nominal é também chamada 
de taxa aparente. Havendo inflação, a taxa que determinado investimento 
rendeu não corresponde aos seus ganhos reais, mas sim aos seus ganhos 
nominais (ou aparentes). A taxa real corresponde à taxa nominal 
descontada a inflação. 
 
Segundo o enunciado, determinado investimento apresenta uma taxa de 
retorno nominal de 10% em seis meses e a taxa de inflação no mesmo 
período foi de 3%. A questão solicitou a taxa real. 
 
Para calcular a taxa real de um investimento, utilizamos a seguinte 
relação: 
 
(1+A) =(1+R) x (1+I) 
 
 
Elementos da fórmula: 
 
A : taxa nominal ou aparente; 
I : inflação. 
R : taxa real; 
 
Segundo o enunciado:A =10% e I = 3% 
 
Substituindo os dados na fórmula, temos: 
 
 
 
 
A taxa real do referido investimento foi de 6,8% no referido período de 
seis meses. 
 
Gabarito: D 
 
5) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Considere que um comercial 
de TV anunciava a venda daquele modelo com 20% de desconto 
se o pagamento fosse à vista, mas que o proprietário havia 
aumentado seu preço de forma que, mesmo vendendo com o 
desconto anunciado, ele ainda obteria os R$ 32.000,00. Nesse 
caso, o proprietário aumentou o preço do modelo em 20%. 
 
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Resolução: 
 
Valor do carro: R$ 32.000,00 
 
Desconto à vista: 20% 
 
Preço anunciado para venda: X 
 
 
80%X = 32000 
 
X = 32000/0,8 
 
X = 40.000,00 
 
Portanto, o carro foi anunciado por R$ 40.000,00. Vamos calcular, agora, 
qual foi o aumento do valor anunciado em relação ao valor original do 
carro. 
32000 ----- 100% 
 
40000 ----- Y% 
 
 
Y = (40000 . 100)/32000 
 
Y = 4000/32 
 
Y = 125% 
 
Com isso, vemos que o aumento foi de 25% e não de 20%. 
Gabarito: Errado 
6) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Considere que sobre o preço 
de fábrica de um automóvel zero km incida um imposto federal de 
12% e sobre o preço de fábrica acrescido do imposto federal 
incida um imposto estadual de 15%. Nessa situação, o preço de 
venda do automóvel será pelo menos 28% superior ao preço de 
fábrica. 
Resolução: 
Vamos supor que o preço de fábrica seja R$ 100,00. Assim, temos: 
Preço após imposto federal: 
 
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P = 100 + 100 x 12% 
P = 100 + 12 = 112 
Preço após imposto estadual: 
P = 112 + 112 x 15% 
P = 112 + 16,8 = 128,8 
Chegamos, então, a um preço final 28,8% superior ao preço inicial. 
Gabarito: Certo 
7) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Considere que uma loja venda 
seus produtos nas seguintes condições: à vista, com 20% de 
desconto sobre o preço de tabela; no cartão de crédito, com 5% 
de acréscimo sobre o preço de tabela. Nessa situação, um produto 
que é vendido por R$ 800,00 à vista terá, no cartão, preço 
superior a R$ 1.000,00. 
Resolução: 
Aqui temos: 
Preço de tabela: PT 
Preço à vista: PV 
Preço no cartão: PC 
 
Como o preço à vista tem 20% de desconto sobre o preço de tabela, 
teremos: 
 
PV = 800 = PT - PT.20% 
800 = 0,8PT 
PT = 1000 
 
PC = 1000 + 1000.5% 
PC = 1000 + 50 = 1050 
Gabarito: Certo 
8) Um empréstimo no valor de R$ 10000,00 é contratado na data 
de hoje para ser pago através de dois pagamentos. O primeiro 
pagamento, no valor de R$ 5445,00, vence de hoje a um ano e o 
segundo tem um vencimento de hoje a um ano e 
meio.Considerando a taxa de juros nominal de 20 % ao ano , com 
capitalização semestral, o valor do segundo pagamento será : 
 
(A)R$ 7102,80; 
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(B) R$ 7280,00; 
(C) R$ 7320,50; 
(D) R$ 8360,00; 
(E) R$ 8810,00. 
 
Resolução: 
Fique atento, temos uma taxa nominal! 
Taxa nominal, quando o período da taxa é diferente do período da 
capitalização! 
Quem manda é a capitalização! 
Nesse caso , a nossa taxa e tempo devem ser semestrais! 
20% ao ano com capitalização mensal, é igual a 20: 2 = 10 % ao 
semestre ( somente é permitido realizar a proporção , quando a taxa for 
nominal) 
O primeiro pagamento, de 5445, vence daqui a um ano e o segundo 
pagamento vence daqui a um ano e meio. 
Vamos mudando a data focal! 
 
Hoje = 10 000 
 
Obs.: M = C( 1+i)t 
 
10000 daqui a um ano = 10 000 ( 1 + 0,1)² = 10 000 . 1,21 = 
12 100 
Nesse período pago 5445 , logo 12 100 - 5445 = 6655 
Esse valor de 6555 será daqui a um semestre , logo 1 capitalização 
semestral! 
 
 
6655. ( 1 + 0,1)¹ = 6655 . 1,1 = 7320, 50 
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Gabarito: C 
Linha de tempo da Matemática Financeira 
Bom, agora que fizemos estas questões que eu julgava serem bem 
importantes, passemos a uma explicação que será a base de tudo o que 
iremos ver daqui por diante que guardar alguma relação com a parte de 
matemática financeira. 
Veremos agora o conceito de linha de tempo. Trata-se de um conceito 
fácil, mas que utilizaremos para esquematizar tanto a teoria quanto a 
resolução de várias questões que veremos a partir de agora. 
 
Na resolução das questões, trabalharemos sempre com o “desenho” do 
enunciado. Ninguém pense que é preciso fazer desenho artístico nesse 
nosso curso. Basta saber traçar uma reta . 
 
Em nosso “desenho” da questão, o tempo será representado por uma 
linha! É a “linha do tempo”. Normalmente, essa linha terá início com a 
data de hoje, tambémchamada de “data atual” ou “data zero”. Então, 
doravante, quando falarmos em “data atual” ou em “data zero”, 
estaremos nos referindo ao dia de hoje! 
 
A linha do tempo é a seguinte: 
 
 
 
 
E o que se segue à data zero são as datas futuras! 
 
Pra que serve a linha do tempo? Serve para desenharmos nela, com 
tracinhos verticais, os nossos valores monetários, as quantias em 
dinheiro, que serão fornecidas pelo enunciado da questão, colocando 
esses tracinhos nas datas também especificadas pelo enunciado. 
 
Tomemos, por exemplo, os enunciados daqueles dois exemplos que 
criamos acima. 
 
Exemplo 1: “se eu tenho hoje uma quantia de R$1.000,00 (mil reais), e 
eu a depositar numa conta de poupança de um banco qualquer, quanto 
eu irei resgatar (retirar, sacar) daqui a três meses?” 
 
Neste caso, o desenho desta questão seria o seguinte: 
 
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Ora, vamos analisar esse desenho: o enunciado fala que na data de hoje 
eu disponho de uma quantia de R$1.000,00. Daí, já sabemos: data de 
hoje é a “data zero”, ou seja, é onde começa a “linha do tempo”. 
 
 
 
Vejamos que o valor monetário que temos hoje é esse: R$1.000,00, o 
qual será representado por esta seta vertical, exatamente sobre a data 
zero! 
 
Daí, o enunciado quer saber o quanto valerá essa quantia de R$1.000,00 
em uma data futura, qual seja, três meses após hoje. Portanto, 
desenharemos o tempo (os meses) sob a nossa linha. E teremos: 
 
 
 
Por fim, o valor que desejamos saber na questão será traçado sobre a 
data 3 meses, que foi escolhida pelo enunciado. 
 
Como não conhecemos ainda esse valor, o chamaremos apenas de “X”. 
 
E, conforme aprendemos na lei fundamental da matemática financeira, se 
“transportarmos” um valor inicial para uma data futura, sabemos que 
este aumentará com o passar do tempo, de modo que o valor de “X” será, 
 
necessariamente, maior que os R$1.000,00 iniciais. Desta forma, quando 
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formos desenhar o X, teremos que colocar um tracinho maior que o 
tracinho que representava os R$1.000,00. Teremos: 
 
 
 
 
Vamos ao segundo exemplo: “eu tenho uma dívida, no valor de 
R$5.000,00, que tem que ser paga daqui a três meses, mas eu pretendo 
antecipar o pagamento dessa dívida e pagá-la hoje. Quanto terei que 
pagar hoje por essa obrigação?” 
 
Aqui, o valor monetário que nos foi fornecido pelo enunciado 
(R$5.000,00) está localizado (na linha do tempo) exatamente na data 
três meses! Assim, pra começar, teremos: 
 
 
 
Só que a questão quer saber o quanto representaria o valor desta dívida 
de R$5.000,00 se eu resolvesse pagá-la hoje! Ora, conforme 
aprendemos, hoje é sinônimo de data zero! Então a questão quer saber, 
na verdade, o quanto vale estes R$5.000,00 na data zero. 
 
Não sabemos ainda essa resposta, portanto, representaremos essa 
quantia na data zero apenas por “X”. 
 
Teremos: 
 
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Observemos que, como estamos “retrocedendo” no tempo, ou seja, 
como estamos recuando na linha do tempo, o valor de “X” será, 
necessariamente, um valor menor do que R$5.000,00. Isso é o que nos 
diz a lei fundamental da matemática financeira. Por isso, o tracinho que 
representa o valor “X” deve ser menor que o que representa os 
R$5.000,00. Vejamos de novo: 
 
 
 
Viram como é fácil? Darei mais um exemplo agora, um pouco diferente... 
 
Vamos propor mais uma situação: “suponha que o João contraiu uma 
dívida. Ele se comprometeu com o seu credor que lhe pagaria daqui a 30 
dias, uma quantia de R$3.000,00. Ocorre que, quando chegou no dia 
combinado, o João estava mais liso que barriga de nenê ensaboado! 
Então, João pegou o telefone e ligou para o seu credor, dizendo: „devo, 
não nego! E quero pagar, só que de uma forma diferente! Agora quero 
pagar essa dívida em duas parcelas iguais, nas datas sessenta e noventa 
dias!‟ Ora, qual seria o valor dessas duas parcelas que João vai ter que 
pagar agora, para substituir a dívida original (de R$3.000,00) que era 
devida (que vencia) na data 30 dias?” 
 
Vamos desenhar esse enunciado? Seria como? Fácil! A questão nos dá o 
valor monetário R$3.000,00, que é uma dívida que vencerá (ou seja, que 
deverá ser paga) na data 30 dias. Desenhemos, portanto os R$3.000,00 
sobre a data fornecida. Teremos: 
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Estes R$3.000,00 representam a “obrigação original” do João. Ou seja, o 
valor da dívida a ser paga conforme havia sido tratado originalmente. 
Acontece que por não dispor de dinheiro suficiente, o 
João deseja “alterar, substituir, modificar” (são todos verbos essenciais 
neste tipo de questão!) aquela forma original de pagamento, por uma 
outra forma de pagar a sua dívida. E qual é essa outra maneira de pagar 
sua dívida? Com duas parcelas iguais, as quais chamaremos apenas de 
“X” (já que são desconhecidas e iguais!), nas datas 60 e 90 dias. Nosso 
desenho agora será: 
 
Alguém pode perguntar: “os tracinhos dos „X‟ não teriam que ser maiores 
que o tracinho do R$3.000,00?” Sabemos que o valor R$3.000,00, em 
uma data futura, representaria uma quantia maior! Isso é certo! Porém, 
como esse valor será “quebrado” em duas parcelas (são dois valores “X”) 
então não podemos afirmar, de antemão, que o valor de “X” será maior 
que R$3.000,00. 
 
Neste caso, basta desenhar os “X” nos locais corretos, designados pelo 
enunciado, e está tudo certo! No final da resolução, quando calcularmos o 
valor exato de X, saberemos se é maior ou não que os R$3.000,00. Ok? 
 
Fiquem calmos, pois os detalhezinhos serão esclarecidos, tanto nesta 
quanto na próxima aula. Por enquanto, a única coisa que eu quero é que 
você entenda como lidar com a linha de tempo. Leia e releia a explicação 
acima e me mandem email caso ainda fique alguma dúvida. 
 
Veremos agora para que serve a linha de tempo, em que tipo de questões 
isso de fato é cobrado. 
 
Começarei falando a respeito de descontos simples. 
 
Como é professor? Sim, é isso mesmo. Assim como existem os juros 
simples e compostos, também existe tal denominação para os descontos, 
que podem ser simples ou compostos. 
 
 
 
 
 
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Desconto Simples 
 
 
Vou partir do exemplo para que você possa entender o que realmente é 
um desconto simples. É um assunto bem tranquilo: 
 
 “suponhamos que eu tenho uma dívida, no valor de R$5.000,00, que tem 
que ser paga daqui a três meses, mas pretendo antecipar o pagamento 
dessa dívida e pagá-la hoje.” 
 
É esta a nossa situação: aqui nós pretendemos saber o quanto representa 
hoje um valor que era devido numa data futura. Em outras palavras, 
queremos agora “retroceder” no tempo com determinado valor 
monetário, e descobrir o quanto este valerá no dia de hoje, ou numa 
outra data anterior àquela do seu vencimento. 
 
Estamos recordados que o “desenho” deste enunciado seria o seguinte: 
 
 
 
Novamente, reparem que, como estamos “retrocedendo” no tempo, ou 
seja, como estamos recuando na linha do tempo, o valor de “X” 
será,necessariamente, um valor menor do que R$5.000,00. Isso é o que 
nos diz a lei fundamental da matemática financeira. Por isso,o tracinho 
que representa o valor “X” deve ser menor que o que representa os 
R$5.000,00. 
 
 
 
 
E por que o valor de X será um valor menor que o da dívida? 
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Porque estará sofrendo uma operação financeira a qual chamaremos de 
DESCONTO. Em suma, Desconto é apenas isso: transportar um valor 
monetário de uma data futura para uma data anterior. 
 
Ilustrando uma operação de desconto, de uma forma genérica (sem 
estabelecer valores), teremos o seguinte: 
 
 
 
Vejamos agora como são tratados os termos utilizados numa questão de 
desconto, ou seja, quais são os principais elementos que precisamos 
conhecer: 
 
 
Valor Nominal(N): 
 
Significa tão somente o nosso valor monetário, devido numa data 
futura. 
 
Normalmente, o valor nominal figura nas questões como sendo uma 
obrigação (uma dívida, ou coisa parecida) que tem que ser paga numa 
data posterior à de hoje. 
 
Não importa qual seja o nome dado a esse título, se ele representar uma 
obrigação vencível numa data futura, será pois tratado sempre da mesma 
forma, como sendo nosso Valor Nominal. 
 
Outro sinônimo de Valor Nominal é “Valor de face”, que significa o valor 
que está escrito na “face” do papel, do título. 
 
Valor Atual(A): 
 
Também chamado de “Valor Líquido” ou “Valor Descontado”. 
 
Significa o quanto representa o Valor Nominal, quando “projetado” para 
uma data anterior! É o quanto pagaremos hoje por aquele nosso título! 
 
Por isso recebe esse nome de Valor Atual. Porque atual é hoje! 
 
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Naturalmente, como já é do nosso conhecimento, o Valor Atual será 
necessariamente menor que o Valor Nominal, uma vez que, na linha do 
tempo, está sempre numa data anterior. 
 
Basta olharmos para o “desenho-modelo” de uma operação de 
Desconto 
 
 
 
 
Desconto(D): 
 
Veremos agora o que é o desconto em si.Ora, se eu devia uma quantia 
qualquer, a ser paga numa data futura, e resolvo antecipar o pagamento 
desse valor, já sei que irei pagar hoje um valor menor do que o que era 
devido. 
 
Essa diferença entre o valor que era devido no futuro e o valor menor que 
pagarei hoje (em função da antecipação do pagamento) é exatamente o 
que chamaremos de Desconto. 
 
Ilustrativamente, teremos: 
 
 
 
Pela figura acima, já descobrimos a nossa primeira equação do Desconto. 
É a seguinte: 
 
D = N – A 
 
Outras formas que a equação acima pode assumir são as seguintes: 
 
N = D + A e A = N – D 
 
Essas são também equações “visuais”. Só temos que nos lembrar 
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do “desenho-modelo” de uma operação de desconto, e já as 
deduziremos! 
 
 
Tempo de antecipação(t): 
 
Sabemos que na operação de desconto estamos na verdade “projetando” 
um valor monetário para uma data anterior. Então, “n” será, numa 
questão de desconto, a distância de tempo entre o Valor Nominal e o 
Valor Atual. 
 
Se o Valor Nominal representar uma dívida que seria paga numa data 
futura, e pretendemos pagá-la hoje, então “n” será o “tempo de 
antecipação” do pagamento daquela obrigação. 
 
Taxa (i): 
 
Este elemento já é nosso velho conhecido. Falamos bastante a seu 
respeito na última aula. É ela, a Taxa, a responsável por realizar a 
“mágica” da Matemática Financeira. É ela quem faz com que os valores 
monetários nunca fiquem parados com o transcorrer do tempo! 
 
E é também ela que faz com que uma quantia vencível (devida) numa 
data futura diminua de valor, caso venha a ser projetada para uma data 
anterior! 
 
Da mesma forma que vimos no assunto de Juros, também aqui no 
Desconto teremos taxas no Regime Simples e no Regime Composto! 
 
Daí, continua valendo aquela nossa primeira preocupação: descobrir em 
qual dos regimes (simples ou composto) estamos trabalhando nossa 
operação de desconto! 
 
Se a taxa é simples, estaremos numa questão de Desconto Simples; se é 
composta, estaremos numa questão de Desconto Composto. E serão 
questões distintas, com resoluções e resultados também diferentes! 
 
Tipos de Desconto: 
 
Passamos aqui a uma explicação essencial. 
 
Já sabemos que, em se tratando de regimes, teremos questões de 
Desconto Simples e de Desconto Composto. 
 
Aprenderemos agora que existem duas modalidades de Desconto, quais 
sejam: o Desconto por Dentro e o Desconto por Fora. 
 
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A seguir detalharemos essas duas modalidades do desconto. Por hora, é 
necessário guardarmos a seguinte informação: em toda questão que 
envolva operações de desconto, além da preocupação inicial em descobrir 
o regime desta operação (se simples ou composto), haverá uma segunda 
grande constatação a ser feita, qual seja, a de descobrir a modalidade do 
desconto (se por dentro ou por fora)! 
 
Isso é tão importante que frisaremos novamente! Quando se lê uma 
questão de desconto, antes de iniciarmos a sua resolução, temos, 
impreterivelmente, que descobrir duas coisas: 
 
Primeiro) Qual o regime desta operação de desconto? Simples ou 
Composto? Ou seja, estamos numa questão de Desconto Simples ou de 
Desconto Composto? 
 
Segundo) Qual o tipo, ou seja, qual a modalidade desta operação 
de desconto? É o Desconto por Dentro, ou o Desconto por Fora? 
 
Somente após respondidas estas duas perguntas, é que estaremos 
aptos a iniciar a resolução da questão. 
 
Pelo que foi dito até aqui, concluímos que uma questão de Desconto 
poderá apresentar quatro diferentes “feições”: 
 
- Desconto Simples por Dentro; 
- Desconto Simples por Fora; 
- Desconto Composto por Dentro; e 
- Desconto Composto por Fora. 
 
Nesta aula de hoje, aprenderemos a identificar e a resolver as questões 
de Desconto Simples, nas duas modalidades (por dentro e por fora). 
 
 
Desconto Simples: 
 
Vamos supor que você tenha em mãos um cheque pré-datado para dois 
meses no valor de R$ 120,00 e necessite trocá-lo hoje. É claro que 
receberá, por ele, um valor inferior a R$ 120,00. Esse cheque, então, será 
descontado. 
 
Assim, em uma operação de descontos, o desconto, como já dissemos, 
será a diferença entre o valor nominal (ou de face) e o valor atual( ou 
valor descontado). 
 
Veremos agora o desconto comercial, também chamado de desconto 
bancário ou por fora. 
 
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O desconto bancário é um desconto calculado sobre o valor nominal. 
 
Você vai achar a fórmula muito parecida com a de juros simples. Na 
realidade, nós vamos simplesmente trocar o montante(M) pelo valor 
nominal(N) e aí já teremos a expressão: 
 
 
D = N.i.t 
 
Sendo “N” o valor nominal, “i” a taxa de juros e “t” o tempo de 
antecipação. 
 
Vamos a um exemplo? 
 
Ex: Voltando ao problema inicial, vamos imaginar que o cheque de 
valor nominal R$ 120,00 e prazo de dois meses vá ser descontado 
comercialmente em um mercado de taxa mensal simples igual a 
10%.Qual o valor desse cheque hoje? 
 
Resolução: 
 
Em geral, as questões de desconto não são complicadas, pelo contrário, 
elas são bem simples. 
 
Nesta questão basta fazermos a utilização direta da fórmula: 
 
D = N.i.t 
 
Onde i = 10% a.m. = 0,1 e t = 2 meses 
 
Logo: 
 
D = 120 x 0,1 x 2 = 24 
 
Cuidado, pois o que a questãopediu foi o valor atual. 
 
Sendo assim: 
 
A = N – D = 120 – 24 = 96 reais. 
 
Gabarito: 96 reais. 
 
Ex.2:Qual o desconto comercial simples de uma promissória de 
valor 25000, descontada à taxa de 3 % a.m., cinco meses antes do 
vencimento? 
 
Resolução: 
 
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N = 25000 
 
i = 3 % a.m. = 0,03 a.m. 
 
t = 5 meses 
 
Logo, D = N.i.t = 25000 x 0,03 x 5 = 3750 
 
Gabarito: A promissória vale 3750. 
 
Ex.3:Um título descontado comercialmente à taxa simples de 12 
% a.m. reduz-se , três meses antes do vencimento, a 2432.Qual o 
valor nominal desse título? 
 
Resolução: 
 
i = 12 % a.m. = 0,12 
 
t = 3 meses 
 
A = 2432 
 
Sabemos que A = N – D 
 
Logo, 
 
2432 = N – N.i.t 
 
2432= N( 1 – i.t) 
 
2432 =N (1 – 0,12x3) 
 
2432 = N( 1 - 0,36) 
 
2432= N x 0,64 
 
 
Dividindo 2432 por 0,64, temos: 
 
N =3800 
 
Gabarito: O valor nominal será de 3800. 
 
Ex.4:Um título de valor nominal R$ 600,00 foi descontado 
comercialmente 60 dias antes do vencimento à taxa simples de 8 
% a.m. Calcule a taxa mensal de juros simples efetiva dessa 
operação. 
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Resolução: 
 
Aqui temos uma novidade. A taxa de juros efetiva numa questão de 
desconto. Reparem que eu deixei para falar sobre isso justamente neste 
exemplo, porque eu quero que você a matéria o menos decoreba 
possível. 
 
A primeira reação pode ser você estranhar ele ter perguntado a taxa, já 
que ela já foi dada pelo enunciado. 
 
O que acontece é o seguinte: a taxa que ele está perguntando não é essa 
taxa do desconto. Quando descontamos o valor, chegamos a um valor 
atual ,não é? 
 
Vamos fazer o cálculo: 
 
t = 60 dias = 2 meses 
 
D = N.i.t = 600 . 0,08 . 2 
 
D = 96 
 
Logo, A = N – D = 600 – 96 = 504 
 
Agora, se quiséssemos imaginar que o valor nominal é um montante do 
valor atual... pense comigo, para pegarmos o valor de 504 e retornarmos 
ao valor de 600, nós temos que usar a mesma taxa? A resposta é NÃO! 
 
Digo isso porque a taxa que nós utilizamos, de 8%, foi sobre um total de 
600 e o total sobre o qual agora queremos aplicar uma porcentagem é 
menor, de 504 reais. 
 
Bom, de uma coisa você pode ter certeza: se o valor total é menor, a 
porcentagem que iremos utilizar, para compensar isso, terá de ser maior. 
 
Com isso, utilizando a idéia de montante, teremos que : 
 
M = C .(1 + i.t) 
 
600 = 504.( 1 + i.2) 
 
 
 
 
 
1,190476 = 1 + 2i 
 
2i = 0,190476 
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i = 0,952, aproximadamente 
 
ou seja, ief = 9,52 % a.m. 
 
Observem que tal valor é realmente maior do que a taxa de 8 % a.m. 
 
Bom, na realidade, tal exercício nos dá condições para ver o outro tipo de 
desconto simples, que é o desconto racional. 
 
Desconto Racional, Matemático ou Por Dentro 
 
 
Na realidade, o exposto no exercício anterior é justamente a idéia do 
desconto racional. Para calcularmos tal desconto devemos imaginar o 
valor nominal como montante do valor atual. Vejamos um exemplo: 
 
Naquele mesmo exemplo do cheque pré-datado, vamos agora calcular o 
desconto racional para um prazo de dois meses, taxa de 10 % a.m. e 
valor nominal de 120 reais. 
 
Logo, 
 
N = A ( 1+ i.t) 
120 = A ( 1 + 0,1.2) 
120 = A.(1,2) 
 
A = 120/ 1,2 = 100 
 
Percebam que o nome de tal desconto é racional porque podemos 
expressar o valor como sendo: 
 
A = 
 
 
 
 
Além disso, falta calcular o desconto em si,pois calculamos apenas o valor 
atual. 
 
Como A = N – d ou d = N – A: 
 
d = 120 – 100 = 20 
 
Quando fizemos o mesmo exercício com desconto comercial encontramos 
um desconto de 24 reais. É isso mesmo, dada uma mesma situação, com 
mesma taxa de juros e prazo, o desconto racional sempre será menor do 
que o desconto comercial. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
 
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Ex1: Um título, ao ser descontado racionalmente dois meses antes 
do vencimento, à taxa simples de 5 % ao mês, teve valor atual 
igual a R$ 8000,00. Qual o valor de face desse título? 
 
Resolução: 
 
Temos que A = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
N = 8000 x 1,1 = 8800 
 
Ex.2: Qual o desconto racional simples sofrido por um título de 
6715,60 descontado a 24% a.a. em um mês e 15 dias? 
 
Resolução: 
 
N = 6715,60 
t = 1m 15 dias = 1,5 m 
i = 24 % a.a. = 24/12 = 2 % a.m. 
 
Com isso, o valor atual será igual a: 
 
A = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desconto = d = N – A = 6715,60 – 6520 = 195,60 
 
 
Enunciado das questões 9,10,11,12 e 13: 
 
(FCP-INSS/97-CESPE/UNB) Julgue os itens a seguir, relativos às 
diferentes maneiras com que uma nota promissória pode ser 
descontada. 
 
9) Se forem calculados a uma mesma taxa, o valor atual segundo 
o desconto comercial será sempre menor que o valor atual 
segundo o desconto racional. 
 
Resolução: 
 
Já vimos que a fórmula do desconto comercial é algo parecido como: 
 
Dc = Nit 
 
Onde: Dc = Desconto Comercial 
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 N = Valor Nominal 
 i = taxa de desconto comercial 
 t = número de períodos de antecipação. 
Também não deve ser novidade que o desconto racional pode ser 
calculado pela aplicação da seguinte fórmula: 
 
Dr = 
Nit 
(1 + it) 
 
 
Dessas duas fórmulas podemos extrair diversas conclusões: 
 
1ª) O desconto comercial é sempre maior do que o desconto racional; 
 
2ª) O desconto comercial representa o montante, tomado como capital o 
desconto racional. Faço essa afirmativa tendo em mente que Nin é o 
desconto comercial e se substituirmos Nin por Dc na fórmula do Dr, 
teremos: 
 
Dr = 
 Dc 
 Dc = Dr (1 + it) 
(1 + it) 
 
3ª) Qualquer desconto (comercial ou racional) é sempre o valor nominal 
menos o valor atual: 
 
D = N – Va Va = N – D 
 
Conforme afirmamos, o desconto comercial é sempre maior do que o 
desconto racional. Então, o valor atual comercial (Vac) é sempre menor 
do que o valor atual racional (Var); 
 
4ª) No desconto racional as fórmulas a serem empregadas são 
semelhantes às fórmulas do juro e do montante, tomando-se, para tanto, 
no lugar do capital o valor atual e no lugar do montante o valor nominal. 
Por isso o desconto racional é, também, chamado de desconto “Por 
Dentro”, pois com a aplicação da mesma taxa, por igual período do 
desconto sobre o valor atual, tornaremos a obter o valor nominal 
(montante); 
 
5ª) O desconto comercial representa os “juros” sobre o valor nominal 
(montante), isto é, o seu cálculo é feito por fora, sobre o valor nominal 
De tudo o que aqui se disse, a relação existente entre o desconto 
comercial e o desconto racional, seja talvez a de maior importância, pois 
costuma ser freqüentemente questionada em concursos, principalmente 
nos elaborados pela ESAF e pelo CESPE. Por isso, repito a relação: 
 
 Dc = Dr x (1 + it) 
 
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Gabarito: Certo 
 
10) O desconto bancário nada mais é do que o desconto racional 
acrescido de uma taxa a titulo de despesas bancárias.Resolução: 
 
O desconto bancário é o próprio desconto racional, acrescido de taxas. A 
razão é que nessa modalidade de desconto o valor do desconto é maior 
do que no desconto racional. 
GABARITO: CERTO 
 
11)No desconto comercial, a taxa implícita na operação é sempre 
menor que a taxa estabelecida. 
 
Resolução: 
 
A taxa implícita é aquela taxa necessária para elevar o Valor Atual ao 
Valor Nominal em igual período adotado para o desconto, ou seja, é a 
taxa efetiva da operação. 
 
Exemplificando: 
 
Se atribuirmos ao valor nominal o correspondente a R$ 1.000,00, com 
taxa de desconto comercial de 10% ao período e quisermos saber o 
desconto comercial que esse título sofrerá três meses antes do 
vencimento, teremos: 
 
N = 1.000,00 
i = 10% ou 0,10 
n = 3 períodos 
Dc = ? 
 
Dc = Nin 
Dc = 1.000,00 x 0,10 x 3 
Dc = R$ 300,00 
 
A = 1.000,00 – 300,00 = R$ 700,00 
 
Para elevar R$ 700,00 (A) a R$ 1.000,00 (N), qual a taxa que deve ser 
aplicada? 
 
N = Ax (1 + in) 
1.000,00 = 700,00 (1 + 3i) 
1.000,00 = 700,00 + 2.100,00 i 
1.000,00 – 700,00 = 2.100,00 i 
2.100,00 i = 300,00 
i = 300,00  2.100,00 
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i = 0,1428, isto é, 14,28% ao período. 
 
É de se notar que a taxa implícita (efetiva) supera largamente a taxa da 
operação. 
 
O cálculo da taxa efetiva ou implícita pode ser obtida, também, pela 
aplicação da seguinte fórmula: 
 
ief = 
 idc 
(1 – idc x t) 
 
Onde: ief = taxa efetiva 
 idc = taxa de desconto comercial 
 t = número de períodos de antecipação 
 
Salienta-se, ainda, que quanto maior for o número de períodos de 
antecipação (t), maior será a diferença entre a taxa da operação e a taxa 
efetiva. 
 
Se usarmos o exemplo anterior e trocarmos o período de antecipação 
para somente um período (n = 1), obteremos a seguinte taxa efetiva: 
 
ief = 
 0,10 
= 
0,10 
= 0,1111 ou 11,11% 
(1 – 0,10 x 3) 0,9 
 
Comparando os dois resultados, comprova-se o antes afirmado: A taxa 
efetiva é tanto maior quanto maior for o período de antecipação do 
desconto. 
 
Gabarito: Errado 
 
12)A diferença entre os descontos racional e comercial, a uma 
mesma taxa, aumenta à medida que a data de desconto aproxima-
se da data do vencimento. 
 
Resolução: 
 
Podemos aplicar o raciocínio desenvolvido no item anterior, relativamente 
à taxa efetiva. 
 
Também podemos utilizar a relação existente entre o desconto comercial 
e o desconto racional, pois mudando apenas o “t”, a diferença entre as 
duas modalidades de desconto aumenta à medida que nos afastamos do 
prazo de vencimento. 
 
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Ressalte-se que o “t” diminui à medida que nos aproximamos da data do 
vencimento. 
 
Gabarito: Errado 
 
13) Se uma nota promissória — com valor de R$ 1.000,00 na data 
de vencimento, em 2 anos — é descontada 2 anos antes do 
vencimento, em um banco que pratica uma taxa de desconto 
bancário simples de 18% a.a., então a taxa anual de juros 
compostos que está sendo paga pelo cliente é superior a 24% a.a. 
 
Resolução: 
 
Dc = Nit 
 
Dc = 1.000,00 x 0,18 x 2 
 
Dc = 360,00 
 
A = N – D 
A = 1.000,00 – 360,00 
A = R$ 640,00 
 
Para elevar o valor de R$ 640,00 a R$ 1.000,00, em dois anos, é 
necessário que se utilize uma taxa de 25% ao ano no regime de juros 
compostos. 
 
M = 1.000 
C = 640 
n = 2 
i = ? 
 
1.000 = 640 (1 + i)2 
 
(1 + i)2 = 1.000  640 
(1 + i) = (1,5625)1/2 
1 + i = 1,25 
i = 0,25, isto é, 25% 
 
Gabarito: Certo 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14)(CESPE) Considerando que a instituição financeira X ofereça 
aos clientes a taxa de desconto de 2,4% ao mês para desconto de 
títulos, e que a instituição concorrente Y ofereça uma redução 
de 25% na taxa praticada pela X, para descontos dos títulos 
com vencimentos em até 90 dias, então o valor atual, com 
desconto simples por fora, pago pela Y para um título com 
valor de face de R$ 1.000,00 e que vence em 2 meses é inferior 
a R$ 960,00. 
 
Resolução: 
 
Primeiramente, vamos calcular o valor da taxa, que teve uma redução de 
25%: 
 
Taxa de Y = (0,024 - 0,25*0,024) a.m. = 0,018 a.m. 
 
Como D = N.i.t e A = N – D 
 
A = N – N.i.t = N.(1 – i.t) 
 
A = N.(1 – i.t) 
 
A = 1000.(1 – 0,018.2) = 1000.0,964 = 964 > 960 
 
Afirmação falsa, pois 964 > 960. 
 
Gabarito: Errado 
 
15) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Considere que um cliente 
tenha comprado um veículo desse modelo pagando R$ 12.000,00 
de entrada, devendo pagar o restante em uma única parcela, em 6 
meses. Se essa concessionária usa o sistema de desconto racional 
simples para as dívidas de seus clientes, com juros de 2% ao mês, 
então o valor nominal que o cliente deverá pagar 6 meses após a 
compra será superior a R$ 22.000,00. 
 
Resolução: 
Sabemos que: 
 
N: Valor final (ou valor nominal) 
A: Valor presente 
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A relação entre o valor presente e o valor final no desconto racional 
simples é dado por: 
A = N/(1 + i.t) 
Sabendo que A = 20.000,00, n = 6 e i = 2%, temos: 
20000 = N/(1 + 0,02.6) 
N= 20000.(1 + 0,02.6) 
N = 20000.(1,12) 
N= 22400 
Gabarito: Certo 
 
Enunciado da questão 15: 
Carlos tem uma dívida com determinado banco, cujo vencimento é 
para daqui a 10 meses, com valor nominal de R$ 16.000,00. 
Considerando que ele dispõe, hoje, de R$ 10.000,00 e quer usar 
esse dinheiro para saldar a dívida ou parte dela, julgue os itens de 
98 a 100. 
16) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Se o banco pratica o 
desconto comercial simples, à taxa de juros de 5% ao mês, então 
o dinheiro de que Carlos dispõe para pagar a dívida hoje é 
suficiente. 
Resolução: 
No desconto comercial simples temos: 
N: Valor Nominal do Título 
A: Valor presente 
A relação entre o valor presente e o valor final no desconto racional 
simples é dado por: 
A = N.(1 - i.t) 
Sabendo que N = 16.000,00, t = 10 e i = 5%, temos: 
A = 16000.(1 - 0,05.10) 
 
A = 16000.(1 - 0,5) 
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A = 16000.(0,5) 
 
A = 8000 
Gabarito: Certo 
17) (CESPE - TRE - MT - 24/01/2010) Um candidato a cargo 
eletivo, com a finalidade de financiar sua campanha política, 
contraiu um empréstimo junto a uma instituição financeira e 
assinou uma nota promissória no valor de R$ 55.000,00 com 
vencimento em doze meses. Após dez meses, ele desistiu da 
candidatura e decidiu quitar o empréstimo, do qual restava R$ 
20.000,00. 
Nessa situação, se a instituição financeira trabalha com desconto 
comercial simples à taxa de 1% ao mês, então o valor adicional 
necessário para quitar a dívida é igual a: 
 
A) R$ 29.500,00. 
B) R$ 30.000,00. 
 
C) R$ 31.500,00. 
 
D) R$ 38.500,00. 
 
E) R$ 40.500,00. 
 
Resolução: 
A=valor atual 
N=valor nominal 
 
i=1% 
t=10 meses 
D = N.i.t =55000 . 0,01 . 10 
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D =5500 
Com isso, o valor atual é de A = 55000 – 5500 =49500 
Como o candidato possui no bolso 20000, terá de completar: 
49500-20000=29500Gabarito: A 
18)(CESPE-2009-TCE-AC-ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO) Um 
comerciante que deve a um banco um título de valor nominal igual 
a R$ 23.450,00, com vencimento para daqui a dois meses, 
negociou com o banco a prorrogação da dívida por mais quatro 
meses. Considerando a data focal como sendo o momento atual e 
que, para o título acima, o banco adotou o desconto comercial 
simples à taxa de 60% ao ano, então o valor nominal, em reais, do 
novo título será: 
 
a) inferior a 26.000. 
b) superior a 26.000 e inferior a 28.000. 
c) superior a 28.000 e inferior a 29.000. 
d) superior a 29.000 e inferior a 31.000. 
e) superior a 31.000 
 
Resolução: 
 
A idéia desta questão é a seguinte: temos uma aplicação cujo valor 
nominal será alterado, pois ela terá o seu prazo alterado de 2 para 4 
meses. 
 
O que você tem de fazer é calcular o valor atual desta primeira 
modalidade de 2 meses. 
 
Utilizando a fórmula do desconto comercial simples, teremos: 
 
N =23450 e i= 60% a.a. = 60/12 =5 % a.m. 
 
 
D = N.i.t = 23450 .0,05. 2 =2345 
 
Com isso, o valor atual é igual a 23450 – 2345 = 21105 
 
Só que este valor irá se transformar numa dívida a ser paga daqui a 4 + 
2 = 6 meses, pois o prazo inicial era de 2 meses e foi pedida uma 
prorrogação de mais 4 meses. 
 
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Queremos encontrar,desta forma, qual o título que,descontado a 5 % 
a.m. num prazo de 6 meses dará este valor de 21105. 
 
Calculando o novo desconto, temos: 
 
D = N2 x 0,05 x 6 = 0,3 N2, onde N2 é o novo valor nominal que 
queremos encontrar. 
 
Tal desconto, subtraído do novo valor nominal, terá que dar 21105: 
 
N2 – D = A 
 
N2 – 0,3 N2 = 21105 
 
0,7 N2 = 21105 
 
N2 = 21105 / 0,7 =30150 
 
Gabarito: D 
 
19) (CEF-Técnico Bancário-CESPE-2010)Se, ao descontar uma 
promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor 
receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 
2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será 
igual a: 
 
a) 5% 
 
b) 6% 
 
c) 7% 
 
d) 8% 
 
e)9% 
 
Resolução: 
 
Temos: 
 
N = 5000 
A = 4200 
t = 2 meses 
 
Com isso, o desconto foi de D = N – A =5000 – 4200 = 800 
 
Como D = N.i.t 
 
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800 = 5000 . i . 2 
 
i = 800 /10000 =0,08 = 8 % a.m. 
 
Gabarito: D 
 
20) (Caixa- Acre- Cesgranrio) Um título de valor nominal R$ 
24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com 
taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do 
desconto comercial composto e do valor do desconto racional 
composto. A diferença D – d, em reais, vale: 
 
a.) 399,00 
b.) 398,00 
c.) 397,00 
d.) 396,00 
e.) 395,00 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
Gabarito: B 
 
21) (CESGRANRIO 2009) A Empresa Trás os Montes Ltda., obteve 
do Banco Z, numa operação de desconto de duplicatas, um valor 
líquido de R$ 72.000,00. Sabendo-se que a duplicata tinha 
vencimento para 25 dias, a contar da data do desconto, e que o 
Banco cobra uma taxa de desconto simples de 2% ao mês, o valor 
da duplicata descontada, em reais, é: 
 
a) 75.000,00 c) 73.220,34 e) 71.111,54 
b) 74.333,33 d) 72.999,33 
 
 
 
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Resolução: 
 
Como trata-se de um desconto simples, temos: 
 
D = N.i.t 
 
Sempre que a questão nada falar a respeito, iremos utilizar o desconto 
comercial, ok? 
 
O valor líquido recebido pela duplicata é o valor atual, ou seja: 
 
A = N – D = N – N.i.t = N.( 1 – i.t) 
 
Além disso, temos: 
 
30 dias ------------ 1 mês 
25 dias ------------ t 
 
t = 25/30 = 5/6 
 
72000 = N.(1 – 0,02 x 
 
 
) 
 
72000 = N .( 1 – 
 
 
) = N.( 1 - 
 
 
 ) = N . 
 
 
 
 
Logo, N = 72000 x 
 
 
 = 73220,34 
 
Gabarito: C 
 
22) (CESGRANRIO ANP – CIÊNCIAS CONTÁBEIS) A Empresa Serra 
Verde Ltda. levou ao Banco quatro duplicatas no valor 
deR$32.500,00 cada uma, com vencimento para 90, 120, 150 e 
180 dias, respectivamente, para descontá-las. O Banco ofereceu à 
empresa uma taxa de desconto simples de 3,45% ao mês. Com 
base nos dados acima e considerando o ano comercial, o valor do 
desconto pago pela empresa no ato do empréstimo, em reais, foi: 
 
a) 20.182,50 c) 26.910,00 e) 33.637,50 
b) 25.750,00 d) 32.187,50 
 
Resolução: 
 
O desconto pago pela empresa será o desconto devido a cada uma das 
duplicatas, ou seja: 
 
D = D1 + D2 + D3 + D4 = N.i.t1 + N.i.t2 + N.i.t3 + N.i.t4 = 
 
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D = N.i.( t1 + t2 + t3 + t4 ) 
 
Após colocar o “N” e o “i” em evidência e substituir o tempo ,que estava 
em dias, por meses, temos: 
 
D = 32500 . 0,0345 . ( 3m + 4m + 5m + 6m) 
 
D = 32500 .0,0345. 18 = 20182,50 
 
Gabarito: A 
 
23) (Transpetro- cesgranrio-2011) Uma empresa obteve um 
desconto de uma duplicata no valor de R$ 12.000,00 no Banco 
Novidade S/A, com as seguintes condições: 
 
 
 
Considerando-se exclusivamente as informações acima, o valor 
creditado na conta corrente da empresa, em reais, foi de 
 
a) 11.660,00 
b) 11460,00 
c) 11400,00 
d) 11200,00 
e) 11145,00 
 
Resolução: 
 
Queremos encontrar o valor atual “A”. Achei o enunciado da questão mal 
redigido. Ao ler a primeira frase da questão o candidato poderia ficar em 
dúvida a respeito do valor 12000: ele é o valor da duplicata ou do 
desconto obtido? É o valor da duplicata, em caso contrário, você não vai 
enm encontrar nenhum item como resposta. 
 
Com isso, temos: 
 
D = N.i.t = 12000. 0,025.2 =12000 . 0,05 = 600 
 
Sendo assim, o valor atual A = N – D = 12000 – 600 = 11400 
 
Gabarito: C 
 
24) (Transpetro- cesgranrio-2011) Um título de renda fixa deverá 
ser resgatado por R$ 15.000,00 no seu vencimento, que ocorrerá 
dentro de 2 meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 
1,5% ao mês (juros compostos), o seu valor presente, em reais, é 
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Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 14.619,94 
 
(B) 14.559,93 
 
(C) 14.550,00 
 
(D) 14.451,55 
 
(E) 14.443,71 
 
Resolução: 
 
Numa operação de desconto composto, o valor atual é sempre da forma: 
 
 
 
 
 
 
Sendo assim, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para que possamos fazer uso da tabela que foi dada, devemos olhar para 
a conta acima da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questões Comentadas nessa aula 
 
1) (CESPE – 2011 – FUB – CONTADOR) Julgue os próximos 
itens,relativos ao regime de juros compostos.Para um mesmo 
capital aplicado a uma mesma taxa, o montante em regime de 
juros composto é sempre superior ao montante em regime de 
juros simples. 
 
 
2) (CESPE – 2011 – FUB – CONTADOR) Julgue os próximos itens, 
relativos ao regime de juros compostos. 
 
Os juros em regime de juros compostos geram, ao longo do 
tempo, uma curva exponencial. 
 
3) (CESPE– 2011 – STM) Carlos e Paulo ganharam R$ 200.000,00 
em uma loteria. Com a sua metade do prêmio, Carlos comprou um 
apartamento e o alugou por R$ 600,00 ao mês. No mesmo dia, 
Paulo investiu a sua parte em uma aplicação financeira à taxa de 
juros compostos de 0,6% ao mês. Carlos guardava em casa o 
valor do aluguel recebido; Paulo deixava o seu rendimento na 
aplicação, para render nos meses seguintes. 
 
Com base nessa situação, e considerando as aproximações 1,006² 
= 1,012 , 1,006³ = 1,018 e 1,0066 = 1,0363, julgue os itens que se 
seguem. 
 
O rendimento obtido por Paulo no primeiro mês de aplicação é o 
mesmo que o obtido por Carlos no primeiro mês de aluguel. 
 
 
4) (ADMINISTRADOR PETROBRAS DISTRIBUIDORA CESGRANRIO 
2010) A avaliação da taxa de retorno de um investimento pode ser 
feita em termos nominais e em termos reais. Se determinado 
investimento apresenta uma taxa de retorno nominal de 10% em 
seis meses e a taxa de inflação no mesmo período foi de 3%, a 
taxa real desse investimento para o período de seis meses é 
 
(A) igual a 7%. 
(B) igual a 13%. 
(C) superior a 3% e inferior a 6%. 
(D) inferior a 7%. 
(E) inferior a 10% e superior a 7,1 %. 
 
 
5) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Considere que um comercial 
de TV anunciava a venda daquele modelo com 20% de desconto 
se o pagamento fosse à vista, mas que o proprietário havia 
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aumentado seu preço de forma que, mesmo vendendo com o 
desconto anunciado, ele ainda obteria os R$ 32.000,00. Nesse 
caso, o proprietário aumentou o preço do modelo em 20%. 
6) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Considere que sobre o preço 
de fábrica de um automóvel zero km incida um imposto federal de 
12% e sobre o preço de fábrica acrescido do imposto federal 
incida um imposto estadual de 15%. Nessa situação, o preço de 
venda do automóvel será pelo menos 28% superior ao preço de 
fábrica. 
7) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Considere que uma loja venda 
seus produtos nas seguintes condições: à vista, com 20% de 
desconto sobre o preço de tabela; no cartão de crédito, com 5% 
de acréscimo sobre o preço de tabela. Nessa situação, um produto 
que é vendido por R$ 800,00 à vista terá, no cartão, preço 
superior a R$ 1.000,00. 
8) Um empréstimo no valor de R$ 10000,00 é contratado na data 
de hoje para ser pago através de dois pagamentos. O primeiro 
pagamento, no valor de R$ 5445,00, vence de hoje a um ano e o 
segundo tem um vencimento de hoje a um ano e 
meio.Considerando a taxa de juros nominal de 20 % ao ano , com 
capitalização semestral, o valor do segundo pagamento será : 
 
(A)R$ 7102,80; 
(B) R$ 7280,00; 
(C) R$ 7320,50; 
(D) R$ 8360,00; 
(E) R$ 8810,00. 
Enunciado das questões 9,10,11,12 e 13: 
 
(FCP-INSS/97-CESPE/UNB) Julgue os itens a seguir, relativos às 
diferentes maneiras com que uma nota promissória pode ser 
descontada. 
 
9) Se forem calculados a uma mesma taxa, o valor atual segundo 
o desconto comercial será sempre menor que o valor atual 
segundo o desconto racional. 
 
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10) O desconto bancário nada mais é do que o desconto racional 
acrescido de uma taxa a titulo de despesas bancárias. 
 
11)No desconto comercial, a taxa implícita na operação é sempre 
menor que a taxa estabelecida. 
 
12)A diferença entre os descontos racional e comercial, a uma 
mesma taxa, aumenta à medida que a data de desconto aproxima-
se da data do vencimento. 
 
13) Se uma nota promissória — com valor de R$ 1.000,00 na data 
de vencimento, em 2 anos — é descontada 2 anos antes do 
vencimento, em um banco que pratica uma taxa de desconto 
bancário simples de 18% a.a., então a taxa anual de juros 
compostos que está sendo paga pelo cliente é superior a 24% a.a. 
 
14)(CESPE) Considerando que a instituição financeira X ofereça 
aos clientes a taxa de desconto de 2,4% ao mês para desconto de 
títulos, e que a instituição concorrente Y ofereça uma redução 
de 25% na taxa praticada pela X, para descontos dos títulos 
com vencimentos em até 90 dias, então o valor atual, com 
desconto simples por fora, pago pela Y para um título com 
valor de face de R$ 1.000,00 e que vence em 2 meses é inferior 
a R$ 960,00. 
 
15) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Considere que um cliente 
tenha comprado um veículo desse modelo pagando R$ 12.000,00 
de entrada, devendo pagar o restante em uma única parcela, em 6 
meses. Se essa concessionária usa o sistema de desconto racional 
simples para as dívidas de seus clientes, com juros de 2% ao mês, 
então o valor nominal que o cliente deverá pagar 6 meses após a 
compra será superior a R$ 22.000,00. 
Enunciado da questão 15: 
Carlos tem uma dívida com determinado banco, cujo vencimento é 
para daqui a 10 meses, com valor nominal de R$ 16.000,00. 
Considerando que ele dispõe, hoje, de R$ 10.000,00 e quer usar 
esse dinheiro para saldar a dívida ou parte dela, julgue os itens de 
98 a 100. 
16) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Se o banco pratica o 
desconto comercial simples, à taxa de juros de 5% ao mês, então 
o dinheiro de que Carlos dispõe para pagar a dívida hoje é 
suficiente. 
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17) (CESPE - TRE - MT - 24/01/2010) Um candidato a cargo 
eletivo, com a finalidade de financiar sua campanha política, 
contraiu um empréstimo junto a uma instituição financeira e 
assinou uma nota promissória no valor de R$ 55.000,00 com 
vencimento em doze meses. Após dez meses, ele desistiu da 
candidatura e decidiu quitar o empréstimo, do qual restava R$ 
20.000,00. 
Nessa situação, se a instituição financeira trabalha com desconto 
comercial simples à taxa de 1% ao mês, então o valor adicional 
necessário para quitar a dívida é igual a: 
 
A) R$ 29.500,00. 
B) R$ 30.000,00. 
 
C) R$ 31.500,00. 
 
D) R$ 38.500,00. 
 
E) R$ 40.500,00. 
18)(CESPE-2009-TCE-AC-ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO) Um 
comerciante que deve a um banco um título de valor nominal igual 
a R$ 23.450,00, com vencimento para daqui a dois meses, 
negociou com o banco a prorrogação da dívida por mais quatro 
meses. Considerando a data focal como sendo o momento atual e 
que, para o título acima, o banco adotou o desconto comercial 
simples à taxa de 60% ao ano, então o valor nominal, em reais, do 
novo título será: 
 
a) inferior a 26.000. 
b) superior a 26.000 e inferior a 28.000. 
c) superior a 28.000 e inferior a 29.000. 
d) superior a 29.000 e inferior a 31.000. 
e) superior a 31.000 
 
19) (CEF-Técnico Bancário-CESPE-2010)Se, ao descontar uma 
promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor 
receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 
2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será 
igual a: 
 
a) 5% 
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b) 6% 
 
c) 7% 
 
d) 8% 
 
e)9% 
 
20) (Caixa- Acre- Cesgranrio) Um título de valor nominal R$ 
24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com 
taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do 
desconto comercial composto e do valor do desconto racional 
composto. A diferença D – d, em reais, vale: 
 
a) 399,00 
b) 398,00 
c) 397,00 
d) 396,00 
e) 395,00 
 
21) (CESGRANRIO 2009) A Empresa Trás os Montes Ltda., obteve 
do Banco Z, numa operação de desconto de duplicatas, um valor 
líquido de R$ 72.000,00. Sabendo-se quea duplicata tinha 
vencimento para 25 dias, a contar da data do desconto, e que o 
Banco cobra uma taxa de desconto simples de 2% ao mês, o valor 
da duplicata descontada, em reais, é: 
 
a) 75.000,00 c) 73.220,34 e) 71.111,54 
b) 74.333,33 d) 72.999,33 
 
22) (CESGRANRIO ANP – CIÊNCIAS CONTÁBEIS) A Empresa Serra 
Verde Ltda. levou ao Banco quatro duplicatas no valor 
deR$32.500,00 cada uma, com vencimento para 90, 120, 150 e 
180 dias, respectivamente, para descontá-las. O Banco ofereceu à 
empresa uma taxa de desconto simples de 3,45% ao mês. Com 
base nos dados acima e considerando o ano comercial, o valor do 
desconto pago pela empresa no ato do empréstimo, em reais, foi: 
 
a) 20.182,50 c) 26.910,00 e) 33.637,50 
b) 25.750,00 d) 32.187,50 
 
23) (Transpetro- cesgranrio-2011) Uma empresa obteve um 
desconto de uma duplicata no valor de R$ 12.000,00 no Banco 
Novidade S/A, com as seguintes condições: 
 
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Considerando-se exclusivamente as informações acima, o valor 
creditado na conta corrente da empresa, em reais, foi de 
 
a)11.660,00 
b)11460,00 
c)11400,00 
d)11200,00 
e)11145,00 
 
 
24) (Transpetro- cesgranrio-2011) Um título de renda fixa deverá 
ser resgatado por R$ 15.000,00 no seu vencimento, que ocorrerá 
dentro de 2 meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 
1,5% ao mês (juros compostos), o seu valor presente, em reais, é 
 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 14.619,94 
 
(B) 14.559,93 
 
(C) 14.550,00 
 
(D) 14.451,55 
 
(E) 14.443,71 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 01 
 
 
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Gabarito: 
 
1-E 6-C 11-E 16-C 21-C 
2-C 7-C 12-E 17-A 22-A 
3-C 8-C 13-C 18-D 23-C 
4-D 9-C 14-E 19-D 24-B 
5-E 10-C 15-C 20-B 
 
 
Bom pessoal, terminamos a nossa primeira aula. Na próxima aula 
veremos mais questões de juros e descontos, principalmente aquelas 
questões que misturam logaritmos com juros, ok? 
Em cursos online como esse vocês podem sempre tirar as suas 
dúvidas por email. Sintam-se à vontade! 
 
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