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Micro II
EAE 0205 2ºSemestre 2011
Noturno 19 de Agosto de 2011
Provinha #1 � Revisão de Cálculo e Micro I - Gabarito
Questão 1 (40 pontos) Seja uma economia composta por um con-
sumidor e 2 bens. Suponha também que este consumidor tem prefer-
ências completas e monotônicas sobre ambos os bens. Sabemos que
a função utilidade indireta do indivíduo é V (px, py, I)= I ∗ (p−1x +p−1y )
i) (5 pontos) Qual é a função dispêndio deste indivíduo? Justifique.
A menor renda necessária para que o indivíduo alcance o nível de utilidade
U = V (px, py, I) é I = E(px, py, U) , ou seja, a função dispêndio será:
E(px, py, U)=
U
(p−1x +p
−1
y )
ii) (10 pontos) Encontre a função de demanda hicksiana para os
bens x e y.
Para encontrar a função de demanda hicksiana basta aplicar o Lema de
Sheppard à função dispêndio obtida no item anterior, então:
xh=
∂E(px,py,U)
∂px
=U ∗ (−1) ∗ (p−1x + p−1y )−2 ∗ (−1) ∗ (px)−2= Up2x∗(p−1x +p−1y )2
yh=
∂E(px,py,U)
∂py
= U ∗ (−1) ∗ (p−1x + p−1y )−2 ∗ (−1) ∗ (py)−2= Up2y∗(p−1x +p−1y )2
iii) (12,5 pontos) Encontre a função de demanda marshalliana para
os bens x e y.
(Dica: Teorema do envelope)
Utilize as seguintes identidades:
∂V (px,py,I)
∂pi
=
∂L
∂pi
, i = x; y
∂V (px,py,I)
∂I =
∂L
∂I
L = U(x, y) + λ(−px ∗ x− py ∗ y + I)
A dica do exercício era para derivar a Identidade de Roy.
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Partindo do Lagrangeano temos que:
(1)
∂V (px,py,I)
∂px
=
∂L
∂px
= −λ ∗ x
(2)
∂V (px,py,I)
∂py
=
∂L
∂py
= −λ ∗ y
(3)
∂V (px,py,I)
∂I =
∂L
∂I = λ
Se substituirmos (3) em (1) e (3) em (2), e isolarmos x e y, teremos en-
contrado as expressões para as respectivas demandas marshallianas a partir da
função utilidade indireta, a Identidade de Roy:
xm = −(∂V (px,py,I)∂px )/(
∂V (px,py,I)
∂I )
Analogamente para y:
ym = −(∂V (px,py,I)∂py )/(
∂V (px,py,I)
∂I )
Aplicando a identidade de Roy para a função utilidade indireta em questão,
teremos que:
∂V (px,py,I)
∂px
=
−I
p2x
;
∂V (px,py,I)
∂px
=
−I
p2y
;
∂V (px,py,I)
∂I =
I
(p−1x +p
−1
y )
Portanto:
xm = I
p2x∗(p−1x +p−1y )
e ym = I
p2y∗(p−1x +p−1y )
iv) (12,5 pontos) Encontre a função de utilidade direta.
A utilidade direta deve depender apenas da quantidade de x e y. Portanto
devemos �sumir� com as demais variáveis. Partindo da expressão obtida no item
(i), se isolarmos U temos que: E(px, py, U)=
U
(p−1x +p
−1
y )
=> U = E(px, py, U) ∗
(p−1x +p
−1
y )
Sabemos que a função dispêndio pode ser escrita como:
E(px, py, U)=px∗xh+py∗yh=px∗xm+py∗ym=px∗x+py∗y, as quantidades
demandadas devem ser iguais seja maximizando utilidade, seja minimizando
dispêndio (dualidade).
Então, U = (px ∗ x+ py ∗ y)∗(p−1x +p−1y ) => U = x+pxpy x +
py
px
y +y (*)
Observe que ainda não chegamos na função utilidade direta, pois na ex-
pressão acima ainda aparecem os preços.
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Já derivamos que:
xh= U
p2x∗(p−1x +p−1y )2
e xm = I
p2x∗(p−1x +p−1y )
yh= U
p2y∗(p−1x +p−1y )2
e ym = I
p2y∗(p−1x +p−1y )
Se tomarmos a razão entre as quantidades entre os bens x e y, obtemos:
x
y=
xh
yh
=
xm
ym=
p2y
p2x
=>
py
px
=
√
x√
y e
px
py
=
√
y√
x
Substituindo as razões de preço acima em (*), obtemos a função utilidade
direta:
U = x+ pxpy x+
py
px
y + y =U = x+
√
y√
x
x+
√
x√
y y + y = x+ y + 2
√
x ∗ y
U(x, y) = (x0,5 + y0,5)2
Questão 2 (20 pontos) Uma firma possui duas plantas com funções
custos distintas. A planta 1 apresenta a seguinte função custo total:
C1(Y1) = 0, 5Y
2
1 . A planta 2 apresenta a seguinte função custo total:
C2(Y2) = Y2. Calcule o custo total que o produtor proprietário dessas
duas plantas irá incorrer se decidir produzir 1,5 unidades.
A firma decide o quanto produzir em cada planta a partir do custo marginal.
Cmg1(Y1) = Y1e Cmg2(Y2) = 1
Observe que até o nível de produção Y = 1, Cmg1(Y1)<Cmg2(Y2). Portanto
para níveis de produção Y ≤ 1, a firma aloca toda a produção na planta 1.
Porém, a partir desse nível de produção o custo marginal de produzir na planta
1 passa a ser maior que o de produzir na planta 2 (que é constante), assim toda
a produção que exceder Y=1 será produzida na planta 2.
Como a firma deseja produzir Y = Y1 + Y2 = 1, 5 => Y1 = 1e Y2 = 0, 5
O custo total será, portanto:
CT (Y )=0, 5(Y 21 ) + Y2= 0, 5 ∗ 1 + 0, 5 = 1
Questão 3 (40 pontos) Considere um indivíduo que vive dois perío-
dos e que maximiza sua utilidade intertemporal. No período 1, ele
recebe uma dotação ω, que deve ser alocada entre o consumo nos
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2 períodos. Sua decisão no período 1 é alocar ω entre consumo e
poupança. Já no período 2, ele consome o que poupou no período 1,
acrescido de juros. O problema do indivíduo.
Maxc1,c2u(c1, c2)=ln(c1) +
1
(1+θ) ln(c2)
sujeito a
(1) c1 = ω − s;
(2) c2 = s(1 + r);
Em que, s é a taxa de poupança, c1 é o consumo no período 1, c2
é o consumo no período 2, ω é a dotação inicial, r é a taxa de juros e
θ é a taxa de desconto intertemporal (0≤ θ ≤ 1)
i) (20 pontos) Qual é a taxa de poupança ótima (s*) em função da
dotação inicial (ω) e da taxa de desconto intertemporal (θ)? Encontre
também a trajetória de consumo ótima.
Se substituirmos c1 e c2 no problema de maximização, obtemos um problema
de maximização envolvendo apenas uma variável (s), uma vez que as demais
variáveis são parâmetros (são dadas). O problema passa a ser então:
Maxsu(c1, c2)=ln(ω − s) + 1(1+θ) ln(s(1 + r))
Basta então, derivar e igualar a zero;
∂u(c1,c2)
∂s =
−1
ω−s +
1
(1+θ)
(1+r)
s(1+r) = 0
ω − s = s(1 + θ) => s∗ = ω2+θ
Para encontrar c1∗ e c2∗ basta substituir s∗ em (1) e (2). Assim:
c1∗ =ω − ω2+θ=ω(2+θ)−ω2+θ =ω(1+θ)2+θ
c2∗ =ω(1+r)2+θ
ii) (20 pontos) Qual é o efeito ceteris paribus sobre a poupança de
um aumento da taxa de desconto intertemporal (θ)? E da dotação
inicial (ω)? Explique.
O efeito ceteris paribus de um aumento em θsobre s∗, ou seja, o quanto
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s∗varia diante de um aumento em θ, mantido tudo o mais constante pode ser
medido pela derivada parcial
∂s∗
∂θ = − ω(2+θ)2 < 0. Assim, um aumento da taxa
de desconto intertemporal diminui a poupança, o que faz sentido, uma vez que
há uma diminuição da importância do consumo no período 2 sobre a utilidade
do indivíduo � o indivíduo valoriza mais o presente.
Analogamente medimos o efeito ceteris paribus de um aumento em ω sobre
s∗através da derivada parcial ∂s∗∂ω = 12+θ > 0. Ou seja, o aumento da dotação ini-
cial tem um impacto positivo sobre a poupança � aumenta o montante disponível
para se dividir entre consumo presente e consumo futuro, aumentando conse-
qüentemente a poupança.
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