Lista 2_Parte 1

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Microeconomia II (EAE 0205)
Lista de Exerc´ıcios 2: Parte 1
18 de Agosto de 2011
(*) Questa˜o 1 - Provinha 2 (2010). Suponha uma economia de trocas
com dois bens, indexados por j ∈ {1, 2} e, treˆs consumidores, indexados por
i ∈ {A,B,C}. A func¸a˜o utilidade do consumidor i e´ dada por ui
(
x1i , x
2
i
)
=
αi lnx
1
i + (1− αi) lnx2i , onde xji denota a quantidade consumida do bem j pelo
indiv´ıduo i. A dotac¸a˜o inicial de cada indiv´ıduo i e´ dada por ωi =
(
ω1i , ω
2
i
)
, onde
ω1i denota a dotac¸a˜o inicial do indiv´ıduo i pelo bem j. Suponha que αA = 0, 5,
ωA = (7, 3), αB = 0, 2, ωB = (2, 4), αC = 0, 8, ωC = (3, 2).
(a) Monte o problema de Pareto desta economia.
(b) Encontre o equil´ıbrio competitivo desta economia.
(c) Dizemos que uma alocac¸a˜o e´ justa se ela e´ Pareto eficiente e nenhum
indiv´ıduo inveja a cesta dos demais. O equil´ıbrio competitivo obtido no item
(b) e´ justo? Justifique sua resposta.
(d) Sugira uma redistribuic¸a˜o da dotac¸a˜o inicial dos indiv´ıduos que man-
tenha a dotac¸a˜o agregada dos dois bens inalterada e gere um equil´ıbrio compet-
itivo justo. Justifique sua resposta.
(*) Questa˜o 2 - Provinha 2 (2010). Em uma economia de trocas pura,
ha´ dois consumidores - A e B, cujas prefereˆncias sa˜o representadas pelas func¸o˜es
utilidade
uA (x1A, x2A) = min {x1A, x2A} ; (1)
e
uB (x1B , x2B) = min {θx1A, x2A} , θ > 0. (2)
A dotac¸a˜o agregada dos bens e´ ω = (10, 8). Assuma θ > 1.
(a) Em uma caixa de Edgeworth, esboce o conjunto das alocac¸o˜es o´timas
de Pareto.
(b) Encontre o(s) equil´ıbrio(s) competitivo(s) desta economia quando as
dotac¸o˜es individuais sa˜o ωA = (3, 6) e ωB = (7, 2).
(c) Em uma caixa de Edgeworth, esboce o conjunto das alocac¸o˜es o´timas de
Pareto.
(d) Encontre o(s) equil´ıbrio(s) competitivo(s) desta economia quando as
dotac¸o˜es individuais sa˜om ωA = (3, 6) e ωB = (7, 2).
1
(*) Questa˜o 3 - Prova 1 (2010). Em uma determinada economia ha´ dois
consumidores, duas firmas, dois insumos, e um bem de consumo. As firmas - 1
e 2 - produzem o bem final y a partir das func¸o˜es de produc¸a˜o y1 = 2
√
h1 e
y2 = 4
√
h2. h1 e´ a quantidade de trabalho do tipo 1, ofertado exclusivamente
pelo consumidor A, enquanto h2 e´ a quantidade de trabalho do tipo 2, ofertado
exclusivamente pelo consumidor B. As prefereˆncias dos consumidores A e B
sa˜o representadas por uA = xAlA e uB = xBlB , em que xi e´ o consumo do bem
final pelo consumidor i, e li e´ a quantidade de lazer consumida pelo consumidor
i (i = A,B). A restric¸a˜o de tempo hi + li = 16, i = A,B. O consumidor A e´
proprieta´rio da firma 1, e o consumidor B e´ proprieta´rio da firma 2.
(a) Verifique que a Lei de Walras e´ va´lida nesta economia.
(b) Encontre as alocac¸o˜es e os prec¸os vigentes no equil´ıbrio competitivo
desta economia (Dica: Use o bem final de numera´rio).
(c) Monte o problema de Pareto.
(*) Questa˜o 4 - Lista de Exerc´ıcios (2010). Uma economia tem duas
firmas, 1 e 2, cada uma das quais produz um bem. A func¸a˜o de produc¸a˜o das
firmas e´:
f1 (l1, k1) = k
1
3
1 l
2
3
1 (3)
f2 (l2, k2) = k
1
2
2 l
1
2
2 (4)
Ha´ 2 tipos de agente, A e B, sendo que os indiv´ıduos do tipo A teˆm uma
dotac¸a˜o de uma unidade de trabalho e duas unidades de capital. Os do tipo B
teˆm uma dotac¸a˜o de uma unidade de capital e duas de trabalho. Ou seja:
ωlA = 1;ω
k
A = 2 (5)
ωlB = 2;ω
k
B = 1 (6)
Ha´ N agentes do tipo A, e N agentes do tipo B. As func¸o˜es utilidade dos
agentes dos tipos A e B sa˜o, respectivamente:
uA (xA1, xA2) = ln (xA1) + 2 ln (xA2) (7)
uB (xB1, xB2) = 2 ln (xB1) + ln (xB2) (8)
(a) Encontre uma expressa˜o alge´brica para a fronteira de possibilidades de
produc¸a˜o (uma fo´rmula que relaciona a quantidade agregada produzida do bem
2, x2, em func¸a˜o da quantidade agregada do bem 1, x1).
(b) Suponha que N = 1. Formule um problema que permita encontrar
todas as alocac¸o˜es eficientes (dica: voceˆ pode formular a func¸a˜o-objetivo como
U = λuA (xA1, xA2) + (1− λ)uB (xB1, xB2), sendo que λ ∈ [0, 1] e´ o chamado
peso de Pareto do consumidor A).
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(c) Mostre que, em um equil´ıbrio competitivo, o lucro de ambas as firmas
sera´ igual a zero.
(d) Encontre o equil´ıbrio competitivo desta economia, tomando como nu-
mera´rio o bem 2 (ou seja, p2 = 1).
(e) A alocac¸a˜o competitiva e´ eficiente? Em caso afirmativo, encontre o peso
de Pareto de cada indiv´ıduo num equil´ıbrio competitivo no caso em que N = 1.
(*) Questa˜o 5 - Nicholson: Problema 13.2. Suponha dois indiv´ıduos
(Smith e Jones) possuem cada 10 horas de trabalho para dedicar a` produc¸a˜o ou
de sorvete (x) ou canja (y). A func¸a˜o utilidade do Smith e´ dada por
US = x
0,3
S y
0,7
S , (9)
enquanto a func¸a˜o utilidade do Jones e´ dada por
UJ = x
0,5
J y
0,5
J . (10)
Os indiv´ıduos na˜o se importam se eles produzem x ou y, e a func¸a˜o de
produc¸a˜o de cada bem e´ dada por
x = 2lx (11)
e
y = 3ly, (12)
onde l e´ o total de trabalho destinado a` produc¸a˜o de cada bem.
(a) Qual deve ser a raza˜o de prec¸os px/py?
(b) Dada esta raza˜o de prec¸os, quanto de x e y Smith e Jones demandara˜o?
Dica: Fixe o sala´rio igual a 1 aqui.
(c) Como o trabalho deve ser alocado entre x e y para satisfazer a demanda
calculada na parte (b)?]
Questa˜o 6 - Nicholson: Problema 13.4. Suponha que Robinson Crusoe´
produz e consome peixe (F ) e coco (C). Assuma que, durante um certo per´ıodo,
ele decidiu trabalhar 200 horas e e´ indiferente entre gastar o seu tempo pescando
ou coletando cocos. A produc¸a˜o de peixe de Robinson e´ dada por
F =
√
lF (13)
e a de cocos e´ dada por
C =
√
lC , (14)
onde lF e lC sa˜o o nu´mero de horas gastas pescando e coletando cocos. Con-
sequ¨entemente,
lC + lF = 200. (15)
A func¸a˜o utilidade de Robinson Crusoe´ por peixe e coco e´ dada por
U (F,C) =
√
FC. (16)
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(a) Se Robinson na˜o pode trocar com o resto do mundo, como ele escolhera´
alocar seu trabalho? Quais sera˜o os n´ıveis o´timos de F e C? Qual sera´ a sua
utilidade? Qual sera´ a a taxa marginal de transformac¸a˜o (de peixe por cocos)?
(b) Suponha agora que o come´rcio e´ aberto e que Robinson pode trocar
peixe e cocos ao prec¸o relativo pF /pC = 2/1. Se Robinson continua a produzir
as quantidades de F e de C da parte (a), o que ele escolhera´ consumir uma
vez que lhe e´ dada a oportunidade de trocar? Qual sera´ o seu novo n´ıvel de
utilidade?
(c) Como a sua resposta para a parte (b) mudaria se Robinson ajusta a sua
produc¸a˜o para tirar vantagem dos prec¸os mundiais?
(d) Desenhe o gra´fico dos seus resultados das partes (a), (b) e (c).
(*) Questa˜o 7 - Nicholson: Problema 13.6. Na Ruritaˆnia, existem
duas regio˜es, A e B. Dois bens (x e y) sa˜o produzidos em ambas as regio˜es. As
func¸o˜es de produc¸a˜o da regia˜o A sa˜o dadas por
xA =
√
lx, (17)
yA =
√
ly; (18)
onde lx e ly sa˜o as quantidades de trabalho dedicadas a` produc¸a˜o de x e y,
respectivamente. O total de trabalho dispon´ıvel na regia˜o A e´ de 100 unidades;
isto e´,
lx + ly = 100 . (19)
Usando uma notac¸a˜o similar para a regia˜o B, as func¸o˜es de produc¸a˜o sa˜o
dadas por
xB =
1
2
√
lx, (20)
yB =
1
2
√
ly. (21)
Existem tambe´m 100 unidades de trabalho na regia˜o B:
lx + ly = 100 . (22)
(a) Calcule as curvas de possibilidades de produc¸a˜o para as regio˜es A e B.
(b) Que condic¸a˜o deve ser satisfeita se a produc¸a˜o na Ruritaˆnia deve ser
alocada eficientemente entre as regio˜es A e B (assumindo que trabalho na˜o
pode migrar de uma regia˜o para outra)?
(c) Calcule a curva de possibilidades de produc¸a˜o para a Ruritaˆnia (nova-
mente assumindo que trabalho e´ imo´vel entre as regio˜es). Qual o ma´ximo de
y que a Ruritaˆnia pode produzir se a produc¸a˜o total de x e´ 12? Dica: Uma
ana´lise gra´fica pode ser u´til aqui.
Questa˜o 8 - Nicholson: Problema 13.10 (Teorema de Rybczyn-
ski). Podunk e´ um pa´ıs que produz apenas trigo e roupa usando como insumos
terra e trabalho. Ambos sa˜o produzidos por func¸o˜es de produc¸a˜o com retornos
constantes de escala. Trigo e´ o bem relativamente terra-intensivo.
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(a) Explique, empalavras ou com diagramas, como o prec¸o do trigo relativo
a roupa (p) determina a raza˜o terra-trabalho em cada uma das duas indu´strias.
(b) Suponha que p e´ dado por forc¸as externas (este seria o caso se Po-
dunk fosse uma pa´ıs ”pequeno” trocando livremente com um mundo ”grande”).
Mostre, usando a caixa de Edgeworth, que se a oferta de trabalho aumenta em
Podunk enta˜o a produc¸a˜o de roupa crescera´ e a produc¸a˜o de trigo caira´. Nota:
Este resultado foi descoberto pelo economista poloneˆs Tadeusz Rybczynski. Este
e´ um resultado fundamental na teoria de come´rcio internacional.
(*) Questa˜o 9 - Nicholson: Problema 13.11 (Lei de Walras). Suponha
que existam apenas treˆs bens (x1, x2, x3) em uma economia e que as func¸o˜es de
excesso de demanda por x2 e x3 sa˜o dadas por
ED2 = −3p2
p1
+
2p3
p1
− 1; (23)
ED3 =
4p2
p1
− 2p3
p1
− 2. (24)
(a) Mostre que estas func¸o˜es sa˜o homogeˆneas de grau 0 em p1, p2 e p3.
(b) Use a lei de Walras para mostrar que, se ED2 = ED3 = 0, enta˜o ED1
deve tambe´m ser 0. Voceˆ pode usar a lei de Walras para calcular ED1?
(c) Resolva este sistema de equac¸o˜es para os prec¸os relativos de equil´ıbrio
p2/p1 e p3/p1. Qual o valor de equil´ıbrio para p3/p2?
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