RELATORIO GRAVIDADE (1) (1) (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL
DO RECÔNCAVO DA BAHIA (UFRB)
 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS (CETEC)
GCET-826 TURMA 02 – FÍSICA EXPERIMENTAL II
Docente: João Cláudio Costa Pereira 
PÊNDULO SIMPLES: MEDIDA DA GRAVIDADE LOCAL (g)
Discente: Anna Beatriz da Silva Mascarenhas
Matricula: 2018106738
Discente: Daniel de Souza Machado
Matricula: 2018205084
Discente: Luiz Felipe Duarte Andrade
Matricula: 2018106836
Discente: Ruan Sávio Ferreira Zeferino
Matricula: 2017203432
Agosto
2021
1.Introdução
Se temos uma partícula de massa m e ela é posta para oscilar na extremidade de um fio longo e inextensível, ela descreve um movimento harmônico simples? Se a resposta for sim, qual seria o tempo que ela demora para ir voltar até a posição na qual foi abandonada?
Um pêndulo simples é um modelo idealizado constituído por um corpo puntiforme suspenso por um fio inextensível de massa desprezível. Quando o corpo puntiforme é puxado lateralmente a partir da sua posição de equilíbrio. Algumas situações familiares, como uma bola de demolição presa ao cabo de um guindaste, podem ser consideradas pêndulo simples.
A trajetória do corpo não é uma linha reta, mas um arco de circunferência de Raio L, onde L é o comprimento do fio. Para que a oscilação seja um movimento harmônico simples é necessário que a força restauradora seja diretamente proporcional à distância x ou a θ. A força restauradora F é o componente tangencial da força resultante: . A força restauradora é fornecida pela gravidade; a tensão T atua meramente para fazer o corpo se deslocar ao longo de um arco. 
Como para qualquer MHS o período é dado por:
 e como , então: 
Respondendo às perguntas iniciais: sim, descreve um MHS e seu período é dado por .
	
De posse dessa informação, esse experimento teve como objetivo reconhecer o MHS executado pelo pêndulo simples como o movimento de um ponto material sujeito à ação de uma força restauradora proporcional ao seu deslocamento angular, verificar experimentalmente as relações entre o período de oscilação, o comprimento do fio e a massa de um pêndulo simples, determinar experimentalmente o valor da gravidade na cidade de Diadema, SP, através do movimento pendular. 
2. Materiais utilizados
· Cordões de fio dental com comprimentos diversos;
· Papel milimetrado;
· Super cola;
· Transferidor;
· Duas massas pendulares diferentes, porém, com mesmo volume;
· Alicate de corte;
· Gancho de plástico com ventosa;
· Lanterna;
· Paquímetro;
· Cronômetro digital;
· Fita adesiva.
Imagem 1: Alguns dos materiais utilizados
3. Procedimento experimental
	O gancho com a ventosa foi fixado num dispositivo alto, de forma a ficar afastado da parede para não atrapalhar a oscilação do pêndulo. Porém encontrou-se aí uma dificuldade em alinhar corretamente, o fio que fora amarrado ao gancho, à posição 0 do transferidor devido à distância entre o transferidor fixado no dispositivo e o fio amarrado ao gancho (imagem 2). Daí utilizou-se uma lanterna de celular, para no escuro, ver a posição da sombra do fio e alinhá-la corretamente à posição 0 graus do transferidor (imagem 3).
 			
Imagem 2: Tentativa de alinhar o fio ao transferidor /		 Imagem 3: Alinhamento
	Resolvido isso, pode-se prender a primeira massa pendular ao fio de comprimento inicial 1,2m (imagem 4). Assim o peso foi abandonado a partir da posição θ=10º e foi cronometrado o tempo que levou para realizar dez oscilações. O procedimento de medida foi repetido mais quatro vezes (totalizando 5 medidas) e seus valores foram inseridos na Tabela 1. 
Imagem 4: Dispositivo montado
	Após isso, com o auxílio do alicate e de uma folha de papel milimetrado com marcações de 10 em 10 centímetros, foi cortado 10cm do fio e novamente prendeu-se a massa ao fio e assim ele foi posto em oscilação novamente. Esse procedimento se repetiu até que o fio atingiu 0,2m e todas as medidas foram inseridas na Tabela 1.
	O mesmo procedimento aconteceu com a segunda massa pendular, essa tendo uma massa consideravelmente maior que a primeira, e seus resultados foram inseridos na Tabela 2. 
Imagem 5: Massas 1 e 2 (denominaremos a massa 1 como massa menor e a massa 2 como massa maior).
Ainda nas tabelas, calculou-se o desvio padrão da média através da equação 
e o erro associado ao período. Como o período foi obtido através de
, então =.
	Tabela 1: Pêndulo simples - medidas do período em função do comprimento
	Massa pendular menor
	 
	Medida de tempo para 10 oscilações (±0,01)s
	Comprimento (±0,005)m
	Medida 01
	Medida 02
	Medida 03
	Medida 04
	Medida 05
	Média
	Desvio padrão da média
	Período
	Erro período
	0,200
	9,50
	9,73
	9,64
	9,48
	9,76
	9,62
	0,06
	0,96
	0,0057
	0,300
	11,83
	11,76
	11,22
	11,74
	11,46
	11,60
	0,11
	1,16
	0,0114
	0,400
	13,00
	13,01
	13,09
	13,06
	12,95
	13,02
	0,02
	1,30
	0,0024
	0,500
	14,58
	14,64
	14,51
	14,49
	14,65
	14,57
	0,03
	1,46
	0,0033
	0,600
	15,98
	15,95
	15,86
	15,84
	15,82
	15,89
	0,03
	1,59
	0,0032
	0,700
	17,20
	16,99
	17,19
	17,14
	17,21
	17,15
	0,04
	1,71
	0,0041
	0,800
	18,23
	18,21
	18,20
	18,24
	18,30
	18,24
	0,02
	1,82
	0,0017
	0,900
	19,61
	19,72
	19,60
	19,84
	19,54
	19,66
	0,05
	1,97
	0,0053
	1,000
	20,56
	20,49
	20,46
	20,38
	20,78
	20,53
	0,07
	2,05
	0,0068
	1,100
	21,18
	21,36
	21,20
	21,15
	21,23
	21,22
	0,04
	2,12
	0,0036
	1,200
	22,56
	22,28
	22,24
	22,24
	22,26
	22,32
	0,06
	2,23
	0,0061
	Tabela 2: Pêndulo simples - medidas do período em função do comprimento
	Massa pendular maior
	 
	Medida de tempo para 10 oscilações (±0,01)s
	Comprimento (±0,005)m
	Medida 01
	Medida 02
	Medida 03
	Medida 04
	Medida 05
	Média
	Desvio padrão da média
	Período
	Erro período
	0,200
	9,45
	10,31
	10,14
	10,21
	10,21
	10,06
	0,16
	1,01
	0,0156
	0,300
	11,82
	12,06
	11,99
	11,93
	12,04
	11,97
	0,04
	1,20
	0,0043
	0,400
	13,58
	13,52
	13,43
	13,41
	13,43
	13,47
	0,03
	1,35
	0,0033
	0,500
	15,03
	15,10
	15,04
	15,05
	15,15
	15,07
	0,02
	1,51
	0,0022
	0,600
	15,77
	16,16
	15,89
	16,08
	16,00
	15,98
	0,07
	1,60
	0,0069
	0,700
	17,18
	17,23
	17,46
	17,27
	17,42
	17,31
	0,05
	1,73
	0,0055
	0,800
	18,09
	18,31
	18,06
	17,98
	18,26
	18,14
	0,06
	1,81
	0,0062
	0,900
	19,25
	19,27
	19,27
	19,39
	19,29
	19,29
	0,02
	1,93
	0,0025
	1,000
	19,87
	20,62
	19,99
	19,97
	20,08
	20,11
	0,13
	2,01
	0,0133
	1,100
	21,03
	21,17
	21,26
	21,05
	21,42
	21,19
	0,07
	2,12
	0,0072
	1,200
	22,69
	22,22
	22,21
	22,09
	22,28
	22,30
	0,10
	2,23
	0,0103
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
4.Tratamento de dados
	O comprimento, inicialmente medido em centímetros, foi convertido para metros (m) e o período permaneceu em segundos (s), como consta no SI, e os dados foram atualizados ainda nas Tabelas 1 e 2. 
	Como já foi apresentado, o período se relaciona com o comprimento do fio através da equação. O período de oscilação do pêndulo só depende do comprimento (l) do fio e da aceleração da gravidade, quanto maior o tamanho do comprimento do fio maior será o período de oscilação do pêndulo. O gráfico 1 apresenta os pontos experimentais e o gráfico 2 é uma mera representação da função do período apresentada acima com g=9,81 para fazermos uma comparação.
Gráfico 1: Período em função do comprimento
Gráfico 2: Função do período para g=9,81
	Pode-se observar que o comportamento experimental condiz com o esperado no comportamento teórico.
Em quase sua totalidade, os fenômenos físicos são tratados de forma aproximada. Algumas vezes, efeitos de menor importância são negligenciados, outras vezes, correções de maior ordem são desprezadas quando expansões são realizadas. Assim, é fundamental para os estudantes dos cursos de ciências exatas, o domínio no emprego de aproximações, principalmente saber quais termos estão fora da região de validade de suas aproximações e que, portanto, podem ser desprezados.
Até onde sabemos, foi Gough quem primeiramente chamou a atenção na literatura que, mesmo para pequenos ângulos de oscilação, o período de um pêndulo simples em um vácuo perfeito, suspenso de um suporte perfeitamente rígido por um fio inextensível, não é simplesmentedevido ao raio de curvatura da Terra.
Para que o pêndulo simples seja um movimento harmônico simples ele deve ser descrito por . Para nosso estudo algumas considerações devem ser feitas para que isso seja verdade. Além do fio inextensível e as demais considerações feitas anteriormente, também a desconsideração de forças retardadoras e de forças fictícias devido à rotação da Terra, além da hipótese de oscilação nas proximidades da superfície da Terra. Como aproximação matemática do modelo, restringe-se ao tratamento de pequenas oscilações, pequenas o suficiente para que o seno da perturbação angular possa ser considerado igual à própria amplitude de perturbação angular (.
Para isso, poderíamos fixar experimentalmente um comprimento de um metro no pêndulo, por exemplo e variarmos a amplitude. Observar-se-ia alterações no período à medida que as amplitudes vão aumentando. Porém, em oscilações menores ou iguais a 10% do comprimento do pêndulo, a dependência com a amplitude é inferior ao erro na medida do período, de modo que podemos considerá-la inexistente com boa segurança. Dessa forma, podemos empregar a utilização da aproximação 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≅ 𝜃, sempre que limitamos o estudo do pêndulo a pequenas amplitudes de oscilação, pois os resultados obtidos para o período mostram-se constantes para a precisão experimental adotada para as medidas de tempo. Para explicitarmos isso, construiu-se o gráfico 3, que relaciona o erro relativo percentual com a aproximação, justificando a funcionalidade para θ<10º.
Calculou-se o seno de θ, para θ em radianos e comparou-se com θ, comparação esta através da equação de erro relativo percentual, o gráfico foi construído com dados de 	ϵ(%) x θ para .
Gráfico 3: Erro em função de θ
Linearização pelo método do logaritmo
	Comprimento
	C’=Log(comprimento)
	Período
	P’=Log(Período)
	0,200
	-0,6989
	0,96
	-0,0177
	0,300
	-0,5228
	1,16
	0,0645
	0,400
	-0,3979
	1,30
	0,1139
	0,500
	-0,3010
	1,46
	0,1644
	0,600
	-0,2218
	1,59
	0,2014
	0,700
	-0,1549
	1,71
	0,2329
	0,800
	-0,0969
	1,82
	0,2601
	0,900
	-0,0457
	1,97
	0,2945
	1,000
	0,0000
	2,05
	0,3117
	1,100
	0,0414
	2,12
	0,3263
	1,200
	0,0792
	2,23
	0,3483
Tabela 3: Logaritmos do comprimento e do período.
Fazendo a linearização dos valores do período com o comprimento do fio, utilizando o método do logaritmo, obtivemos o seguinte gráfico:
Gráfico 4: período T em função do comprimento L do fio, log T em função de log L em escala normal. Utilizando os dados da Tabela 1.
Como podemos observar no gráfico acima, os coeficientes angular e linear da reta obtida são respectivamente: a’=0,473 +/-0,005 e b’=0,309 +/-0,002.
De acordo com o que foi estudado e com o que foi apresentado anteriormente, o período de um pêndulo simples é dado por e como , temos que , onde n=1/2 . Reorganizando a equação e aplicando logaritmo em ambos os lados obtemos:
 → → → .
Então a partir dessa demonstração podemos interpretar os valores obtidos com a reta ajustada, de tal maneira que o valor de a’ experimental representa o valor de n da fórmula, o valor de b’ experimental representa o , que nesse caso seria ,pois foi o valor obtido a partir das medições, e .
Os resultados experimentais obtidos, utilizando o gráfico do logaritmo, são condizentes com o comportamento esperado pois o valor de a’ experimental é igual a 0,473 e o valor de n da fórmula é 0,5 , o que torna a’ aproximadamente igual a n. E o valor de b’ também é coerente com os valores esperados, pois quando substituímos os valores na fórmula obtemos um valor da gravidade bem próximo ao da realidade.
	(angular)
	0,473+/-0,005
	(linear)
	0,309+/-0,002
Tabela 4: Parâmetros da Reta, Coeficientes angular e linear da Reta ajustada.
A expressão linear obtida na reta ajustada foi P’= b’ + a’*C’, onde P’=log(T), C’=log(L), a’=n e b’= .
O valor da aceleração da gravidade pode ser calculado a partir dos valores experimentais obtidos em b’ e a’, fazendo da seguinte forma:
 → → → , e assim temos que . Substituindo os valores obtidos experimentalmente na fórmula, temos: → .
Cálculo da incerteza da gravidade:
 → , e como , temos que a sua incerteza é dada por:
 , sendo e , e calculando as 
derivadas parciais de g temos:
 e
 , e então podemos dizer que:
 . Ou seja, a incerteza da gravidade deu um número razoavelmente pequeno justificando os valores obtidos com o experimento.
O valor do parâmetro n é dado quando manipulamos a fórmula do período e obtemos que n é igual ao expoente invertido da raiz quadrada, ou seja, n=1/2=0,5. Porém experimentalmente obtivemos um valor um pouco diferente, por conta dos erros que estão associados ao experimento, fatores externos em geral, e obtivemos um valor experimental de a’= 0,473+/-0,005.
Com a aplicação do método do logaritmo a expressão experimental obtida e a expressão teórica do período em função do comprimento do fio não apresentaram tantas divergências, foi possível observar tudo o que era esperado, o valor da gravidade e o valor experimental de n, por exemplo. As diferenças estão realmente na maneira como elas se apresentam, pois uma está no formato linear e a outra está apresentada de forma direta, e precisou ser aplicada com o logaritmo para poder ser interpretada de outra forma.
Cálculo da discrepância da gravidade:
.
Fazendo a análise da discrepância podemos observar que o valor experimental obtido divergiu um pouco do que era esperado, e assim obtivemos uma discrepância de , o que nos mostra que um experimento pode apresentar vários tipos de erros, desde as suas medições até efeitos climáticos que podem interferir nas aferições dos instrumentos.
https://rd.uffs.edu.br/bitstream/prefix/3384/1/MERGEN.pdf
https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/movimento-harmonico-simples.htm
https://rd.uffs.edu.br/handle/prefix/3384
https://www.scielo.br/j/rbef/a/MhSPTnVvW8cWWJ4rByHmZHw/?lang=pt&format=pdf
https://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895/F809/F809_sem1_2007/JoseE_Lunazzi_2o_grau_PendulosRF.pdf