Lista 4

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Microeconomia II
Lista de Exercícios 4
23 de Setembro de 2011
Questão 1: Suponha que haja apenas dois indivíduos na sociedade. A curva
de demanda do indivíduo A por controle de mosquitos é dada por:
qA = 100− P.
Já para o indivíduo B a curva de demanda por controle de mosquitos é dada
por:
qB = 200− P.
(a) Suponha que o controle de mosquitos é um bem público puro; isto é, uma
vez produzido, todo mundo pode usufrui-se dele. Qual seria o nível ótimo dessa
atividade se ela pudesse ser produzida a um custo marginal constante e igual a
$120 por unidade?
(b) Se o controle de mosquitos fosse deixado para o mercado privado, qual seria
a produção? Sua resposta depende do que cada pessoa assume que a outra irá
fazer?
(c) Se o governo fosse responsável pela produção da quantidade ótima de con-
trole de mosquitos, qual seria esse custo? Qual deveria ser o imposto cobrado
de cada indivíduo de forma a repassar o custo do controle de mosquitos levando
em consideração a participação de cada indivíduo no benefício gerado?
Questão 2: Tragédia dos Comuns. O lago Ec pode ser livremente utilizado
por pescadores. O custo de mandar um barco para o lago é dado por r > 0.
Quando b barcos são mandados para o lago, f(b) peixes são pescados no total
(de modo que cada barco pesca f(b)/b peixes), onde f ′(b) > 0 e f ′′(b) < 0 para
todo b ≥ 0. O preço do peixe é p > 0, que não é afetado pela quantidade de
peixes pescados no lago Ec.
(a) Caracterize o número de equilíbrio de barcos que são mandados ao lago.
(b) Caracterize o número ótimo de barcos que deveriam ser mandados ao lago.
Compare a resposta com a do item (a)
(c) Qual taxa de pesca �por barco� restauraria o equilíbrio ao nível eficiente?
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(d) Suponha agora que o lago é de propriedade de um único indivíduo, que pode
escolher quantos barcos mandar para pescar. Qual será o número de barcos que
este proprietário vai escolher?
Questão 3: Suponha que existam dois agentes decidindo a qual velocidade eles
dirigirão seus respectivos carros. O agente i ∈ {1, 2} escolhe a velocidade xi e
tem utilidade vi (xi, ci) = ui (xi) − ci, onde ui (xi) é estritamente côncava. Os
agentes podem colidir com probabilidade p (x1, x2) e, neste caso, ci > 0; caso
contrário, ci = 0. Assuma que u
′ (xi) > 0 e que
∂p(x1,x2)
∂xi
> 0.
(a) Encontre a condição de primeira ordem de cada agente, que define a veloci-
dade escolhdida por cada um deles.
(b) Suponha uma função de bem-estar social seja W = v1 + v2. Encontre as
condições de primeira ordem, que definem as velocidades socialmente desejadas.
Compare-as com as obtidas no item (a).
(c) Se o agente i é multado em uma quantidade ti no caso de um acidente acon-
tecer, qual deve ser o valor desta multa tal que a externalidade seja internalizada
pelo agente.
Questão 4: Existem dois bens, X e Y , e dois indivíduos, 1 e 2. As funções
utilidade são as seguintes: U1 = ln (x1)+ln (y1)+ln (x2) e U2 = ln (x2)+ln (y2).
As dotações inciais são exi = 0 para todo i, e
y
1 = 4 e e
y
2 = 2. O bem X pode
ser produzido a partir de Y por firmas competitivas de acordo com a seguinte
função de produção: x = z, em que z é a quantidade de y utilizada na produção.
(a) Encontre o equilíbrio competitivo.
(b) Mostre que as condições para eficiência de Pareto não envolvem a igualdade
usual entre as taxas marginais de substituição entre X e Y dos dois indivívuos.
(c) Quais modificações, de mercado ou não, você sugere para melhorar as pro-
priedades de eficiência da alocação obtida no item (a)? Discuta.
Questão 5: Uma cidade tem 1000 habitantes, os quais consomem apenas um
bem privado: sorvete. Será construído nesta cidade um bem público: uma
praça. Suponha que todos os habitantes tenham a mesma função utilidade
u (xi, G) = xi − 10G , em que xi é a quantidade de sorvete consumida por cada
habitante e G =
∑1000
i=1 gi é o tamaho da praça em m
2
. Suponha que o preço
do sorvete seja R$1,00 por unidade e o preço do metro quadrado construído
da praça seja R$100,00. Qual é a quantidade Pareto eficiente do bem público
ofertada nesta economia?
Questão 6: Suponha uma ilha habitada por dois náufragos, indexados por i ∈
{1, 2}. Estes indivíduos consomem apenas cocos, que são usados de duas formas:
tanto para alimentarem-se quanto para fazerem sinais de fumaça (de maneira
a chamar a atenção de alguma embaracação que os resgatem), queimando co-
cos. Cada indivíduo tem uma dotação inicial de cocos wi > 0. Seja xi ≥ 0
a quantidade de cocos que o naufrágo i usa em sua alimentação e gi ≥ 0 a
sua contribuição para a fogueira de cocos. O número total de cocos usado
2
na fogueira é G = g1 + g2. A função utilidade do indvíduo 1 é dada por
u1 (x1, G) = x1 + a1 lnG, onde a1 > 0. Já a função utilidade do indivíduo
2 é dada por u2 (x2, G) = a2x2 + lnx2, onde a2 > 0.
(a) Qual será a quantidade de equilíbrio do bem-público?
(b) Qual é a quantidade Pareto eficiente do bem-público ofertada nesta econo-
mia? Compare esta solução com a solução obtida no item (a).
Questão 7: Considere o problema de provisão eficiente de um bem público
contínuo com dois consumidores, indexados por i ∈ {1, 2}. Seja ui (G, xi) =
lnG + 12xi a utilidade do consumidor i sobre o bem público e o bem privado,
em que G é a quantidade do bem público e xi é a quantidade do bem privado
consumido pelo consumidor i. A produção do bem público depende das con-
tribuições g1 e g2 dos consumidores 1 e 2, respectivamente, e é dada pela função
de produção G = ln (g1 + g2). Cada consumidor possui uma dotação inicial de
2 unidades de bem privado. Calcule a quantidade eficiente de bem público que
deve ser produzida.
Questão 8 (Prova 1 de 2010): Em uma economia competitiva há 1000
indivíduos, cada um deles com uma dotação de 1 unidade de terra, que pode
ser alocada para a produção de 2 bens, girassol ou milho. As preferências do
indivíduo i são caracterizadas por:
U i = ln
(
xig
)
+ 2 ln
(
xim
)
+ ln
( yg
1000
)
,
sendo xig o consumo de girassol pelo consumidor i, x
i
m o consumo de milho
pelo indivíduo i e yg a produção total de girassol. Note que, dada a beleza
dos campos de girassol, sua produção gera uma externalidade positiva sobre os
indivíduos. No entanto, cada consumidor não tem poder de decisão sobre a
quantidade agregada de girassol produzida, yg. As tecnologias disponíveos para
a produção de girassol e milho são simples, dadas por:
yg = tg
e
ym = tm,
sendo ym a produção total de milho, tm o montante de terra usado na produção
de milho e tg o montante total de terra usado na produção de girassol.
(a) Escreva o problema que determina as alocações eficientes de terra e consumo.
Determine a alocação eficiente simétrica, na qual todos os indivívuos têm o
mesmo consumo (e, portanto, pesos de Pareto iguais).
(b) Determine o equilíbrio competitivo (preços e alocações). Mostre que tal
alocação não é eficiente. Como essa alocação se compara à alocação eficiente?
Dê uma intuição para esta comparação. Dica: Use terra como numerário.
(c) Mostre que um subsídio de 100% sobre o valor da produção de girassol,
financiado por um imposto lump-sum para os consumidores, gerará eficiência
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em uma alocação competitiva. Qual será o montante de impotto lump-sum pago
por cada um dos indivíduos?
Questão 9 (Prova 1 de 2010): Suponha uma economia com N indivíduos
indexados por i ∈ {1, 2, . . . , N} e dois bens, x e z. O bem x é público e o bem
z é privado. A utilidade do indivíduo i é dada por U i = U i
(
x, zic
)
, onde x e zic
denotam as quantidade de x e z consumidas pelo indivíduo i. Cada indivíduo
i possui uma dotação inicial do bem z dada por z∗i. A função de produção do
bem público x é dada por x = f
(∑N
i=1 z
i
d
)
, onde zid denota a quantidade a
quantidade do bem z empenhada na produção de x pelo indivíduo i.
(a) Explique porque o bem x consumido pelo indivíduo i não é indexado por i.
(b) Monte e resolva o problema de Pareto desta economia. Mostre qual é a
condição para haver produção eficiente do bem público.
(c) A curva de demanda agregada para bens privados é obtida atravésda soma
horizontal (i.e. para um mesmo preço devemos somar as quantidades consum-
idas do bem privado por cada indivíduo). A demanda por um bem público
também pode ser obtida desta forma? Justifique sua resposta.
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