Lista 5

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Microeconomia II
Lista de Exercícios 5
12 de Outubro de 2011
Questão 1. Considere o jogo decrito na matriz de payoff abaixo:
Coluna
L C R
U 0,1 2,5 -1,0
Linha M 3,2 1,1 2,0
D 1,3 6,2 1,4
(a) O Jogador Linha tem uma estratégia dominante? O Jogador Coluna tem
uma estratégia dominante?
(b) Existe uma estratégia dominada para o jogador Linha? Existe uma estra-
tégia dominada para o jogador Coluna?
(c) Quais estratégias podem ser eliminadas por eliminação iterada de estratégias
estritamente dominadas?
(d) Qual a relação entre entre estratégia dominante e estratégia dominada? É
possível que haja uma sem que haja a outra?
(e) Encontra o(s) equilíbrio(s) de Nash deste jogo?
Questão 2. Considere o jogo abaixo:
Jogador 2
D E F
A 7,6 5,8 0,0
Jogador 1 B 5,8 7,6 1,1
C 0,0 1,1 4,4
(a) Encontre o equilíbrio de Nash em estratégia pura (se houver).
(b) Encontre o equilíbrio de Nash em estratégia mista.
(c) Compute os payoffs esperados nos equilíbrios encontrados nos itens acima.
1
(d) Desenhe a forma extensiva para este jogo.
Questão 3. O equilíbrio de Nash em estratégia mista do Jogo Batalha dos
Sexos pode depender dos valores de seus payoffs. Para generalizar essa solução,
assuma que a matriz de payoffs do jogo é a dada a seguir:
Marido
Ballet Boxe
Mulher
Ballet K,1 0,0
Boxe 0,0 1,K
em que K ≥1. Mostre que o equilíbrio de Nash em estratégia mista depende do
valor de K.
Questão 4. Encontre todos os equilíbrios de Nash em estratégias puras e em
estratégias mistas do jogo representado abaixo:
Coluna
Esquerda Direita
Linha
Alto 2,2 2,1
Baixo 2,3 3,4
Questão 5. Dois colegas de apartamento estão planejando limpá-lo no do-
mingo. Cada um deles tem uma hora disponível que pode ser alocada para
assistir TV ou para limpar o apartamento. Denote o tempo dedicado pela pes-
soa i à limpeza do apartamento por ci, onde 0 ≤ ci ≤ 1. Cada pessoa valoriza
limpeza e o tempo gasto assistindo TV. Em particular, assuma que a função
payoff do indivíduo i (i = 1, 2) é dada por
ui (c1, c2) = bi ln (c1 + c2) + 1− ci,
onde bi ln (c1 + c2) representa a utilidade que o indivíduo i deriva de um aparta-
mento limpo e 1− ci é a utilidade de assistir TV. Você pode interpretar bi como
o valor relativo qur i atribui ao um apartamento limpo. Encontre os equilíbrio
de Nash deste jogo quando (i) b1 > b2 we (ii) b1 = b2.
Questão 6. Suponha que u1 e u2 sejam ambas utilidades Cobb-Douglas em
(xi;G) dos jogadores 1 e 2, ou seja, ui = (xi)
αG(1−α), em que G = g1 + g2, e gi
é a contribuição do jogador i para a provisão do bem público G. Considere xi
como um bem de consumo privado, e w1 e w2 as dotações iniciais de cada um
dos jogadores.
(a) Demonstre que há dois equilíbrios de Nash possíveis a depender dos parâ-
metros (α;wi): um em que ambos os jogadores contribuem para a provisão do
bem público, e outro em que apenas um contribui enquanto o outro é um free
rider.
(b) Suponha agora que haja N indivíduos, e que ui(xi;G) = bilnG + xi para
i = 1, . . . , N . Demonstre que, se bi > bj para i > j, então somente o indivíduo
N irá contribuir.
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Questão 7. Imagine uma pequena vila com 100 casais, todos com perfeita
noção de lógica e racionais, e que realizam o seguinte ritual peculiar. Toda
noite os homens da vila se reúnem em volta de uma grande fogueira e cada
um fala sobre a sua esposa. Ao iniciar a reunião, se algum deles tem qualquer
motivo para confiar na lealdade de sua esposa, ele reza por sua virtude junto
com os outros homens da vila. No entanto, se em algum momento antes do
encontro ele obteve alguma prova que o levasse a desconfiar dessa lealdade, ele
deveria se pronunciar para invocar junto com seus companheiros uma maldição
sobre sua esposa. Ainda, se uma mulher é desleal, ela e seu amante informam
imediatamente todos os homens da cidade, exceto o seu marido. Todos os
habitantes da vila conhecem os rituais e k ≥ 1 mulheres são desleais com seus
maridos.
(a) Um viajante chega na vila e anuncia numa tarde diante de todos os homens
da vila que tem certeza que pelo menos uma mulher na vila é desleal. Prove que
na k-ésima noite após o anúncio, os k maridos se pronunciarão para amaldiçoar
suas esposas.
(b) Por que a informação do viajante causou tamanho efeito? O que ele trouxe
para o ambiente?
Questão 8. Dois motoristas, jogadores 1 e 2, estão simultaneamente apoxi-
mando um cruzamento em direções diferentes. Eles podem escolher parar (P )
ou continuar (C) no cruzamento. Se ambos para, eles evitam uma colisão e cada
um recebe um payoff de 1. Se ambos continuam, eles colidem e cada um recebe
um payoff de 0. Se apenas o jogador 2 para, então o jogador 1 recebe payoff 2
enquanto o jogador 2 recebe payoff de 1− c, onde c deflete o desgosto de ser o
único a parar. Simetricamente, se apenas o jogador 1 para, ele recebe 1− c e o
jogador 2 recebe 2. Assuma que 0 < c < 1.
(a) Escreva este jogo na forma estratégica.
(b) Encontre o seu único equilíbrio de Nash em estratégias puras.
Questão 9. N pessoas participam de um jogo. Cada uma das N pessoas
anuncia um número no conjunto {1, . . . ,K}. Um prêmio de $1 será dividido
igualmente entre todos aqueles que estiverem o mais próximo de
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3 da média
dos números. Encontre o equilíbrio de Nash deste jogo, mostrando qual é a
estratégia dominante (se houver) de cada jogador.
Questão 10. (Leilão de segundo preço) Considere uma situação em que n
indivíduos participam de um leilão de segundo-preço para um objeto indivisível
dado. Neste leilão, os lances estão no conjunto discreto {a1, a2, . . . , an} ∈ R+n
e o bem é alocado ao indivíduo que anuncia o maior lance. Neste sentido, este
leilão é igual ao de primeiro preço. Entretanto, a diferença está no fato de que
o ganhador não paga, ao final do leilão, o valor próprio lance ai, mas sim o
valor do segundo maior lance, que é dado por max{aj : aj ≤ ai e j 6= i}. Além
disso, neste leilão, os lances são fechados e únicos, ou seja, cada jogador coloca
seu único lance que será dado no leilão em um envelope lacrado, e nenhum
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outro jogador pode ver o lance deste jogador. Assim, cada jogador conhece seu
próprio lance, mas desconhece os lances dos outros jogadores. Denote por a˜i o
verdadeiro valor que o jogador i atriubui ao objeto leiloado, e suponha que cada
jogador é informado privadamente sobre o próprio valor verdadeiro que avalia
o bem, mas desconhece o valor verdadeiro que os outros jogadores atribuem ao
bem. Sob estas condições, mostre que é estratégia dominante para todos os
jogadores dar um lance exatamente igual a este valor verdadeiro, a˜i.
Questão 11. Dois jogadores, João e Roberta, alternam-se na escolha de núme-
ros; João escolhe primeiro. Na sua vez de jogar, um jogador deve escolher um
número entre 1 e 10, inclusive, e este número é somado aos números escolhidos
até então. Quando esta soma atinge 100, o jogo termina. Considere dois finais
aternativos: (i) o jogador que escolhe o número que leva o total somado a exa-
tamente 100 é o vencedor, e (ii) o jogador que escolhe o número que faz com
que o o total seja maior ou igual a a100 é o perdedor. Para cada caso, responda
as seguintes perguntas:
(a) Quem ganhará o jogo?
(b) Quais são as estratégias ótimas de cada jogador?
Questão 12. O país 1 deve decidir entre atacar ou não atacar o país 2, o
qual está ocupando uma ilha entre os dois países. No caso de um ataque, o
país 2 pode atacar ou recuar sobre a ponte até o continente. Cada país prefere
ocupar a ilha a não ocupá-la.; uma guerra pe o pior cenário para ambos os
exércitos. Modele esta situação na forma extensiva e mostra que o país 2 pode
aumentar seu payoof queimando a ponte, eliminando assim a opção de recuar
para o continente em caso de ataque por parte do país 1.
Questão 13. Considere o seguinte jogo na forma extensiva:
4
7 
7 
7 
3 
4 
8 
0 
5 
4 
1 
2 
3 
0 
8 
3 
5 
4 
9 
4 
5 
4 
1 
2 2 
3 3 3 
6 
0 
8 
(a) Escreva o conjunto de estratégias de cada jogador.
(b) Escreva este jogo em sua forma normal.
(c) Encontre o(s) equilíbrio(s) de Nash em estratégiaspuras deste jogo.
(d) Desenhe o(s) subjogo(s) deste jogo.
(e) Encontre o(s) equilíbrio(s) de Nash perfeito(s) em subjogos deste jogo.
Questão 14. Considere um campo de golfe delimitado pela função ex, onde
x ≥ 0, pelo eixo horizontal de um plano cartesiano e por xmax = F . Este campo
é administrado por um indivíduo que contrata dois trabalhadores, M e T para
apará-lo verticalmente partindo da origem em direção leste (x crescente). O
trabalhador M trabalha no período da manhã e o trabalhador T trabalha no
período da tarde iniciando o seu corte à partir de onde o trabalhador M parou.
O administrador do campo checa o trabalho realizado no final da tarde e oferece
o seguinte esquema de remuneração:
Wi = w (AM +AT ) ,
w ∈ (0, eF − 1] ,
i ∈ {M,T}, onde AM e AT denotam a área aparada pelo trabalhador M e pelo
trabalhador T , respectivamente. A desutilidade do trabalho para o trabalha-
dor i ∈ {M,T} é dada por A2i . Todas estas informações são de conhecimento
comum.
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(a) Escreva o conjunto de estratégias de cada trabalhador.
(b) Escreva o problema de cada trabalhador.
(c) Encontre a área aparada por cada trabalhador no(s) equilíbrio(s) de Nash
perfeito(s) em subjogos.
(d) Suponha agora que o administrador do campo, ao invés de conferir o tra-
balho realizado apenas no final da tarde, resolva fazer duas checagens: uma a
meio dia e outra no final da tarde, sem qualquer custo de checagem adicional
para ele. Nestas condições, ee passa a oferecer Wi = wAi, w > 0, i ∈ {M,T}.
Encontre a área aparada por cada trabalhador no(s) novo(s) equilíbrio(s) de
Nash perfeito(s) em subjogos.
(e) Compare os equilíbrio(s) obtido(s) no item (c) com o(s) equilíbrio(s) ob-
tido(s) no item (d) e explique a intuição.
Questão 15. Considere o jogo representado pela matriz:
Coluna
Não Coopera Coopera
Linha
Não Coopera 0,0 g,l
Coopera l,g c,c
Assuma que g > c > 0 > l.
(a) Suponha que o jogo é jogado apenas uma vez e que as escolhas são feitas
simultaneamente. Qual é o equilíbrio de Nash?
Para o jogo repetido, o payoff dos jogadores é dado por:
U =
N∑
t=0
δtxt,
onde xt é o payoff obtido no período t e δ é a taxa de desconto.
(b) Assumindo que os jogadores observam o resultado de cada rodada em que o
jogo é repetido e que eles tenham memória perfeita, o que acontece se este jogo
é jogado duas vezes? E se o jogo é jogado N vezes, onde N é finito?
(c) Para g = 10, c = 1 e δ = 0, 95, é possível obter cooperação se este jogo é
repetido infinitamente?
Nas mesmas condições do item (c) e assumindo l = −14, suponha que você
esteja jogando contra um agente que usa a estratégia tit-for-tat, com punição
de um período. Você sabe que o aente irá jogar �Coopera� na próxima rodada.
(d) É vantajoso para você desviar por um período e então reverter para a
cooperação?
(e) É vantajoso para você desviar por dois períodos consecutivos e então reverter
para a cooperação?
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(f) É vantajoso desviar para sempre?
(g) Seja B (n) o benefício líquido que se ganha ao desviar exatamente por n
períodos consecutivos e então reverter para a cooperação. B (+∞) denota o
denefício líquido de não cooperar para sempre. Prove que ou B (1) ≤ B (n) ≤
B (+∞) ou B (+∞) ≤ B (n) ≤ B (1). Interprete.
(h) É possível sustentar cooperação usando tit for tat com um período de pu-
nição?
(i) É possível que uma estratégia que prescreva cooperação para sempre, in-
dependentemente das ações do outro jogador, faça parte de um equilíbrio de
Nash?
Questão 16. Suponha que o jogo simultâneo abaixo seja jogado duas vezes,
sendo que o resultado do primeiro estágio é observado pelos jogadores antes de
o segundo estágio ser jogado. Não existe desconto intertemporal. Mostre que
(M1,M2), embora não seja um equilíbrio de Nash do jogo simultâneo, pode ser
observado como resultado do primeiro estágio em um equilíbrio de Nash perfeito
em subjogos do jogo repetido.
Jogador 2
L2 M2 R2
L1 1,1 5,0 0,0
Jogador 1 M1 0,5 4,4 0,0
R1 0,0 0,0 3,3
Questão 17. Suponha que o jogo simultâneo abaixo seja jogado duas vezes,
sendo que o resultado do primeiro estágio é observado pelos jogadores antes de o
segundo estágio ser jogado. Não existe desconto intertemporal. É possível que o
payoff (4, 4) seja obtido no primeiro estágio em algum equilíbrio de Nash perfeito
em subjogos? Se sim, diga quais são estas estratégias. Caso sua resposta seja
negativa, prove-a.
Jogador 2
E C D
A 3,1 0,0 5,0
Jogador 1 M 2,1 1,2 3,1
B 1,2 0,1 4,4
Questão 18. Encontre todos os equilíbrio de Nash Bayesianos em estratégias
puras do seguinte jogo:
1. A natureza determina se os payoffs são dados pelo Jogo 1 ou pelo Jogo 2,
sendo eles igualmente prováveis;
2. O jogador 1 observa a escolha da natureza, mas o Jogador 2 não observa;
3. Simultaneamente, o jogador 1 escolhe T ou B e o jogador 2 escolhe L ou R.
4. O payoffs são dados pelo jogo escolhido pela natureza.
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Jogador 2
L R
Jogador 1
T 1,1 0,0
B 0,0 0,0
Jogo 1
Jogador 2
L R
Jogador 1
T 0,0 0,0
B 0,0 2,2
Jogo 2
Questão 19. Considere dois exércitos inimigos, cada um dos quais situado em
um lado de uma ilha. O general de cada exército pode escolher �atacar� ou
�não atacar�. Cada exército pode ser ou �forte� ou �fraco� com probabilidades
iguais, sendo que cada general conhece o tipo do próprio exército. A ilha vale
M se dominada. Um exército pode dominar a ilha ou atacando o seu oponente
quando o seu oponente não ataca ou atacando o seu oponente, quando este
também ataca, desde que o primeiro seja forte e segundo seja fraco. Se exércitos
igualmente fortes atacam, nenhum deles domina a ailha. Um exército também
tem um custo de luta, dado por s se ele é forte e dado por w se ele é fraco,
onde s < w. Não existe custo de atacar se o rival não ataca. Encontre todos os
equilíbrio de Nash Bayesianos deste jogo.
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