Questão resolvida - Mostre que as únicas matrizes quadradas de ordem 2 que comutam tanto com a matriz ... quanto com a matriz ... são múltiplas de I2 - IFF

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Mostre que as únicas matrizes quadradas de ordem 2 que comutam tanto com a 
matriz quanto com a matriz são múltiplas de . 1 0
0 0
0 1
0 0
I2
 
Resolução:
Vamos encontrar a matriz que comuta tanto com a matriz quanto X = a b
c d
A =
1 0
0 0
com a matriz , para isso, deve ser verdade a relação: B = 0 1
0 0
X ⋅A = A ⋅X ⋅ = ⋅ =→
a b
c d
1 0
0 0
1 0
0 0
a b
c d
→
a 0
c 0
a b
0 0
 
Assim, a = a; b = c = 0
 
X ⋅B = B ⋅X ⋅ = ⋅ =→
a b
c d
0 1
0 0
0 1
0 0
a b
c d
→
0 a
0 c
c d
0 0
 
Assim, c = 0 e a = d, com isso, as matrizes que comutam com e são as 
1 0
0 0
0 1
0 0
matrizes = = a ⋅ I = d ⋅ I , isso mostra que essas matrizes sãomultiplas da
a 0
0 a
d 0
0 d
2 2
 matriz identidade I .2
 
 
 
(Resposta)