ANÁLISE DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS - Aula 5

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ANÁLISE DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
ARA0420
Aula 5
Relações entre carregamento 
distribuído, força cortante e 
momento fletor
16/Setembro/2020
Prof. Paulo Cesar (Pecê)
Quando uma viga está sujeita a vários carregamentos diferentes,
determinar V e M em função de x e representar essas equações em
gráfico pode ser bastante trabalhoso.
Entretanto, existe um método mais simples para construir os
diagramas de força cortante e momento fletor - um método baseado
em duas relações diferenciais que existem entre carga distribuída,
força cortante e momento fletor.
Relações entre carregamento distribuído, força cortante e momento fletor
Para obter essas duas relações diferenciais, vamos considerar a viga
mostrada na figura abaixo, que está sujeita a um carregamento arbitrário.
Um diagrama de corpo livre para um pequeno segmento Δx da viga é
mostrado a seguir.
𝑉 + Δ𝑉 + 𝑞 𝑥 Δ𝑥 − 𝑉 = 0
𝚫𝑽 = −𝑞(𝒙)𝚫𝒙
−𝑉Δ𝑥 −𝑀 + 𝑞 𝑥 Δ𝑥 𝑘 Δ𝑥 + 𝑀 + Δ𝑀 = 0
𝚫𝑴 = 𝑽𝚫𝒙 − 𝒒 𝒙 𝒌 𝚫𝒙 2
Vamos impor as condições de equilíbrio a este trecho.
+Σ𝐹𝑦 = 0
↶ +Σ𝑀𝑂 = 0
Dividindo por Δx e calculando o limite quando Δx ⟶ 0, essas duas 
equações tornam-se:
Δ𝑉 = −𝑞(𝑥)Δ𝑥
Δ𝑉
Δ𝑥
=
−𝑞(𝑥)Δ𝑥
Δ𝑥
Δ𝑀 = 𝑉Δ𝑥 − 𝑞 𝑥 𝑘 Δ𝑥 2
Δ𝑀
Δ𝑥
=
𝑉Δ𝑥 − 𝑞(𝑥)𝑘 Δ𝑥 2
Δ𝑥
𝒅𝑽
𝒅𝒙
= −𝒒 𝒙
𝒅𝑴
𝒅𝒙
= 𝑽
lim
Δ𝑥⟶0
Δ𝑉
Δ𝑥
= lim
Δ𝑥⟶0
−𝑞(𝑥)Δ𝑥
Δ𝑥
lim
Δ𝑥⟶0
Δ𝑀
Δ𝑥
= lim
Δ𝑥⟶0
𝑉Δ𝑥 − 𝑞(𝑥)𝑘 Δ𝑥 2
Δ𝑥
Essas equações podem ser interpretadas, respectivamente, como:
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= −𝑞 𝑥
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉
Inclinação do diagrama 
de força cortante em 
cada ponto
− (Intensidade da carga 
distribuída em cada 
ponto)
=
Inclinação do diagrama 
de momento em cada 
ponto
Intensidade da força 
cortante em cada 
ponto
=
As equações obtidas anteriormente também podem ser reescritas na forma:
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= −𝑞 𝑥 ⟹ 𝒅𝑽 = −𝒒 𝒙 𝒅𝒙
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉 ⟹ 𝒅𝑴 = 𝑽𝒅𝒙
Podemos integrar os dois membros das igualdades, entre quaisquer dois 
pontos na viga, e escrever:
𝚫𝑽 = −න𝒒 𝒙 𝒅𝒙 𝚫𝑴 = න𝑽𝒅𝒙
Mais uma vez, podemos interpretar essas equações, respectivamente, 
como:
Δ𝑉 = −න𝑞 𝑥 𝑑𝑥
Δ𝑀 = න𝑉𝑑𝑥
Variação da 
força cortante
−(“Área” sob a carga 
distribuída)
=
Variação do 
momento fletor
“Área” sob o 
diagrama da força 
cortante
=
Resumindo:
 Força concentrada gera descontinuidade no DEC. 
 Momento concentrado gera descontinuidade no DMF. 
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= −𝑞 𝑥
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉
𝑑2𝑀
𝑑𝑥2
= −𝑞
 Se q = 0 (entre cargas concentradas), então:
DEC é constante
 Se q = k (constante), então: DEC varia linearmente em x
 Integrando q −ΔV
 Integrando V ΔM

{
{
DMF varia linearmente em x
DMF varia parabolicamente em x
Exemplos de aplicação
1. Determine os diagramas de esforço cortante e momento fletor para a viga 
carregada da figura a seguir.
Σ𝐹𝑥 = 0: 𝐴𝑥 = 0 (1)
Σ𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 170 (2)
Σ𝑀𝐴 = 0: 50 ∙ 4 + 30 ∙ 8 + 90 ∙ 11 = 𝐵𝑦 ∙ 13 (3)
Da equação (3): By = 110 kN ()
E, de (2): Ay = 60 kN ()
Ax
Ay By
ΔM = +60∙4 kN∙m ΔM = +10∙4 kN∙m
ΔM = −20∙3 kN∙m
ΔM = −110∙2 kN∙m
60
240
10
280
−20
−110
220
DEC (kN)
DMF (kN∙m)
Ax
Ay By
Σ𝐹𝑥 = 0: 𝐴𝑥 = 0 (1)
Σ𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 0 (2)
Σ𝑀𝐴 = 0: 12 = 𝐵𝑦 ∙ 4 (3)
Da equação (3): By = 3 kN ()
E, de (2): Ay = −3 kN ()
2. Determine os diagramas de esforço cortante e momento fletor para a viga 
carregada da figura a seguir.
ΔM = −3∙3 kN∙m
ΔM = −1∙3 kN∙m
+3
DEC (kN)
DMF (kN∙m)
−3
−9
3. Determine os diagramas de esforço cortante e momento fletor para a viga 
carregada da figura a seguir.
Ax
Ay By
Σ𝐹𝑥 = 0: 𝐴𝑥 = 0 (1)
Σ𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 36 (2)
Σ𝑀𝐴 = 0: 36 ∙ 3,5 = 𝐵𝑦 ∙ 7 (3)
Da equação (3): By = 18 kN ()
E, de (2): Ay = 18 kN ()
36 kN
DEC (kN)
DMF (kN∙m)
ΔM = +18∙2 kN∙m
ΔM = −18∙2 kN∙m−18
18
+18∙1,5 kN∙mΔM =
2
ΔM =
2
−18∙1,5 kN∙m
36 36
49,5
4. Determine os diagramas de esforço cortante e momento fletor para a viga 
carregada da figura a seguir.
Ax
Ay By
80 kN
Σ𝐹𝑥 = 0: 𝐴𝑥 = 0 (1)
Σ𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 140 (2)
Σ𝑀𝐴 = 0: 120 ∙ 2 + 100 + 20 ∙ 7 = 𝐵𝑦 ∙ 8 (3)
Da equação (3): By = 60 kN ()
E, de (2): Ay = 80 kN ()
DEC (kN)
DMF (kN∙m)
80
40
−40
−60
+(80+40)∙2 kN∙mΔM =
2
ΔM =
2
−2∙40 kN∙m
80
120
ΔM = −40∙1,5 kN∙m
ΔM = −60∙1 kN∙m
ΔM = −40∙1,5 kN∙m
20
120
60