09_trifasicos

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Circuitos Trifásicos
Aula 13/05/2021
Prof. M. Eng. Renato Ribeiro Aleixo
6º, 7º e 8º Elétrica 
Aula Anterior
3 – Sistema Trifásico e simétrico com cargas 
desequilibradas.
3.1 – Carga em Y aterrada por impedância
3.2 – Carga em Y com centro estrela isolado
3.3 – Carga em Delta
Exercícios
Aula de hoje:
4 - Potência em circuitos Trifásicos 
Exercícios
Circuitos 
Trifásicos
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Potência em Circuitos Monofásicos
➢Considere a seguinte tensão e corrente
➢As potências ativa, reativa e aparente são definidas por:
𝑆 = 𝑃2 + 𝑄²
Circuitos 
Trifásicos
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( ) ( ) ( ) ( )cos e im v m iv t V t t I cos t   = + = +
( )cos
2
m m
v i
V I
P  = −
( )sen
2
m m
v i
V I
Q  = −
Potência Ativa: Watt (W)
Potência Reativa: VAr
Potência Aparente: VA
Potência em Circuitos Monofásicos
➢Fazendo 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 = 𝜑
➢Valores eficazes 𝑉𝑚 = 𝑉 2 e 𝐼𝑚 = 𝐼 2
𝑷 =
𝑉 2∙𝐼 2
2
cos 𝜑 = 𝑽𝑰 𝒄𝒐𝒔 𝝋 𝑸 =
𝑉 2∙𝐼 2
2
sen 𝜑 = 𝑽𝑰𝐬𝐞𝐧(𝝋)
Como 𝑆 = 𝑃2 + 𝑄², define-se a potência aparente complexa:
ഥ𝑺 = 𝑷 + 𝒋𝑸 = 𝑺∠𝝋
Circuitos 
Trifásicos
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Diferença angular entre tensão e corrente!
Potência em Circuitos Monofásicos
➢Conhecendo-se os fasores de tensão e corrente numa dada carga,
a potência complexa pode ser calculada:
𝑺∠𝝋 = ഥ𝑺 = 𝑽𝑰∗
Conjugado de um 𝐴 + 𝑗𝐵 é igual a 𝐴 − 𝑗𝐵.
𝑉𝐼∗ = 𝑉∠𝜃𝑣 ∙ 𝐼∠−𝜃𝐼= 𝑉𝐼∠(𝜃𝑣−𝜃𝐼)
𝑉𝐼∠(𝜃𝑣−𝜃𝐼) = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑣−𝜃𝐼) + 𝑗𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑣−𝜃𝐼)
𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑣−𝜃𝐼) + 𝑗𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑣−𝜃𝐼) = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑗𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑗𝑉𝐼𝑠𝑒𝑛 𝜑 = 𝑃 + 𝑗𝑄 = ҧ𝑆
Circuitos 
Trifásicos
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Conjugado da corrente
Potência em Circuitos Monofásicos
➢Para uma carga indutiva teremos 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 = 𝜑 > 0
Ângulo do fator de potência positivo 
➢Para uma carga capacitiva teremos 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 = 𝜑 < 0
Ângulo do fator de potência negativo
Circuitos 
Trifásicos
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Potência em Circuitos Trifásicos
➢Considere que um gerador trifásico está conectado diretamente a 
uma carga. Sejam as seguintes tensões de fase na carga:
➢As correntes de fase na carga são expressas por
Circuitos 
Trifásicos
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( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 cos
2 cos
2 cos
an an van
bn bn vbn
cn cn vcn
v t V t
v t V t
v t V t
 
 
 
 = +

= +

= +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 cos
2 cos
2 cos
a a ia
b b ib
c c ic
i t I t
i t I t
i t I t
 
 
 
 = +

= +

= +
Potência em Circuitos Trifásicos
➢Dessa forma, pode-se escrever a potência instantânea por fase
➢A potência trifásica instantânea é dada por
Circuitos 
Trifásicos
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a an a
b bn b
c cn c
p t v t i t
p t v t i t
p t v t i t
 =

=
 =
( ) ( ) ( ) ( )abc a b cp t p t p t p t= + +
Potência em Circuitos Trifásicos
➢Desta forma análoga aos circuitos monofásicos, as potências
média, reativa, aparente e complexa, bem como o fator de
potência para um Sistema Trifásico podem ser definidas.
➢Potência Ativa Média
➢A Potência Reativa
Circuitos 
Trifásicos
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( ) ( ) ( )cos cos cosabc an a van ia bn b vbn ib cn c vcn icP V I V I V I     = − + − + −
( ) ( ) ( )sen sen senabc an a van ia bn b vbn ib cn c vcn icQ V I V I V I     = − + − + −
Potência em Circuitos Trifásicos
➢Potência Aparente Média
➢A Potência Complexa
Os fasores devem ser expressos em termos dos valores eficazes
➢Fator de Potência
Circuitos 
Trifásicos
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2 2
abc abc abcS P Q= +
= + +* * *abc an a bn b cn cS V I V I V I
( )=cos abcp v i
abc
P
F
S
 − =
Potência em Circuitos Trifásicos
Considerando o sistema simétrico:
➢A Potência Ativa Média é dada por
➢A Potência Reativa Média é dada por
➢Finalmente, a Potência Aparente Média pode ser escrita como
Circuitos 
Trifásicos
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( )3 cosabc F F v iP V I  = −
( )3 senabc F F v iQ V I  = −
3abc F FS V I=
Potência em Circuitos Trifásicos
Considerando o sistema simétrico:
➢Em termos das grandezas de linha
➢Se a carga é conectada em Y, 
➢Se a carga é conectada em ∆,
➢Logo, independentemente do tipo de conexão da carga
➢A Potência complexa em ambos os casos é dada por
Circuitos 
Trifásicos
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( )3 cosabc L L v iP V I  = −
( )3 senabc L L v iQ V I  = −
3abc L LS V I=
3 e IF L F LV V I= =
e I 3F L F LV V I= =
𝐒𝐚𝐛𝐜 = 3𝐕𝐚𝐧𝐈𝑎
∗ = 𝑃𝑎𝑏𝑐 + 𝑗𝑄𝑎𝑏𝑐(simétrico)
Módulo
Potência em Circuitos Trifásicos
➢Exercício 2.1 - Um gerador Trifásico, Simétrico, conectado em
estrela, três fios, sequência de fase abc, tensão de linha eficaz 220
V, alimenta uma carga desequilibrada conectada em estrela, cujas
impedâncias são ZA = 100Ω, ZB = -j100Ω e ZC = j100Ω. Calcule a
potência média transferida à carga e a potência complexa
fornecida pela fonte.
➢Resolução
Circuito Y-Y isolado. Calcular:
a) VNN′;
b)Correntes de linha;
c)Potência por fase da carga;
d)Potência da fonte.
Circuitos 
Trifásicos
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Potência em Circuitos Trifásicos
➢Exercício 2.1 - Um gerador Trifásico, Simétrico, conectado em
estrela, três fios, sequência de fase abc, tensão de linha eficaz 220
V, alimenta uma carga desequilibrada conectada em estrela, cujas
impedâncias são ZA = 100Ω, ZB = -j100Ω e ZC = j100Ω. Calcule a
potência média transferida à carga e a potência complexa
fornecida pela fonte.
➢Resposta
Circuito Y-Y isolado
Calcular: a) 𝑉𝑁𝑁′;
Circuitos 
Trifásicos
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ሶ𝑉𝑁𝑁′ = −
ሶത𝑌𝐴𝑇𝑉𝐴𝑁 + ത𝑌𝐵𝑇 ሶ𝑉𝐵𝑁 + ത𝑌𝐶𝑇 ሶ𝑉𝐶𝑁
ത𝑌𝐴𝑇 + ത𝑌𝐵𝑇 + ത𝑌𝐶𝑇
ഥ𝒁𝑪
ഥ𝒁𝑩
ഥ𝒁𝑨
𝑽𝑨𝑵
𝑽𝑩𝑵
𝑽𝑪𝑵
𝑵
𝑵’
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨′
𝑪′
𝑩′𝒁′𝑩
𝒁′𝑪
𝒁′𝑨
ሶ𝑉𝑁𝑁′ = −
1,27∠ − 30° + 1,27∠ − 60° + 1,27∠0
0,01 − 𝑗0,01 + 𝑗0,01
Potência em Circuitos Trifásicos
➢Exercício 2.1 - Um gerador Trifásico, Simétrico, conectado em
estrela, três fios, sequência de fase abc, tensão de linha eficaz 220
V, alimenta uma carga desequilibrada conectada em estrela, cujas
impedâncias são ZA = 100Ω, ZB = -j100Ω e ZC = j100Ω. Calcule a
potência média transferida à carga e a potência complexa
fornecida pela fonte.
➢Resposta
Circuito Y-Y isolado
Calcular: a) 𝑉𝑁𝑁′;
Circuitos 
Trifásicos
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ሶ𝑉𝑁𝑁′ = −
ሶത𝑌𝐴𝑇𝑉𝐴𝑁 + ത𝑌𝐵𝑇 ሶ𝑉𝐵𝑁 + ത𝑌𝐶𝑇 ሶ𝑉𝐶𝑁
ത𝑌𝐴𝑇 + ത𝑌𝐵𝑇 + ത𝑌𝐶𝑇
ሶ𝑉𝑁𝑁′ = 347∠150°𝑉
ഥ𝒁𝑪
ഥ𝒁𝑩
ഥ𝒁𝑨
𝑽𝑨𝑵
𝑽𝑩𝑵
𝑽𝑪𝑵
𝑵
𝑵’
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨′
𝑪′
𝑩′𝒁′𝑩
𝒁′𝑪
𝒁′𝑨
Potência em Circuitos Trifásicos
➢Exercício 2.1 - Um gerador Trifásico, Simétrico, conectado em
estrela, três fios, sequência de fase abc, tensão de linha eficaz 220
V, alimenta uma carga desequilibrada conectada em estrela, cujas
impedâncias são ZA = 100Ω, ZB = -j100Ω e ZC = j100Ω. Calcule a
potência média transferida à carga e a potência complexa
fornecida pela fonte.
➢Resposta
ሶ𝑉𝐴𝐵 = 220∠0° 𝑒 ሶ𝑉𝐴𝑁 = 127∠ − 30°
Circuito Y-Y isolado
Calcular: b)Correntes de linha;
Circuitos 
Trifásicos
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ഥ𝒁𝑪
ഥ𝒁𝑩
ഥ𝒁𝑨
𝑽𝑨𝑵
𝑽𝑩𝑵
𝑽𝑪𝑵
𝑵
𝑵’
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨′
𝑪′
𝑩′𝒁′𝑩
𝒁′𝑪
𝒁′𝑨
ሶ𝑉𝐴𝑁′ = ሶ𝑽𝑨𝑵 + ሶ𝑽𝑵𝑵′ = ሶ𝑰𝑨 ഥ𝒁𝑨
ሶ𝑉𝐵𝑁′ = ሶ𝑽𝑩𝑵 + ሶ𝑽𝑵𝑵′ = ሶ𝑰𝑩 ഥ𝒁𝑩
ሶ𝑉𝐶𝑁′ = ሶ𝑽𝑪𝑵 + ሶ𝑽𝑵𝑵′ = ሶ𝑰𝑪 ഥ𝒁𝑪
Potência em Circuitos Trifásicos
➢Exercício 2.1 - Um gerador Trifásico, Simétrico, conectado em
estrela, três fios, sequência de fase abc, tensão de linha eficaz 220
V, alimenta umacarga desequilibrada conectada em estrela, cujas
impedâncias são ZA = 100Ω, ZB = -j100Ω e ZC = j100Ω. Calcule a
potência média transferida à carga e a potência complexa
fornecida pela fonte.
➢Resposta
ሶ𝑉𝐴𝐵 = 220∠0° 𝑒 ሶ𝑉𝐴𝑁 = 127∠ − 30°
Circuito Y-Y isolado
Calcular: b)Correntes de linha;
Circuitos 
Trifásicos
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𝐼𝐴
𝐼𝐵
𝐼𝐶
=
2,2∠150°
4,25∠ − 105°
4,25∠45°
𝐴
ഥ𝒁𝑪
ഥ𝒁𝑩
ഥ𝒁𝑨
𝑽𝑨𝑵
𝑽𝑩𝑵
𝑽𝑪𝑵
𝑵
𝑵’
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨′
𝑪′
𝑩′𝒁′𝑩
𝒁′𝑪
𝒁′𝑨
( ሶ𝑽𝑨𝑵 + ሶ𝑽𝑵𝑵′)/ ഥ𝒁𝑨 = ሶ𝑰𝑨
ሶ𝑉𝐵𝑁′ = ሶ𝑽𝑩𝑵 + ሶ𝑽𝑵𝑵′ = ሶ𝑰𝑩 ഥ𝒁′ + ഥ𝒁𝑩
ሶ𝑉𝐶𝑁′ = ሶ𝑽𝑪𝑵 + ሶ𝑽𝑵𝑵′ = ሶ𝑰𝑪 ഥ𝒁′ + ഥ𝒁𝑪
Potência em Circuitos Trifásicos
➢Exercício 2.1 - Um gerador Trifásico, Simétrico, conectado em
estrela, três fios, sequência de fase abc, tensão de linha eficaz 220
V, alimenta uma carga desequilibrada conectada em estrela, cujas
impedâncias são ZA = 100Ω, ZB = -j100Ω e ZC = j100Ω. Calcule a
potência média transferida à carga e a potência complexa
fornecida pela fonte.
➢Resposta
Circuito Y-Y isolado
Calcular: c) Potências na carga;
Circuitos 
Trifásicos
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ഥ𝒁𝑪
ഥ𝒁𝑩
ഥ𝒁𝑨
𝑽𝑨𝑵
𝑽𝑩𝑵
𝑽𝑪𝑵
𝑵
𝑵’
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨′
𝑪′
𝑩′𝒁′𝑩
𝒁′𝑪
𝒁′𝑨
= + +* * *abc an a bn b cn cS V I V I V I
Potência em Circuitos Trifásicos
➢Exercício 2.1 - Um gerador Trifásico, Simétrico, conectado em
estrela, três fios, sequência de fase abc, tensão de linha eficaz 220
V, alimenta uma carga desequilibrada conectada em estrela, cujas
impedâncias são ZA = 100Ω, ZB = -j100Ω e ZC = j100Ω. Calcule a
potência média transferida à carga e a potência complexa
fornecida pela fonte.
➢Resposta
Circuito Y-Y isolado
Calcular: c) Potências na carga;
Circuitos 
Trifásicos
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ҧ𝑆𝐴𝐵𝐶 = 484∠0° 𝑉𝐴 = 484 𝑉𝐴
ഥ𝒁𝑪
ഥ𝒁𝑩
ഥ𝒁𝑨
𝑽𝑨𝑵
𝑽𝑩𝑵
𝑽𝑪𝑵
𝑵
𝑵’
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨′
𝑪′
𝑩′𝒁′𝑩
𝒁′𝑪
𝒁′𝑨
= + +* * *abc an a bn b cn cS V I V I V I
𝐼𝐴∗
𝐼𝐵∗
𝐼𝐶∗
=
2,2∠ − 150°
4,25∠105°
4,25∠ − 45°
𝐴
Potência em Circuitos Trifásicos
➢Exercício 2.1 - Um gerador Trifásico, Simétrico, conectado em
estrela, três fios, sequência de fase abc, tensão de linha eficaz 220
V, alimenta uma carga desequilibrada conectada em estrela, cujas
impedâncias são ZA = 100Ω, ZB = -j100Ω e ZC = j100Ω. Calcule a
potência média transferida à carga e a potência complexa
fornecida pela fonte.
➢Resposta
Circuito Y-Y isolado
Calcular: d) Potências na fonte;
Circuitos 
Trifásicos
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ഥ𝒁𝑪
ഥ𝒁𝑩
ഥ𝒁𝑨
𝑽𝑨𝑵
𝑽𝑩𝑵
𝑽𝑪𝑵
𝑵
𝑵’
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨′
𝑪′
𝑩′𝒁′𝑩
𝒁′𝑪
𝒁′𝑨
= + +* * *abc an a bn b cn cS V I V I V I
Potência em Circuitos Trifásicos
➢Exercício 2.1 - Um gerador Trifásico, Simétrico, conectado em
estrela, três fios, sequência de fase abc, tensão de linha eficaz 220
V, alimenta uma carga desequilibrada conectada em estrela, cujas
impedâncias são ZA = 100Ω, ZB = -j100Ω e ZC = j100Ω. Calcule a
potência média transferida à carga e a potência complexa
fornecida pela fonte.
➢Resposta
Circuito Y-Y isolado
Calcular: d) Potências na fonte;
Circuitos 
Trifásicos
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ҧ𝑆𝐴𝐵𝐶 = 484∠0° 𝑉𝐴 = 484 + 0𝑖 𝑉𝐴
ഥ𝒁𝑪
ഥ𝒁𝑩
ഥ𝒁𝑨
𝑽𝑨𝑵
𝑽𝑩𝑵
𝑽𝑪𝑵
𝑵
𝑵’
𝑨
𝑩
𝑪
𝑨′
𝑪′
𝑩′𝒁′𝑩
𝒁′𝑪
𝒁′𝑨
= + +* * *abc an a bn b cn cS V I V I V I
Potência em Circuitos Trifásicos
➢Exercício 2.2 - Um gerador Trifásico, Simétrico, conectado em
estrela, três fios, sequência de fase abc, tensão de linha eficaz 220
V, alimenta uma carga equilibrada conectada em delta, cujas
impedâncias são de 15+j3Ω. Calcule a potência complexa na carga.
Considere a impedância de linha nula.
Resposta:
Potência ativa trifásica: 9.3077 KW
Potência reativa trifásica: 1.8615 KVAr 
Potência aparente: 9.3077 + j1.8615 KVA 
Circuitos 
Trifásicos
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Potência em Circuitos Trifásicos
➢Desafio - Um Sistema de Geração Trifásico, Simétrico, Sequência
de fase abc, alimenta duas cargas, conforme a figura abaixo. A
tensão de linha eficaz nas cargas é 220 V. Considere X = 18Ω.
Calcule as correntes de linha nos terminais do gerador se a fase de
Vab é 30°. Calcule a potência complexa fornecida pela geração.
Circuitos 
Trifásicos
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Potência em Circuitos Trifásicos
➢Desafio - Um Sistema de Geração Trifásico, Simétrico, Sequência
de fase abc, alimenta duas cargas, conforme a figura abaixo. A
tensão de linha eficaz nas cargas é 220 V. Considere X = 18Ω.
Calcule as correntes de linha nos terminais do gerador se a fase de
Vab é 30°. Calcule a potência complexa fornecida pela geração.
Circuitos 
Trifásicos
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( )
44 26 51 83 A
44 26 171 83 A
44 26 68 17 A
10 420 13 257 5 VAabc
, ,
, ,
, ,
S . j . ,
= − 
=  
=  
= +
a
b
c
I
I
I
Resposta