10_trifasicos

Prévia do material em texto

Circuitos Trifásicos
Aula 20/05/2021
Prof. M. Eng. Renato Ribeiro Aleixo
7º Elétrica 
Aula de Hoje
Impedâncias mútuas em redes trifásicas 
• A impedância mútua
• Matriz de Impedância
• Sistema com impedâncias mútuas e carga estrela aterrada por impedância 
• Atividades
Circuitos 
Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 2
A impedância mútua
• Bobinas acopladas Magneticamente
Circuitos 
Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 3
 
2
N i
B Tesla
r

=
( ) cosBA Weber =
 
d
e N V
dt

=
➢Lei de Àmpere
➢Fluxo magnético
➢Lei de Faraday
Figura 1: Tensão induzida na bobina.
A impedância mútua
Especialmente em transformadores, componentes amplamente 
utilizados em Sistemas de Energia Elétrica para elevar e abaixar a 
tensão operam sob o princípio da indutância mútua.
Circuitos 
Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 4
Figura 2: Transformador.
A impedância mútua
➢Indutância é usualmente chamada de autoindutância, quando a tensão 
induzida no enrolamento é devida à corrente que flui pelo mesmo 
enrolamento.
➢Indutor: Elemento de circuito definido em termos da tensão entre seus 
terminais e a velocidade de mudança da corrente que flui por ele.
Circuitos 
Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 5
Figura 3: Indutor.
d
v N
dt

=
d di di
v N L
di dt dt

= =
d
L N
di

=
A impedância mútua
• Duas bobinas 1 e 2, próximas entre si, constituem um circuito
magnético.
• O acoplamento magnético depende do arranjo físico da taxa de variação
da corrente.
• A corrente i1(t) gera o fluxo φ1 = φ11 + φ12, que possui duas parcelas:
Circuitos 
Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 6
Figura 4: Indutância mútua entre dois 
enrolamentos.
➢Φ11 que enlaça apenas o
enrolamento 1;
➢Φ12 que enlaça ambas as
bobinas;
➢Φ1 induz uma tensão no
enrolamento 1;
➢Φ12 induz uma tensão no
enrolamento 2;
A impedância mútua
• A corrente i2(t) gera o fluxo Φ2= Φ22+ Φ21, que possui duas parcelas:
• Φ22 que enlaça apenas o enrolamento 2;
• Φ21 que enlaça ambas as bobinas;
• Φ2 induz uma tensão no enrolamento 2;
• Φ21 induz uma tensão no enrolamento 1.
Circuitos 
Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 7
Figura 5: Indutância mútua entre dois 
enrolamentos.
A impedância mútua Circuitos Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 8
1 11 12  = +
1 1 1
1 1 1
1
d d di
v N N
dt di dt
 
= =
1
1
di
L
dt
=
Figura 6: Indutância mútua entre dois 
enrolamentos.
➢Em que L1=N1dφ1/di1 é a autoindutância do enrolamento 1.
A impedância mútua
De maneira Similar.
M21 é denominada indutância mútua do enrolamento 2 em relação 
ao enrolamento 1.
Circuitos 
Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 9
Figura 7: Indutância mútua entre dois 
enrolamentos.
12 1
2 2
1
d di
v N
di dt

=
1
2 21
di
v M
dt
=
12
21 2
1
d
M N
di

=
A impedância mútua
Analogamente para a corrente i2(t)
Em que L2 = N2dφ2/di2 é a autoindutância do enrolamento 2.
Circuitos 
Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 10
Figura 8: Indutância mútua entre dois 
enrolamentos.
2 21 22  = +
2 2 2
2 2 2
2
d d di
v N N
dt di dt
 
= =
2
2 2
di
v L
dt
=
A impedância mútua
De maneira Similar
M21 é denominada indutância mútua do enrolamento 1 em relação 
ao enrolamento 2.
Circuitos 
Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 11
Figura 9: Indutância mútua entre dois 
enrolamentos.
21 2
1 1
2
d di
v N
di dt

=
2
1 12
di
v M
dt
=
21
12 1
2
di
M N
di
=
A impedância mútua
• ҧ𝑍𝑎, ҧ𝑍𝑏 e ҧ𝑍𝑐 são as impedâncias próprias das linhas
• ҧ𝑍𝑎𝑏, ҧ𝑍𝑏𝑐 e ҧ𝑍𝑐𝑎 são as impedâncias mútuas que uma dada fase 
induz em suas vizinhas.
Circuitos 
Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 12
ҧ𝑍′𝑎
ഥ𝑍′𝑏
ഥ𝑍′𝑐
A
B
C
A’
B’
C’
ҧ𝑍𝑎𝑏
ҧ𝑍𝑏𝑐
ҧ𝑍𝑐𝑎
ሶ𝑉𝐴′𝑁 = ሶ𝑉𝐴′𝑁′ + ሶ𝑉𝑁𝑁′ = ሶ𝐼𝐴 ҧ𝑍𝐴 + ሶ𝐼𝑁 ҧ𝑍𝑁
ሶ𝐼𝑁 = ሶ𝐼𝐴 + ሶ𝐼𝐵 + ሶ𝐼𝐶
ሶ𝑽𝑨′𝑵 = ሶ𝑰𝑨ഥ𝒁𝑨 + ( ሶ𝑰𝑨 + ሶ𝑰𝑩 + ሶ𝑰𝑪)ഥ𝒁𝑵
ሶ𝑽𝑩′𝑵 = ሶ𝑰𝑩ഥ𝒁𝑩 + ( ሶ𝑰𝑨 + ሶ𝑰𝑩 + ሶ𝑰𝑪)ഥ𝒁𝑵
ሶ𝑽𝑪′𝑵 = ሶ𝑰𝑪ഥ𝒁𝑪 + ( ሶ𝑰𝑨 + ሶ𝑰𝑩 + ሶ𝑰𝑪)ഥ𝒁𝑵
Matricialmente:
ሶ𝑉𝐴′𝑁
ሶ𝑉𝐵′𝑁
ሶ𝑉𝐶′𝑁
=
ҧ𝑍𝐴 0 0
0 ҧ𝑍𝐵 0
0 0 ҧ𝑍𝐶
ሶ𝐼𝐴
ሶ𝐼𝐵
ሶ𝐼𝐶
+
ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁
ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁
ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁
ሶ𝐼𝐴
ሶ𝐼𝐵
ሶ𝐼𝐶
Modelagem - Carga estrela aterrada Circuitos Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 13
ҧ𝑍′𝑎
ҧ𝑍′𝑏
ҧ𝑍′𝑐
A
B
C
A’
B’
C’
ҧ𝑍𝑎𝑏
ҧ𝑍𝑏𝑐
ҧ𝑍𝑐𝑎 N’
ҧ𝑍𝑁
N
N
ҧ𝑍𝑎
ҧ𝑍𝑏
ҧ𝑍𝑐
Matricialmente:
ሶ𝑉𝐴′𝑁
ሶ𝑉𝐵′𝑁
ሶ𝑉𝐶′𝑁
=
ҧ𝑍𝐴 0 0
0 ҧ𝑍𝐵 0
0 0 ҧ𝑍𝐶
ሶ𝐼𝐴
ሶ𝐼𝐵
ሶ𝐼𝐶
+
ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁
ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁
ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁
ሶ𝐼𝐴
ሶ𝐼𝐵
ሶ𝐼𝐶
ሶ𝑉𝐴′𝑁
ሶ𝑉𝐵′𝑁
ሶ𝑉𝐶′𝑁
=
ҧ𝑍𝐴 + ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁
ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝐵 + ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁
ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝐶 + ҧ𝑍𝑁
ሶ𝐼𝐴
ሶ𝐼𝐵
ሶ𝐼𝐶
= [ ҧ𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴]
ሶ𝐼𝐴
ሶ𝐼𝐵
ሶ𝐼𝐶
ҧ𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴 =
ҧ𝑍𝐴 + ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁
ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝐵 + ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁
ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝐶 + ҧ𝑍𝑁
Modelagem - Carga estrela aterrada Circuitos Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 14
ҧ𝑍′𝑎
ҧ𝑍′𝑏
ҧ𝑍′𝑐
A
B
C
A’
B’
C’
ҧ𝑍𝑎𝑏
ҧ𝑍𝑏𝑐
ҧ𝑍𝑐𝑎 N’
ҧ𝑍𝑁
N
N
ҧ𝑍𝑎
ҧ𝑍𝑏
ҧ𝑍𝑐
Caso a carga esteja aterrada diretamente teremos ഥ𝒁𝑵 = 𝟎, logo: 
ሶ𝑉𝐴′𝑁
ሶ𝑉𝐵′𝑁
ሶ𝑉𝐶′𝑁
=
തZA 0 0
0 തZB 0
0 0 തZC
ሶ𝐼𝐴
ሶ𝐼𝐵
ሶ𝐼𝐶
= [ ҧ𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴]
ሶ𝐼𝐴
ሶ𝐼𝐵
ሶ𝐼𝐶
ҧ𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴 =
ҧ𝑍𝐴 0 0
0 ҧ𝑍𝐵 0
0 0 ҧ𝑍𝐶
Obs: Até este ponto a modelagem é exatamente a mesma para sistemas sem 
impedância mútua. 
Modelagem - Carga estrela aterrada Circuitos Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 15
ҧ𝑍′𝑎
ҧ𝑍′𝑏
ҧ𝑍′𝑐
A
B
C
A’
B’
C’
ҧ𝑍𝑎𝑏
ҧ𝑍𝑏𝑐
ҧ𝑍𝑐𝑎 N’
ҧ𝑍𝑁
N
N
ҧ𝑍𝑎
ҧ𝑍𝑏
ҧ𝑍𝑐
Do ponto de vista da fonte, temos:
ሶ𝑉𝐴𝑁
ሶ𝑉𝐵𝑁
ሶ𝑉𝐶𝑁
−
ሶ𝑉𝐴′𝑁
ሶ𝑉𝐵′𝑁
ሶ𝑉𝐶′𝑁
= [ ҧ𝑍𝑅𝐸𝐷𝐸]
ሶ𝐼𝐴
ሶ𝐼𝐵
ሶ𝐼𝐶
Em que:
ҧ𝑍𝑅𝐸𝐷𝐸 =
ҧ𝑍𝐴𝐴 ҧ𝑍𝐴𝐵 ҧ𝑍𝐶𝐴
ҧ𝑍𝐴𝐵 ҧ𝑍𝐵𝐵 ҧ𝑍𝐵𝐶
ҧ𝑍𝐶𝐴 ҧ𝑍𝐵𝐶 ҧ𝑍𝐶𝐶
Sendo ҧ𝑍𝐴𝐴 = ҧ𝑍′𝐴
Modelagem - Carga estrela aterrada Circuitos Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 16
ҧ𝑍′𝑎
ҧ𝑍′𝑏
ҧ𝑍′𝑐
A
B
C
A’
B’
C’
ҧ𝑍𝑎𝑏
ҧ𝑍𝑏𝑐
ҧ𝑍𝑐𝑎 N’
ҧ𝑍𝑁
N
N
ҧ𝑍′𝑎
ҧ𝑍′𝑏
ҧ𝑍′𝑐
Substituindo a tensão da carga:
ሶ𝑉𝐴𝑁
ሶ𝑉𝐵𝑁
ሶ𝑉𝐶𝑁
= ҧ𝑍𝑅𝐸𝐷𝐸
ሶ𝐼𝐴
ሶ𝐼𝐵
ሶ𝐼𝐶
+
ሶ𝑉𝐴′𝑁
ሶ𝑉𝐵′𝑁
ሶ𝑉𝐶′𝑁
ሶ𝑉𝐴𝑁
ሶ𝑉𝐵𝑁
ሶ𝑉𝐶𝑁
= ҧ𝑍𝑅𝐸𝐷𝐸
ሶ𝐼𝐴
ሶ𝐼𝐵
ሶ𝐼𝐶
+ [ ҧ𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴]
ሶ𝐼𝐴
ሶ𝐼𝐵
ሶ𝐼𝐶
ሶ𝑽𝑨𝑵
ሶ𝑽𝑩𝑵
ሶ𝑽𝑪𝑵
= { ഥ𝒁𝑹𝑬𝑫𝑬 + [ഥ𝒁𝑪𝑨𝑹𝑮𝑨]}
ሶ𝑰𝑨
ሶ𝑰𝑩
ሶ𝑰𝑪
Modelagem - Carga estrela aterrada Circuitos Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 17
ҧ𝑍′𝑎
ҧ𝑍′𝑏
ҧ𝑍′𝑐
A
B
C
A’
B’
C’
ҧ𝑍𝑎𝑏
ҧ𝑍𝑏𝑐
ҧ𝑍𝑐𝑎 N’
ҧ𝑍𝑁
N
N
ҧ𝑍𝑎
ҧ𝑍𝑏
ҧ𝑍𝑐
As correntes de linha são dadas por:
ሶ𝐼𝐴
ሶ𝐼𝐵
ሶ𝐼𝐶
= { ҧ𝑍𝑅𝐸𝐷𝐸 + [ ҧ𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴]}
−1
ሶ𝑉𝐴𝑁
ሶ𝑉𝐵𝑁
ሶ𝑉𝐶𝑁
Onde:
ҧ𝑍𝑅𝐸𝐷𝐸 + ҧ𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴 =
ҧ𝑍𝐴𝐴 ҧ𝑍𝐴𝐵 ҧ𝑍𝐶𝐴
ҧ𝑍𝐴𝐵 ҧ𝑍𝐵𝐵 ҧ𝑍𝐵𝐶
ҧ𝑍𝐶𝐴 ҧ𝑍𝐵𝐶 ҧ𝑍𝐶𝐶
+
ҧ𝑍𝐴 + ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁
ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝐵 + ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁
ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝐶 + ҧ𝑍𝑁
Modelagem - Carga estrela aterrada Circuitos Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 18
ҧ𝑍′𝑎
ҧ𝑍′𝑏
ҧ𝑍′𝑐
A
B
C
A’
B’
C’
ҧ𝑍𝑎𝑏
ҧ𝑍𝑏𝑐
ҧ𝑍𝑐𝑎 N’
ҧ𝑍𝑁
N
N
ҧ𝑍𝑎
ҧ𝑍𝑏
ҧ𝑍𝑐
As correntes de linha são dadas por:
ሶ𝐼𝐴
ሶ𝐼𝐵
ሶ𝐼𝐶
= { ҧ𝑍𝑅𝐸𝐷𝐸 + [ ҧ𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴]}
−1
ሶ𝑉𝐴𝑁
ሶ𝑉𝐵𝑁
ሶ𝑉𝐶𝑁
Onde:
ҧ𝑍𝑅𝐸𝐷𝐸 + ҧ𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴 =
ҧ𝑍𝐴 + ҧ𝑍′𝐴 + ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝐴𝐵 + ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝐶𝐴 + ҧ𝑍𝑁
ҧ𝑍𝐴𝐵 + ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝐵 + ҧ𝑍′𝐵 + ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝐵𝐶 + ҧ𝑍𝑁
ҧ𝑍𝐶𝐴 + ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝐵𝐶 + ҧ𝑍𝑁 ҧ𝑍𝐶 + ҧ𝑍′𝐶 + ҧ𝑍𝑁
Obs: { ҧ𝑍𝑅𝐸𝐷𝐸 + [ ҧ𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴]}
−1 é a inversa da matriz ҧ𝑍𝑅𝐸𝐷𝐸 + ҧ𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴 . 
Modelagem - Carga estrela aterradaCircuitos Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 19
ҧ𝑍′𝑎
ҧ𝑍′𝑏
ҧ𝑍′𝑐
A
B
C
A’
B’
C’
ҧ𝑍𝑎𝑏
ҧ𝑍𝑏𝑐
ҧ𝑍𝑐𝑎 N’
ҧ𝑍𝑁
N
N
ҧ𝑍𝑎
ҧ𝑍𝑏
ҧ𝑍𝑐
Exemplo
Considerando o circuito a seguir, se conhecem:
Tensão no gerador: 13,8KV 
Impedância própria dos fios: ҧ𝑍𝑃 = 0,3 + 𝑗0,56 Ω/𝐾𝑚
Impedância mútua: ҧ𝑍𝑀 = 𝑗0,25 Ω/𝐾𝑚
Comprimento da linha: 10𝐾𝑚
Impedância das cargas: ҧ𝑍𝐴 = 90 + 𝑗45 Ω; ҧ𝑍𝐵 = 𝑗50Ω ; ҧ𝑍𝐶 = 𝑗50Ω e ҧ𝑍𝑁 = 10Ω
Circuitos 
Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 20
ҧ𝑍′𝑎
ҧ𝑍′𝑏
ҧ𝑍′𝑐
A
B
C
A’
B’
C’
ҧ𝑍𝑎𝑏
ҧ𝑍𝑏𝑐
ҧ𝑍𝑐𝑎 N’
ҧ𝑍𝑁
N
N
ҧ𝑍𝑎
ҧ𝑍𝑏
ҧ𝑍𝑐
Exemplo
Teremos a seguinte matriz de impedância de cargas:
ҧ𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴 =
100 + 𝑗45 10 10
10 10 + 𝑗50 10
10 10 10 + 𝑗50
Ω
E a matriz de impedância da rede é dada por:
ҧ𝑍𝑅𝐸𝐷𝐸 =
3 + 𝑗5,6 𝑗2,5 𝑗2,5
𝑗2,5 3 + 𝑗5,6 𝑗2,5
𝑗2,5 𝑗2,5 3 + 𝑗5,6
Ω
Que nos dá uma matriz de impedâncias totais:
ҧ𝑍𝑅𝐸𝐷𝐸 + ҧ𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴 =
103 + 𝑗50,6 10 + 𝑗2,5 10 + 𝑗2,5
10 + 𝑗2,5 13 + 𝑗55,6 10 + 𝑗2,5
10 + 𝑗2,5 10 + 𝑗2,5 13 + 𝑗55,6
Ω
Circuitos 
Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 21
Exemplo
Temos que calcular a matriz inversa de ҧ𝑍𝑅𝐸𝐷𝐸 + ҧ𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴 : 
{ ҧ𝑍𝑅𝐸𝐷𝐸 + [ ҧ𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴]}
−1
=
0,0078 − 𝑗0,0041 −0,0002 + 𝑗0,0014 −0,0002 + 𝑗0,0014
−0,0002 + 𝑗0,0014 0,0033 − 𝑗0.017 0,0022 + 𝑗0,0018
−0,0002 + 𝑗0,0014 0,0022 + 𝑗0,0018 0,0033 − 𝑗0,017
Ω
Circuitos 
Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 22
Exemplo
As correntes de linha são dadas por (adotando ሶ𝑉𝐴𝑁 como referência angular) :
ሶ𝐼𝐴
ሶ𝐼𝐵
ሶ𝐼𝐶
= { ҧ𝑍𝑅𝐸𝐷𝐸 + [ ҧ𝑍𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴]}
−1∙
13800
3∠30°
∙
1
𝛼2
𝛼
=
77,55∠ − 4,7°
166,32∠127,1°
132,32∠6,9°
𝐴
Atividade:
Como utilizar o computador para realizar este cálculo?
Circuitos 
Trifásicos
24/05/2021 DOCTUM - Centro de Engenharias - Campus Dom Orione 23