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Análise Complexa Capítulo 3 Parte 1

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Instituto de Matemática - UFRJ
Professora Selene Alves Maia
CAPÍTULO 3
FUNÇÕES ELEMENTARES
3.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL COMPLEXA
Afunçãoexponencial real ex, ondexéum númeroreale e � 2. 71828 . . . éabasenatural do logarítmo
que foiestudadanoCálculo.O objetivodestaseçãoédefinir a funçãoexponencial complexa ez de for-
maa incluir a funçãoexponencial realex, comoum casoespecial, além depreservarasprincipaispro-
propriedadesde ex nomeadasaseguir:
�i� es � e t � es�t
�ii� e0 � 1
�iii� d
dx
�e�x� � �e�x, a � �
Paraaconsecuçãodoobjetivosupracitado ,utilizaremosdoismétodosdescritosaseguir.
Método 1: Definir a funçãoexponencialcomplexae i y utilizandocomoferramentaa teoriadasequa-
ções diferenciais linearesordináriashomogêneasdesegundaordem.
Seja w �y� � e i y. Então,parasatisfazer �ii� e �iii� exigimosque:
�3. 1. 1� w �0� � 1 e �3. 1. 2� w ��y� � i w �y�
Agora, consideremosque:
�3. 1. 3� w �y� � e i y � g �y� � i h �y�
Diferenciandoaequação �3. 1. 3� com respeitoa y, resultaque:
�3. 1. 4� w � �y� � g ��y� � i h� �y�
Substituindoaequação �3. 1. 4� na equação �3. 1. 2�, resultaque:
�3. 1. 5� g ��y� � i h� �y� � i w �y�
Substituindoaequação �3. 1. 3� na equação �3. 1. 5�, resultaque:
g ��y� � i h� �y� � �h �y� � i g �y�
�1.2.2�
�
�3. 1. 6� g ��y� � �h �y� e �3. 1. 7� h� �y� � g �y�
Derivandoaequação �3. 1. 6� com respeitoa y, obtemosque:
�3. 1. 8� g " �y� � �h� �y�
Substituindoaequação �3. 1. 7� na equação �3. 1. 8�, obtemosque:
�3. 1. 9� g " �y� � g �y� � 0
Aequação �3. 1. 9� éumaequaçãodiferencial linearordináriahomogêneadesegundaordem.Does-
tudodeste tipodeequaçãodiferencial sabemosqueasuasoluçãogeralédadapor:
�3. 1. 10� g �y� � c1 cosy � c2 sin y,
ondec1 ec2 sãoconstantes reaisarbitrárias.
Derivandoaequação �3. 1. 10� com respeitoa y, resultaque:
�3. 1. 11� g ��y� � �c1 sin y � c2 cosy
Substituindoaequação �3. 1. 11� naequação �3. 1. 6�, resultaque:
�3. 1. 12� h �y� � c1 sin y � c2 cosy
Poroutro lado, substituindo y � 0 naequação �3. 1. 3�, obtemosque:
w �0� � g �0� � i h �0�
�3.1.1�
� g �0� � i h �0� � 1 � 1 � 0 i
�1.2.2�
�
�3. 1. 13� g �0� � 1 e �3. 1. 14� h �0� � 0.
Substituindo y � 0 nasequações �3. 1. 10� e �3. 1. 12�, resultaque:
�3. 1. 15� g �0� � c1 e �3. 1. 16� h �0� � �c2
Substituindoas equações �3. 1. 15� e �3. 1. 16� nasequações �3. 1. 13� e �3. 1. 14�, obtemosque:
�3. 1. 17� c1 � 1 e �3. 1. 18� c2 � 0
Substituindoas equações �3. 1. 17� e �3. 1. 18� nasequações �3. 1. 10� e �3. 1. 12�, obtemosque:
�3. 1. 19� g �y� � cosy e �3. 1. 20� h �y� � sin y
Substituindoasequações �3. 1. 19� e �3. 1. 20� naequação �3. 1. 3� , obtemosque:
�3. 1. 21� e i y � cosy � i sin y
Método 2: Definir a funçãoexponencialcomplexae i y utilizandocomoferramentaa teoriadasérie
deTaylor.
Nocasode funções reais, aexpansãoda funçãoe t em sériedeTaylor centradaem t0 � 0 édada por:
�3. 1. 22� e t � �
n�0
�
tn
n!
� 1 � t
1!
� t
2
2!
� t
3
3!
� � � � � t
n
n!
� � � �
Poroutro lado,asexpansõesdas funções reais g �y� � cosy e h �y� � sin y em sériedeTaylor centra-
dasem y0 � 0 sãodadaspor:
�3. 1. 23� cosy � �
n�0
�
��1�n y2n
�2n�!
� 1 �
y2
2!
�
y4
4!
�
y6
6!
� � � � �
y2n
�2n�!
� � � �
�3. 1. 24� sin y � �
n�0
�
��1�n y2n�1
�2n � 1�!
� y �
y3
3!
�
y5
5!
�
y7
7!
� � � � �
y2n�1
�2n � 1�!
� � � �
Substituindo t por i y naequação �3. 1. 22�, obtemosque:
e i y � 1 �
i y
1!
�
�i y�2
2!
�
�i y�3
3!
� � � � �
�i y�n
n!
� � � � � 1 �
i y
1!
�
y2
2!
�
i y3
3!
�
y4
4!
� � � � �
�i y�n
n!
� � � � �
e i y � 1 �
y2
2!
�
y4
4!
�
y6
6!
� � � � � i
y
1!
�
y3
3!
�
y5
5!
�
y7
7!
� � � �
�3.1.23� e �3.1.24�
�
�3. 1. 25� e i y � cosy � i sin y
Osdoisprocedimentosparecem umaboa interpretaçãoparaa funçãocomplexa e i y. Além disso, pa-
rasatisfazer �i�, ouseja, es � e t � es�t, s, t � � énatural considerarmos ex� i y � ex � e i y. Motivadospor
estasconsiderações,enunciamosadefiniçãoda funçãoexponencial complexacomosesegue.
Definição 3. 1. 1 Se z � x � i y , a funçãoexponencial complexaez édefinidapor
�3. 1. 26� ez � ex � e i y � ex�cosy � i sin y�,
onde y édadoem radianos.
Observação 3. 1. 1: DaDefinição3. 1. 1observeque f �z� � ez � ex cosy � i ex sin yestádefinidapara
todo z � �, ouseja,Dom � f � � �. Além dissosuascomponentes reale imagináriasãodadaspor:
�3. 1. 27� u �x, y� � ex cosy e �3. 1. 28� v �x, y� � ex sin y
Dasequações �3. 1. 27� e �3. 1. 28� , obtemosque:
�u
�x
�x, y� � ex cosy e �v
�y
�x, y� � ex cosy � �3. 1. 29� �u
�x
�x, y� � �v
�y
�x, y�
�u
�y
�x, y� � �ex sin y e �v
�x
�x, y� � ex sin y � �3. 1. 30� �u
�y
�x, y� � � �v
�x
�x, y�
Asequações �3. 1. 29�e �3. 1. 30�sãodenominadasEquaçõesdeCauchy-Riemann e terãoum papel
fundamental noestudodadiferenciabilidadeeanaliticidadedeumafunçãocomplexa f �z�.
Observação 3. 1. 2: Se z � i y obtemospelaequação �3. 1. 26� uma identidadedegranderelevânciana
MatemáticaconhecidacomoFórmuladeEuler, istoé,
�3. 1. 31� e i y � cosy � i sin y
Da FórmuladeEulerpodemos reescrevera fórmulapolar z � r �cos� � i sin�� naseguinte forma:
�3. 1. 32� z � re i�
Observação 3. 1. 3: É importante ressaltarque,aocontráriodoqueacontecenocaso real, aexponen–
cial complexapodeserum númeronegativo.Ao fazer x � �naFórmuladeEuler, obtemosque:
�3. 1. 33� e i� � cos� � i sin� � �1
Aequação �3. 1. 33� implica na identidadee i� � 1 � 0,conhecidacomo identidadedeEuler.
Teorema3. 1. 1 Se z1 � x1 � i y1 e z2 � x2 � i y2 sãodoisnúmeroscomplexos,então:
�3. 1. 34� ez1 ez2 � ez1�z2
�3. 1. 35� e
z1
ez2
� ez1�z2
�3. 1. 36� �ez1�n � en z1 , n � �
Demonstração:
�i� Provarque �3. 1. 34�éverdadeira.
Daequação �3. 1. 26�eutilizandoas identidades trigonométricas,obtemosque:
ez1 � ez2 � �ex1�cosy1 � i sin y1�� � �ex2�cosy2 � i sin y2�� �
ez1 � ez2 � ex1 � ex2�cosy1 cosy2 � i cosy1 sin y2 � i sin y1 cosy2 � sin y1 sin y2� �
ez1 � ez2 � ex1 � ex2�cosy1 cosy2 � sin y1 sin y2 � i �sin y1 cosy2 � cosy1 sin y2�� �
ez1 � ez2 � ex1�x2�cos �y1 � y2� � i sin �y1 � y2�� � ez1�z2
estabelendo-seassim aequação �3. 1. 34�.
�iii� Provarque �3. 1. 35�éverdadeira.
Dasequações �1. 3. 9�, �1. 3. 28�eutilizandoas identidades trigonométricas,obtemosque:
ez1
ez2
�
ex1�cosy1 � i sin y1�
ex2�cosy2 � i sin y2�
�
ex1�x2�cosy1 � i sin y1� � �cosy2 � i sin y2�
cos2y2 � sin2y2
�
ez1 /ez2 � ex1�x2��cosy1 cosy2 � sin y1 sin y2� � i �sin y1 cosy2 � cosy1 sin y2�� �
ez1 /ez2 � ex1�x2�cos �y1 � y2� � i sin �y1 � y2�� � ez1�z2 ,
estabelendo-seassim aequação �3. 1. 35�.
�iv� Provarque �3. 1. 36�éverdadeira.
Daequação �3. 1. 26�, obtemosque:
�ez1�n � �ex1�i y1�n � �ex1�cosy1 � i sin y1��n
�1.5.8�
�
�ez1�n � en x1�cosn y1 � i sin n y1� � en z1 ,
estabelendo-seassim aequação �3. 1. 36�.
Observação 3. 1. 4: Asequações �3. 1. 34�, �3. 1. 35� e �3. 1. 36 são também propriedadesda função
exponencial real.Adiferençamarcanteentreaexponencial realeaexponencial complexaestánape-
riodicidadedestaúltima.Comoas funçõessenoecossenoreaisdeperíodo2�, peladefiniçãoda fun-
çãoexponencial complexa, temosque:
ez�2�i � ez � e2�i
�3.1.31�
� ez � �cos2� � i sin 2�� �
�3. 1. 37� ez�2�i � ez � �1 � 0i� � ez
Logo,da identidade �3. 1. 37�, afunçãoexponencial complexaéperiódicae tem períodoT � 2�i, en-
quantoa funçãoexponencial realnãoéperiódica. Apartir desse fato, concluímosquea funçãoexpo-
nencial complexanãoé injetoraoubiunívoca,pois, f �z� � ez e f �z � 2�i� � ez.
Observação 3. 1. 5: Como ez � ex � �cos y � i sin y�eas funções � �y� � cosy e � �y� � sin y têm pe-
ríodo iguala2�, temosque:
�3. 1. 38� arg �ez� � y � 2n�, n � 0, � 1, � 2, � 3, . . .
Comoaequação �3. 1. 37�seaplicaa todososvaloresde z, então, ez�4�i � e�z�2�i��2�i � ez�2�i � ez. Re-
petindoesteprocesso, conclui-sequeez�2n�i � ez, n � �. Logo, todososvaloresdeez sãoassumidos
em qualquer fitahorizontal infinitade largura 2� noplanocomplexo,ouseja,noconjuntodefinidopor
�� � x � �, y0 � y � y0 � 2�, onde y0 éumaconstante real.Nocasoparticularem que y0 � 0, are-
giãodefinidapor
�3. 1. 39� �� � x � �, � � � y � �
édenominadaregião fundamentalda funçãoexponencialf �z� � w � ez.
NaFigura 3. 1. 1, oplanocomplexoédivididoem fitashorizontaisobtidas igualando y0 amúltiplos ím-
paresde�.
Figura 3. 1. 1
Teorema3. 1. 2 Sejam z � x � y i e w � a � b i . Então:
�3. 1. 40� ez � 0
�3. 1. 41� |e i y | � 1
�3. 1. 42� |ez | � ex
�3. 1. 43� ez � 1 � z � 2n�i, n � �
�3. 1. 44� ez � ew � z � w � 2n�i, n � �
Demonstração:
�i� Provarque �3. 1. 40�éverdadeira.
Temosque:
ez � e�z � e0 � 1
Desdequeoprodutonuncaézero,nenhum fatorpodeserzero.Portanto, ez � 0, � z � �. estabele-
cendo-seassim aequação �3. 1. 40�.
�ii� Provarque �3. 1. 41�éverdadeira.
Daequação �3. 1. 31�, temosque:
e i y � cosy � i sin y
�1.3.7�
�
|e iy | � cos2y � sin2y � 1,
estabelecendo-seassim aequação �3. 1. 41�.
�iii� Provarque �3. 1. 42�éverdadeira.
Temosque:
|ez | � |ex � e i y |
�1.3.37�
� |ez | � |ex | � |e i y |
�3.1.41�
� |ez | � ex � 1 � ex,
estabelecendo-seassim aequação �3. 1. 42�.
�iv� Provarque �3. 1. 43�éverdadeira.
� Mostrarqueéumacondiçãonecessária.
Suponhaqueez � 1. Logo,daequação �3. 1. 26�, obtemosque:
ez � ex cosy � i ex sin y � 1 � 0 i
�1.2.2�
�
�3. 1. 45� ex cosy � 1
e
�3. 1. 46� ex sin y � 0
Desdequeex � 0, �x � �, entãode �3. 1. 46� resultaque sin y � 0. Logo, y � k�, ondek � �. Substi-
tuindo y � k� em �3. 1. 45�, resultaque ex cosk� � 1. Como, cosk� � ��1�k e ex � 0, resultaque:
ex � ��1�k � 1 � x � 0 e k � 2n, n � �,
� Mostrarqueéumacondiçãosuficiente.
Suponhaque z � 2n�i, onden � �.UsandoaDefinição3. 1. 1, obtemosque:
ez � e2n�i � cos2n� � i sin 2n� � 1
Doque foiexposto,aequação �3. 1. 43�éestabelecida.
�v� Provarque �3. 1. 44�éverdadeira.
� Mostrarqueéumacondiçãonecessária.
Suponhaque ez � ew. Logo,daequação �3. 1. 35�, obtemosque:
ez
ew
� ez�w � 1
�3.1.43�
� z � w � 2n�i, n � � � z � w � 2n�i, n � �
� Mostrarqueéumacondiçãosuficiente.
Suponhaque z � w � 2n�i, n � �. Então:
ez � ew�2n�i
�3.1.34�
� ez � ew � e2n�i
�3.1.31�
� ez � ew � �cos2n� � i sin 2n�� � ez � ew
Doque foiexposto,aequação �3. 1. 44�éestabelecida.
Exemplo 3. 1. 1 Determineosnúmeroscomplexos z � x � y i taisque ez � 1 � 3 i.
Solução:
Consideremos w � 1 � 3 i. Aseguir iremosdeterminar r � |w| e � � arg �w�.
�i� Determinar r � |w|. Daequação �1. 3. 7�, obtemosque:
�3. 1. 47� r � |w| � 12 � � 3 �2 � 2
�ii� Determinarovalorde � � arg �w�. Como x � 1 e y � 3 , obtemosque:
�3. 1. 48� tan� � 3 /1 � � � �/3,
pois, oponto w � 1 � 3 i estánoprimeiroquadrante.
Das igualdadades �3. 1. 47� e �3. 1. 48�, a formapolarde w � 1 � i édadapor:
�3. 1. 49� w � 2�cos�/3 � i sin�/3�
�3.1.32�
� 2e i�/3
Poroutro lado, seja z � x � y i. Então:
ez � ex � ey i � w � 2e i�/3
�3.1.44�
�
ex � 2 � x � ln 2 e y � �/3 � 2n�, n � � �
�3. 1. 50� z � ln 2 � ��/3 � 2n�� i, n � �
Lembrete 3. 1. 1: Antesde resolvermosoexercícioquesesegue,noCapítulo2estabelecemosuma
parametrizaçãodacircunferênciacom centroem z0 eraio r dadapor:
�3. 1. 51� z �t� � z0 � r �cos t � i sin t�, 0 � t � 2�
Exemplo 3. 1. 2 Seja f �z� � w � ez e S acoleçãodesegmentosde retasverticaisparametrizadas
por z�t� � a � t i, a � � e � � � t � �.
�a� Determinea Imagem de S a transformação f �z� � w � ez.
�b� Representegraficamenteo Dom � f � � S e a Imagem deS.
Solução �a�:
Seja w � u � i v. Logo:
�3. 1. 52� w � u � v i � ea�i t
�3.1.26�
� eae i t
�3.1.51�
� ea�cos t � i sin t�, � � � t � �
Conclusão: A identidade �3. 1. 52� nosdizquecadasegmentode retavertical, soba transformação
w � ez émapeadoem umacircunferênciadecentro w0 � 0 e raio ea, conformea Figura 3. 1. 3. À
medidaqueopontoem queosegmentode retacruzaoeixo x sedeslocaparaadireita, o raio ea au-
mentae,àmedida,queopontoem queosegmentode retacruzaoeixo x sedeslocaparaaesquerda,
o raio ea diminui.Comoprovamosnaequação �3. 1. 38�queez � 0, entãow � 0 nãoestána imagem
da funçãoexponencial complexa.
Solução �b�:
As Figuras 3. 1. 2 e 3. 1. 3 representam geometricamenteoDom � f � � S e a Imagem deS, respecti-
vamente.
Figura 3. 1. 2 Figura 3. 1. 3
Lembrete 3. 1. 2: Antesde resolvermosoexercícioquesesegue,noCapítulo2estabelecemosuma
parametrizaçãodoraioqueemanade z0 econtém z1 dadapor:
�3. 1. 53� z �t� � z0 � �1 � t� � z1 � t, 0 � t � �
Exemplo 3. 1. 3 Seja f �z� � w � ez e Sacoleçãodesegmentosde retashorizontaisparametrizadas
por z�t� � t � b i, � � � t � � e � � � b � �.
�a� Determinea Imagem de S a transformação f �z� � w � ez.
�b� Representegraficamenteo Dom � f � � S e a Imagem deS.
Solução �a�:
Seja w � u � i v. Logo:
�3. 1. 54� w � e t�bt
�3.1.26�
� e te i b � se ib, 0 � s � �
Conclusão: Definindoum novoparâmetro s � e t, a identidade �3. 1. 54� nosdizqueossegmentosde
retashorizontais, soba transformaçãow � ez consisteem todosospontos w � 0 no raio queemana
daorigem econtém oponto e ib � cosb � i sin b, conformea Figura 3. 1. 5. Àmedidaqueopontoem que
umaretahorizontal cruzaoeixo y sedeslocaparacima,oânguloqueoraio imagem fazcom oeixopo-
sitivo u aumenta.Portanto,a linhahorizontal inferiorémapeadano terceiroquadrante,a reta interme-
diáriaémapeadanoraionoprimeiroquadranteea retasuperior, no raionosegundoquadrante.
Solução �b�:
As Figuras 3. 1. 4 e 3. 1. 5 representam geometricamenteo Dom � f � � S e a Imagem deS, respecti-
vamente.
Figura 3. 1. 4
Figura 3. 1. 5
3.2 FUNÇÃO LOGARÍTMICACOMPLEXA
Afunçãoexponencial real f �x� � ex ébijetoraepossui inversadefinidapor f �1�x� � ln x, onde ln x é
o logarítmonaturalde x. Entretanto,naseção3. 1 vimosque,a funçãoexponencial complexa ez nãoé
biunívocaem seudomínio�. Portanto,esta funçãonãoadmite inversaem�.
Nossamotivaçãoparadefinir a função logarítmicacomplexa tem porbasea resoluçãodaequação
�3. 2. 1� ew � z
em w, em que z éum númerocomplexonãonuloqualquer.
Paraaconsecuçãodesteobjetivo, escrevemos z e w como z � |z|e i�, � � � � � Arg �z� � �, e
w � u � i v. Portanto,aequação �3. 2. 1� éreescritana forma
ew � eu�i v � eue i v � |z|e i�
Deacordocom ademonstraçãoestabelecidanaequação �3. 1. 44�arespeitoda igualdadededois
númeroscomplexosnãonulosem formaexponencial, obtemos
eu � |z| e v � � � 2n� � Arg �z� � 2n�,
onden éum inteiroqualquer.Comoaequação eu � |z| equivalea u � lne |z|, seguequeaequação
�3. 2. 1� ésatisfeitase,esomente, w tiverum dosvalores
w � lne |z| � i �Arg �z� � 2n��, n � �
Dessa forma,escrevendo
�3. 2. 2� log z � lne |z| � i �Arg �z� � 2n��, n � �
aequação �3. 2. 1� garanteque
�3. 2. 3� ew � z, z � 0
Considerando z � x � 0, aequação �3. 2. 2� édadapor
log x � lne x � 2n� i, n � �
epelaequação �3. 2. 3�se reduzà identidadeconhecida
�3. 2. 4� e log x � x, x � 0
doCálculo.Nestecontexto,aequação �3. 2. 4�sugerequepodemosusaraexpressão �3. 2. 2�como
adefiniçãoda função logarítmocomplexode z � |z|e i� � 0.
Comoexisteum número infinitodeargumentosde z, aequação �3. 2. 3� fornece infinitassoluções w
paraaequação ew. O conjuntodevaloresdadospor �3. 2. 3� defineumafunçãomultivalente w � G�z�
denominada logarítmocomplexoedenotadapor log z.Aseguintedefinição resumeestadiscussão.
Definição 3. 2. 1 Afunçãomultivalente log z definidapor
�3. 2. 5� log z � lne |z| � iArg �z� � 2n� i, � � � Arg �z� � �, n � �
é denominada logarítmocomplexo.
Definição 3. 2. 2 AfunçãounivalentecomplexaLog z definidapor
�3. 2. 6� Log z � lne |z| � iArg �z�, � � � Arg �z� � �
édenominadavalorprincipaldo logarítmo complexo.
Observação 3. 2. 1 Aseguir seráprovado queseodomíniodeez for restritoa região fundamental, ou
seja, � � � x � � e � � � y � �, ovalorprincipaldo logarítmocomplexoLog z éumafunção inver-
saparaa funçãoexponencial complexa ez. Defato, consideremosum ponto z � x � y i naregião fun-
damental.Desta forma y éum argumentode ez.Como z pertencea região fundamental, temosque
�� � y � �. Logo, y éoargumentoprincipalde ez, ouseja,Arg �ez� � y. Então,daDefinição3. 2. 2,
resultaque:
Logez � lne |ez | � iArg �ez�
�3.1.42�
�
Logez � lne ex � i y �
�3. 2. 7� Logez � x � i y � z, se � � � x � � e � � � y � y
Poroutro lado, seja z � |z|e i�, � � � � � Arg �z� � �. Então:
e
Logz
� e lne |z |�iArg �z� � e lne |z | � e iArg �z� �
�3. 2. 8� e
Logz
� |z|eiArg �z� � z.
Conclusão:Dasequações �3. 2. 7� e �3. 2. 8� concluímosquesea funçãoexponencial complexa
f �z� � ez fordefinidana região fundamental�� � x � � e � � � y � �, então f é biunívocaou
injetoraea função inversade f éovalorprincipaldo logarítmocomplexo f �1�z� � Log z.
Para ilustraraconclusãoacima iremosconsiderarum ponto z nãopertencenteà região fundamental.
Exemplo 3. 2. 1 Considereoponto z �1 � 3�
2
i.MostrequeLogez � z.
Solução:
DaDefinição3. 2. 2, obtemosque:
�3. 2. 9� Logez � lne |ez | � iArg �ez�
�i� Cálculode lne |ez |.
Temosque:
|ez |
�3.1.42�
� ex �
�3. 2. 10� lne |ez | � lne ex � x � lne e � 1 � 1 � 1.
�ii� CálculodeArg �ez�.
Temosque:
ez � e1�i 3�/2
�3.1.34�
� e � e i 3�/2
�3.1.31�
� ez � e � cos 3�
2
� i sin 3�
2
�
ez � e � �0 � i� � �e i � Arg �ez� � Arg ��e i�
�1.4.22�
�
�3. 2. 11� Arg �ez� � � �
2
Substituindoasequações �3. 2. 10� e �3. 2. 11� naequação �3. 2. 9�, obtemosque:
�3. 2. 12� Logez � 1 � �
2
i � 1 � 3�
2
i � z
Observemosque y � 3�
2
� �, ouseja, z � 1 � 3�
2
i nãopertenceà região fundamental.
Observação 3. 2. 2 Deveserenfatizadoquea funçãoG �z� � log z émultivalentee,portanto,nãoé
verdadequepodemos trocaraordem das funçõesexponenciale logarítmo.De fato,daDefinição
3. 2. 1 econsiderando� �Arg �z�, resultaque:
e log z � e lne |z |�i ���2n�� � e loge|z | � e i ���2n�� �
e log z
�3.1.31�
� |z| �cos �� � 2n�� � i sin �� � 2n��� �
e log z � |z| �cos�cos2n� � sin � sin 2n� � i �sin �cos2n� � cos� sin 2n��� �
�3. 2. 13� e log z � |z| �cos� � i sin�� � |z|e i� � z
Poroutro lado,da Definição3. 2. 1 econsiderando z � x � i y, obtemosque:
log ez � lne |ez | � i �arg �ez��
�3.1.38� e �3.1.42�
�
log ez � lne ex � i �y � 2n�� �
�3. 2. 14� log ez � x � i y � 2n� i � z � 2n� i
Dasequações �3. 2. 13� e �3. 2. 14� concluímosque:
�3. 2. 15� e log z � z � log �ez� � z � 2n� i
Exemplo 3. 2. 2 Nos itensabaixodetermine todososvalorescomplexosdo logarítmodado.
�a� log i �b� log ��e2i� �c� Log �� 3 i� �d� Log ��1 � 3 i�5�
Solução �a�: log � i�.
�i� Determinar |z|.
Como x � 0 e y � 1, obtemospor �1. 3. 7�que:
�3. 2. 16� |z| � 02 � 12 � 1
�ii� DeterminarArg �i�.
Como, x � 0 e y � 1 � 0, temospelaequação �1. 4. 21�que:
�3. 2. 17� Arg �i� � �
2
.
Logo, substituindoasequações �3. 2. 16� e �3. 2. 17� naequação �3. 2. 5�, obtemosque:
�3. 2. 18� log i � lne 1 � i �2
� 2n� � i �
2
� 2n� , n � �.
Solução �b�: log ��e2i�.
�i� Determinar |z| � r.
Como, x � 0 e y � �e2, obtemospor �1. 3. 7�que:
�3. 2. 19� |z| � r � 0 � ��e2�2 � e2.
�ii� Determinar Arg ��e2i�.
Como, x � 0 e y � �e2 � 0, obtemospelaequação �1. 4. 22�que:
�3. 2. 20� Arg ��e2i� � ��/2.
Logo, substituindoasequações �3. 2. 19� e �3. 2. 20� naequação �3. 2. 5�,obtemosque:
�3. 2. 21� log ��e2i� � lne e2 � i ���/2 � 2n� � � 2 � i ���/2 � 2n� �, n � �
Solução �c�: Log �� 3 � i�.
�i� Determinar |z| � r.
Como x � � 3 e y � 1, obtemospor �1. 3. 7�que:
�3. 2. 22� |z| � r � �� 3 �2 � 12 � 2.
�ii� Determinar Arg �� 3 � i�.
Como, x � � 3 � 0 e y � 1 � 0 obtemosdaequação �1. 4. 19�que:
�3. 2. 23� Arg �z� � � �
6
� � � 5�
6
Logo, substituindoasequações �3. 2. 22� e �3. 2. 23� naequação �3. 2. 5�, obtemosque:
�3. 2. 24� Log �� 3 � i� � lne 2 � 5�6
i .
Solução �d�: Log ��1 � 3 i�5�.
Seja z � 1 � 3 i .Então,obtemospor �1. 3. 7�que:
�3. 2. 25� |z| � 12 � � 3 �2 � 2
Poroutro lado,como x � 1 � 0 , temospelaequação �1. 4. 18�que:
�3. 2. 26� Arg �1 � 3 i� � arctan 3 � �
3
.
Logo,pelaequação �1. 4. 3�a formapolarde z � 1 � 3 i édadapor:
z � 2 � cos �
3
� i sin �
3
� z5 � 2 � cos �
3
� i sin �
3
5 �1.5.8�
�
�3. 2. 27� z5 � 25 � cos 5�
3
� i sin 5�
3
PordefiniçãodeLog devemosconsideraroargumentoprincipalde z5,edenotandoesteargumento
por �sabemosque�� � � � �.Logo:
�3. 2. 28� � � 5�
3
� 2� � � �
3
Logo, substituindoaequação �3. 2. 28�naequação �3. 2. 27�,obtemosque:
z5 � 25 � cos � �
3
� i sin � �
3
�3.2.5�
�
�3. 2. 29� Log ��1 � 3 i�5� � lne 25 � �3
i � 5 � lne 2 � �3
i
Exemplo 3. 2. 3 Determine todososvalorescomplexos z quesatisfazem aequação
dada:
�a� ez�1 � �e2i �b� e1/z � �1 �c� e2z � ez � 1 � 0
Solução �a�: ez�1 � �e2i.
Pelaequação �3. 2. 5� temosque, se ez�1 � �e2i, então:
z � 1 � log ��e2i� �
�3. 2. 30� z � 1 � log ��e2i�
Pelo item �b� doExemplo 3. 2. 2, temosque:
�3. 2. 31� log ��e2i� � 2 � i � �
2
� 2n� , n � �
Portanto, substituindoaequação �3. 2. 31� naequação �3. 2. 30�, obtemosque:
�3. 2. 32� z � 3 � i � �
2
� 2n� , n � �
Solução �b�: e1/z � �1.
Pelaequação �3. 2. 5� temosque, se e1/z � �1, então:
�3. 2. 33� 1z � log ��1�
� Cálculode ln ��1�.
�i� Determinar |�1|.
Como x � �1 e y � 0, obtemospor �1. 3. 7�que:
�3. 2. 34� |�1| � ��1�2 � 1
�ii� Determinar Arg ��1�.
Como, x � �1 � 0 e y � 0, obtemosdaequação �1. 4. 19�que:
�3. 2. 35� Arg �z� � 0 � � � �
Logo, substituindoasequações �3. 2. 34� e �3. 2. 35� naequação �3. 2. 5�, obtemosque:
�3. 2. 36� log ��1� � lne1 � i �� � 2n� �, n � �
Portanto, substituindoaequação �3. 2. 36� naequação �3. 2. 36�, obtemosque:
1
z � i �� � 2n� � �
�3. 2. 37� z � 1
i �� � 2n� �
� � i
�1 � 2n��
, n � �
Solução �c� e2z � ez � 1 � 0.
Seja m � ez. Então:
m2 � m � 1 � 0 � m � �1 � �3 /2 �
m1 � �1/2 � i 3 /2 � ez1 � z1 � log �1/2 � i 3 /2
m2 � �1/2 � i 3 /2 � ez2 � z2 � log �1/2 � i 3 /2
�i� Cálculode z1 � log �1/2 � i 3 /2 .
Temosdaequação �3. 2. 5� que:
�3. 2. 38� z1 � lne �1/2 � i 3 /2 � i Arg �1/2 � i 3 /2 � 2n�
� Cálculode �1/2 � i 3 /2 .
Como x � �1/2 e y � 3 /2, obtemospor �1. 3. 7�que:
�3. 2. 39� �1/2 � i 3 /2i � 1/4 � 3/4 � 1
� CálculodeArg �1/2 � i 3 /2 .
Como x � �1/2 � 0 e y � 3 /2 � 0, obtemosdaequação �1. 4. 19� que:
�3. 2. 40� Arg �1/2 � i 3 /2 � ��/3 � � � 2�/3
Substituindo asequações �3. 2. 39� e �3. 2. 40� naequação �3. 2. 38�, obtemosque:
�3. 2. 41� z1 � lne 1 � i �2�/3 � 2n�� � i �2�/3 � 2n��, n � �
�ii� Cálculode z2 � log �1/2 � i 3 /2 .
Temosdaequação �3. 2. 5� que:
�3. 2. 42� z1 � lne �1/2 � i 3 /2 � i Arg �1/2 � i 3 /2 � 2n�
� Cálculode �1/2 � i 3 /2 .
Como x � �1/2 e y � � 3 /2, obtemospor �1. 3. 7� que:
�3. 2. 43� �1/2 � i 3 /2 � 1/4 � 3/4 � 1
� CálculodeArg �1/2 � i 3 /2 .
Como x � �1/2 � 0 e y � � 3 /2 � 0, obtemosdaequação �1. 4. 20� que:
�3. 2. 44� Arg �1/2 � i 3 /2 � �/3 � � � �2�/3
Substituindo asequações �3. 2. 43� e �3. 2. 44� naequação �3. 2. �42, obtemosque:
�3. 2. 45� z2 � lne 1 � i ��2�/3 � 2n�� � i ��2�/3 � 2n��, n � �
Exercício 3. 2. 4 Seja f �z� � w � Log �z�e S ��z � � | 2 � |z| � 4�.
�a� Determinea Imagem de Ssoba transformação f �z� � w � Log �z� .
�b� Representegraficamenteo Dom � f � � S e a Imagem de S.
Solução �a�:
Sejam z � |z|e i�, � � � � � � e w � u � i v. Então, pelaequação �3. 2. 6�, obtemosque:
w � u � i v � Log z � loge|z| � i� �
�3. 2. 46� u � loge|z| e �3. 2. 47� v � �, � � � v � � � �.
�i� ConsideremosacircunferênciaC1 : |z| � 2.
Então,pelasequações �3. 2. 46�e �3. 2. 47�, resultaque:
�3. 2. 48� u � loge2 e �3. 2. 49� �� � v � � � �
Conclusão: Asequações �3. 2. 48�e �3. 2. 49�nosdizem queacircunferência C1 : |z| � 2 émapeada
naretavertical u � loge2 e �� � v � �.
�ii� ConsideremosacircunferênciaC2 : |z| � 4.
Então,pelasequações �3. 2. 46�e �3. 2. 47�, resultaque:
�3. 2. 50� u � loge4 e �3. 2. 51� �� � v � � � �
Conclusão: Asequações �3. 2. 50�e �3. 2. 51�nosdizem queacircunferência C2 : |z| � 4 émapeada
naretavertical u � loge4 e �� � v � �.
DasconclusõesacimaecomoS éum anelconcluímosquea imagem de S soba transformaçãoLog z
éaregião retangular loge2 � u � loge4 e �� � v � �.
Solução �b�: As Figuras 3. 2. 1 e 3. 2. 2 representam geometricamenteoDom � f � � S e a Imagem
deS, respectivamente.
Figura 3. 2. 1
Figura 3. 2. 2
Como no caso real, o logaritmo complexo possui propriedades algébricas. Se z1 e z2 sãonúmeros
complexos não nulos e n � �, então valem as propriedadesenunciadasaseguir.
Teorema3. 2. 1 Dadosdoisnúmeroscomplexosnãonulos z1 e z2, temosque:
�3. 2. 52� log �z1 � z2� � log z1 � log z2
�3. 2. 53� log �z1/z2� � log z1 � log z2
�3. 2. 54� log zn � n log z, n � �	
Demonstração:�i� Provarque �3. 2. 52�éverdadeira.
De fato,
logz1 � log z2 � lne z1 � i arg �z1� � lne z2 � i arg �z2� � �lne z1 � lne z2 � i �arg �z1� � arg �z2�� �
logz1 � log z2 � lne �z1 � z2� � i arg �z1 � z2� � log �z1 � z2�
estabelendo-seassim aequação �3. 1. 52�.
�ii� Provarque �3. 2. 53�éverdadeira.
Com efeito,
logz1 � log z2 � lne z1 � i arg �z1� � lne z2 � i arg �z2� � �lne z1 � lne z2� � i �arg �z1� � arg �z2�� �
logz1 � log z2 �
lne z1
lne z2
� i
arg �z1�
arg �z2�
�
log z1
log z2
estabelendo-seassim aequação �3. 1. 53�.
�iii� Provarque �3. 2. 53�éverdadeira.
De fato,
log z1 n � lne|z1 n | � i �arg �z1
n� � lne |z1 |n � n i arg �z1� �
log z1 n � n lne |z1 |
n � n i arg �z1� � n �lne |z1 |n � i arg �z1�� � n log z1
3.3 FUNÇÃO POTÊNCIACOMPLEXA
Definição 3. 3. 1: Se z � 0 e� � a � bi é qualquernúmerocomplexo,define-seapotênciacomplexa
comosendo
�3. 3. 1� z� � e� log z.
Exemplo 3. 3. 1:Determineosvaloresdasseguintespotênciascomplexas:
�a� ��i� i �b� �i�1�i �c� e/2 � �1 � i 3
3�i
.
Solução �a�: Nestecaso� � i e z � �i. PelaDefinição3. 3. 1, obtemosque:
�3. 3. 2� ��i� i � e i log ��i�.
Poroutro lado,PelaDefinição3. 2. 5, temosque:
log ��i� � loge|�i| � i ���/2 � 2n�� �
�3. 3. 3� log ��i� � loge1 � i ���/2 � 2n�� � i ���/2 � 2n��.
Substituindoaequação �3. 3. 3�naequação �3. 3. 2�, obtemosque:
�3. 3. 4� ��i� i � e i � i ���/2�2n��� � e� ���/2�2n��.
Solução �b�: Nestecaso� � 1 � i e z � i. PelaDefinição3. 3. 1, obtemosque:
�3. 3. 5� �i�1�i � e�1�i� log i.
Poroutro lado,PelaDefinição3. 2. 5, temosque:
log i � loge|i| � i ��/2 � 2n�� �
�3. 3. 6� log �i� � loge1 � i ��/2 � 2n�� � i ��/2 � 2n��.
Substituindoaequação �3. 3. 6�naequação �3. 3. 5�, obtemosque:
�i�1�i � e�1�i��i ��/2�2n�� � e i ��/2�2n�� � e���/2�2n�� � e i�/2 � e i 2n� � e���/2�2n�� �
�3. 3. 7� �i�1�i � i e���/2�2n��.
Solução �c�: Nestecaso� � 3�i e z � e/2 � �1 � i 3 . PelaDefinição3. 3. 1, obtemosque:
�3. 3. 8� e/2 � �1 � i 3
3�i
� e3�i log ��e/2�e 3 i/2�.
Poroutro lado,pelaDefinição3. 2. 5, temosque:
log �e/2 � e 3 i/2 � loge e
2/4 � 3e2/4 � i ��2�/3 � 2n�� �
�3. 3. 9� log �e/2 � e 3 i/2 � 2 � i ��2�/3 � 2n��.
Substituindoaequação �3. 3. 9�naequação �3. 3. 8�, obtemos
e/2 � �1 � i 3
3�i
� e6�i � e�3��2n��2�/3 �
3/2 � �1 � i 3
3�i
� �cos6� � i sin 6�� � e�6n�
2�2�2 �
�3. 3. 10� e/2 � �1 � i 3
3�i
� e�6n�
2�2�2 .
Definição 3. 3. 2:Se z � 0 e� � a � bié qualquernúmerocomplexo,a funçãodefinidapor:
�3. 3. 11� z� � e�Log z.
é denominadavalorprincipaldapotênciacomplexa z�.
Exemplo 3. 3. 2:Determineovalorprincipaldasseguintespotênciascomplexas:
�a� ��i� i �b� �i�1�i �c� e/2 � �1 � i 3
3�i
.
Solução �a�: DaDefinição3. 3. 2edo item �a�doExemplo3. 3. 1, obtemos que:
Log ��i� � loge1 � i�/2 � �i�/2 �
�3. 3. 12� ��i� i � e i� ��i�/2� � e�/2.
Solução �b�: DaDefinição3. 3. 2edo item �b�doExemplo3. 3. 1, obtemos que:
Log i � loge1 � i�/2 �
�3. 3. 13� �i�1�i � i e��/2.
Solução �c�: DaDefinição3. 3. 2edo item �c�doExemplo3. 3. 1, obtemos que:
Log �e/2 � e 3 i/2 � 2 � i 2�/3 �
�3. 3. 14� e/2 � �1 � i 3
3�i
� e3�i��2�i 2�/3� � e2�
2
.

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