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Instituto de Matemática - UFRJ Professora Selene Alves Maia CAPÍTULO 3 FUNÇÕES ELEMENTARES 3.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL COMPLEXA Afunçãoexponencial real ex, ondexéum númeroreale e � 2. 71828 . . . éabasenatural do logarítmo que foiestudadanoCálculo.O objetivodestaseçãoédefinir a funçãoexponencial complexa ez de for- maa incluir a funçãoexponencial realex, comoum casoespecial, além depreservarasprincipaispro- propriedadesde ex nomeadasaseguir: �i� es � e t � es�t �ii� e0 � 1 �iii� d dx �e�x� � �e�x, a � � Paraaconsecuçãodoobjetivosupracitado ,utilizaremosdoismétodosdescritosaseguir. Método 1: Definir a funçãoexponencialcomplexae i y utilizandocomoferramentaa teoriadasequa- ções diferenciais linearesordináriashomogêneasdesegundaordem. Seja w �y� � e i y. Então,parasatisfazer �ii� e �iii� exigimosque: �3. 1. 1� w �0� � 1 e �3. 1. 2� w ��y� � i w �y� Agora, consideremosque: �3. 1. 3� w �y� � e i y � g �y� � i h �y� Diferenciandoaequação �3. 1. 3� com respeitoa y, resultaque: �3. 1. 4� w � �y� � g ��y� � i h� �y� Substituindoaequação �3. 1. 4� na equação �3. 1. 2�, resultaque: �3. 1. 5� g ��y� � i h� �y� � i w �y� Substituindoaequação �3. 1. 3� na equação �3. 1. 5�, resultaque: g ��y� � i h� �y� � �h �y� � i g �y� �1.2.2� � �3. 1. 6� g ��y� � �h �y� e �3. 1. 7� h� �y� � g �y� Derivandoaequação �3. 1. 6� com respeitoa y, obtemosque: �3. 1. 8� g " �y� � �h� �y� Substituindoaequação �3. 1. 7� na equação �3. 1. 8�, obtemosque: �3. 1. 9� g " �y� � g �y� � 0 Aequação �3. 1. 9� éumaequaçãodiferencial linearordináriahomogêneadesegundaordem.Does- tudodeste tipodeequaçãodiferencial sabemosqueasuasoluçãogeralédadapor: �3. 1. 10� g �y� � c1 cosy � c2 sin y, ondec1 ec2 sãoconstantes reaisarbitrárias. Derivandoaequação �3. 1. 10� com respeitoa y, resultaque: �3. 1. 11� g ��y� � �c1 sin y � c2 cosy Substituindoaequação �3. 1. 11� naequação �3. 1. 6�, resultaque: �3. 1. 12� h �y� � c1 sin y � c2 cosy Poroutro lado, substituindo y � 0 naequação �3. 1. 3�, obtemosque: w �0� � g �0� � i h �0� �3.1.1� � g �0� � i h �0� � 1 � 1 � 0 i �1.2.2� � �3. 1. 13� g �0� � 1 e �3. 1. 14� h �0� � 0. Substituindo y � 0 nasequações �3. 1. 10� e �3. 1. 12�, resultaque: �3. 1. 15� g �0� � c1 e �3. 1. 16� h �0� � �c2 Substituindoas equações �3. 1. 15� e �3. 1. 16� nasequações �3. 1. 13� e �3. 1. 14�, obtemosque: �3. 1. 17� c1 � 1 e �3. 1. 18� c2 � 0 Substituindoas equações �3. 1. 17� e �3. 1. 18� nasequações �3. 1. 10� e �3. 1. 12�, obtemosque: �3. 1. 19� g �y� � cosy e �3. 1. 20� h �y� � sin y Substituindoasequações �3. 1. 19� e �3. 1. 20� naequação �3. 1. 3� , obtemosque: �3. 1. 21� e i y � cosy � i sin y Método 2: Definir a funçãoexponencialcomplexae i y utilizandocomoferramentaa teoriadasérie deTaylor. Nocasode funções reais, aexpansãoda funçãoe t em sériedeTaylor centradaem t0 � 0 édada por: �3. 1. 22� e t � � n�0 � tn n! � 1 � t 1! � t 2 2! � t 3 3! � � � � � t n n! � � � � Poroutro lado,asexpansõesdas funções reais g �y� � cosy e h �y� � sin y em sériedeTaylor centra- dasem y0 � 0 sãodadaspor: �3. 1. 23� cosy � � n�0 � ��1�n y2n �2n�! � 1 � y2 2! � y4 4! � y6 6! � � � � � y2n �2n�! � � � � �3. 1. 24� sin y � � n�0 � ��1�n y2n�1 �2n � 1�! � y � y3 3! � y5 5! � y7 7! � � � � � y2n�1 �2n � 1�! � � � � Substituindo t por i y naequação �3. 1. 22�, obtemosque: e i y � 1 � i y 1! � �i y�2 2! � �i y�3 3! � � � � � �i y�n n! � � � � � 1 � i y 1! � y2 2! � i y3 3! � y4 4! � � � � � �i y�n n! � � � � � e i y � 1 � y2 2! � y4 4! � y6 6! � � � � � i y 1! � y3 3! � y5 5! � y7 7! � � � � �3.1.23� e �3.1.24� � �3. 1. 25� e i y � cosy � i sin y Osdoisprocedimentosparecem umaboa interpretaçãoparaa funçãocomplexa e i y. Além disso, pa- rasatisfazer �i�, ouseja, es � e t � es�t, s, t � � énatural considerarmos ex� i y � ex � e i y. Motivadospor estasconsiderações,enunciamosadefiniçãoda funçãoexponencial complexacomosesegue. Definição 3. 1. 1 Se z � x � i y , a funçãoexponencial complexaez édefinidapor �3. 1. 26� ez � ex � e i y � ex�cosy � i sin y�, onde y édadoem radianos. Observação 3. 1. 1: DaDefinição3. 1. 1observeque f �z� � ez � ex cosy � i ex sin yestádefinidapara todo z � �, ouseja,Dom � f � � �. Além dissosuascomponentes reale imagináriasãodadaspor: �3. 1. 27� u �x, y� � ex cosy e �3. 1. 28� v �x, y� � ex sin y Dasequações �3. 1. 27� e �3. 1. 28� , obtemosque: �u �x �x, y� � ex cosy e �v �y �x, y� � ex cosy � �3. 1. 29� �u �x �x, y� � �v �y �x, y� �u �y �x, y� � �ex sin y e �v �x �x, y� � ex sin y � �3. 1. 30� �u �y �x, y� � � �v �x �x, y� Asequações �3. 1. 29�e �3. 1. 30�sãodenominadasEquaçõesdeCauchy-Riemann e terãoum papel fundamental noestudodadiferenciabilidadeeanaliticidadedeumafunçãocomplexa f �z�. Observação 3. 1. 2: Se z � i y obtemospelaequação �3. 1. 26� uma identidadedegranderelevânciana MatemáticaconhecidacomoFórmuladeEuler, istoé, �3. 1. 31� e i y � cosy � i sin y Da FórmuladeEulerpodemos reescrevera fórmulapolar z � r �cos� � i sin�� naseguinte forma: �3. 1. 32� z � re i� Observação 3. 1. 3: É importante ressaltarque,aocontráriodoqueacontecenocaso real, aexponen– cial complexapodeserum númeronegativo.Ao fazer x � �naFórmuladeEuler, obtemosque: �3. 1. 33� e i� � cos� � i sin� � �1 Aequação �3. 1. 33� implica na identidadee i� � 1 � 0,conhecidacomo identidadedeEuler. Teorema3. 1. 1 Se z1 � x1 � i y1 e z2 � x2 � i y2 sãodoisnúmeroscomplexos,então: �3. 1. 34� ez1 ez2 � ez1�z2 �3. 1. 35� e z1 ez2 � ez1�z2 �3. 1. 36� �ez1�n � en z1 , n � � Demonstração: �i� Provarque �3. 1. 34�éverdadeira. Daequação �3. 1. 26�eutilizandoas identidades trigonométricas,obtemosque: ez1 � ez2 � �ex1�cosy1 � i sin y1�� � �ex2�cosy2 � i sin y2�� � ez1 � ez2 � ex1 � ex2�cosy1 cosy2 � i cosy1 sin y2 � i sin y1 cosy2 � sin y1 sin y2� � ez1 � ez2 � ex1 � ex2�cosy1 cosy2 � sin y1 sin y2 � i �sin y1 cosy2 � cosy1 sin y2�� � ez1 � ez2 � ex1�x2�cos �y1 � y2� � i sin �y1 � y2�� � ez1�z2 estabelendo-seassim aequação �3. 1. 34�. �iii� Provarque �3. 1. 35�éverdadeira. Dasequações �1. 3. 9�, �1. 3. 28�eutilizandoas identidades trigonométricas,obtemosque: ez1 ez2 � ex1�cosy1 � i sin y1� ex2�cosy2 � i sin y2� � ex1�x2�cosy1 � i sin y1� � �cosy2 � i sin y2� cos2y2 � sin2y2 � ez1 /ez2 � ex1�x2��cosy1 cosy2 � sin y1 sin y2� � i �sin y1 cosy2 � cosy1 sin y2�� � ez1 /ez2 � ex1�x2�cos �y1 � y2� � i sin �y1 � y2�� � ez1�z2 , estabelendo-seassim aequação �3. 1. 35�. �iv� Provarque �3. 1. 36�éverdadeira. Daequação �3. 1. 26�, obtemosque: �ez1�n � �ex1�i y1�n � �ex1�cosy1 � i sin y1��n �1.5.8� � �ez1�n � en x1�cosn y1 � i sin n y1� � en z1 , estabelendo-seassim aequação �3. 1. 36�. Observação 3. 1. 4: Asequações �3. 1. 34�, �3. 1. 35� e �3. 1. 36 são também propriedadesda função exponencial real.Adiferençamarcanteentreaexponencial realeaexponencial complexaestánape- riodicidadedestaúltima.Comoas funçõessenoecossenoreaisdeperíodo2�, peladefiniçãoda fun- çãoexponencial complexa, temosque: ez�2�i � ez � e2�i �3.1.31� � ez � �cos2� � i sin 2�� � �3. 1. 37� ez�2�i � ez � �1 � 0i� � ez Logo,da identidade �3. 1. 37�, afunçãoexponencial complexaéperiódicae tem períodoT � 2�i, en- quantoa funçãoexponencial realnãoéperiódica. Apartir desse fato, concluímosquea funçãoexpo- nencial complexanãoé injetoraoubiunívoca,pois, f �z� � ez e f �z � 2�i� � ez. Observação 3. 1. 5: Como ez � ex � �cos y � i sin y�eas funções � �y� � cosy e � �y� � sin y têm pe- ríodo iguala2�, temosque: �3. 1. 38� arg �ez� � y � 2n�, n � 0, � 1, � 2, � 3, . . . Comoaequação �3. 1. 37�seaplicaa todososvaloresde z, então, ez�4�i � e�z�2�i��2�i � ez�2�i � ez. Re- petindoesteprocesso, conclui-sequeez�2n�i � ez, n � �. Logo, todososvaloresdeez sãoassumidos em qualquer fitahorizontal infinitade largura 2� noplanocomplexo,ouseja,noconjuntodefinidopor �� � x � �, y0 � y � y0 � 2�, onde y0 éumaconstante real.Nocasoparticularem que y0 � 0, are- giãodefinidapor �3. 1. 39� �� � x � �, � � � y � � édenominadaregião fundamentalda funçãoexponencialf �z� � w � ez. NaFigura 3. 1. 1, oplanocomplexoédivididoem fitashorizontaisobtidas igualando y0 amúltiplos ím- paresde�. Figura 3. 1. 1 Teorema3. 1. 2 Sejam z � x � y i e w � a � b i . Então: �3. 1. 40� ez � 0 �3. 1. 41� |e i y | � 1 �3. 1. 42� |ez | � ex �3. 1. 43� ez � 1 � z � 2n�i, n � � �3. 1. 44� ez � ew � z � w � 2n�i, n � � Demonstração: �i� Provarque �3. 1. 40�éverdadeira. Temosque: ez � e�z � e0 � 1 Desdequeoprodutonuncaézero,nenhum fatorpodeserzero.Portanto, ez � 0, � z � �. estabele- cendo-seassim aequação �3. 1. 40�. �ii� Provarque �3. 1. 41�éverdadeira. Daequação �3. 1. 31�, temosque: e i y � cosy � i sin y �1.3.7� � |e iy | � cos2y � sin2y � 1, estabelecendo-seassim aequação �3. 1. 41�. �iii� Provarque �3. 1. 42�éverdadeira. Temosque: |ez | � |ex � e i y | �1.3.37� � |ez | � |ex | � |e i y | �3.1.41� � |ez | � ex � 1 � ex, estabelecendo-seassim aequação �3. 1. 42�. �iv� Provarque �3. 1. 43�éverdadeira. � Mostrarqueéumacondiçãonecessária. Suponhaqueez � 1. Logo,daequação �3. 1. 26�, obtemosque: ez � ex cosy � i ex sin y � 1 � 0 i �1.2.2� � �3. 1. 45� ex cosy � 1 e �3. 1. 46� ex sin y � 0 Desdequeex � 0, �x � �, entãode �3. 1. 46� resultaque sin y � 0. Logo, y � k�, ondek � �. Substi- tuindo y � k� em �3. 1. 45�, resultaque ex cosk� � 1. Como, cosk� � ��1�k e ex � 0, resultaque: ex � ��1�k � 1 � x � 0 e k � 2n, n � �, � Mostrarqueéumacondiçãosuficiente. Suponhaque z � 2n�i, onden � �.UsandoaDefinição3. 1. 1, obtemosque: ez � e2n�i � cos2n� � i sin 2n� � 1 Doque foiexposto,aequação �3. 1. 43�éestabelecida. �v� Provarque �3. 1. 44�éverdadeira. � Mostrarqueéumacondiçãonecessária. Suponhaque ez � ew. Logo,daequação �3. 1. 35�, obtemosque: ez ew � ez�w � 1 �3.1.43� � z � w � 2n�i, n � � � z � w � 2n�i, n � � � Mostrarqueéumacondiçãosuficiente. Suponhaque z � w � 2n�i, n � �. Então: ez � ew�2n�i �3.1.34� � ez � ew � e2n�i �3.1.31� � ez � ew � �cos2n� � i sin 2n�� � ez � ew Doque foiexposto,aequação �3. 1. 44�éestabelecida. Exemplo 3. 1. 1 Determineosnúmeroscomplexos z � x � y i taisque ez � 1 � 3 i. Solução: Consideremos w � 1 � 3 i. Aseguir iremosdeterminar r � |w| e � � arg �w�. �i� Determinar r � |w|. Daequação �1. 3. 7�, obtemosque: �3. 1. 47� r � |w| � 12 � � 3 �2 � 2 �ii� Determinarovalorde � � arg �w�. Como x � 1 e y � 3 , obtemosque: �3. 1. 48� tan� � 3 /1 � � � �/3, pois, oponto w � 1 � 3 i estánoprimeiroquadrante. Das igualdadades �3. 1. 47� e �3. 1. 48�, a formapolarde w � 1 � i édadapor: �3. 1. 49� w � 2�cos�/3 � i sin�/3� �3.1.32� � 2e i�/3 Poroutro lado, seja z � x � y i. Então: ez � ex � ey i � w � 2e i�/3 �3.1.44� � ex � 2 � x � ln 2 e y � �/3 � 2n�, n � � � �3. 1. 50� z � ln 2 � ��/3 � 2n�� i, n � � Lembrete 3. 1. 1: Antesde resolvermosoexercícioquesesegue,noCapítulo2estabelecemosuma parametrizaçãodacircunferênciacom centroem z0 eraio r dadapor: �3. 1. 51� z �t� � z0 � r �cos t � i sin t�, 0 � t � 2� Exemplo 3. 1. 2 Seja f �z� � w � ez e S acoleçãodesegmentosde retasverticaisparametrizadas por z�t� � a � t i, a � � e � � � t � �. �a� Determinea Imagem de S a transformação f �z� � w � ez. �b� Representegraficamenteo Dom � f � � S e a Imagem deS. Solução �a�: Seja w � u � i v. Logo: �3. 1. 52� w � u � v i � ea�i t �3.1.26� � eae i t �3.1.51� � ea�cos t � i sin t�, � � � t � � Conclusão: A identidade �3. 1. 52� nosdizquecadasegmentode retavertical, soba transformação w � ez émapeadoem umacircunferênciadecentro w0 � 0 e raio ea, conformea Figura 3. 1. 3. À medidaqueopontoem queosegmentode retacruzaoeixo x sedeslocaparaadireita, o raio ea au- mentae,àmedida,queopontoem queosegmentode retacruzaoeixo x sedeslocaparaaesquerda, o raio ea diminui.Comoprovamosnaequação �3. 1. 38�queez � 0, entãow � 0 nãoestána imagem da funçãoexponencial complexa. Solução �b�: As Figuras 3. 1. 2 e 3. 1. 3 representam geometricamenteoDom � f � � S e a Imagem deS, respecti- vamente. Figura 3. 1. 2 Figura 3. 1. 3 Lembrete 3. 1. 2: Antesde resolvermosoexercícioquesesegue,noCapítulo2estabelecemosuma parametrizaçãodoraioqueemanade z0 econtém z1 dadapor: �3. 1. 53� z �t� � z0 � �1 � t� � z1 � t, 0 � t � � Exemplo 3. 1. 3 Seja f �z� � w � ez e Sacoleçãodesegmentosde retashorizontaisparametrizadas por z�t� � t � b i, � � � t � � e � � � b � �. �a� Determinea Imagem de S a transformação f �z� � w � ez. �b� Representegraficamenteo Dom � f � � S e a Imagem deS. Solução �a�: Seja w � u � i v. Logo: �3. 1. 54� w � e t�bt �3.1.26� � e te i b � se ib, 0 � s � � Conclusão: Definindoum novoparâmetro s � e t, a identidade �3. 1. 54� nosdizqueossegmentosde retashorizontais, soba transformaçãow � ez consisteem todosospontos w � 0 no raio queemana daorigem econtém oponto e ib � cosb � i sin b, conformea Figura 3. 1. 5. Àmedidaqueopontoem que umaretahorizontal cruzaoeixo y sedeslocaparacima,oânguloqueoraio imagem fazcom oeixopo- sitivo u aumenta.Portanto,a linhahorizontal inferiorémapeadano terceiroquadrante,a reta interme- diáriaémapeadanoraionoprimeiroquadranteea retasuperior, no raionosegundoquadrante. Solução �b�: As Figuras 3. 1. 4 e 3. 1. 5 representam geometricamenteo Dom � f � � S e a Imagem deS, respecti- vamente. Figura 3. 1. 4 Figura 3. 1. 5 3.2 FUNÇÃO LOGARÍTMICACOMPLEXA Afunçãoexponencial real f �x� � ex ébijetoraepossui inversadefinidapor f �1�x� � ln x, onde ln x é o logarítmonaturalde x. Entretanto,naseção3. 1 vimosque,a funçãoexponencial complexa ez nãoé biunívocaem seudomínio�. Portanto,esta funçãonãoadmite inversaem�. Nossamotivaçãoparadefinir a função logarítmicacomplexa tem porbasea resoluçãodaequação �3. 2. 1� ew � z em w, em que z éum númerocomplexonãonuloqualquer. Paraaconsecuçãodesteobjetivo, escrevemos z e w como z � |z|e i�, � � � � � Arg �z� � �, e w � u � i v. Portanto,aequação �3. 2. 1� éreescritana forma ew � eu�i v � eue i v � |z|e i� Deacordocom ademonstraçãoestabelecidanaequação �3. 1. 44�arespeitoda igualdadededois númeroscomplexosnãonulosem formaexponencial, obtemos eu � |z| e v � � � 2n� � Arg �z� � 2n�, onden éum inteiroqualquer.Comoaequação eu � |z| equivalea u � lne |z|, seguequeaequação �3. 2. 1� ésatisfeitase,esomente, w tiverum dosvalores w � lne |z| � i �Arg �z� � 2n��, n � � Dessa forma,escrevendo �3. 2. 2� log z � lne |z| � i �Arg �z� � 2n��, n � � aequação �3. 2. 1� garanteque �3. 2. 3� ew � z, z � 0 Considerando z � x � 0, aequação �3. 2. 2� édadapor log x � lne x � 2n� i, n � � epelaequação �3. 2. 3�se reduzà identidadeconhecida �3. 2. 4� e log x � x, x � 0 doCálculo.Nestecontexto,aequação �3. 2. 4�sugerequepodemosusaraexpressão �3. 2. 2�como adefiniçãoda função logarítmocomplexode z � |z|e i� � 0. Comoexisteum número infinitodeargumentosde z, aequação �3. 2. 3� fornece infinitassoluções w paraaequação ew. O conjuntodevaloresdadospor �3. 2. 3� defineumafunçãomultivalente w � G�z� denominada logarítmocomplexoedenotadapor log z.Aseguintedefinição resumeestadiscussão. Definição 3. 2. 1 Afunçãomultivalente log z definidapor �3. 2. 5� log z � lne |z| � iArg �z� � 2n� i, � � � Arg �z� � �, n � � é denominada logarítmocomplexo. Definição 3. 2. 2 AfunçãounivalentecomplexaLog z definidapor �3. 2. 6� Log z � lne |z| � iArg �z�, � � � Arg �z� � � édenominadavalorprincipaldo logarítmo complexo. Observação 3. 2. 1 Aseguir seráprovado queseodomíniodeez for restritoa região fundamental, ou seja, � � � x � � e � � � y � �, ovalorprincipaldo logarítmocomplexoLog z éumafunção inver- saparaa funçãoexponencial complexa ez. Defato, consideremosum ponto z � x � y i naregião fun- damental.Desta forma y éum argumentode ez.Como z pertencea região fundamental, temosque �� � y � �. Logo, y éoargumentoprincipalde ez, ouseja,Arg �ez� � y. Então,daDefinição3. 2. 2, resultaque: Logez � lne |ez | � iArg �ez� �3.1.42� � Logez � lne ex � i y � �3. 2. 7� Logez � x � i y � z, se � � � x � � e � � � y � y Poroutro lado, seja z � |z|e i�, � � � � � Arg �z� � �. Então: e Logz � e lne |z |�iArg �z� � e lne |z | � e iArg �z� � �3. 2. 8� e Logz � |z|eiArg �z� � z. Conclusão:Dasequações �3. 2. 7� e �3. 2. 8� concluímosquesea funçãoexponencial complexa f �z� � ez fordefinidana região fundamental�� � x � � e � � � y � �, então f é biunívocaou injetoraea função inversade f éovalorprincipaldo logarítmocomplexo f �1�z� � Log z. Para ilustraraconclusãoacima iremosconsiderarum ponto z nãopertencenteà região fundamental. Exemplo 3. 2. 1 Considereoponto z �1 � 3� 2 i.MostrequeLogez � z. Solução: DaDefinição3. 2. 2, obtemosque: �3. 2. 9� Logez � lne |ez | � iArg �ez� �i� Cálculode lne |ez |. Temosque: |ez | �3.1.42� � ex � �3. 2. 10� lne |ez | � lne ex � x � lne e � 1 � 1 � 1. �ii� CálculodeArg �ez�. Temosque: ez � e1�i 3�/2 �3.1.34� � e � e i 3�/2 �3.1.31� � ez � e � cos 3� 2 � i sin 3� 2 � ez � e � �0 � i� � �e i � Arg �ez� � Arg ��e i� �1.4.22� � �3. 2. 11� Arg �ez� � � � 2 Substituindoasequações �3. 2. 10� e �3. 2. 11� naequação �3. 2. 9�, obtemosque: �3. 2. 12� Logez � 1 � � 2 i � 1 � 3� 2 i � z Observemosque y � 3� 2 � �, ouseja, z � 1 � 3� 2 i nãopertenceà região fundamental. Observação 3. 2. 2 Deveserenfatizadoquea funçãoG �z� � log z émultivalentee,portanto,nãoé verdadequepodemos trocaraordem das funçõesexponenciale logarítmo.De fato,daDefinição 3. 2. 1 econsiderando� �Arg �z�, resultaque: e log z � e lne |z |�i ���2n�� � e loge|z | � e i ���2n�� � e log z �3.1.31� � |z| �cos �� � 2n�� � i sin �� � 2n��� � e log z � |z| �cos�cos2n� � sin � sin 2n� � i �sin �cos2n� � cos� sin 2n��� � �3. 2. 13� e log z � |z| �cos� � i sin�� � |z|e i� � z Poroutro lado,da Definição3. 2. 1 econsiderando z � x � i y, obtemosque: log ez � lne |ez | � i �arg �ez�� �3.1.38� e �3.1.42� � log ez � lne ex � i �y � 2n�� � �3. 2. 14� log ez � x � i y � 2n� i � z � 2n� i Dasequações �3. 2. 13� e �3. 2. 14� concluímosque: �3. 2. 15� e log z � z � log �ez� � z � 2n� i Exemplo 3. 2. 2 Nos itensabaixodetermine todososvalorescomplexosdo logarítmodado. �a� log i �b� log ��e2i� �c� Log �� 3 i� �d� Log ��1 � 3 i�5� Solução �a�: log � i�. �i� Determinar |z|. Como x � 0 e y � 1, obtemospor �1. 3. 7�que: �3. 2. 16� |z| � 02 � 12 � 1 �ii� DeterminarArg �i�. Como, x � 0 e y � 1 � 0, temospelaequação �1. 4. 21�que: �3. 2. 17� Arg �i� � � 2 . Logo, substituindoasequações �3. 2. 16� e �3. 2. 17� naequação �3. 2. 5�, obtemosque: �3. 2. 18� log i � lne 1 � i �2 � 2n� � i � 2 � 2n� , n � �. Solução �b�: log ��e2i�. �i� Determinar |z| � r. Como, x � 0 e y � �e2, obtemospor �1. 3. 7�que: �3. 2. 19� |z| � r � 0 � ��e2�2 � e2. �ii� Determinar Arg ��e2i�. Como, x � 0 e y � �e2 � 0, obtemospelaequação �1. 4. 22�que: �3. 2. 20� Arg ��e2i� � ��/2. Logo, substituindoasequações �3. 2. 19� e �3. 2. 20� naequação �3. 2. 5�,obtemosque: �3. 2. 21� log ��e2i� � lne e2 � i ���/2 � 2n� � � 2 � i ���/2 � 2n� �, n � � Solução �c�: Log �� 3 � i�. �i� Determinar |z| � r. Como x � � 3 e y � 1, obtemospor �1. 3. 7�que: �3. 2. 22� |z| � r � �� 3 �2 � 12 � 2. �ii� Determinar Arg �� 3 � i�. Como, x � � 3 � 0 e y � 1 � 0 obtemosdaequação �1. 4. 19�que: �3. 2. 23� Arg �z� � � � 6 � � � 5� 6 Logo, substituindoasequações �3. 2. 22� e �3. 2. 23� naequação �3. 2. 5�, obtemosque: �3. 2. 24� Log �� 3 � i� � lne 2 � 5�6 i . Solução �d�: Log ��1 � 3 i�5�. Seja z � 1 � 3 i .Então,obtemospor �1. 3. 7�que: �3. 2. 25� |z| � 12 � � 3 �2 � 2 Poroutro lado,como x � 1 � 0 , temospelaequação �1. 4. 18�que: �3. 2. 26� Arg �1 � 3 i� � arctan 3 � � 3 . Logo,pelaequação �1. 4. 3�a formapolarde z � 1 � 3 i édadapor: z � 2 � cos � 3 � i sin � 3 � z5 � 2 � cos � 3 � i sin � 3 5 �1.5.8� � �3. 2. 27� z5 � 25 � cos 5� 3 � i sin 5� 3 PordefiniçãodeLog devemosconsideraroargumentoprincipalde z5,edenotandoesteargumento por �sabemosque�� � � � �.Logo: �3. 2. 28� � � 5� 3 � 2� � � � 3 Logo, substituindoaequação �3. 2. 28�naequação �3. 2. 27�,obtemosque: z5 � 25 � cos � � 3 � i sin � � 3 �3.2.5� � �3. 2. 29� Log ��1 � 3 i�5� � lne 25 � �3 i � 5 � lne 2 � �3 i Exemplo 3. 2. 3 Determine todososvalorescomplexos z quesatisfazem aequação dada: �a� ez�1 � �e2i �b� e1/z � �1 �c� e2z � ez � 1 � 0 Solução �a�: ez�1 � �e2i. Pelaequação �3. 2. 5� temosque, se ez�1 � �e2i, então: z � 1 � log ��e2i� � �3. 2. 30� z � 1 � log ��e2i� Pelo item �b� doExemplo 3. 2. 2, temosque: �3. 2. 31� log ��e2i� � 2 � i � � 2 � 2n� , n � � Portanto, substituindoaequação �3. 2. 31� naequação �3. 2. 30�, obtemosque: �3. 2. 32� z � 3 � i � � 2 � 2n� , n � � Solução �b�: e1/z � �1. Pelaequação �3. 2. 5� temosque, se e1/z � �1, então: �3. 2. 33� 1z � log ��1� � Cálculode ln ��1�. �i� Determinar |�1|. Como x � �1 e y � 0, obtemospor �1. 3. 7�que: �3. 2. 34� |�1| � ��1�2 � 1 �ii� Determinar Arg ��1�. Como, x � �1 � 0 e y � 0, obtemosdaequação �1. 4. 19�que: �3. 2. 35� Arg �z� � 0 � � � � Logo, substituindoasequações �3. 2. 34� e �3. 2. 35� naequação �3. 2. 5�, obtemosque: �3. 2. 36� log ��1� � lne1 � i �� � 2n� �, n � � Portanto, substituindoaequação �3. 2. 36� naequação �3. 2. 36�, obtemosque: 1 z � i �� � 2n� � � �3. 2. 37� z � 1 i �� � 2n� � � � i �1 � 2n�� , n � � Solução �c� e2z � ez � 1 � 0. Seja m � ez. Então: m2 � m � 1 � 0 � m � �1 � �3 /2 � m1 � �1/2 � i 3 /2 � ez1 � z1 � log �1/2 � i 3 /2 m2 � �1/2 � i 3 /2 � ez2 � z2 � log �1/2 � i 3 /2 �i� Cálculode z1 � log �1/2 � i 3 /2 . Temosdaequação �3. 2. 5� que: �3. 2. 38� z1 � lne �1/2 � i 3 /2 � i Arg �1/2 � i 3 /2 � 2n� � Cálculode �1/2 � i 3 /2 . Como x � �1/2 e y � 3 /2, obtemospor �1. 3. 7�que: �3. 2. 39� �1/2 � i 3 /2i � 1/4 � 3/4 � 1 � CálculodeArg �1/2 � i 3 /2 . Como x � �1/2 � 0 e y � 3 /2 � 0, obtemosdaequação �1. 4. 19� que: �3. 2. 40� Arg �1/2 � i 3 /2 � ��/3 � � � 2�/3 Substituindo asequações �3. 2. 39� e �3. 2. 40� naequação �3. 2. 38�, obtemosque: �3. 2. 41� z1 � lne 1 � i �2�/3 � 2n�� � i �2�/3 � 2n��, n � � �ii� Cálculode z2 � log �1/2 � i 3 /2 . Temosdaequação �3. 2. 5� que: �3. 2. 42� z1 � lne �1/2 � i 3 /2 � i Arg �1/2 � i 3 /2 � 2n� � Cálculode �1/2 � i 3 /2 . Como x � �1/2 e y � � 3 /2, obtemospor �1. 3. 7� que: �3. 2. 43� �1/2 � i 3 /2 � 1/4 � 3/4 � 1 � CálculodeArg �1/2 � i 3 /2 . Como x � �1/2 � 0 e y � � 3 /2 � 0, obtemosdaequação �1. 4. 20� que: �3. 2. 44� Arg �1/2 � i 3 /2 � �/3 � � � �2�/3 Substituindo asequações �3. 2. 43� e �3. 2. 44� naequação �3. 2. �42, obtemosque: �3. 2. 45� z2 � lne 1 � i ��2�/3 � 2n�� � i ��2�/3 � 2n��, n � � Exercício 3. 2. 4 Seja f �z� � w � Log �z�e S ��z � � | 2 � |z| � 4�. �a� Determinea Imagem de Ssoba transformação f �z� � w � Log �z� . �b� Representegraficamenteo Dom � f � � S e a Imagem de S. Solução �a�: Sejam z � |z|e i�, � � � � � � e w � u � i v. Então, pelaequação �3. 2. 6�, obtemosque: w � u � i v � Log z � loge|z| � i� � �3. 2. 46� u � loge|z| e �3. 2. 47� v � �, � � � v � � � �. �i� ConsideremosacircunferênciaC1 : |z| � 2. Então,pelasequações �3. 2. 46�e �3. 2. 47�, resultaque: �3. 2. 48� u � loge2 e �3. 2. 49� �� � v � � � � Conclusão: Asequações �3. 2. 48�e �3. 2. 49�nosdizem queacircunferência C1 : |z| � 2 émapeada naretavertical u � loge2 e �� � v � �. �ii� ConsideremosacircunferênciaC2 : |z| � 4. Então,pelasequações �3. 2. 46�e �3. 2. 47�, resultaque: �3. 2. 50� u � loge4 e �3. 2. 51� �� � v � � � � Conclusão: Asequações �3. 2. 50�e �3. 2. 51�nosdizem queacircunferência C2 : |z| � 4 émapeada naretavertical u � loge4 e �� � v � �. DasconclusõesacimaecomoS éum anelconcluímosquea imagem de S soba transformaçãoLog z éaregião retangular loge2 � u � loge4 e �� � v � �. Solução �b�: As Figuras 3. 2. 1 e 3. 2. 2 representam geometricamenteoDom � f � � S e a Imagem deS, respectivamente. Figura 3. 2. 1 Figura 3. 2. 2 Como no caso real, o logaritmo complexo possui propriedades algébricas. Se z1 e z2 sãonúmeros complexos não nulos e n � �, então valem as propriedadesenunciadasaseguir. Teorema3. 2. 1 Dadosdoisnúmeroscomplexosnãonulos z1 e z2, temosque: �3. 2. 52� log �z1 � z2� � log z1 � log z2 �3. 2. 53� log �z1/z2� � log z1 � log z2 �3. 2. 54� log zn � n log z, n � � Demonstração:�i� Provarque �3. 2. 52�éverdadeira. De fato, logz1 � log z2 � lne z1 � i arg �z1� � lne z2 � i arg �z2� � �lne z1 � lne z2 � i �arg �z1� � arg �z2�� � logz1 � log z2 � lne �z1 � z2� � i arg �z1 � z2� � log �z1 � z2� estabelendo-seassim aequação �3. 1. 52�. �ii� Provarque �3. 2. 53�éverdadeira. Com efeito, logz1 � log z2 � lne z1 � i arg �z1� � lne z2 � i arg �z2� � �lne z1 � lne z2� � i �arg �z1� � arg �z2�� � logz1 � log z2 � lne z1 lne z2 � i arg �z1� arg �z2� � log z1 log z2 estabelendo-seassim aequação �3. 1. 53�. �iii� Provarque �3. 2. 53�éverdadeira. De fato, log z1 n � lne|z1 n | � i �arg �z1 n� � lne |z1 |n � n i arg �z1� � log z1 n � n lne |z1 | n � n i arg �z1� � n �lne |z1 |n � i arg �z1�� � n log z1 3.3 FUNÇÃO POTÊNCIACOMPLEXA Definição 3. 3. 1: Se z � 0 e� � a � bi é qualquernúmerocomplexo,define-seapotênciacomplexa comosendo �3. 3. 1� z� � e� log z. Exemplo 3. 3. 1:Determineosvaloresdasseguintespotênciascomplexas: �a� ��i� i �b� �i�1�i �c� e/2 � �1 � i 3 3�i . Solução �a�: Nestecaso� � i e z � �i. PelaDefinição3. 3. 1, obtemosque: �3. 3. 2� ��i� i � e i log ��i�. Poroutro lado,PelaDefinição3. 2. 5, temosque: log ��i� � loge|�i| � i ���/2 � 2n�� � �3. 3. 3� log ��i� � loge1 � i ���/2 � 2n�� � i ���/2 � 2n��. Substituindoaequação �3. 3. 3�naequação �3. 3. 2�, obtemosque: �3. 3. 4� ��i� i � e i � i ���/2�2n��� � e� ���/2�2n��. Solução �b�: Nestecaso� � 1 � i e z � i. PelaDefinição3. 3. 1, obtemosque: �3. 3. 5� �i�1�i � e�1�i� log i. Poroutro lado,PelaDefinição3. 2. 5, temosque: log i � loge|i| � i ��/2 � 2n�� � �3. 3. 6� log �i� � loge1 � i ��/2 � 2n�� � i ��/2 � 2n��. Substituindoaequação �3. 3. 6�naequação �3. 3. 5�, obtemosque: �i�1�i � e�1�i��i ��/2�2n�� � e i ��/2�2n�� � e���/2�2n�� � e i�/2 � e i 2n� � e���/2�2n�� � �3. 3. 7� �i�1�i � i e���/2�2n��. Solução �c�: Nestecaso� � 3�i e z � e/2 � �1 � i 3 . PelaDefinição3. 3. 1, obtemosque: �3. 3. 8� e/2 � �1 � i 3 3�i � e3�i log ��e/2�e 3 i/2�. Poroutro lado,pelaDefinição3. 2. 5, temosque: log �e/2 � e 3 i/2 � loge e 2/4 � 3e2/4 � i ��2�/3 � 2n�� � �3. 3. 9� log �e/2 � e 3 i/2 � 2 � i ��2�/3 � 2n��. Substituindoaequação �3. 3. 9�naequação �3. 3. 8�, obtemos e/2 � �1 � i 3 3�i � e6�i � e�3��2n��2�/3 � 3/2 � �1 � i 3 3�i � �cos6� � i sin 6�� � e�6n� 2�2�2 � �3. 3. 10� e/2 � �1 � i 3 3�i � e�6n� 2�2�2 . Definição 3. 3. 2:Se z � 0 e� � a � bié qualquernúmerocomplexo,a funçãodefinidapor: �3. 3. 11� z� � e�Log z. é denominadavalorprincipaldapotênciacomplexa z�. Exemplo 3. 3. 2:Determineovalorprincipaldasseguintespotênciascomplexas: �a� ��i� i �b� �i�1�i �c� e/2 � �1 � i 3 3�i . Solução �a�: DaDefinição3. 3. 2edo item �a�doExemplo3. 3. 1, obtemos que: Log ��i� � loge1 � i�/2 � �i�/2 � �3. 3. 12� ��i� i � e i� ��i�/2� � e�/2. Solução �b�: DaDefinição3. 3. 2edo item �b�doExemplo3. 3. 1, obtemos que: Log i � loge1 � i�/2 � �3. 3. 13� �i�1�i � i e��/2. Solução �c�: DaDefinição3. 3. 2edo item �c�doExemplo3. 3. 1, obtemos que: Log �e/2 � e 3 i/2 � 2 � i 2�/3 � �3. 3. 14� e/2 � �1 � i 3 3�i � e3�i��2�i 2�/3� � e2� 2 .
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