resolução de problemas envolvendo frações, conjuntos

Prévia do material em texto

resolução de problemas envolvendo 
frações 
 
 Nesse conteúdo de frações, devemos nos 
atentar principalmente à interpretação da questão e 
também com as operações fundamentais. 
 Para começar, vamos definir o que é uma fração: 
Fração nada mais é do que uma divisão representada 
na forma tabularia, ou seja, em cima temos o 
número que está sendo dividido, e em baixo temos 
o número que divide o de cima, assim: 
 
7
9
 
Como estamos vendo no exemplo acima, o 
número “de cima” se chama numerador, e o número 
“de baixo” da fração, se chama denominador. Essa 
fração pode ser representada por exemplo, no 
formato de uma pizza, onde 7 é o total de fatias 
consumidas, e 9 é o total de fatias. 
 
 
Numerador 
Denominador 
 Fração unitária: A banca SELECON pode 
pedir isso, e saibam que fração unitária é 
aquela com numerador igual a 1, exemplo: 
 
1
6
 
 
 Não existe fração onde o 0 (zero) seja 
denominador, aliás, não existe divisão por 
zero. 
 Fração mista é aquela que mistura um 
número inteiro com uma fração, ou seja, é 
como se esse número estivesse somando 
com aquela fração para representar um 
inteiro + uma parte, exemplo: 
 
2 
2
5
 
 
 
 
 
 
É como se estivesse 
somando o 2 + 2/5. 
 Soma de frações: É o que pega de sério aqui, 
e é a maior dificuldade do pessoal. Para 
somar ou subtrair frações, sigam esses 
passos: 
 
1. Verifique se os denominadores delas 
são iguais, se forem, apenas mantenha 
o denominador e soma/subtraia o 
numerador: 
 
5
4
+
3
4
=
8
4
 
 
8
3
− 
3
3
=
5
3
 
 
3
3
−
8
3
= −
5
3
 
 
5
9
+
7
9
− 
6
9
= 
6
9
 
 
 
 
 
Cuidado com o jogo de 
sinais, 3 – 8 = -5 e não 5. 
2. Porém, se os denominadores forem 
diferentes, você terá que igualá-los, 
através do MMC (mínimo múltiplo 
comum). Observe o exemplo: 
 
6
3
+
4
7
 
 
 
 
Pronto, agora o denominador está 
igualado, pois você tirou o MMC deles 
e o resultado foi 21. Ou seja, o novo 
denominador é 21. Agora você deve 
dividir 21 por 3 e multiplicar por 6, 
depois dividir 21 por 7 e multiplicar por 
4. 
 
Você vai dividir 21 por 3, não é mesmo? 
Sim! E qual o resultado? É 7! E agora, o 
que eu faço com esse 7? Você 
multiplica pelo numerador da fração 
onde estava o número 3, que é 6, então 
7x6 = 42! Então 42 é o novo 
numerador. 
 
MMC MÚLTIPLOS 
3 e 7 3 
1 e 7 7 
1 e 1 3x7 = 21 
Agora fará o mesmo com a outra 
fração, você deve dividir 21 por 7 e 
multiplicar por 4. 21 dividido por 7 é 3, 
e 3x4 = 12, então o novo numerador da 
segunda fração é 12. No final, a fração 
ficará assim: 
 
42
21
+ 
12
21
= 
54
21
 
 
 
 
 
Outro exemplo: 
 
5
4
+ 
1
2
− 
4
7
 
 
 
 
 
 
 
MMC MÚLTIPLOS 
4 e 2 e 7 2 
2 e 1 e 7 2 
1 e 1 e 7 7 
1 e 1 e 1 2x2x7=28 
Observe que numa soma 
ou subtração de frações, 
você não deve mexer no 
denominador, apenas 
igualá-los. Irá realizar a 
operação apenas com o 
numerador. 
Então amigos, o novo denominador é 
28. Agora você deve dividir 28 por 4, 
por, 2 e por 7, e depois multiplicar pelos 
seus respectivos numeradores, e logo 
após, resolver a sentença: 
 
35
28
+ 
14
28
− 
16
28
= 
33
28
 
 
 Multiplicação de frações: A multiplicação de 
duas ou mais frações é bem simples, basta 
multiplicar numeradores por numeradores, 
e denominadores por denominadores: 
 
6
2
 × 
8
3
 × 
2
3
= 
96
18
 
 
 Da divisão: Para dividir frações, inverta 
todas frações menos (exceto) a que está se 
dividindo (a primeira) e troque o sinal de 
divisão pelo sinal de multiplicação, e, logo 
em seguida resolva a operação. Por 
exemplo: 
2
3
 ÷ 
6
2
 
 
2
3
 × 
2
6
=
4
18
 
 
 Outro exemplo com 3 frações: 
 
 
1
3
 ÷ 
6
2
 ÷ 
4
7
 
 
 
1
3
 ÷ 
6
2
 ÷ 
4
7
 
 
 
1
3
 × 
2
6
 × 
7
4
= 
14
72
 
 
 
 
 Equivalência e simplificação de frações: 
 
2
4
= 
1
2
= 
3
6
= 
4
8
 
 
Está vendo toda essa igualdade? Essas 
frações são equivalente, pois se forem 
simplificadas ao máximo, o resultado será o 
mesmo. Ou seja, se você dividir o 
numerador e o denominador por um 
número em comum, terá um resultado 
equivalente, observe a tabela da 
simplificação de uma fração: 
 
FRAÇÃO: DIVIDINDO POR: 
120
80
 
2 
60
40
 
2 
30
20
 
2 
15
10
 
Não há mais 
nenhum número 
possível. 
 
 
conjuntos 
 
 O que seria um conjunto? Bem, um conjunto é 
uma sequência de elementos que possuem alguma 
característica em comum. 
 
Algumas notações importantes: 
 
 Um conjunto é representado, na matemática, 
por uma letra MAIÚSCULA. Por exemplo: 
Conjunto dos Estados do Brasil, poderia ser 
representado por exemplo, pela letra B. 
 Quando se tratar de elementos desse conjunto, 
na matemática, e convencionalmente, 
utilizamos letras minúsculas. 
 Quando quisermos falar que um elemento 
pertence ou não pertence a um conjunto, vamos 
utilizar a seguinte simbologia: 
 
 Se por exemplo: b pertence a B: b ∈ B 
 Se por exemplo: b não pertence B: b ∉ B 
 
 Se quisermos falar que um conjunto está 
contido ou não contido em outro, utilizamos a 
seguinte simbologia: 
 
 Se B está contido em A: B ⊂ A 
 Se B não está contido em A: B ⊄ A. 
 
 Importante: Quando se tratar de elemento estar 
ou não estar dentro de um conjunto, 
utilizaremos os termos e símbolos: “Pertence ou 
não pertence”. 
 Quando se tratar de Conjunto está ou não está 
dentro de outro conjunto, vamos utilizar os 
termos e símbolos: “Está contido ou não está 
contido”. 
 
EXEMPLO E REPRESENTAÇÃO DE 
CONJUNTOS 
 
 Conjunto dos números naturais: 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} 
 Conjunto dos números inteiros: 
 
I = {...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...} 
 
 Conjunto das vogais do alfabeto: 
 
V = {a, e, i, o, u} 
 
 Porém, há outra forma de representar 
conjuntos, através dos diagramas de Venn. 
 
 Conjunto das vogais através de Venn: 
 
 
a e i 
o u
V 
 Conjuntos especiais: São dois tipos de 
conjuntos: 
 
 Conjunto vazio: Um conjunto que não possui 
elementos. Ele é subconjunto de todos os outros 
conjuntos, inclusive dele mesmo. Pois o vazio, 
está dentro de todos, e do próprio vazio. 
Exemplo: 
 
O = { } (forma de representar o conjunto vazio) 
U = ∅ (Outra forma de representar) 
 
 Conjunto unitário: É o conjunto que 
possui apenas um elemento. 
 
J = {g} 
 
 
 
 
 
 
 
SUBCONJUNTOS 
 
 Chamamos B de subconjunto de A, quando 
A tiver todos elementos de B. Exemplo: 
 
A = {a, b, c, d, e, f} 
B = {a, b, c} 
 
Nesse caso acima, B é subconjunto de A, pois 
todos elementos que B possuem, A também já 
possui. Representando na forma de diagrama, 
ficaria da seguinte maneira: 
 
A 
 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
 Intersecção de conjuntos: A intersecção 
entre dois ou mais conjuntos, significa 
os elementos que eles têm em comum. Por 
exemplo: 
 
A = {1, 2, 3, a, b, c} 
B = {1, a, b, d, e} 
 
Intersecção entre A e B (A ∩ B) 
d, e, f
a, b, c
B 
 
I = {1, a, b} 
 
Na forma de diagrama, ficaria assim: 
 
 
 União de conjuntos: A união de dois ou 
mais conjuntos irá somar os elementos. 
 
A = {1, 2, 3, a, b, c} 
B = {1, a, b, d, e} 
 
União entre A e B (A ∪ B) 
 
U = {1, 2, 3, a, b, c, d, e} 
 
 
Na forma de diagrama ficaria assim: 
 
 
 
 
 
 Diferença de conjuntos: A diferença de 
um conjunto A para um conjunto B, 
significa os elementos que A possui, que 
B não possui. Exemplo: 
 
A = {1, 2, 3, a, b, c} 
B = {1, a, b, d, e} 
 
Diferença entre A e B (A - B) 
 
D = {2, 3, c} 
 
Na forma de diagrama, ficaria assim: