TRABALHO DO THIAGO

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UNIVERSIDADE ANHANGUERA-UNIDERP 
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA
CIRCUITOS ELÉTRICOS II
FILTRAGEM DE IMAGEM POR FOURIER
	
Turma N61/N7
ACADÊMICOS:
Ailton Palhares Pedroza RA3937865160
Bruno de Araújo Benites Rosa RA: 5476153016
 Marcelo Budib Ferreira RA: 6018383892
Narciso Pereira Domingos Junior RA: 6017357567
Polynne Modesto de Oliveira RA: 5945268461
Campo Grande
2016
INTRODUÇÃO
Pode-se entender filtragem de uma imagem, como sendo técnicas de transformações aplicadas a cada pixel da imagem, levando em conta os níveis de cinza de uma região vizinha de cada pixel desta imagem.
As técnicas de filtragem podem ser divididas em dois tipos: filtragem no domínio espacial e filtragem no domínio da frequência.
Filtragem no Domínio da Frequência
 Filtragem no domínio da frequência é muito simples, pois equivale a uma multiplicação. Na Figura abaixo podemos ver uma sequência inteira de filtragem, tanto no domínio real, como no domínio da frequência. Na primeira parte vemos uma senóide modelada com um ruído também senoidal. Como a frequência do ruído é maior que a da senóide, este se manifesta como os dois impulsos mais externos no domínio da frequência. Para removê-los basta aplicar um passa baixa no domínio da frequência, que de volta ao domínio real obteremos a senóide sem o ruído. 
Comparação entre Filtragem no Domínio Real e no da Frequência
Mas, surge outro problema: estamos trabalhando com uma função discretizada e com a DFT e não a FT. Como vimos a DFT é uma aproximação para a FT. Ao aplicarmos algum tipo de filtragem com um filtro semelhante ao da Figura 3-2 (ideal), a transformada inversa fornecerá uma imagem com um fenômeno chamado ringing (anelamento). Visualmente este efeito é identificado por "anéis" (também chamados de artefatos) que surgem nas bordas dos objetos da imagem. Este fenômeno acontece devido a descontinuidade imposta pelo filtro ideal.
 Para evitar a introdução de artefatos após a filtragem os filtros devem ter sua borda suavizada por uma função com derivada contínua e faixa de decaimento controlada. É muito comum o uso de uma gaussiana ou de um cosseno para tal. O controle da faixa de decaimento permite o balanceamento entre a existência de artefatos e o quanto o filtro permitirá passar outras frequências que não aquelas sob o mesmo.
 É preciso então saber balancear até que ponto a filtragem no domínio real é vantajosa em relação ao domínio das frequências. A convolação no domínio real é definida como:
Onde k é uma matriz quadrada de K 2 elementos.
A filtragem no domínio da frequência exige um FFT, uma multiplicação pelo filtro e uma IFFT. 
 Na prática K assume valores 3, 5, 7 e 9, e a filtragem no domínio da frequência permite uma seleção mais precisa de que elementos se deseja filtrar. Pois, a filtragem espacial não deixa de ser uma média ponderada da vizinhança de um determinado pixel, em contraste com uma visão global fornecida pela FT.
Os Filtros
 A filtragem mais básica de todas e também a mais conhecida é o filtro passa faixa. Quando este está próximo à origem é chamado de passa baixa. Quando está afastado é chamado de passa alta. No domínio bidimensional este filtro é representado por dois anéis concêntricos e centrados na origem.
Setor Circular Centrado na Origem.
Dois casos particulares do filtro anterior acontecem quando queremos isolar apenas frequências horizontais ou apenas verticais, como visto na Figura 3-4 e Figura 3-5, respectivamente.
 	Repare que para isolar frequências horizontais necessitamos de um retângulo vertical, e vice-versa. Também pode-se ver dois retângulos simétricos em relação à origem, isto é necessário pois estamos supondo que a imagem complexa no domínio da frequência proveio de uma imagem real no domínio espacial. Sendo assim, os filtros devem obedecer o fato das imagens complexas em questão serem hermitianas. Assim, quando calcularmos a transformada inversa obteremos uma imagem complexa com parte imaginária nula (próxima de zero), ou melhor, uma imagem real.
 
Retangular Vertical
Retangular Horizontal
Quando a imagem possui frequências espaciais muito bem determinadas em ambas as direções estas frequências se manifestam no domínio da frequência através de pontos brilhantes, ou melhor, uma região brilhante ao redor de um ponto mais intenso, um pico. Para isolar estes picos necessitamos de um filtro que envolva os mesmos, o filtro da Figura 3-6 cumpre exatamente esse papel. Observe também sua característica hermitiana.
Oval Não Centrada na Origem
Estes picos comumente se manifestam de forma periódica. O filtro da Figura abaixo simplifica o trabalho de repetirmos o filtro anterior para cada um dos picos presentes na imagem.
Oval Periódica
Algumas imagens podem ter frequências distribuídas ao longo de uma direção inclinada. Estas frequências aparecem com o formato de um setor angular como na Figura abaixo.
Setor Angular
Quando se deseja incluir toda informação próxima à origem, utiliza-se o filtro da Figura abaixo.
Retangular Inclinado Centrado na Origem
Portanto, vimos que os mais conhecidos fenômenos podem ser modelados por filtros simples de serem criados e manipulados, pois podem ser utilizados objetos geométricos bem conhecidos. Naturalmente, todos devem poder possuir uma borda suave durante a aplicação sobre a imagem. Matematicamente, a combinação de um ou mais filtros implica na união da área delimitada pelos mesmos. A área delimitada pela combinação dos filtros pode sobrepor a imagem durante a aplicação, atuando como um filtro que "passa" frequências, ou o complemento desta área sobrepõe, atuando como um filtro que "rejeita" frequências.
 	O método de filtragem com estes filtros é o mesmo descrito na figura. A imagem original no domínio da frequência é multiplicada pela imagem formada pelo uso de um ou mais filtros sobre a mesma.
 A sequência completa de filtragem pode ser vista na figura abaixo. Deve-se aplicar a transformada de Fourier direta sobre a imagem que se deseja filtrar, criar e combinar os filtros que melhor isolem o fenômeno desejado aplicá-los sobre a imagem complexa, calcular a transformada de Fourier inversa e por fim obtém-se a imagem original filtrada.
Filtros LINEARES
 	Os filtros servem para suavizar ou realçar detalhes da imagem, ou ainda minimizar efeitos de ruído.
 	O sistema provê algumas máscaras pré-definidas para a aplicação de cada tipo de filtro. No caso da filtragem linear estão disponíveis máscaras para os filtros passa-baixa e passa-alta, descritos a seguir.
Passa-Baixa
O efeito visual de um filtro passa-baixa é o de suavização da imagem e a redução do número de níveis de cinza da cena. As altas frequências, que correspondem às transições abruptas são atenuadas. A suavização tende a minimizar ruídos e apresenta o efeito de borramento da imagem.
 Algumas janelas que efetuam uma filtragem passa-baixa, numa vizinhança de dimensão 3x3, 5x5 ou 7x7 estão indicadas abaixo, estes filtros são conhecidos por filtros de média, pois obtém a média entre pontos vizinhos.
  *1/9  *1/25
  *1/49
 	Outros tipos de filtro passa-baixa, conhecidos como filtros de média ponderada, são usados quando os pesos são definidos em função de sua distância do peso central. Filtros desse tipo de dimensão 3x3 são:
  *1/10  *1/16
 
As figuras abaixo mostram duas cenas do satélite Landsat 5 (banda 5), onde a da esquerda é a imagem original realçada linearmente e da direita a mesma imagem, porém foi aplicado um filtro passa baixo de 7x7.
      
 Passa-Alta
A filtragem passa-alta tende a realçar os detalhes, produzindo uma "agudização" (“sharpering”) da imagem, isto é, as transições entre regiões diferentes tornam-se mais nítidas. Exemplos: limites de um campo de cultivo, lineamento geológico, etc.
 Estes filtros podem ser usados para realçar certas características presentes na imagem, tais como bordas, linhas curvas ou manchas. O efeito indesejado é o de enfatizar o ruído porventura existente na imagem.
 	No caso de filtragem passa-altas alguns exemplos podem ser dados, como:
    
Os filtros de realce debordas atribuem valores de nível de cinza para os "pixels" da cena original, segundo a influência de seus "pixels" vizinhos. Esta maior ou menor influência será função de valores (positivos, nulos ou negativos) fornecidos pelo usuário e atribuídos aos elementos da máscara, considerados segundo a configuração do filtro utilizado. É através da combinação destes valores de entrada ou pesos, que se obterá um realce maior ou menor da cena, segundo direções preferenciais de interesse.
 As janelas abaixo são utilizadas para o realçamento de bordas em vários sentidos. O nome dado às máscaras indica a direção ortogonal preferencial em que será realçado o limite de borda. Assim, a máscara norte realça limites horizontais.
Exemplo de filtros direcionais.
Realce não-direcional de bordas: é utilizado quando o usuário deseja realçar bordas, independentemente da direção.
 	O SPRING sugere três máscaras, que diferem quanto à intensidade de altos valores de níveis de cinza presentes na imagem resultante. Neste caso, as bordas podem ser realçadas com as seguintes intensidades:
A máscara alta deixa passar menos os baixos níveis de cinza, isto é, a imagem fica mais clara. A máscara baixa produz uma imagem mais escura que a anterior. A máscara média apresenta resultados intermediários.
 Realce de imagens: esta opção corresponde à utilização de máscaras apropriadas ao realce de características de imagens obtidas por sensor específico.
Atualmente, está disponível somente para imagens TM/Landsat. A máscara utilizada neste caso é: 
Este realce foi definido para compensar distorções radio métricas do sensor TM (trabalho desenvolvido por Banon, em 1992). O "pixel" que terá seu valor de nível de cinza substituído pela aplicação da máscara corresponde à posição sombreada.
As figuras abaixo mostram duas cenas do satélite Landsat 5 (banda 5), onde a da esquerda é a imagem original realçada linearmente e da direita a mesma imagem, porém foi aplicado um filtro Realce de Imagem TM citado acima.
   
Editor de máscaras
Além destas opções para filtragem linear com máscaras pré-definidas, existe também um Editor de máscaras para filtros lineares. Deste modo o usuário pode criar, atualizar, suprimir e aplicar suas próprias máscaras e visualizar máscaras pré-definidas para o sistema, que não podem ser modificadas.
 As máscaras criadas devem ter dimensões m x n, onde m = 1, 3, 5 ou 7 e n = 1, 3, 5 ou 7, podem ou não ser normalizadas e aplicadas k vezes, onde k = 1, 2, ... 10.
Filtros NÃO-LINERARES
Utilizam-se filtros não-lineares para alterar a imagem, sem diminuir sua resolução. Servem para minimizar/realçar ruídos e suavizar/realçar bordas.
 Na categoria de filtragem não-linear, estão disponíveis os filtros: operadores para detecção de bordas e filtros morfológicos. Seguem as descrições.
Operadores para detecção de bordas
A detecção de características, tais como bordas, linhas, curvas e manchas, pode ser feita também com filtros não-lineares. No sistema estão disponíveis os operadores de Roberts e Sobel.
 	Operador de Roberts: o operador gradiente de Roberts é o método não-linear mais simples utilizado para detecção de bordas. Apresenta a desvantagem de dependendo da direção, certas bordas serem mais realçadas que outras, mesmo tendo magnitude igual.
 Como resultado de sua aplicação, obtém-se uma imagem com altos valores de nível de cinza, em regiões de limites bem definidos e valores baixos em regiões de limites suaves, sendo 0 para regiões de nível de cinza constante.
 O operador consiste na seguinte função:
 (a') = (a - d)2 + (c - b)2
	a 
	B
	c 
	d 
Onde: 
a' - é o nível de cinza correspondente à localização a, a ser substituído; 
a, b, c, d - são as localizações cujos valores serão computados para a operação.
 	A figura a seguir ilustra o efeito de sua aplicação.
Operador de Sobel: o operador gradiente de Sobel tem a propriedade de realçar linhas verticais e horizontais mais escuras que o fundo, sem realçar pontos isolados.
 	Consiste na aplicação de duas máscaras, descritas a seguir, que compõem um resultado único:
A máscara (a) detecta as variações no sentido horizontal e a máscara (b), no sentido vertical. O resultado desta aplicação, em cada "pixel", é dado por:
Onde a' é o valor de nível de cinza correspondente à localização do elemento central da máscara.
 A figura a seguir ilustra o efeito de sua aplicação.
As figuras abaixo mostram duas cenas do satélite Landsat 5 (banda 5), onde a da esquerda é a imagem original realçada linearmente e da direita a mesma imagem, porém foi aplicado um filtro de realce de Sobel.
     
Filtros morfológicos
Exploram as propriedades geométricas dos sinais (níveis de cinza da imagem).
 Para filtros morfológicos, as máscaras são denominadas elementos estruturantes. Estes elementos devem apresentar valores 0 ou 1, de modo a considerar ou não, o "pixel" correspondente à posição da matriz.
 O SPRING fornece os seguintes filtros morfológicos: o filtro da mediana, erosão e dilatação.
 Filtro morfológico da mediana: é utilizado para suavização e eliminação de ruído. Mantém-se a dimensão da imagem. Exemplo:   
A posição sombreada será alterada para o valor 6, visto que é o valor mediano na ordenação [2,3,6,6,8].
 Filtro morfológico de erosão: provoca efeitos de erosão das partes claras da imagem (altos níveis de cinza), gerando imagens mais escuras.
 Considerando o exemplo anterior, o valor a ser substituído na posição sombreada corresponde ao menor valor da ordenação, no caso, 2. Filtro morfológico de dilatação: provoca efeitos de dilatação das partes escuras da imagem (baixos níveis de cinza), gerando imagens mais claras.
 	Para o exemplo anterior, o valor resultante da aplicação deste filtro é o maior valor na ordenação, no caso, 8.
 Para a aplicação destes filtros, o sistema provê os seguintes elementos estruturantes pré-definidos:
  Exemplo de elementos estruturantes.   
Abertura e fechamento de uma imagem: geralmente encadeiam-se filtros de erosão e dilatação com o mesmo elemento estruturante para obtenção de efeitos de abertura e fechamento.
 	A abertura é obtida pelo encadeamento do filtro de erosão, seguido pelo de dilatação, conforme ilustra a figura a seguir. No exemplo, há quebra de istmos e eliminação de cabos e ilhas.
Exemplo de Erosão.
A figura original mostra a representação de uma imagem binária (valores de níveis de cinza 0 e 1). O efeito de fechamento é obtido pelo encadeamento do filtro de dilatação, seguido pelo de erosão. No exemplo, há eliminação de golfos e fechamento de baías.
 Exemplo de Dilatação.   
Editor de elementos estruturantes
Existe também um Editor de elementos estruturantes para filtros morfológicos. Neste caso, os elementos estruturantes têm dimensão fixa 3x3, e seus elementos podem ser somente 0's ou 1's. No editor, os elementos estruturantes podem ser aplicados k vezes, onde k = 1, ..., 10.
Filtros para Imagem de RARAR
Muitos filtros espaciais tem sido desenvolvidos para a redução do ruído Speckle e para o aumento da relação sinal-ruído, objetivando uma melhoria na separabilidade entre os alvos da superfície, com a mínima perda de informação.
Filtro de Frost [Frost-1982]: é um filtro convolucional linear, derivado da minimização do erro médio quadrático sobre o modelo multiplicativo do ruído. Neste filtro incorpora-se a dependência estatística do sinal original, uma vez que se supõe uma função de correlação espacial exponencial entre pixels. É um filtro adaptativo que preserva a estrutura de bordas.
Filtro de Lee [Lee-1981]: adota um modelo multiplicativo para o ruído e obedece o critério de "local linear minimum mean square error". Local, porque utiliza estatísticas locais do pixel a ser filtrado, admitindo a não estacionaridade da média e da variância do sinal. É um filtro linear porque realiza uma linearização por expansão em série de Taylor da multiplicação do sinal e o ruído em torno da média, utilizando apenas os termos lineares. O resultado da linearização transforma o modelo multiplicativo do ruído em aditivo, ou seja, o ruído e o sinal tornam-seindependentes; e, finalmente, "minimum mean square error", porque minimiza o erro médio quadrático através do filtro de Wiener (filtro baseado no critério de mínimo erro médio quadrático). O filtro de Lee é um filtro adaptativo e geral.
 Filtro de Kuan/Nathan [Kuan et al.-1982]: adota o modelo multiplicativo. O procedimento é semelhante àquele de Lee, onde a estimação ponto a ponto é feita utilizando-se o filtro de Wiener. A diferença entre eles, entretanto, consiste no fato de que no filtro de Kuan/Nathan não se realiza nenhuma aproximação. É também um filtro adaptativo e geral.
    As figuras a seguir mostram a imagem original (ERS-1, 8 "looks") e as correspondentes imagens filtradas, utilizando os seguintes filtros: Filtro de média 5x5, Filtro de Frost adaptadivo, Filtro de mediana, Filtro de Lee fixo e Filtro de Kuan fixo (janela = 3).
  Original  Média 3x3
  Frost  Mediana
  Lee  Kuan 
    	Medidas quantitativas realizadas nos filtros testados, mostraram que os filtros de Lee, Kuan, Frost e de Média preservam o valor médio da imagem. Os filtros não específicos para ruído Speckle, Média eMediana, apresentam uma considerável redução no desvio padrão, implicando em uma grande perda de informação (perda de resolução). O filtro de Frost apresentou a máxima preservação de textura e uma menor perda de informação.
     	A utilização de um determinado filtro é dependente da aplicação desejada. Para uma determinada aplicação, se o fator mais importante for:
· 1. Relação sinal-ruído - aconselha-se o uso do Filtro de Média.
· 2. Mínima perda de resolução aconselha-se o uso do Filtro de Frost
· 3. Relação sinal-ruído e mínima perda de resolução, concomitantemente aconselha-se o Filtro de Frost.
CONCLUSÃO 
Fenômenos periódicos ocorrem recorrentemente em várias aplicações: representação de funções periódicas em termos de funções simples, como o senx ou cosx - Séries de Fourier. Conceitos e técnicas desenvolvidos para as séries de Fourier podem ser estendidos para o caso de funções que não são periódicas: Transformadas de Fourier. A utilização de séries e transformadas de Fourier revela-se, portanto, eficiente na resolução de problemas nas mais diversasáreas.
BIBLIOGRAFIA
	ALBUQUERQUE, M.P. de. Processamento de Imagens: Métodos e Análises.
	FALCÃO, Alexandre Xavier & LEITE, Neucimar Jerônimo. Tópicos em Processamento de Imagens. UNICAMP.