Introdução as Estruturas de Concreto - REVISADO

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Professor Esp. Luiz Claudio P. dos Santos
Eng. Civil
Inspetor Técnico do 
CREA Regional Serrana
Inspetor Administrativo 
do CREA Barra da Tijuca
Diretor na AEANF
Voluntário na Defesa Civil 
 
Resistência 
dos 
Materiais
Teoria das 
Estruturas
Estruturas 
de 
Concreto
 
 
 
Quando unimos conceitos básicos envolvidos nestas 
disciplinas, entendemos que as estruturas de concreto 
armado são diretamente ligadas resistência dos materiais e 
teoria das estruturas. 
 
 
𝜎 =
𝐹
𝐴
 Ex.: Tensão em N/m² = Força em N / Área em m² 
 
 
 
 
 
 
 
Carregamento distribuído sobre viga bi apoiada submetida 
as leis da estática. 
 
 
 
𝑀 =
𝑃𝑙2
8
 𝑣 =
𝑃𝑙
2
 
 
 
 
 
 
Em 1824, o construtor inglês Joseph Aspdin queimou 
conjuntamente pedras calcárias e argila, transformando-as 
num pó fino. 
 
Percebeu que obtinha uma mistura que, após secar, 
tornava-se tão dura quanto as pedras empregadas nas 
construções. 
 
 
A mistura não se dissolvia em água e foi patenteada pelo 
construtor no mesmo ano, com o nome de cimento Portland, 
que recebeu esse nome por apresentar cor e propriedades 
de durabilidade e solidez semelhantes às rochas da ilha 
britânica de Portland. (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE 
CIMENTO PORTLAND, 2005) 
 
O Cimento Portland teve produção industrial iniciada em 
1850; 
 
 
Primeira associação entre um metal e uma argamassa foi 
em 1770, em Paris. Associou-se ferro com pedra para 
formar vigas como as modernas, com barras longitudinais na 
tração e barras transversais ao cortante. 
 
Dintéis (Parte superior das portas e janelas. 
Verga) da Igreja de Saint-Genevieve em Paris, 
também conhecida por Le Pantheon em 1770. 
 
Armaduras envolvidas por concreto primitivo de 
cal hidráulica, em 1770, em dintéis estruturais. 
 
 
 http://estruturandocivil.blogspot.com/2015/05/primeiras-obras-e-o-pai-do-concreto.html 
 
 
Cimento armado surgiu na Franca, no ano de 1849, 
com o barco, do francês Lambot. 
 
O barco foi construído com telas de fios finos de ferro, 
preenchidas com argamassa. 
 
Em 1861, o francês, Mounier, fabricou uma enorme 
quantidade de vasos de flores de argamassa de cimento 
com armadura de arame, e depois reservatórios e uma 
ponte com vão de 16,5 m. 
 
 
 
 
 
 Barco, do francês Lambot. Ponte de Mounier 
 
 
 
Foi o início do que hoje se conhece como “Concreto 
Armado”. 
 
Até cerca do ano de 1920 o concreto armado era chamado 
de “cimento armado”. 
 
Em 1850, o norte americano Hyatt fez uma série de ensaios 
e vislumbrou a verdadeira função da armadura no trabalho 
conjunto com o concreto. 
 
 
 
De seus ensaios Hyatt obteve conclusões: 
 
➢ O concreto deve ser considerado como um material de 
construção resistente ao fogo; 
 
➢ Para que a resistência ao fogo possa ser garantida, o ferro 
deve estar totalmente envolvido por concreto; 
 
➢ O funcionamento em conjunto do concreto com ferro chato ou 
redondo é perfeito e constitui uma solução mais econômica do 
que com o uso de perfis "I" como armadura; 
 
 
 
➢ O coeficiente de dilatação térmica dos dois materiais é 
suficientemente igual; 
 
➢ A relação dos módulos de elasticidade deve ser adotada igual a 
20; 
 
➢ Concreto com ferro do lado tracionado presta-se não somente 
para estruturas de edificações como também para construções de 
abrigos. 
 
 
 
A primeira teoria realista e consistente sobre o 
dimensionamento das peças de Concreto Armado surgiu 
com uma publicação, em 1902, de Emil Morsch. 
 
Suas teorias resultaram de ensaios experimentais, dando 
origem as primeiras normas para o cálculo e construção em 
Concreto Armado. 
 
A treliça clássica de Morsch e uma das maiores invenções 
em Concreto Armado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual o seu peso? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se respondeu seu 70 Kg....errou! - 70 Kg é sua massa. 
 
Peso = Massa x Aceleração da gravidade 
 
Para facilitar utilizamos 10 m/s² ao invés dos 9,80665 m/s². 
 
Seu peso é 700 N → P = 70 kg x 10 m/s² = 700 kg .m/s² 
 
 
De N para Kg → Divide por 10 Ex: 700N = 70 Kgf 
 
De Kg para N → Multiplica por 10 Ex: 80 Kgf = 800 N 
 
k = 1000 → 1 kN = 1000 N → 100 Kgf 
 
 
Como vimos lá no Início → (Tensão) 𝜎 =
𝐹
𝐴
 
Agora sabemos que força é dada em N ou kN e área em m² ou cm². 
 
A unidade de Tensão poderá ser encontrada de diferentes formas: 
 
MPa (Mega Pascal) , kN/m² ou kN/cm² 
 
Concreto e suas propriedades já foi estudado em materiais de 
construção, porém apenas relembrando os conceitos básicos: 
 
 
 Fonte: Cimento Itambé
 
 
O concreto apresenta certas propriedades em seu estado fresco, que 
interferem em seu estado endurecido, onde o cimento exercendo a 
função de aglomerante hidráulico, juntamente com os agregados e 
basicamente água, após a mistura endurecida tem como resultado a 
reprodução de uma rocha artificial, onde se busca resistência a 
compressão. 
 
 
 Fonte: Cimento Itambé Fonte: Cimento Itambé
 
 Resistência a Tração 
 
O concreto tem baixa resistência a Tração. 
Essa resistência gira em torno de 10% da resistência a Compressão. 
 
Concreto (C) → C-20 que tem resistência a compressão de 20 Mpa 
Sua resistência a tração seria de aproximadamente 2 MPa 
 
Compressão 20 MPa → Tração 2 MPa 
 
 
Fonte: Linkedin – Paulo Nishikawa 
 
Durante a flexão de uma viga bi apoiada, as fibras superiores são 
comprimidas. Já as inferiores são destendidas. 
Tecnicamente, temos um efeito binário entre a biela superior e a 
biela inferior. 
 
 
O Concreto resiste bem a compressão. Mas e a Tração? 
 
 
 
 
A Tração será suportada por barras de Aço. 
Quando incluímos barras de aço exercendo a função de armadura 
passiva, chamamos de concreto armado. 
Passiva porque está em estado natural(frouxo) dentro do concreto ao 
contrário do concreto protendido onde as barras ou cabos são pré 
tensionados. 
 
Fonte: gerador de preços 
 
 
Aderência 
 
O que garante o trabalho do concreto armado é a aderência. O 
trabalho conjunto entre o aço e o concreto é item fundamental 
para que exista resistência e não aconteça escorregamento da 
armadura(aço). 
 
Um fator fundamental para garantir a aderência é o 
adensamento do concreto que deve ser feito com a melhor 
técnica. 
 
 
 
O adensamento de concreto consiste na movimentação do material 
em questão, tendo a finalidade de diminuir o número de vazios, 
bolhas de ar e excesso de água do interior da massa, de tal forma 
que se obtenha um concreto denso e compacto. (Tecnosil 2017) 
 
 
 
A aderência pode ser mecânica (devido as nervuras), física (devido 
ao atrito) e química (adesão). 
 
 
 
Valores de cálculo das ações 
 
Os valores de cálculo das ações são obtidos a partir dos valores 
representativos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes 
de ponderação γf. (Majoração) 
 
Md = γf x Mk 
Md → Momento que será utilizado no cálculo estrutural 
Mk → Momento característico, resultado do cálculo do momento 
máximo no esquema estático. 
 
 
Tabela de Coeficientes de Ponderação (NBR 6118) 
 
 
 
 
 
 
 
Coeficientes de Segurança 
 
Os principais materiais que compõem o concreto armado 
são o aço e o concreto simples. Ocorre que devido a 
variabilidade na composição e fabricação desses materiais 
precisamos adotar coeficientes de segurança para que não 
haja falha em sua utilização. 
 
 
 
 
Os coeficientes de segurançaadotados para o concreto γc e 
para o aço γs, onde a letra “s” de “steel” e letra “c” de 
“concrete” são os que mais utilizaremos em nossa matéria. 
 
γc = 1,4 𝑭𝒄𝒅 =
𝑭𝒄𝒌
𝛄𝐜
 
γs = 1,15 𝑭𝒚𝒅 =
𝑭𝒚𝒌
𝛄𝐬
 
 
 
Fck = Resistência característica do concreto (natural) 
Fcd = Resistência de Projeto do concreto (d →design) 
Fyk = Resistência característica do Aço (natural) 
Fyd = Resistência de Projeto do Aço (d →design) 
 
 
 
Conclusão relativo à segurança: 
 
Devemos majorar os esforços e minorar a resistência dos 
materiais: 
 
Ex.: O concreto C-25 tem resistência de 25 MPa, mas no 
projeto estrutural será considerado 25/1,4 = 17,86 Mpa 
 
Ex.: O aço CA-50 tem resistência de 50 kN/cm², mas no 
projeto estrutural será considerado 50/1,15 = 43,48 kN/cm² 
 
 
Tudo isso nos arremete a um assunto muito importante no 
que diz respeito a segurança em estruturas. 
 
 
 
Estado Limite Último → Sua definição completa se encontra 
o item 10.3 da NBR 6118/2014, mas em resumo diz respeito 
ao esgotamento capacidade resistente da estrutura, 
estabilidade, colapso entre outros. 
 
 
Pergunta: Uma construção pode atingir seu estado limite 
último? 
 
 
 
 
Nós Calculistas temos que prever inúmeras falhas, 
fenômenos e possibilidades. 
 Resultante = 0 
 Esforço = 100 Resistências dos Materiais = 100 
 
 
 
 Esforço de Projeto Resistência de Projeto (concreto) 
 100 x 1,4 = 140 Diferença = 68,5 100 / 1,4 = 71,5 
 
 
 
Diferente do E.L.U é voltado para a utilização da construção. 
Enquanto o primeiro se preocupa com a solidez da 
construção propriamente dita o E.L.S se preocupa com a 
durabilidade, estética e efeitos indesejáveis nas peças de 
concreto armado. 
 
 
 
 
Segundo a NBR-6118/2014 
 
10.4 Estados-limites de serviço (ELS) 
 
Estados-limites de serviço são aqueles relacionados ao conforto do 
usuário e à durabilidade, aparência e boa utilização das estruturas, 
seja em relação aos usuários, seja em relação às máquinas e aos 
equipamentos suportados pelas estruturas. 
 
Obs.: A segurança das estruturas de concreto pode exigir a 
verificação de alguns estados-limites de serviço definidos na Seção 
3. 
 
 
Neste curso utilizaremos basicamente 3 Estados Limite de Serviço. 
 
Nos preocuparemos com formação de fissuras, flexas excessivas e 
vibrações excessivas. 
 
 
 https://www.quartzolit.weber/blog/veja-como-resolver-rachaduras-na-laje https://lajesreal.blog/2018/10/08/erros-no-escoramento/ 
 
 
 
 
 
 
https://www.quartzolit.weber/blog/veja-como-resolver-rachaduras-na-laje
https://lajesreal.blog/2018/10/08/erros-no-escoramento/
 
 
 
 
Segundo a NBR-6118/2014: 
 
ELS-DEF (estado-limite de deformações excessivas) 
 
Estado em que as deformações atingem os limites 
estabelecidos para a utilização normal, dados em 
13.3 (ver 17.3.2) 
 
 
 
 
ELS-F (estado limite de formação de fissuras) 
 
Estado em que se inicia a formação de fissuras. 
Admite-se que este estado-limite é atingido quando 
a tensão de tração máxima na seção transversal for igual a 
fct,f (ver 13.4.2 e 17.3.4) 
 
 
fct,f – resistência do concreto à tração na flexão 
 
 
 
 
ELS-VE (estado limite de vibrações excessivas) 
 
estado em que as vibrações atingem os limites 
estabelecidos para a utilização normal da construção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para que haja durabilidade em uma estrutura de concreto 
armado precisamos estar atentos com o cobrimento das 
armaduras. 
 
A NBR 6118/2014 no item 5.1.2.3 diz que Durabilidade 
consiste na capacidade de a estrutura resistir às influências 
ambientais previstas e definidas em conjunto pelo autor do 
projeto estrutural e pelo contratante, no início dos trabalhos 
de elaboração do projeto. 
 
 
Passivação das armaduras 
 
A elevada alcalinidade (PH entre 12,5 e 13,5) da solução 
aquosa dos poros do concreto favorece a formação e 
manutenção ter um filme de oxido aderente à superfície do 
aço ponto que evita a dissolução anódica dos íons ferrosos 
portanto passiva o aço. 
 
Quando o filme de passivação não é formado ou é 
enfraquecido e destruído, pode haver corrosão. 
(FARIAS e TEZUCA, 1992) 
 
 
À NBR-6118, enumera os mecanismos de deterioração das 
armaduras em seu item 6.3.3 - Mecanismos preponderantes 
de deterioração relativos à armadura: 
 
6.3.3.1 Despassivação por carbonatação 
 
É a despassivação por carbonatação, ou seja, por ação do 
gás carbônico da atmosfera sobre o aço da armadura. As 
medidas preventivas consistem em dificultar o ingresso dos 
agentes agressivos ao interior do concreto. O cobrimento das 
armaduras e o controle da fissuração minimizam este efeito, 
sendo recomendável um concreto de baixa porosidade. 
 
 
6.3.3.2 Despassivação por ação de cloretos 
 
Consiste na ruptura local da camada de passivação, 
causada por elevado teor de íon-cloro. 
As medidas preventivas consistem em dificultar o ingresso 
dos agentes agressivos ao interior do concreto. 
O cobrimento das armaduras e o controle da fissuração 
minimizam este efeito, sendo recomendável o uso de um 
concreto de pequena porosidade. O uso de cimento 
composto com adição de escória ou material pozolânico é 
também recomendável nestes casos. 
 
 
6.4 Agressividade do ambiente (Segundo a NBR 6118/2014) 
 
6.4.1 A agressividade do meio ambiente está relacionada às 
ações físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de 
concreto. 
 
6.4.2 Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade 
ambiental deve ser classificada de acordo com o apresentado 
na Tabela 6.1 e pode ser avaliada, simplificadamente, 
segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas 
partes. 
 
 
 
 
 Fonte: NBR-6118 /2014 
 
 
Após a definição do Grau de agressividade, devemos definir 
sua resistência através da tabela pertencente a NBR-6118 
 
 
 Fonte: NBR-6118 /2014 
 
 
E por fim definir o cobrimento através da tabela abaixo: 
 
 
 Fonte: NBR-6118 /2014 
 
 
 
 
Segundo à NBR-8186:2003: 
 
Ações: Causas que provocam esforços ou deformações nas 
estruturas. Do ponto de vista prático, as forças e as 
deformações impostas pelas ações são consideradas como 
se fossem as próprias ações. 
 
Ações permanentes: Ações que ocorrem com valores 
constantes ou de pequena variação em torno de sua média, 
durante praticamente toda a vida da construção. 
 
 
 
Ações variáveis: Ações que ocorrem com valores que 
apresentam variações significativas em torno de sua média, 
durante a vida da construção. 
 
 Peso próprio 
Cargas Permanentes → Diretas Equipamentos fixos 
 
 → Indiretas deformações por retração 
 deformação lenta (fluência) 
, deslocamentos de apoio; 
 imperfeições geométricas 
 protensão. 
 
 
 
 
 Cargas Variáveis Ação do vento e da chuva 
 (sobrecargas) → Diretas Cargas Acidentais (uso) 
 (pessoas, mobiliário, veículos, materiais diversos, etc.). 
 
 → Indiretas Variação de temperaturavibrações 
 choques 
 
 
 
 
 
Ações Excepcionais 
 
A NBR 8681/84 define ações excepcionais como “As que 
têm duração extremamente curta e muito baixa 
probabilidade de ocorrência durante a vida da construção, 
mas que devem ser consideradas nos projetos de 
determinadas estruturas... 
Consideram-se como excepcionais as ações decorrentes de 
causas tais como explosões, choques de veículos, 
incêndios, enchentes ou sismos excepcionais.” 
 
A notação que utilizamos para ações (cargas) permanentes é a letra 
“G”. Ex.: Gpp – Ação permanente de peso próprio 
 
Parte da Tabela de Cargas Permanentes da NBR 6120 
 
 
 Fonte: NBR-6120:2019 
 
Devemos atribuir as cargas variáveis (Q) sobre a laje segundo a 
tabela 10 da NBR-6120:2019. 
Fonte: adaptado da tabela 10 da NBR-6120:1019 
 
 
Segundo a NBR 6118:2014, quando os apoios puderem ser 
considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o 
vão efetivo deve ser calculado pela seguinte expressão: 
𝑙𝑒𝑓 = 𝑙𝑜 + 𝑎1 + 𝑎2 
 
Os valores de 𝑎1 e 𝑎2, em cada extremidade do vão, podem ser 
determinados pelos valores apropriados de ai definidos na Figura 14.5. 
 
Fonte: NBR-6118:2014
 
 
Planta de Fôrmas 
 
 
O valor da elasticidade do concreto cresce com a idade, 
assim como a resistência à compressão também aumenta 
com o tempo, mas a elasticidade aumenta em velocidade 
menor que a resistência. 
 
O módulo de elasticidade é influenciado pelo módulo de 
elasticidade do tipo de agregado graúdo. 
 
 
 
 
 
Gráfico Tensão-deformação 
 
 
𝑬𝒄𝒊 
 
𝑬𝒄𝒔 
 
 
8.2.8 Módulo de elasticidade (NBR-6118:2014) 
 
O módulo de elasticidade (Eci) deve ser obtido segundo o 
método de ensaio estabelecido na ABNT NBR 8522, sendo 
considerado nesta Norma o módulo de deformação tangente 
inicial, obtido aos 28 dias de idade. 
 
Quando não forem realizados ensaios, pode-se estimar o 
valor do módulo de elasticidade inicial usando as 
expressões a seguir: 
 
 
 
 
 
 𝑬𝒄𝒔 = 𝜶𝒊 . 𝑬𝒄𝒊 𝑬𝒄𝒊 = 𝜶𝒆 . 𝟓𝟔𝟎𝟎 .√𝒇𝒄𝒌
𝟐 
 
 
𝜶𝒆 = 1,2 para basalto e diabásio 
𝜶𝒆 = 1,0 para granito e gnaisse 
𝜶𝒆 = 0,9 para calcário 
𝜶𝒆 = 0,7 para arenito 
 
 
Módulo de elasticidade tangente Módulo de elasticidade secante 
 
 
As lajes são também chamadas elementos de superfície, ou placas. 
 
As lajes podem receber cargas concentradas 
(Equipamentos de telecomunicações, refrigeração, 
cofre entre outros), lineares (paredes) e distribuídas 
(peso próprio, revestimento, sobrecargas). 
 
 
 
 
Para nosso cálculo de Laje maciça utilizaremos a 
Teoria das Placas, desenvolvida com base na Teoria 
da Elasticidade. 
 
Teremos como resultado os esforços solicitantes 
atuantes e as flechas. 
 
Este cálculo será feito de forma manual e atende aos 
critérios da NBR-6118/2014 
 
 
 
Segundo Bastos (2021), a Teoria das Placas, 
desenvolvida com base na teoria matemática da 
elasticidade, onde o material é elástico linear (vale a 
Lei de Hooke), homogêneo e isótropo, proporciona a 
equação geral das placas, obtida por Lagrange em 
1811, que relaciona a deformada elástica w da placa 
com a carga p unitária, uniformemente distribuída na 
área da placa. 
 
 
 
A equação da placa tem a forma: 
 
 
 
w = deslocamento vertical da placa; 
p = carregamento na placa 
D = rigidez da placa à flexão. 
 
 
 Fonte: https://suporte.altoqi.com.br/hc/pt-br/articles/360003053334-An%C3%A1lise-de-placas-pela-Teoria-
da-Elasticidade#:~:text=A%20Teoria%20da%20Elasticidade%2C%20na,o%20tipo%20de%20placa%20considerada. 
Equação diferencial de quarta 
ordem, não homogênea) 
 
 
 
Como ocorrem as deformações em Lajes armadas em 
duas direções: 
 
 
 
O comportamento é simples
Fonte: https://www.batalha.com.br/colegio/noticias/Dinamica-Bola-no-lencol
 
Devido à complexidade para resolução da equação da placa 
vários autores desenvolveram tabelas que expressam os 
resultados: 
 
Há diversas tabelas de autores como: Czerny, Stiglat/Wippel, 
Bares, Szilard, etc. 
 
Em nossos estudos utilizaremos as tabelas de Bares 
adaptadas por Pinheiro (1994). 
 
Iniciaremos nossas atividades a partir de agora unindo a teoria 
à prática. 
 
 
 
Dimensione a Laje L-2, conforme as informações a seguir: 
Peso Específico do Concreto h = (γconc) de 25 kN/m³ 
Espessura do contrapiso e = 3 cm (γarg,contr) de 21 kN/m³; 
Revestimento da face inferior e = 2cm (γarg,rev) de 19 kN/m³; 
Revestimento cerâmico Grev = 0,15 kN/m² 
Utilização - Depósito NBR-6120 Q = 3,0 kN/m² 
Largura das vigas bw = 14 cm; 
Agressividade ambiental Classe I Cn = 2,0 cm (cobrimento nominal) 
Coeficientes de ponderação γf = 1,4; γc = 1,4; γs = 1,15. 
Concreto C- 20 20 MPa 
As paredes ficarão alinhadas sobre as vigas não gerando esforços nas lajes. 
 
 
Planta de Fôrmas 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Em primeiro lugar precisamos identificar o vão principal e o 
vão secundário. 
 
No caso de lajes maciças armadas em duas direções o vão 
principal será sempre o menor. 
 
A medida do vão que buscamos para na sequência definirmos 
o vão efetivo é o “Lo”( L zero) → distância entre a faces dos 
apoios. Nesse caso vigas. 
 
 
Lox → Vão principal (menor medida do vão) 
Loy → Vão secundário 
 
 
L1- Lox = 300 cm 
 Loy = 320 cm 
 
L2- Lox = 320 cm 
 Loy = 500 cm 
 
L3- Lox = 320 cm 
 Loy = 400 cm 
 
 
 
 
 
1º PASSO – Calcule o vão efetivo (utilizar para estimativa h=10 cm): 
 
O Cálculo do vão efetivo é necessário para que possamos 
delimitar a dimensão do nosso apoio. 
 
 
 
 
 
 
t1/2 
 
t2/2 
 
0,3. h 
0,3. h 
 
a1 – apoio 1 a2 – apoio 2 
 
 
Utilizar a espessura estimada da laje h = 10 cm 
 
NA LAJE L2 → 𝐿𝑜𝑥 = 320 cm 𝐿𝑜𝑦 = 500 cm 
 
𝐿𝑒𝑓𝑥 = 𝐿𝑜𝑥 + 𝑎1 + 𝑎2 = 320 + 3 + 3 = 326 cm 
 
𝐿𝑒𝑓𝑦 = 𝐿𝑜𝑦 + 𝑎1 + 𝑎2 = 500 + 3 + 3 = 506 cm 
a1 < 𝑡1 / 2 = 14 / 2 = 7,0 cm a2 < 𝑡2 / 2 = 14 / 2 = 7,0cm 
 0,3. ℎ = 0,3 .10 = 3 cm 0,3. ℎ = 0,3 .10 = 3,0 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 CM 14 CM 
T1 /2 
12/2 = 7 
T2 /2 = 
14 /2 =7 
0,3 .H → 0,3 . 10 = 3 CM 
 
 
2º PASSO – Calcule o valor de λ e diga se a laje é armada em 
uma ou duas direções: 
 
λ (lambda) → O parâmetro lambda (λ) é o dado inicial a ser 
determinado para representar a rigidez da forma. Esse valor é 
constituído pela razão entre o lado menos rígido (𝐿𝑒𝑓𝑦) e o 
lado mais rígido (𝐿𝑒𝑓𝑥). 
 
𝜆 =
𝐿𝐸𝐹𝑦
𝐿𝑒𝑓𝑥
 
 
𝜆 =
506
326
 = 1,552 
𝜆 = 1,552 < 2 → Laje armada em duas direções 
 
𝜆 ≤ 2 → Laje armada em duas direções 
𝜆 > 2 → Laje armadas em uma direção 
 
 
 
Questão 3 – Classifique a Laje quanto a combinação de vínculos. 
 
A combinação de vínculos para a tabela de bares é o seguinte: 
 
Borda engastada 
Borda apoiada 
Borda livre 
 
 
 
 
 
Quando a laje tem continuidade passando sobre a viga 
consideramos engastada. Quando termina em uma viga 
consideramos apoiada e quando não tem apoio chamamos de 
borda livre. 
 
Quando a viga recebe o carregamento e está bi apoiada sofre 
uma deflexão no sentido do momento fletor onde a biela 
superior será suportada pelo concreto e a inferior pelo aço. 
Note que toda extensão da viga sofreria o mesmo efeito! 
 
Neste caso a continuidade provocada pelo monolitismo da laje 
faz com que seja gerado momento negativo. 
Note que toda extensão da viga sofreria o mesmo efeito! 
 
Questão 4 – Faça a estimativa da altura da laje: (para 
estimativa de altura utilizamos øL = 10mm = 1 cm) 
 
n = número de bordas engastadas 
 
 
𝑑 ~ (2,5 – 0,1 𝑥 𝑛) 𝑥 𝐿 ∗/100 
 
𝐿 ∗ ≤ 𝐿𝑒𝑓𝑥0,7. 𝐿𝑒𝑓𝑦 
 
 
 
 
 
Atura útil “d” 
 
A altura útil é a altura da viga onde as fibras serão 
consideradas comprimidas ou terão possibilidade de ser. 
É a distância entre a fibra mais comprimida e o centro de 
gravidade do aço de tração. 
 
 
 
Compressão 
Tração 
 
 
 
 
Tudo que não é d é d’ 
 
 
 
 
Quer dizer, a altura total da laje será ℎ = 𝑑 + ∅𝐿/2 + 𝑐 
 
 
𝒅 = 𝒉 − ∅𝑳/𝟐 − 𝒄 
 
𝑑’ = 1/2 ∅𝐿 + 𝑐 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando a resolução da questão 4... 
 
 
𝑑 ~ (2,5 – 0,1 𝑥 𝑛) 𝑥 𝐿 ∗/100 
 
 
𝐿 ∗ ≤ 𝐿𝑒𝑓𝑥 = 326 𝑐𝑚 
 0,7. 𝐿𝑒𝑓𝑦 = 0,7 . 506 = 354,2 𝑐𝑚 
 
 
𝑑~(2,5– 0,1𝑥3)𝑥 326/100 = (2,5 − 0,3) 𝑥 3,26 = 7,2 𝑐𝑚 
 
ℎ = 𝑑 + ∅𝐿/2 + 𝑐 = 7,2 + 1/2 + 2 = 9,7 𝑐𝑚 
 
Adotaremos 10 cm para laje (valor inteiro mais próximo). 
 
Questão 5 – Calcule as Ações atuantes: 
 
Ações Permanentes “G” 
 
Lembram...São aquelas que praticamente não irão variar. 
 
Gpp = γconc x h Gpp = 25 kN/m³. 0,10 m = 2,5 kN/m² 
G contrap. = γcontr x e Gcontr. = 21 kN/m³. 0,03 m = 0,63 kN/m² 
G arg. = γarg x e Garg. = 19 kN/m³. 0,02 m = 0,38 kN/m² 
Gpiso =? Gpiso = 0,15 kN/m² 
 
Gtotal = 3,66 kN/m² 
 
 
Ações Variáveis “Q” 
 
São as que variam ao longo do tempo quase que 
permanentemente. 
 
Q =? Utilização – Depósito em edifício residencial 
 
NBR 6120/2019 → Q = 3,0 kN/m² 
 
 
 
 
 
Carga Total 
 
 
P = Gtotal + Q = 3,66 + 3,0 = 6,66 kN/ m² 
 
Diante dos resultados do Carregamento “P” e do vão 
efetivo “Lef” podemos começar a calcular os esforços 
internos. 
 
O primeiro será o esforço cortante 
 ou reação da laje sobre a viga em 
 kN/m
 
 
Questão 6 – Calcule as Reações de apoio nas vigas de 
bordas. Faça um esquemático das reações atuantes nas 
bordas das lajes: 
 
 
 
 
 
 
 
x 
'x 
'y
 
'y 
'y 'y 
x 
'x 
Aço da Direção x 
 
Aço da Direção y 
 
 
Com as tabelas abaixo encontraremos os coeficientes  
 
 
 
Esses coeficientes são entendidos a partir das charneiras 
plásticas. 
 
Divisão de carga: 
 
— 45° entre dois apoios do mesmo tipo; 
 
— 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for 
considerado simplesmente apoiado; 
 
— 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho aproximado sem escala; 
 
45º 
45º 
60º 
30º 30º 
60º 
45º 
45º 
Trapézio - apoio 
Trapézio - engaste 
Triângulo 
 engaste 
Triângulo 
 engaste 
 
 
𝜆 = 1,552 
ν𝑥 = 2,56 → apoio simples 
ν′𝑥 = 3,75 → engastado na direção x 
𝑦 = 0 → Notem que não tem na tabela (não temos apoio 
′𝑦 = 3,17 → engastado na direção x simples em y) 
 
 𝑉 = 𝜈. (
𝑃 𝑥 𝐿𝑒𝑓𝑥
10
) 
 
𝐿𝑒𝑓𝑥 = 326 𝑐𝑚 
 
 
 
𝑉𝑥 = 2,56 𝑥 6,66 𝑥 3,26/10 = 5,56 𝑘𝑁/𝑚 
 
𝑉′𝑥 = 3,75 𝑥 6,66 𝑥 3,26/10 = 8,14 𝑘𝑁/𝑚 
 
𝑉′𝑦 = 3,17 . 6,66 𝑥 3,26/10 = 6,88 𝑘𝑁/𝑚 
 
 
Teremos esforços iguais para as vigas que apoiam a direção y, 
pois suas condições de contorno são iguais. 
 
Questão 7 – Calcule os Momentos fletores e faça um 
esquemático da laje com os valores plotados: 
 
O cálculo é bem parecido com os das reações nas Vigas. 
 
Vamos lá! 
 
 
 
 
 
 
Mx+ 
My+ 
My- My- 
Mx- 
 
Tabelas de coeficientes μ para Momentos Fletores 
 
 
 
 
𝜆 = 1,552 
μ𝑥 = 4,39 → Momento positivo na direção x 
μ′𝑥 = 9,68 → Momento negativo na direção x 
μ𝑦 = 2,39 → Momento positivo na direção y 
μ′𝑦 = 7,98 → Momento negativo na direção y 
 𝑀 = 𝜇. (
𝑃 𝑥 𝐿𝑒𝑓𝑥²
100
) 
 
𝐿𝑒𝑓𝑥 = 326 𝑐𝑚 
 
 
𝑀𝑥+ = 4,39 . 6,66 . (3,26)² /100 = 3,11 𝑘𝑁. 𝑚 / 𝑚 
 
𝑀′𝑥− = 9,68. 6,66 . (3,26)² /100 = 6,85 𝑘𝑁. 𝑚 / 𝑚 
 
𝑀𝑦+ = 2,39. 6,66 . (3,26)²/100 = 1,69 𝑘𝑁. 𝑚 / 𝑚 
 
𝑀′𝑦− = 7,98. 6,66 . (3,26)² /100 = 5,65 𝑘𝑁. 𝑚 / 𝑚 
Com os Momentos descobertos encontraremos as áreas de 
Aço para cada direção e vínculo. 
 
 
 
Mas Primeiro não esquecer de majorar as ações! Lembrou né! 
 
𝑀𝑥+ = 3,11 𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 . : 𝑀𝑑𝑥+ = 1,4 . 3,11 = 4,35 𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
 
𝑀′𝑥− = 6,85 𝑘𝑁. 𝑚 / 𝑚 . : 𝑀′𝑑𝑥−= 1,4 . 6,85 = 9,59 𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
 
𝑀𝑦+ = 2,39. 6,66 . (3,26)²/100 = 1,4 . 1,69 = 2,37 𝑘𝑁. 𝑚 / 𝑚 
 
𝑀′𝑦− = 7,98. 6,66 . (3,26)² /100 = 1.4 . 5,65 = 7,91 𝑘𝑁. 𝑚 / 𝑚 
 
 
Questão 8 – Definir “d” para o cálculo de Kc: 
 
De acordo com a nota b da tabela 7.2 
 
b) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos 
finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento, como pisos de elevado 
desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros, as exigências desta Tabela podem ser substituídas pelas de 
7.4.7.5, respeitado um cobrimento nominal  15 mm. 
 
Utilizando o diâmetro do aço estimado øL = 10mm ou 1 cm 
 
𝑑 𝑛𝑒𝑔 = ℎ – 𝑐 – ø𝑙/2 = 10 – 1,5 − 1/2 = 8,0 𝑐𝑚 
 
𝑑 𝑝𝑜𝑠 = ℎ – 𝑐 – ø𝑙/2 = 10 − 2,0 − 1/2 = 7,5 𝑐𝑚 
 
 
Questão 9 – Encontre as áreas “As” das armaduras e faça a 
verificação de domínio: 
 
Primeira coisa que precisamos fazer é encontrar a taxa de 
concreto para as direções x, x’, y e y’: 
 
 
𝒌𝒄 = 𝑏𝑤 𝑥 (𝑑)² = 
 𝑀𝑑 
 No caso de lajes bw será 100 cm (1 metro de largura) 
 
Na tabela de Kc anotaremos 
o valor de Ks (taxa de aço) o 
domínio e o valor de 𝜷x (𝑥/𝑑) 
 
Para cada direção devemos calcular as taxas para negativos e 
positivos, ou seja, Kcx, Kcx’, Kcy e Kc’y: 
 
𝒌𝒄𝒙 = 100 𝑥 (𝑑)² = 100 . 7,5² = 12,93 𝑐𝑚²/𝑘𝑁 
 𝑀𝑑𝑥 435 
 
𝑀𝑑𝑥+ = 4,35 𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 será passado para 𝑘𝑁 . 𝑐𝑚/𝑚 ou seja 
multiplicar por 100
 
 
𝒌𝒄𝒙′ = 100 𝑥 (𝑑)² = 100 . 8² = 6,67 𝑐𝑚²/𝑘𝑁 
 𝑀𝑑𝑥′ 959 
𝒌𝒄𝒚 = 100 𝑥 (𝑑)² = 100 . 7,5² = 23,73 𝑐𝑚²/𝑘𝑁 
 𝑀𝑑𝑦 237 
 
 
𝒌𝒄𝒚′ = 100 𝑥 (𝑑)² = 100 . 8² = 8,09 𝑐𝑚²/𝑘𝑁 
 𝑀𝑑𝑦′ 791 
 
𝒌𝒄𝒙 = 12,93 𝑐𝑚²/𝑘𝑁 𝑘𝑠 = 0,024 𝜷x = 0,09 → ok → dom. 2 
 
𝒌𝒄𝒙′ = 6,67 𝑐𝑚²/𝑘𝑁 𝑘𝑠 = 0,025 𝜷x = 0,17 → ok→ dom. 2 
 
𝒌𝒄𝒚 = 23,73 𝑐𝑚²/𝑘𝑁 𝑘𝑠 = 0,023 𝜷x = 0,05 → ok→ dom. 2 
 
𝒌𝒄𝒚′ = 8,09 𝑐𝑚²/𝑘𝑁 𝑘𝑠 = 0,024 𝜷x = 0,14 → ok→ dom. 2 
 
Para proporcionar o adequado 
comportamento dúctil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no 
ELU deve obedecer aos seguintes limites: 
 
a) x/d ou 𝜷x  0,45, para concretos com fck  50 MPa;
 
Ductilidade é a propriedade de um material de se tornar fio sem se 
romper... 
 
Então precisamos ter um equilíbrio entre o aço e o concreto em uma 
peça de concreto armado de modo que o aço trabalhe na eminência de 
“tornar fio sem se romper...” e assim comunicar através de 
manifestações físicas (trincas, rachaduras, desagregação etc) 
 
Caso tenhamos excesso de aço em relação ao concreto podemos ter 
uma ruptura pela biela de compressão. Esta é silenciosa! 
 
 “Doutor cai não...tá com bastante aço.....” 
 
 
reta a – tração uniforme; 
 
domínio 1 – O aço se encontra totalmente tracionado com alongamento de 10/1000 e o concreto não sofre compressão.(pouco aço) 
 
domínio 2 – O aço continua tracionado a 10/1000 e o concreto inicia a deformação de compressão de 0 e vai até 3,5/1000. (seguro) 
 
domínio 3 – O concreto inicia fixo no limite de deformação por compressão do concreto (3,5/1000) e o aço começa a regredir na 
sua deformação de 10/1000 em direção a yd (valor referente a deformação de escoamento) (seguro até 𝜷x  0,45) depois 
 
domínio 4 – O concreto permanece fixo em sua deformação máxima e o aço tem uma deformação abaixo do escoamento o que 
a grosso modo podemos dizer que está frouxo dentro do concreto (risco de ruptura do concreto por excesso de aço) 
 
 
 cu – deformação última específica do concreto 3,5 0/00 
Aço 
Concreto 
 
𝑨𝒔𝒙+ = 𝑲𝒔 .
𝑴𝒙𝒅
𝑑+
 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟒 .
𝟒𝟑𝟓
7,5
 = 1,39 𝑐𝑚²/𝑚 
𝑨𝒔𝒙′− = 𝑲𝒔 .
𝑴𝒙′𝒅
𝑑−
 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 .
𝟗𝟓𝟗
8
 = 2,99 𝑐𝑚²/m 
𝑨𝒔𝒚+ = 𝑲𝒔 .
𝑴𝒚𝒅
𝑑+
 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑 .
𝟐𝟑𝟕
7,5
 = 0,73 𝑐𝑚²/m 
𝑨𝒔𝒚′− = 𝑲𝒔 .
𝑴𝒚′𝒅
𝑑−
 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟒 .
𝟕𝟗𝟏
8
 = 2,37 𝑐𝑚²/m 
 
𝐴𝑠, 𝑚𝑖𝑛 = 𝜌, 𝑚𝑖𝑛 . 𝐴𝑐 → 𝐴𝑠, 𝑚𝑖𝑛 = 𝜌, 𝑚𝑖𝑛 . 𝑏𝑤. ℎ → 𝐴𝑠, 𝑚𝑖𝑛 = 𝜌, 𝑚𝑖𝑛 . 100 . ℎ 
 
 
Com isso teremos duas fórmulas: 
 
𝐴𝑠, 𝑚𝑖𝑛 −= 𝜌, 𝑚𝑖𝑛 . 100 . ℎ 
 
𝐴𝑠, 𝑚𝑖𝑛 += 0,67 . 𝜌, 𝑚𝑖𝑛 . 100 . ℎ 
 
No caso do concreto C-20 → 𝜌, 𝑚𝑖𝑛 = 0,150% 
 
𝐴𝑠, 𝑚𝑖𝑛 −= 
0,150
100
 . 100 . 10 = 1,50 𝑐𝑚²/𝑚 
 
𝐴𝑠, 𝑚𝑖𝑛 += 0,67 .
0,150
100
 . 100 . 10 = 1,00 𝑐𝑚²/𝑚 
 
 
 
Atenção para áreas mínimas 
 
 
𝑨𝒔𝒙+ = 1,39 𝑐𝑚² > 𝐴𝑠, 𝑚𝑖𝑛 += 1,00 𝑐𝑚²/𝑚 → OK 
𝑨𝒔𝒙′− = 2,99 𝑐𝑚² > 𝐴𝑠, 𝑚𝑖𝑛 −= 1,50 𝑐𝑚²/𝑚 → Ok 
𝑨𝒔𝒚 + = 0,73 𝑐𝑚² < 𝐴𝑠, 𝑚𝑖𝑛 += 1,00 𝑐𝑚²/𝑚 → Adotaremos o maior valor 
𝑨𝒔𝒚′− = 2,37 𝑐𝑚² > 𝐴𝑠, 𝑚𝑖𝑛 −= 1,50 𝑐𝑚²/𝑚 → Ok 
 
Questão 9 – Faça o detalhamento das armaduras: 
Positivas x e y 
 
 Asx+ → 1,39 cm²/m –  5 c/14=> 1,43 cm²/m 
 
 Asy+ → 1,00 cm²/m –  5 c/ 20 => 1,00 cm²/m 
 
Negativa x e y 
 
Asx- = 2,99 cm²/m –  8.0 c/ 16=> 3,13 cm²/m 
 
Asy- = 2,37 cm²/m -  6.3 c/ 13=> 2,42 cm²/m 
 
 5 c/14 
 5 c/20 
 6.3 c/13 
 6.3 c/13 
 
 6.3 c/13 
 8 c/16 
 6.3 c/13 
 
Representação do corte 
 
 
 
Após verificar se a estrutura suporta os carregamentos 
inseridos na estrutura, onde o primeiro carregamento será o 
peso próprio da estrutura. 
 
Obs.: Para verificação do estado-limite de deformação 
excessiva, podem ser utilizados valores de rigidez do 
estádio I, considerando o módulo de elasticidade secante do 
concreto, desde que os momentos fletores sejam menores que 
o de fissuração. 
 
 
Identifique o momento fletor na seção crítica do vão (meio) – 
𝑴𝒂, calcule o momento de fissuração 𝑴𝒓 e defina o Estádio 
em que a estrutura se encontra: 
 
 
𝑀𝑟 = 
𝛼. 𝑓𝑐𝑡. 𝐼𝑐
𝑌𝑡
 
 
𝑀𝑎 = 435 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 – momento fletor máximo no meio do vão 
principal (𝐿𝑒𝑓𝑥) 
 
 
 𝑀𝑎 
 
 
Sendo: 
 
 = 1,2 para seções T ou duplo T; 
 = 1,3 para seções I ou T invertido; 
 = 1,5 para seções retangulares; 
 
Onde: 
 
 é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à 
tração na flexão com a resistência à tração direta; 
 
 
 
yt é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais 
tracionada; 
 
Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto; 
 
fct é a resistência à tração direta do concreto, conforme 8.2.5, 
com o quantil apropriado a cada verificação particular. 
 
Para determinação do momento de fissuração, deve ser usado 
o 𝑓𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓 no estado-limite de formação de fissuras e o 𝑓𝑐𝑡, 𝑚 
no estado-limite de deformação excessiva (ver 8.2.5). 
 
 
 
Mr = 1,5 x 0,221 x 8.333,33 = 552,49 kN.cm 
 5 
Fct = fct,m = 0,3 3√20² = 2,21 Mpa = 0,221 kN /cm² 
 
Ic = bw .h³/12 = 100 x 10³/12 =10000/12 = 8.333,33 cm4 
 
Yt = h/2 => Yt = 10/2 = 5 cm 
 
Mr > Ma => Estadio I → OK 
 
𝑴𝒓 = 𝟓𝟓𝟐, 𝟒𝟗 > 𝑴𝒂 = 𝟒𝟑𝟓 𝒌𝑵. 𝒄𝒎 
 
 
Estádio 1 – Primeiro carregamento. Concreto não fissurado 
onde o momento fletor é menor do que a resistência do 
concreto a tração, ou seja, concreto não fissurado. 
(deformação elástica do concreto) 
 
Estádio 2 – Aumentando o carregamento inicia-se a 
fissuração com fissuras perpendiculares na região tracionada 
que caminham na direção dos apoios já em ângulos. (concreto 
não resiste mais a tração) 
 
 
Estádio 3 – Aumentando ainda mais o carregamento temos a 
deformação plástica do concreto e aumento das fissurações 
caminhando para a ruptura do material ou E.L.U onde 
dimensionamos nossa laje. (deformação plástica do concreto a 
compressão) 
 
Exemplos ilustrativos simplificados. 
1 2 3 
 
 
𝒂𝒊 = 
𝜶
𝟏𝟐
 .
𝑷 . 𝑳𝒆𝒇
𝑬 . 𝑰
𝟒
 
 
Segundo Bastos (2021) , para o carregamento P deve ser 
adotada a combinação quase permanente. 
 
O fator de redução de carga Ψ2 para combinação quase 
permanente pode ser adotado igual a 0,3 (locais em que não 
ha predominância de pesos de equipamentos que 
permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de 
elevadas concentrações de pessoas - edifícios residenciais). 
 
𝐹𝑑, 𝑠𝑒𝑟 = 𝛴𝐹𝑔𝑖𝑘 + 𝛴 𝛹2 𝐹𝑞𝑗𝑘
 
 
Gtotal = 3,66 kN/m² e Qtotal = 3,00 kN/m² 
Com isso, 𝑷 = 𝐹𝑑, 𝑠𝑒𝑟𝑣 = 3,66 + 0,3𝑥3,00 = 4,56𝑘𝑁/𝑚2 
 
P = 4,56 kN/m² = 4,56 kN / (100 x 100) cm² = 0,000456 kN/cm² 
E a flecha inicial, 𝒂𝒊 = 
𝜶
𝟏𝟐
 .
𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟒𝟓𝟔 .326
𝑬 .𝑰
𝟒
 
 
 
 
 
 
 
𝑬𝒄𝒔 = 𝜶𝒊 . 𝑬𝒄𝒊 𝑬𝒄𝒊 = 𝜶𝒆 . 𝟓𝟔𝟎𝟎 .√𝒇𝒄𝒌
𝟐 
 
 𝜶𝒊 = 𝟎, 𝟖 + 𝟎, 𝟐.
𝒇𝒄𝒌
𝟖𝟎
 → 𝟎, 𝟖 + 𝟎, 𝟐 .
 𝟐𝟎 
𝟖𝟎
 = 0,85 
 
𝑬𝒄𝒊 = 𝜶𝒆 . 𝟓𝟔𝟎𝟎 .√𝒇𝒄𝒌
𝟐
 = 𝟏, 𝟎 . 𝟓𝟔𝟎𝟎. √𝟐𝟎
𝟐
 = 25.043,96 Mpa 
 
𝜶𝒆 = 1,0 para granito e gnaisse 
 
 𝑬𝒄𝒔 = 𝜶𝒊 . 𝑬𝒄𝒊 = 0,85 𝑥 25.043,96 = 21.287, 37 𝑀𝑝𝑎 
 
 
𝑬𝒄𝒔 = 21.287, 37 𝑀𝑝𝑎 = 2128,74 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
E. I = 2128,74 x 8.333,33 = 17.739.492,90 kN/cm² 
 
𝒂𝒊 = 
𝜶
𝟏𝟐
 .
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟓𝟔 x (326)
 17.739.492,90 
𝟒
 
 
𝒂𝒊 = 
𝟒, 𝟏𝟒
𝟏𝟐
 .
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟓𝟔 x 326
 17.739.492,90 
𝟒
 
 
𝒂𝒊 = 𝟎, 𝟏𝟎 𝒄𝒎 
 
 
 
Segundo a NBR 6118/2014, durante a verificação dos valores-limites 
estabelecidos para o Estado-limite de deformação devemos calcular 
a flecha diferida no tempo. 
 
 17.3.2.1.2 Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de 
concreto armado (Lajes ídem) 
 
A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração 
em função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada 
pela multiplicação da flecha imediata pelo fator f dado pela 
expressão:
 
A Fluência é a deformação permanente de materiais quando 
estes são sujeitos a cargas ou tensões constantes e está em 
função do tempo. (comportamento reológico) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flecha Total 
 
A flecha total, que leva em conta a fluência do concreto da laje: 
 
𝑎𝑡 = 𝑎𝑖 . (1 + 𝛼𝑓) 𝛼𝑓 = 
∆ɛ 
1 + 50.𝜌’
 
 
 
Obs.: 𝜌’ é igual a zero porque na laje em questão não existe 
armadura comprimida. 
 
 
 
 
Consequentemente → 𝛼𝑓 = 
∆ɛ 
1
 ∆ɛ = ɛ(𝑡) − ɛ(𝑡𝑜) 
 
ɛ (t) será adotado igual a 2,00 para o tempo t superior a 70 
meses. 
 
Assumindo que a carga de longa duração atuará na laje a 
partir de um mês após executada: ɛ (to) = 0,68 
 
 
 
 
 
 
∆ɛ = ɛ(𝑡) − ɛ(𝑡𝑜) ∆ɛ = 2,00 − 0,68 = 1,32 
𝒂𝒕 = 𝒂𝒊 . (𝟏 + 𝜶𝒇) 𝒂𝒕 = 𝟎, 𝟏𝟎 . (𝟏 + 𝟏, 𝟑𝟐) 
 
 
𝒂𝒕 = 𝟎, 𝟐𝟑𝟐 𝒄𝒎 = 2,32mm 
 
 
Nos casos de lajes armadas em duas direções, 
considerando a existência ou não de paredes sobre 
as lajes, as flechas limites da NBR 6118. 
 
𝒂máx = L/500 = 326/500 = 0,652 cm; 
 
𝒂𝒕 = 𝟎, 𝟐𝟑𝟐 𝒄𝒎 < 𝟎, 𝟔𝟓𝟐 𝒄𝒎 
 
→ 𝒂𝒕 < 𝒂máx → OK 
 
 
 
Limites mínimos para Lajes maciças (NBR-6118/2014) 
 
Nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos 
para a espessura:➢ 7 cm para cobertura não em balanço; 
➢ 8 cm para lajes de piso não em balanço; 
➢ 10 cm para lajes em balanço; 
➢ 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total < 30 kN; 
➢ 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total > 30 kN; 
➢ 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do 
capitel. 
 
VIGA – FLEXÃO SIMPLES 
 
➢ Vigas são “elementos lineares em que a flexão é 
preponderante” (NBR 6118/141, item 14.4.1.1). 
 
➢ Tem o comprimento predominante em relação a suas 
outras dimensões. 
 
➢ Sua principal função é suportar as cargas provenientes 
das lajes. 
 
➢ Não devemos esquecer de somar as cargas provenientes 
da laje adjacente para composição da carga aplicada na 
viga. 
 
Mais uma vez vamos utilizar um exemplo prático afim de 
explicar a teoria. 
 
Calcule a viga V-102: V-101 V-102 V-103 
V-104 V-105 V-106 
V-107 V-108 V-109 
V-111 
V
-1
1
3
 
V-110 
V
-1
1
5
 
V
-1
1
7
 
V
-1
1
2
 
V
-1
1
4
 
V
-1
1
6
 
A numeração inicia-se pelas vigas dispostas 
horizontalmente (em planta), partindo-se do 
canto superior esquerdo e prosseguindo-se por 
alinhamentos sucessivos até atingir o canto 
inferior direito. 
Em seguida numeram-se as vigas dispostas 
verticalmente, partindo-se do canto inferior 
esquerdo e prosseguindo-se por fileiras 
sucessivas até atingir o canto superior direito. 
 
 
 
Dimensionaremos a viga V-2, pois para dimensionarmos 
alguma viga entre duas lajes precisaríamos encontrar o Vk da 
oura laje adjacente para somar as duas. 
 
No caso desta teremos uma única 𝑉𝑥 = 5,56 𝑘𝑁/𝑚 
A busca novamente é pelo esquema estático, com o objetivo 
de encontrar os esforços internos. 
 
A ideia inicial é definir a armadura longitudinal e para isso 
precisamos encontrar o momento máximo no meio do vão. 
 
 
 
Para encontrarmos o momento máximo no meio do vão Mk 
precisamos saber o vão efetivo assim como no cálculo das 
lajes. 
 
Precisamos também definir a carga total P que será a soma do 
Vx com o Gpp (ação permanente de peso próprio) da viga. 
 
 𝑷 = 𝑽𝒙 = 𝟓, 𝟓𝟔 𝒌𝑵/𝒎 + 𝑮𝒑𝒑 𝑴𝒌 =
𝑷 .𝑳𝒆𝒇𝟐
𝟖
 
 𝑳𝒆𝒇 =? 
 
Para encontrarmos o Gpp, precisamos estimar a altura, já que 
a largura foi estabelecida pela arquitetura. 
 
Para construções de pequeno porte, uma indicação prática 
para a estimativa da altura das vigas de concreto: ℎ = 𝐿𝑜/ 10 
Para vigas em balanço, a relação a ser adotada é h = Lo / 6 
Para vigas contínuas, a relação a ser adotada é h = Lo / 12 
 
A altura das vigas deve ser preferencialmente de 5 em 5 cm, 
ou de 10 em 10 cm. 
 
A altura mínima indicada é de 25 cm. 
 
 
Então, 𝐺𝑝𝑝 = 𝛾𝑐. 𝑏𝑤 . ℎ 
 
ℎ = 𝐿𝑜/ 10 ℎ = 500𝑐𝑚 / 10 = 50 𝑐𝑚 
 
𝐺𝑝𝑝 = 
25𝑘𝑁
𝑚³
 . 0,14 𝑚 . 0,50 𝑚 = 1,75 𝑘𝑁/𝑚 
 
 
𝑷 = 𝟓, 𝟓𝟔 𝒌𝑵/𝒎 + 𝑮𝒑𝒑 𝑷 = 𝟓, 𝟓𝟔 + 𝟏, 𝟕𝟓 = 𝟕, 𝟑𝟏 𝒌𝑵/𝒎 
 
Ainda falta encontrar o 𝑳𝒆𝒇 ! 
 
 
 
 Pilares iguais com 30 / 14. 
 
V-101 V-102 V-103 
V-104 V-105 V-106 
V-107 V-108 V-109 
V-111 
V
-1
1
3
 
V-110 
V
-1
1
5
 
V
-1
1
7
 
V
-1
1
2
 
V
-1
1
4
 
V
-1
1
6
 
P-2 P-3 
P-2 
14 cm 
 
P-3 
14 cm 
 
 
Lo = 500 cm 
 
Vão entre as faces 
internas dos pilares 
 
Utilizaremos a altura estimada da laje h = 50 cm 
 
NA VIGA V-2 → 𝐿𝑜 = 500 cm 
 
𝐿𝑒𝑓 = 𝐿𝑜 + 𝑎1 + 𝑎2 = 500 + 7 + 7 = 514 cm 
 
a1 < 𝑡1 / 2 = 14 / 2 = 7,0 cm a2 < 𝑡2 / 2 = 14 / 2 = 7,0cm 
 0,3. ℎ = 0,3 .50 = 15 cm 0,3. ℎ = 0,3 .50 = 15 cm 
 
Agora temos um esquema estático definido e podemos iniciar 
os cálculos: 
 
 𝑷 = 𝟕, 𝟑𝟏 𝒌𝑵/𝒎 𝑴𝒌 =
𝑷 .𝑳𝒆𝒇𝟐
𝟖
 
 
 𝑳𝒆𝒇 = 514 cm 
𝑴𝒌 =
𝟕,𝟑𝟏 . 𝟓,𝟏𝟒² 
𝟖
 = 𝟐𝟒, 𝟏𝟒 𝒌𝑵. 𝒎
 
 
 
Inicialmente passar o esforço interno característico “Mk” para 
de cálculo “Md” 
 
𝑀𝑑 = Ɣ𝑓 . 𝑀𝑘 
Md = 1,4. 24,14 = 33,79 kN.m (100 cm) = 3379 kN.cm 
 
 
Utilizaremos inicialmente para encontrar a altura útil, t = 5mm 
e L = 10mm 
 
Notem que agora na altura útil incluímos t que é o diâmetro 
do estribo no cálculo da altura útil. (O cobrimento é 2,5 cm) 
 
d = h – c – L/2 – t → d = 50 – 2,5 – 1/2 - 0,5 = 46,5 cm 
 
 
 
Kc = bw . d² = 14. (46,5)² = 8,96 cm²/kN 
 Md 3379 
 
Ks= 0,024 
 
x/d = 0,12 < 0,45 → Ok → Domínio 2 
 
As = ks. Md 
 d 
As = 0,024. 3379 = 1,74 cm² 
 46,5 
 
 
Devemos agora comparar o resultado com a área mínima 
definida pela norma. 
 
𝐴𝑠, 𝑚𝑖𝑛 = 𝜌𝑚𝑖𝑛. 𝐵𝑤 . ℎ = 0,150 %. 14 . 50 = 1,05 𝑐𝑚² 
Com As = 1,74 cm² > As,min = 1,05 cm² , adotaremos “As” 
 
 
Segundo Bastos (2020), “Pequenas diferenças entre 
os valores calculados segundo as duas formulações 
podem ocorrer porque os valores apresentados na 
Tabela A-1 (Kc e Ks) são aproximados, mas não 
conduzem a diferenças importantes. 
 
Como nossa sugestão, admitimos como área a ser 
escolhida o valor mínimo 0,95As, ou seja, uma área 
até 5 % inferior à armadura calculada. 
 
As = 1,73 cm² - 5% = 1,64 cm² 
→ 2 ø10 c/ brita 1 ou 2 
 
 
 
 
 
 
 2 ø10 c/ brita 1 ou 2 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO 
ARMADO Á FORÇA CORTANTE 
 
 
 
 
 
As vigas, em geral, são submetidas simultaneamente ao momento fletor e a força cortante.
MODELO DE TRELIÇA 
 
O modelo clássico de treliça foi idealizado por Ritter e Mörsch, no 
início do século XX, e se baseia na analogia entre uma viga fissurada 
e uma treliça. 
 
VRd2 
 
 
 
Enquanto a teoria do momento fletor apresenta duas bielas 
uma comprimida e uma tracionada onde o concreto resiste aos 
esforços de compressão e o aço de tração, no esforço cortante 
temos diagonais comprimidas e tracionadas com os materiais 
atuando da mesma forma. 
 
São diagonais comprimidas que precisam ser resistidas pelo 
concreto e diagonais tracionadas que deverão ser resistidas 
pelo aço. 
 
 Com isso precisamos verificar se o concreto resistirá a tensão 
que será aplicada e dimensionar uma certa quantidade de aço 
afim de resistir a tração. Estribo. 
 
 
S,max 
St,max 
 
 
 
Vamos então entender o cálculo para resistência do concreto e 
dimensionamento do aço pelo modelo 1 que admite o ângulo 
das diagonais Ɵ = 45º. Existe também o cálculo pelo modelo 2. 
 
Utilizaremos uma tabela para facilitar os cálculos. 
 
 
A condição para que haja segurança na confecção da Viga é 
Vsd menor do Vrd2, onde o primeiro é a força cortante de 
cálculo que deve ser menor ou igual a resistência de cálculo 
do concreto na diagonal comprimida. 
 
 
 
Calcule a armadura transversal (estribo): 
 
 
 
 
 
𝑉𝑠𝑘 = 𝑃 . 𝐿𝑒𝑓/2 
Vsk= 25 .4 /2 = 50 kN 
 
Bw = 15 cm 
H = 40 cm 
 
d = 36 cm 
 
 
a) Encontre a cortante máxima de cálculo: 
 
Vsk = P. Lef/2 = 25. 4 / 2 = 50 kN 
 
Vsd = f. Vsk = 1,4. 50 = 70,0 kN 
 
b) Faça a verificação da diagonal comprimida de concreto 
Vrd2: Concreto C-20 
 
Vrd2 = 0,35. 15. 36 = 189 kN 
 
Vsd (70) < Vrd2(189) → OK 
 
 
b) Faça a verificação da armadura mínima através da 
equação da tabela simplificada Vsd,min: 
 
Vsd,min = 0,101.bw.d = 0,101.15.36 = 54,54 KN 
Vsd (70kN) > Vsd,min (54,54kN) 
 
c) Calcule a armadura através da equação da tabela 
simplificada Asw: 
 
Asw = 2,55. Vsd / d – 0,17 .bw = 2,55. (70 /36) – 0,17.15 = 
2,41 cm²/m 
 
d) Faça o detalhamento segundo a tabela: 
 
1,205 cm²/m → ø5.0 c/17cm 
ASw,2ramos = 2,41 cm²/m 
Asw,1ramo = 2,41 /2ramos = 1,205 cm²/m 
O dado de entrada da tabela é Asw de 1 
ramo e por isso dividimos por 2. 
Área de um ramo = Pi.0,5²/4 = 0,196 
Área de 2 ramos = 0,196 x 2 = 0,392 cm² 
2,41cm²/m / 0,392 cm²= 6,14 
100/6,14= 16,28 cm 
 
 
 
 
e) Defina o espaçamento máximo longitudinal - Smax: 
 
VSd ≤ 0,67 VRd2 → smáx = 0,6 d ≤ 300 mm; 
 
VSd > 0,67 VRd2 → smáx = 0,3 d ≤ 200 mm. 
 
Vsd (70) --------- Vrd2(189) 
 
Vsd (70 ) -- ? → 0,67. 189 = 126,63 kN 
 
Vsd (70) < 0,67.Vrd2(126,63) 
 
0,6 d ≤ 300 mm; 
 
Smax = 0,6. 36 = 21,6 cm 
 
 
 
CÁCULO DE MOMENTO FLETOR 
ADMISSÍVEL DE UMA VIGA 
 
 
Dada a seção retangular de uma viga, como mostrada na Figura, 
calcular qual é o momento fletor admissível (de serviço). São 
conhecidos: 
bw = 18 cm 
f = c = 1,4 
h = 40 cm 
s = 1,15 
d = 36 cm 
As = 5,00 cm² 
concreto C25 
aço CA-50 
 
 
 
 
 O problema agora não é de dimensionamento, e sim de verificação. 
 As variáveis a serem determinadas são a posição da linha neutra (x) e 
o momento fletor de serviço ou admissível (Mk). 
A resolução deve ser feita por meio das equações teóricas. 
A primeira equação a considerar é a de equilíbrio das forças 
resultantes na seção transversal: 
 
 
Rcc = Rst 
 
 
 
As resultantes de compressão no concreto comprimido e de tração 
na armadura são: 
Rcc = 0,68. Bw . X . fcd 
Rst = sd . As 
Inicialmente deve-se supor que a seção foi dimensionada no domínio 
2 ou 3, onde tem-se: 
sd = fyd = fyk = 50 
 s 1,15 
Rcc 
 
 
Igualando as equações teóricas: 
Rcc = Rst 0,68 . bw . X . fcd = sd . As 
 sd = fyd 0,68 . 18. X . 2,5 =50 . 5 
 1,4 1,15 
 x = 9,94 cm 
Rcc 
Rst 
X = 9,94 
cm 
40 cm 
9,94 cm 
 
É necessário verificar se a hipótese inicialmente considerada da viga 
estar nos domínios 2 ou 3 é verdadeira, o que se faz comparando x com 
os valores limites x2lim e x3lim. Para o concreto C25 e CA-50: 
x2lim = 0,26d = 0,26 . 36= 9,36cm 
x3lim = 0,63d = 0,63 . 36= 22,68 cm 
x2lim = 9,36 cm < x = 9,94 < X3lim = 22,68 
 
Verifica-se que a seção se encontra no domínio 3 portanto a tensão σsd é 
igual a fyd. 
 
Verifica-se também que o limite apresentado na Eq.: 
bx = x/d = 9,94/36 = 0,28 < 0,45 
ok! O dimensionamento foi feito atendendo ao limite. 
 
 O momento fletor de serviço pode ser calculado por: 
 
Md = 0,68 . Bw . X . Fcd.(d – 0,4.X) ou Md = As . sd.(d – 0,4.X) 
1,4 .Mk = 0,68 . 18 . 9,94 . 2,5 .(36 – 0,4 . 9,94) Md = 1,4.Mk 
 1,4 
Mk = 6957,53/ 1,4 = 4.969,67 kN.cm 
ou Md = As . sd.(d – 0,4.X) 
1,4 Mk = 5 . 50 .(36 – 0,4 . 9,94) 
 1,15 
Mk = 6961,73 / 1,4 = 4.972,67 kN.cm 
 
 
Mk,max = P .Lef²/8 
4972,67 = P . 4²/8 
4972,67 = P . 2 
P = 4972,67 / 2 = 2486,33 kN/cm 
P = 24,86 kN/m 
 
Carga total de 24,86 kN/m 
4m 
 
 
 
Dada a seção retangular de uma viga, como mostrada na Figura, 
calcular qual é o momento fletor admissível (de serviço). São 
conhecidos: 
concreto C25 
aço CA-50 
As = 9,45 cm2 
c = f = 1,4 
s = 1,15 
d = 36 cm 
 
 
 Rcc = 0,68 . Bw . X . fcd 
Rst = sd . As 
0,68 . Bw .X . Fcd = sd .As 
sd =fyd 
0,68. 20 . X . 2,5/1,4 = 50/1,15. 9,45 
24,29 X = 411 
X = 411 / 24,29 = 16,92 
 
X2lim = 0,26 .d = 0,26 .36 = 9,36 cm 
X3lim = 0,63 . 36 = 22,68 Bx = 16,92/36 = 0,47 
 
 
 Rcc = Rsd 
0,68 . Bw .X .fcd = fyd . As 
0,68 . 14 . X . 2,0/1,4 = 50/1,15 . 1,6 
 13,6 X = 69,57 X = 69,57/13,6 = 5,12cm 
Bx = X/d = 5,12 / 27 = 0,19 < 0,45 sd = fyd 
X2 lim = 0,26 . 27 = 7,02 cm Domínio 2 
Md = As . sd.(d – 0,4.X) 
1,4 Mk = 1,6 . 50 .(27 – 0,4 . 5,12) 
 1,15 
Mk = 1735,79 / 1,4 = 1239,85 kN.cm = 12,40 kN. m m = q.(l²) /8 
 
12,40 = q. (3m)² /8 12,40 kN.m = 1,13 m² . q q = 11,00 kN/m 
 
 q = 11 kN/m 
Bw = 14 cm 
As = 1,6 
cm² 
d = 27cm 
 
 
 Bw = 14 cm 
30 cm 
d = 27 cm 
C -20 
CA-50 
As = 1,6 
cm² 
3,5/100
0 
10/100
0 
3m 
q = 11 kN/m 
1,1 T/m 
 
 
Pilares são elementos lineares de eixo reto, 
unidimensionais pois podem ser representados por 
barras e tem como característica principal a atuação de 
força normal. 
 
 
Além de força normal o pilar, sofre com efeitos de 
excentricidades. 
 
Excentricidades são geradas através do deslocamento entre o 
eixo da força normal e o eixo originalmente reto do pilar. 
 
 
 
A distância entre o eixo 
deslocado e o eixo original é 
chamado de excentricidade e 
deve ser considerado nos cálculos 
 
Tipos considerados de excentricidade simpificadamente: 
 
Primeira ordem (inicial): São decorrentes dos momentos 
transferidos pelas vigas. 
 
 
 
 
 
e1 
 
Primeira ordem (imperfeições geométricas): Podem ser locais 
ou globais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LOCAL 
 
GLOBAL 
 
 
Segunda Ordem: São decorrentes dos efeitos de primeira 
ordem. 
 N 
 
 e1 
1º 
e2 
Fácil Entender! 
 
O efeito de primeira ordem foi provocado 
pela rotação da viga que girou a ligação 
entre viga e pilar. 
Porém quando girou, aconteceu a primeira 
excentricidade e assim braço de alavanca F 
x d, gerando assim uma excentricidade 
secundária devido a força normal deslocada 
do eixo e não devido ao giro da ligação viga-
pilar. 
 
Esbeltez 
O dicionário diz que esbelto é aquele que é alto e magro. 
 
Então quer dizer que o pilar pode ser considerado alto 
em relação as suas dimensões. 
 
Essa relação é dada entre a altura do pilar, raio de 
giração e momento de inércia. 
 
 
 
 
O momento de inércia o momento de inércia, expressa o 
grau de dificuldade em se alterar o estado de movimento de 
um corpo em rotação. (ou seja, se está parado dificuldade em 
rodar.) 
 
Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais 
difícil será girá-lo ou alterar sua rotação. 
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_de_in%C3%A9rcia 
 
O raio de giração conhecido como uma medida da maneira 
como a massa de um corpo rígido em rotação é distribuída em 
torno de seu eixo de rotação. 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_de_in%C3%A9rcia
 
 
Momento de Inércia de uma seção retangular (pilar): 
 
𝐼 =
𝑏 ⋅ ℎ3
12
 
 
Raio de Giração 𝑖 = √
𝐼
𝐴
 
 
Juntando as duas 𝑖 =
𝑏⋅ℎ3
12
 / 𝑏 ⋅ ℎ → 𝒊 = 𝒉 / 𝟏𝟐 
base 
altura 
 
Relações normativas sobre a relação altura – esbeltez do pilar: 
O índice de esbeltez é definido pela relação: 
 
𝜆 = 𝑙𝑒/ 𝑖 (onde 𝑙𝑒, o comprimento equivalente) 
 
De acordo com o índice de esbeltez (λ), podem ser classificados em: 
 
Pilares robustos ou pouco esbeltos → λ ≤ λ1 
Pilares de esbeltez média → λ1 < λ ≤ 90 
Pilares esbeltos ou muito esbeltos → 90 < λ ≤ 140 
Pilares excessivamente esbeltos → 140 < λ ≤ 200
 
Quem é “𝑙𝑒” → Comprimento equivalente 
 
Segundo a NBR 6118:2003, item 15.6, o comprimento equivalente: 
(supondo extremidades vinculadas) 
 
 
 
Le < L0 + h 
 L 
h 
L L0 
 
 
Classificação dos Pilares 
Pilar de Centro → Supõem-se um certo equilíbrio sobre o pilar 
devido a continuidade das vigas. Admite-se que o momento 
transferido da viga para o pilar seja nulo. 
Vista superior mostrando 
equilíbrio entre as vigas. 
Viga passando sobre o pilar 
equilibrando os momentos. 
P
I
L
A
R 
VIGA 
 
Pilar de Borda → Devido ao desequilíbrio em uma direção, 
sofre uma única excentricidade. (flexão composta normal) 
 
 
Vista superior mostrando 
em uma viga. 
Viga terminando sobre o pilar 
gerando excentricidade na 
direção. 
P
I
L
A
R 
VIGA 
 
Pilar de Canto → É aquele que devido ao desequilíbrio em 
duas direções, sofredois momentos ou duas excentricidades 
iniciais. (flexão composta oblíqua) 
 
 
Vista superior mostrando 
desequilíbrio nas duas vigas. 
Duas Vigas terminando sobre o 
pilar gerando excentricidade 
nas duas direções. 
P
I
L
A
R 
VIGA 
 
 
Medidas Mínimas para um pilar 
 
A seção transversal de pilares e pilares-parede maciços, 
qualquer que seja a sua forma, não pode apresentar dimensão 
menor que 19 cm. 
 
Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões 
entre 19 cm e 14 cm, desde que se multipliquem os esforços 
solicitantes de cálculo a serem considerados no 
dimensionamento por um coeficiente adicional γn. 
 
Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal 
de área inferior a 360 cm². 
 
 
Prática de Projeto – Exercício de Pilar de Centro 
Exercício Resolvido, pág. 78 – DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE 
UMA EDIFICAÇÃO DE BAIXA ALTURA – UNESP, Bauru/SP – Pilares 
de Concreto Armado 
Disciplina: 2323 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II - NOTAS DE AULA 
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS 
(wwwp.feb.unesp.br/P. Bastos) Bauru/SP Maio/2017 
Reescrito com alterações por Prof. Luiz C. P. dos Santos 
 
 
Dimensione o pilar: 
 
 Note que o pilar é classificado como intermediário porque as 
vigas são contínuas sobre o pilar, não originando flexão 
importante que deva ser considerada no cálculo do pilar. 
 
 
Dados: 
 
Nk = 700 kN 
ℓex = ℓey = 280 cm 
NK 
 
 
Para começar, conforme outras peças estruturais, 
precisamos definir um esquema estrutural, identificando tipos 
de vínculos, definindo carregamentos e o comprimento que 
será considerado no cálculo dos esforços internos. 
Pilares intermediários, bi apoiados na base e no topo, de 
nós fixos (contra ventados) e sem forças transversais 
atuantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, o comprimento de 
flambagem de uma barra isolada 
em função vinculações na base 
e no topo se considerarmos 
apoios simples, será ℓe = 1. ℓ 
 
 
O comprimento de flambagem de uma barra isolada 
depende das vinculações na base e no topo, conforme os 
esquemas mostrados. 
 
Fonte: Bastos (2017) 
 
Este exemplo numérico a seguir é de pilar intermediário, bi 
apoiado na base e no topo, de nós fixos (contra ventados) e 
sem forças transversais atuantes. 
 
Os cálculos serão feitos em função dos momentos fletores 
solicitantes. 
 
A título de exemplo, serão feitos também em função das 
excentricidades, segundo as seções de extremidade e 
intermediária. 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
Embora a armadura longitudinal resultara do cálculo segundo a 
direção de menor rigidez do pilar (dir. x), a título de exemplo será 
demonstrado também o cálculo segundo a direção y. 
 
 
1º passo - Esforços solicitantes Nd = n . f . Nk 
 
n para pilar com dimensão menor de 15 cm = 1,20 
 
A força normal de cálculo é : 
 
 Nd = 1,20 x 1,4 x 700.: Nd = 1.176 kN 
 
2º passo - Pré-dimensionamento 
(majorar a força normal com o coeficiente 
n
) 
 
 
 
Ac = Nd = (1,4 x 1,20 x 700) = 619 cm² 
 0,5 f
ck
 + 0,4 0,5 x 3,0 x 0,4 
Pode-se adotar: Ac = 15 x 50 = 750 cm² 
hy = 50 cm 
hx = 15 cm 
 
3º passo - Índice de esbeltez 
 
O índice de esbeltez deve ser calculado para as direções x e 
y, conforme os eixos mostrados. 
O valor de lX é maior, ou seja, o pilar é mais esbelto na direção 
x, consequentemente tem maior possibilidade de 
“deslocamento lateral na direção de maior esbeltez, com força 
menor do que a de ruptura do material”. 
 
 
 
 
y 
x 
 
 
 

X
 = 3,46. ℓex = 3,46. 280 = 64,6 
 h
x
 15 
 

y
 = 3,46. ℓey = 3,46. 280 = 19,4 
 h
y
 50 
 
 
 
4º passo - Momento fletor mínimo - M1d,min (NBR 6118/2014 item 11.3.3.4.3) 
O efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas 
reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem dado a seguir: 
 
M1d,mín,x,y = Nd (1,5 + 0,03 h) , com h em cm e e
1,x,y,min 
= M
1dmin,x,y
/N
d
 
 
M1d,mín,x = 1176 . (1,5 +0,03. 15) = 2.293 kN.cm: e
1x,min
 = 2.293 = 1,95 cm 
 1.176 
M1d,mín,y = 1176 . (1,5 +0,03 . 50) = 3.528 kN.cm: e
1y,min
 = 3.528 = 3,0 cm 
 1.176 
 
 
5º passo - Esbeltez Limite (15.8.2 Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem) 
 
Os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados 
quando o índice de esbeltez for menor que o valor limite λ1 estabelecido nesta 
subseção.
 
 25 + 12,5 e1 
1 = h → com 35 ≤ 1 ≤ 90 = 25 + 12,5 . 0 = 25 
 b 1 
 
Segundo a NBR 6118/2014, para pilares bi apoiados com cargas 
transversais significativas ao longo da altura: b = 1,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,x = 1,y = 25 ≥ 35 → .: λ1,x = λ1,y = 35 
 
Desse modo: 
 
λx = 64,6 > λ1,x → .: direção x; considerados os efeitos locais de 2ª 
ordem na direção y. 
λy = 19,4 < λ1,y → .: dispensados os efeitos locais de 2ª ordem na 
 
Em pilares retangulares correntes, geralmente há a necessidade de 
considerar a excentricidade de 2ª ordem na direção da largura do pilar. 
15.8.2 Dispensa da análise dos efeitos locais de 2a 
Os esforços locais de 2a ordem em elementos isolados 
podem ser desprezados quando o índice de esbeltez 
for menor que o valor limite λ1 estabelecido nesta 
subseção. (NBR 6118/2014) 
 
 
6º passo - Momento fletor de 2ª ordem 
 
 
 Segundo a NBR-6118/2014, item15.8.3.3, que define os Métodos 
aproximados para determinação dos esforços locais de 2ª ordem, diz 
que esta avaliação pode ser feita por métodos aproximados como o 
do pilar padrão e o do pilar-padrão melhorado. 
 
 
O momento de 2ª ordem será avaliado pelos métodos do pilar-
padrão com curvatura.
 
 Método do pilar-padrão com curvatura aproximada (15.8.3.3.2) 
O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão: 
 
Md,tot = b . M1d,A + Nd . ℓe². 1 ≥ M1d,A e M1d,A ≥ M1d,mín 
 10 r M1d,mín 
Md,tot,x = 1  2293 + 1176 . 280². 1 ≥ M1d,A , e M1d,A ≥ M1d,mín 
 10 r M1d,mín 
Md,tot,y = 1  3528 + 1176 . 280². 1 ≥ M1d,A , e M1d,A ≥ M1d,mín 
 10 r M1d,mín 
sendo 1/r a 
curvatura na seção 
crítica 
 
 
Força Adimensional: ν =Nsd / Ac . Fcd = 1176 ν = 0,73 
 750 x 3,0/1,4 
Sendo 1/r a curvatura na seção, que crítica, que pode ser avaliada pela expressão 
aproximada: 
 
 
 1 = 0,005 ≤ 0,005 1 = 0,005 ≤ 0,005 
 r h (ν + 0,5) h r 15 (0,73+0,5) 15 
 
1/r = 0,000271 cm
-1
 ≤ 0,000333 cm
-1 
→ ok (seção crítica advinda de efeitos de 2ª ordem) 
 
Excentricidade máxima de 2ª ondem na direção x é: 
 
e2x = ℓe² . 1 = 280² . 0,000271 = 2,12 cm 
 10 r 10
 
Com b = 1,0 e fazendo M1d,A = M1d,mín em cada direção, tem-se os 
momentos fletores totais em cada direção principal do pilar: 
 Parcela 1ª ordem = M,min Parcela 2ª ordem = Excentricidade 
 
Md,tot,x = 1  2293 + 1176 . 280². 0,000271 = 4.791 kN.cm ≥ M1d,mín,x = 2.352 kN.cm 
 10 
Md,tot,x > M1d,min,x(4.791 kN/cm) → OK! 
 
 Parcela 1ª ordem = M,min Parcela 2ª ordem = Excentricidade 
Md,tot,y = 1  3528 + λy = 19,4 < λ1,y → .: dispensados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y; 
 
Md,tot,y = 3.528 kN.cm = M1d,min,y (3.528 kN.cm ) 
 
M2d,máx,x = 2.498 kN.cm 
 
 
O cálculo de dimensionamento da armadura longitudinal do pilar 
pode seguir após determinados os momentos fletores totais. 
M1d,min,y 
3.528 
 e
1y,min
 = 
3,0cm 
M1d,min,x 
2.352 
 e
1x,min
 = 1,92cm 
Dir. y Dir. x Dir. x 
+ 
M2d,máx,x 
2.498 kN.cm 
E
2x, máx 
= 2,12 
 
Mostradas também as excentricidades, calculadas em função 
dos momentos fletores. 
 
 
y 
x 
Nd 
hy = 50 cm 
hx = 15 
cm 
Nd 
e1y,min 
Nd 
e1x,min = 1,95 
e2x = 2,12 
e1y,min = 3,00 
ex, total = 4,07 
S.P. (situação de projeto) 1ª S.C. (situação de cálculo) 2ª S.C. (situação de cálculo) 
+ 
 
A análise dos momentos fletores totais e das excentricidades permite 
observar que a direção crítica do pilar é a direção x, dado que o maior 
momento fletor total (Md,tot,x de 4.791 kN.cm) é relativo à menor dimensão 
do pilar (largura hx = 15 cm). 
 
A 2ª s.c., com a maior excentricidade total, na direção da largura do 
pilar, também mostra o fato, comprovado pelo cálculo da armadura 
longitudinal. 
 
A armadura pode ser calculada apenas para a direção crítica x, porém, 
com o objetivo de ilustrar os cuidados que devem ser tomados, a 
armadura é calculada para as duas direções principais do pilar. 
 
7º passo – Cálculo da área de aço. 
 
Com  = 0,82 e utilizando os ábacos de VENTURINI (1987), para 
Flexão Reta, faz-se o cálculo de  e d’/h, segundo as direções x e y: 
 
Dir. x: 
x = 
M
d,tot,x 
= 4791 = 0,20 
 h
x
 x Ac .f
cd
 15 . 750 x 3,0/1,4 
 
 
d’ / h
x
 = 3,6 / 15 = 0,24 ~ 0,25 → Ábaco A-5:  =0,69 
 
Também podemos fazer 
x = 
. e
x 
/
 
h
x 
= 0,73. 4,07 / 15 = 0,20 
x 
 
ω = 
0,69 
 = 0,73 
 
x
 = 0,20 
 
Com  = 0,73 e utilizando os ábacos de VENTURINI (1987), para 
Flexão Reta, faz-se o cálculo de  e d’/h, segundo as direções x e y: 
Dir. y: 
 
 
y = 
M
d,tot,y 
= 3528 = 0,04 
 h
y
 . Ac .f
cd
 50 . 750 . 3,0/1,4 
 
 
d’ / h
y
 = 3,6 / 50 = 0,07 ~ 0,05 → Ábaco A-24:  =0,01 
 
 
Também podemos fazer 
y = 
 . e
y 
/
 
h
y 
= 0,73 . 3,0 / 50 = 0,04 
y 
 
ω = 0,01 
ν = 0,73 
μy = 0,04 
 
Cálculo da área de Aço: A armadura resulta do maior valor de ω. 
As = ω . Ac . Fcd = 0,69 . 750 . 3,0 /1,4 = 25,49 cm² 
 fyd 50 / 1,15 
8º passo – Detalhamento – Armadura Mínima 
As,min = 0,15 . Nd ≥ 0,004 . Ac 
 fyd 
As,min = 0,15 . 1176 = 4,05 ≥ 0,004 . 750 = 3,00 cm² 
 43,48 
 
As = 25,49 cm² > As,mín = 4,22 cm² 
20 . 1,22 = 25 cm² 
20  12,5 mm = 25 cm² 
 
A taxa de armadura resulta: 
 = As . 100 = 25.100 = 3,3 % < ρmax = 4% → OK 
 Ac 750 
 
 
 
 
Diâmetro máximo dos Estribos: 
 
t ≥ 5mm 
 L / 4 = 12,5/4 = 3,1 mm → t = 5mm 
 
Smax ≤ 20 cm 
 b = 15 cm → Smax = 15 cm 
 12 L = 12 .1,25 = 15 cm 
 
 
Av = 50 – [ 2 . (2,5 + 0,5) + 10 . 1,25] +1,25 = 4,7 cm 
 9 
 1,25 duas meia barras em área protegida 
As barras além das 6 e distantes acima de 20 t, 
necessitam de grampos suplementares. 
Fonte : PBastos - UNESP, Bauru/SP – Pilares de Concreto Armado 
NBR 6118 - O canto do estribo 
protege contra a flambagem as barras 
(até 6) que estiverem dentro da 
distância 20 t. 
 
 
Prof. Luiz Claudio Pinheiro dos Santos 
ω ~ 0,8 
 = 0,73 
x= 0,20 
μy = 0,04 
As = ω . Ac . Fcd = 0,80 . 750 . 3,0 /1,4 = 29,57 cm² 
 fyd 50 / 1,15 
O Aplicativo utilizou em sua base de dados os ábacos 
para flexão composta oblíqua, gerando uma taxa de aço 
maior do que a taxa utilizada com os ábacos de flexão 
normal reta. 
 
Excentricidade perpendicular ao aço 
Excentricidade paralela ao aço