Conjuntos numéricos

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Engenharia de Produção 
Engenharia Civil 
 
 
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Engenharia de Produção / Engenharia Civil 
Profa. Zenira Pires de Souza 
 
Disciplina: Cálculo I 
Professora: Zenira Pires de Souza 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
 
 
1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Números naturais � =	 �0, 1, 2, 3, … � 
Números inteiros � = 	 �… ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, … � 
Números racionais � =	 ��� 	/	�, �	 ∈ �	�	� ≠ 0� 
Números irracionais �	��	��, são os números que não podem ser escritos na forma �� , � ≠
0		�		�, �	 ∈ �, tais como √2 = 1,414213… , � = 3,14159…		 , � = 2,718281…	. 
 
Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta 
o CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: 
$ = %	 ∪ 	' 
 
1.2. A RETA REAL 
Para representar o conjunto dos números reais, usamos um sistema de coordenadas 
chamado de reta real ou eixo dos x. O número real que corresponde a um determinado 
ponto na reta real é chamado de coordenada do ponto. 
 
O ponto na reta real que corresponde ao zero é chamado de origem e denotado por 0. A 
direção positiva (à direita) é indicada por uma seta e corresponde à direção de crescimento 
de x. Números à direita da origem são positivos; números à esquerda são negativos. 
Cada ponto na reta real corresponde a um único número real e cada número real 
corresponde a um único ponto na reta real. Esse tipo de relação é chamada bijeção. 
 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3 -1/2 3/2 
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1.3. PROPRIEDADES ALGÉBRICAS DE ℜℜℜℜ 
 
Aqui serão apresentados os axiomas, definições e propriedades referentes ao conjunto 
dos números reais. O conjunto dos números reais satisfaz as propriedades algébricas 
abaixo relativas às operações de adição e multiplicação: 
 
 
 
 
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1.4. DESIGUALDADES DE ℜℜℜℜ 
Dados (, )	 ∈ *, diz-se que a é menor do que b , escreve-se (	 + ), ,�	) − (	 - 0. Na reta 
numérica, isto significa que b está à direita de a. 
Também, a é menor ou igual a b , escreve-se (	 / ), ��(01�	) − (	 2 0, o que na reta real 
quer dizer que b está à direita de a ou representa o mesmo ponto que a. 
Analogamente, definimos (	 - ), (	3(4�5	1�	���	)		�		(	 2 ), (	3(4�5	��	46�(7	(	). 
 
 
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Seguem das propriedades de ordem anteriores, as seguintes implicações: 
 
Além dessas propriedades, também seguem as conhecidas regras de sinal: o produto entre 
dois números reais positivos é positivo, o produto entre dois números reais negativos é 
positivo e o produto entre dois números de sinais opostos é negativo. 
 
1.5. INTERVALOS 
Intervalos são subconjuntos de números reais, como segue: 
 Notação de intervalo Notação de conjunto Gráfico 
Intervalo aberto (a, b) �8/	( + 8	 + )� 
 
Intervalo fechado [a, b] �8/	( / 8	 / )� 
 
Intervalos semi-abertos 
[a, b) �8/	( / 8	 + )� 
 
(a, b] �8/	( + 8	 / )� 
 
Intervalos infinitos 
Fechado 
(-∞, a] �8/	8 / (	� 
 
Aberto (-∞, a) �8/	8 + (	� 
 
Aberto (b, +∞) �8/	8 - )	� 
 
Fechado [b, +∞) �8/	8 2 )	� 
 
Aberto e fechado (-∞, +∞) �8/	8	é	�3	0ú3�5�	5�(7	� 
 
a b 
a b 
a b 
a b 
a b 
| 
a b 
| 
a b 
| 
a b 
| 
a b 
| | 
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1.6. VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO 
O valor absoluto de a, denotado por |<|, é definido como:	
|<| = <, =>	<	 2 ? 
|<| = −<, =>	<	 + ? 
 
1.6.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 
Geometricamente o valor de a, também chamado módulo de a , representa a distância 
entre 0 e a. Escreve-se então |<| = 	√(@ . 
 
 
1.6.2. PROPRIEDADES 
1) |8| 	+ (		⇔	 − (	 + 8	 + (		, �01�	(	 - 0 
2) |8| 	- (		⇔		8	 - (		��			8	 + −(		, �01�	(	 - 0 
3) Se a, b ∈ ℜ, então |(	. )| = 	 |(|	. |)| 
4) Se a, b ∈ ℜ e b ≠ 0, então A	BC . A = 	
|B|
|C| 
5) Desigualdade triangular : Se a, b ∈ ℜ, então |( + )| / 	 |(| + |)| 
6) Se a, b ∈ ℜ, então |( − )| / 	 |(| +	 |)| 
7) Se a, b ∈ ℜ, então |(| −	 |)| / 	 |( − )| 
 
-a 0 a
a a