Transformada de Laplace em Sistemas de Controle

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Disciplina: Controle e Servomecanismos I
Aula 2: Transformada de Laplace
Apresentação
Nesta aula, revisaremos os conceitos da transformada de Laplace, com ênfase nas aplicações na área de sistemas de
controle. O rigor matemático será o mínimo necessário para não criar di�culdade em acompanhar o restante da disciplina.
A transformada de Laplace altera equações íntegro-diferenciais em equações algébricas. Além disso, ela desempenha um
papel fundamental na de�nição da função de transferência que é a forma mais usual de se modelar matematicamente os
sistemas dinâmicos.
Recordaremos que a de�nição da transformada de Laplace nada mais é que uma simples integral e di�cilmente
recorreremos à de�nição, pois na maioria das vezes faremos uso dos teoremas e das transformadas das funções usuais.
Com base na de�nição, compreenderemos que a transformada de Laplace leva uma função no domínio do tempo para o
domínio da frequência e que esta operação também poderá ser realizada no sentido contrário, ou seja, levar uma função no
domínio da frequência para o domínio do tempo, por meio da transformada inversa de Laplace.
Bons estudos!
Objetivos
De�nir a transformada de Laplace;
Calcular a transformada de Laplace de funções no domínio do tempo;
Calcular a transformada inversa de Laplace de funções no domínio da frequência.
Transformada de Laplace
Considerando uma função real de uma variável real 𝑓(𝑡) tal que 𝑓(𝑡)=0 para 𝑡>0, é possível de�nir a transformada de Laplace 𝐹(𝑠)
como uma função na variável complexa 𝑠 tal que:
(2.1)
F(s) ≜ L{f(t)} ≜ f(t)    dt∫ ∞
0
− e−st
1
Operador 
Indica transformada de Laplace.
L
2
Função 𝐹(𝑠)
É uma função complexa de uma variável complexa 𝑠 (com 𝑠 =
𝜎+𝑗𝜔).
A justi�cativa para a utilização do limite inferior da integral como sendo 0 é para poder incluir possíveis descontinuidades em 𝑡=0.
A transformada de Laplace da função 𝑓(𝑡) não existe em todos os casos, é necessário que a integral imprópria acima convirja. É
possível mostrar que esta convergência é veri�cada se a parte real 𝜎 da variável 𝑠 é maior que um valor 𝛼 chamado limite de
convergência.
De uma forma geral, a transformada de Laplace é uma operação matemática que toma funções reais de uma variável real e leva
para funções complexas de uma variável complexa.
−
A função 𝒇(𝒕) é também chamada de transformada inversa de 𝑭(𝒔).
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Teoremas fundamentais da transformada de Laplace
Os teoremas que estudaremos a seguir são fundamentais, pois simpli�cam o cálculo da transformada de Laplace sem que seja
necessária a utilização da de�nição.
Dica
Você verá mais tarde que o conhecimento dos teoremas fundamentais e de algumas transformadas usuais de Laplace pode ser
usado para deduzir quase qualquer transformada de Laplace.
Os teoremas são:
Clique nos botões para ver as informações.
A linearidade da transformada de Laplace é resultado da linearidade da integral que a de�ne. Apesar da aparente
simplicidade, a linearidade da transformada de Laplace é uma das propriedades mais importantes.
 (2.2)
onde 𝛼 e 𝛽 são constantes reais.
Teorema da linearidade 
L {αf(t) + βg(t)} = αL {f(t)} + βL {g(t)}              
Seja 𝐹(𝑠)= {𝑓(𝑡)}. Pode ser demonstrado que a transformada de Laplace da enésima derivada de 𝑓(𝑡) é:
 (2.3)
Com base em (2.3), podem ser deduzidas as transformadas de Laplace da primeira e segunda derivadas de 𝑓(𝑡) como
sendo, respectivamente:
 (2.4)
 (2.5)
A transformada de Laplace altera um operador de derivação em um operador aritmético.
Nas expressões anteriores, para obtermos a transformada de Laplace, precisamos conhecer as condições iniciais, ou seja,
os valores em 𝑡=0 das sucessivas derivadas de ordens inferiores à ordem de derivação considerada.
No caso em que as condições iniciais são nulas, o que é muito frequente, a Eq. (2.3) se reduz a:
 (2.6)
Teorema da derivação no tempo 
L
L { } = F (s) −f(t)d
n
dtn
sn ∑2n
k=n+1 s
2n−k f(0)d
k−n−1
dtk−n−1
L { } = sF (s) − f (0)df(t)
dt
L { } = F (s) − sf (0) − f' (0)f(t)d
2
dt2
s2
L { } = F (s)f(t)d
n
dtn
sn
Seja e . Neste caso, é possível deduzir que:
 (2.7)
Teorema da integração 
g (t) = f (τ)dτ∫ t0− F (s) = L {f (t)}
L {g (t)} = L { f (τ)dτ} = +∫ t
0−
F(s)
s
g(0)
s
 (2.8)
Teorema do deslocamento em frequência 
L {  f(t)} = F(s−α)eαt
 (2.9)
Teorema do deslocamento no tempo 
L {f (t − τ)} = F (s)e−τs
 (2.10)
Teorema da escala 
L {αf (t)} = F ( )1
α
s
α
 (2.11)
Teorema da derivação na frequência 
L { f (t)} = (s)(−t)n F n
 (2.12)
Teorema do valor inicial 
f ( ) = sF (s)0+ lim
s→∞
Atenção
Este teorema só pode ser aplicado se f(t) não possui impulsos ou suas derivadas em t=0.
 (2.13)
Teorema do valor �nal 
f (t) = sF (s)lim
t→∞
lim
s→0
Atenção
Este teorema só pode ser aplicado se as raízes do denominador de F(s) estão todas localizadas no semiplano da esquerda.
A convolução entre duas funções 𝑓(𝑡) e 𝑔(𝑡) representada pelo símbolo ∗ pode ser de�nida como a seguinte integral:
 (2.14)
Portanto, se ℎ(𝑡)=𝑓(𝑡)∗𝑔(𝑡) é possível provar que:
 (2.15)
onde 𝐻(𝑠), 𝐹(𝑠) e 𝐺(𝑠) são, respectivamente, as transformadas de Laplace de h(𝑡), 𝑓(𝑡) e 𝑔(𝑡).
O resultado de (2.15) nos diz que a convolução de duas funções na variável independente 𝑡 é equivalente à multiplicação das
suas transformadas de Laplace na variável independente 𝑠.
Teorema da convolução 
f (t) ∗ g (t) ≜ f (τ)g (t− τ)dτ∫ t
0−
H (s) = F (s)G (s)
Dica
Este resultado vai ser muito útil quando estudarmos o conceito de função de transferência de sistemas lineares invariantes no
tempo.
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Transformada inversa de Laplace
Assim como uma função do tempo pode ter uma transformada de Laplace, é possível obter 𝑓(𝑡) a partir de 𝐹(𝑠), aplicando a
transformada inversa de Laplace.
(2.16)
L − 1 {F (s)}≜f (t)≜ F (s) ds1
2πj
∫ σ+j∞
σ-j∞ e
st
Dica
Os casos em que será necessário calcular uma transformada inversa de Laplace com o auxílio da expressão acima serão
extremamente raros. Estudaremos adiante que, em geral, basta conhecer uma dúzia de transformadas usuais de Laplace e os
teoremas fundamentais para encontrar a função f(t).
Tabela dos teoremas fundamentais da transformada de Laplace
O uso de tabelas facilita encontrarmos a transformada de Laplace da maioria das funções.
A Tabela 1 pode ser usada para auxiliar na transformação de 𝑓(𝑡) em 𝐹(𝑠) e vice-versa.
Teorema Nome
Definição
Teorema da linearidade
Teorema da derivação no tempo
Teorema da derivação no tempo
Teorema da integração
Teorema do deslocamento em frequência
Teorema do deslocamento no tempo
Teorema da escala
Teorema da derivação na frequência
Teorema do valor inicial
Teorema do valor final
Teorema da convolução
L {f (t)} ≜ f (t) dt∫ ∞
0−
e− st
L {αf (t) + βg (t)} = αL {f (t)} + βL {g (t)}
L { } = sF (s) − f (0)df(t)
dt
L { } = F (s) − sf (0) − f' (0)f(t)d
2
dt2
s2
L { f (τ)dτ} =∫ t
0−
F(s)
s
L { f (t)} = F (s − α)eαt
L {f (t − τ)} = F (s)e−τs
L {αf (t)} = F( )1
α
s
α
L { f (t)} = (s)(−t)n Fn
f ( ) = sF (s)0+ lim
s→∞
f (t) = sF (s)lim
t→∞
lim
s→0
L {f (t) ∗ g (t)} ≜ F (s)G (s)
 Tabela 1 – Teoremas da transformada de Laplace | Fonte: Adaptado de Nise (2013)
Transformada de Laplace de algumas funções usuais
Para testar o desempenho e a resposta de um determinado sistema, alguns sinais de entrada de teste são utilizados.
Os sinais devem ser simples, de forma que a análise da resposta do sistema seja facilitada. Assim, é mais conveniente escolher
entradas de teste padronizadas.
Os sinais de entrada de teste são degraus, rampas, impulsos, exponenciais e senoides. A Tabela 2 lista as transformadas de
Laplace destes sinais.
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𝛿(𝑡) = impulso unitário 1
𝑢(𝑡) = degrau unitário
𝑟(𝑡) = rampa unitária
f (t) F (s)
1
s
1
s2
tn n!
+1sn
eαt 1
s−α
sin (ωt) ω
+s2 ω2
cos (ωt) s
+s2ω2
 Tabela 2 – Transformada de Laplace de algumas funções usuais | Fonte: Adaptado de Nise (2013)
Veja quais são as funções usuais:
Clique nos botões para ver as informações.
O degrau unitário ilustrado na Figura 1 é uma função 𝑢(𝑡), tal que 𝑢(𝑡) = 0 para 𝑡 < 0 e 𝑢(𝑡) = 1 para 𝑡 ≥ 0.
É fácil demonstrar a partir da de�nição (2.1) que:
 (2.17)
Note que este sinal é o segundo sinal descrito na Tabela 2.
Degrau unitário 
 Figura 1 – Degrau unitário
L {u (t)} = 1
s
A rampa unitária 𝑟(𝑡) ilustrada na Figura 2 é a integral do degrau unitário 𝑢(𝑡), tal que 𝑟(𝑡) = 0 para 𝑡 < e 𝑟(𝑡) = 𝑡 para 𝑡 ≥ 0.
Para obter a transformada de Laplace da rampa unitária é possível aplicar a de�nição (2.1) ou o Teorema da derivação na
frequência descrito por (2.11) 
 (2.18)
Note que este sinal é o terceiro sinal descrito na Tabela 2.
Rampa unitária 
 Figura 2 – Rampa unitária
L {r (t)} = 1
s2
O impulso unitário ou impulso de Dirac 𝛿(𝑡) é a derivada do degrau unitário 𝑢(𝑡). Em teoria, esta é uma função nula para todos
os valores de 𝑡, exceto para 𝑡 = 0, onde ela possui um valor in�nito.
A área sob a curva representativa desta função 𝛿(𝑡) e o eixo 𝑡 é 1. A Figura 3 dá uma ideia deste impulso, quando o
parâmetro ∆ tende para 0, ou seja, .
Aplicando a de�nição (2.1)
 (2.19)
Note que este sinal é o primeiro sinal descrito na Tabela 2.
Impulso unitário 
δ (t) = (t)lim
∆→0
δ∆
 Figura 3 – Impulso unitário ou impulso de Dirac
L {δ (t)} = 1
A transformada de Laplace da função exponencial pode ser obtida diretamente da de�nição (2.1)
 (2.20)
Note que este sinal é o quinto sinal descrito na Tabela 2.
Exponencial 
L { } =eαt 1
s−α
No caso de seno e cosseno, a aplicação da de�nição é um pouco mais trabalhosa e leva a:
 (2.21)
 (2.22)
No caso de 𝜑 = 0, (2.21) e (2.22) se reduzem, respectivamente, a:
 (2.23)
 (2.24)
Note que estes são os dois últimos sinais descritos na Tabela 2.
Seno e cosseno 
L {sin (ωt + φ)} =
s sin φ+ω cos φ
+s2 ω2
L {cos (ωt + φ)} =
s cos φ+ω sin φ
+s2 ω2
L {sin (ωt)} = ω
+s2 ω2
L {cos (ωt)} = s
+s2 ω2
Expansão em frações parciais
Se a transformada de Laplace 𝐹(𝑠) for dada, há vários métodos de determinar 𝑓(𝑡).
Em uns poucos casos, 𝐹(𝑠) pode corresponder a
um caso da Tabela 2, de maneira que 𝑓(𝑡) pode
ser determinada diretamente. 
Em outros casos, podemos empregar as
propriedades da Tabela 1, ou podemos localizar a
𝐹(𝑠) em uma tabela mais extensa de
transformada de Laplace.
A função 𝑓(𝑡) sempre pode ser determinada pelo emprego de (2.16), mas isso exigirá o domínio da teoria da variável complexa.
O método da expansão em frações parciais consiste de partir 𝐹(𝑠) numa soma de partes mais simples, de forma que estas partes
mais simples possam ser encontradas em tabelas curtas, como a Tabela 2.
Admitamos que 𝐹(𝑠) é um quociente de dois polinômios com coe�cientes reais 𝑁(𝑠) e 𝐷(𝑠), tal que:
(2.25)
F (s) =
N(s)
D(s)
Vejamos a seguir três possíveis casos para as raízes de 𝐷(𝑠).
𝑫(𝒔) possui raízes reais distintas
Se 𝑁(𝑠) for de grau inferior a 𝐷(𝑠) e 𝐷(𝑠) possuir 𝑛 raízes reais distintas, a decomposição de 𝐹(𝑠) pode ser realizada da seguinte
forma:
(2.26)
F (s) = = + + … +
N(s)
(s− )(s− )⋯(s− )p1 p2 pn
K1
s−p1
K2
s−p2
Kn
s−pn
As constantes de 𝐾 a 𝐾 podem ser encontradas de maneira que (2.26) seja uma identidade matemática para todos os valores
de 𝑠. Dessa forma, valores convenientes para a variável 𝑠 podem ser arbitrados, a �m de determinar as constantes.
Vejamos esse conceito na prática:
1 𝑛
Vamos encontrar a transformada inversa de Laplace 𝑓(𝑡) da função a seguir:
(2.27)
F (s) = 3s+5
+4s+3s2
Solução:
O polinômio do denominador pode ser reescrito como o produto de dois polinômios de primeira ordem:
(2.28)
F (s) = 3s+5
(s+1)(s+3)
As raízes são reais e distintas 𝑠=−1 e 𝑠=−3. Portanto, a expansão se dará como:
(2.29)
F (s) = = +3s+5
(s+1)(s+3)
K1
s+1
K2
s+3
Fazendo o m.m.c e igualando o numerador:
(2.30)
(s + 3) + (s + 1) = 3s + 5K1 K2
Essa equação é valida para qualquer valor de 𝑠. Tomando 2 valores convenientes para 𝑠:
s = −1⟹ 2 = 2⟹ = 1K1 K1
(2.31)
(2.32)
s = −3⟹ −2 = −4⟹ = 2K2 K2
Reescrevendo 𝐹(𝑠) com os valores obtidos das constantes:
(2.33)
F (s) = +1
s+1
2
s+3
Aplicando a transformada inversa de Laplace na equação anterior:
(2.34)
f (t) = { } + 2 { }L −1 1
s+1
L −1
1
s+3
Utilizando o sinal exponencial da Tabela 2, é possível obter a transformada inversa:
(2.35)
f (t) = + 2e−t e−3t
𝑫(𝒔) possui raízes reais múltiplas
Se 𝑁(𝑠) for de grau inferior a 𝐷(𝑠) e 𝐷(𝑠) possuir raízes reais repetidas, uma modi�cação em (2.26) é necessária. Supondo que a
raiz 𝑝 seja repetida 𝑚 vezes, (2.26) deverá ser reescrita como:1
(2.36)
F (s) = = + … + + + … +
N(s)
(s− )⋯(s− )(s− )p1
m
p2 pn
K1
s−p1
Km
(s− )p1
m
Km+1
s−p2
Km+n−1
s−pn
𝑫(𝒔) possui raízes complexas conjugadas
Se 𝑁(𝑠) for de grau inferior a 𝐷(𝑠) e 𝐷(𝑠) possuir raízes complexas conjugadas, algumas grandezas 
 serão complexas. Neste caso, os termos correspondentes a um par de raízes complexas são:,   … , ,   …p1 p2, pn K1 K2, Kn
(2.37)
+
|K|ejθ
s+α−jβ
|K|e−jθ
s+α+jβ
Com os coe�cientes complexos no numerador expressos em forma polar. Note que as constantes nos numeradores são
complexos conjugados também.
A transformada inversa destes dois termos é:
(2.38)
2 |K| cos (βt + θ)e−αt
Atividade
1 - De�na transformada de Laplace e cite um dos seus benefícios.
2 - Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
a) g (t) = + 3 cos (2t)t3
b) g (t) = 2 cos (t)t2
c) g (t) = teαt
d) g (t) = cos (ωt)eαt
e)
3 - Calcule a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
a) G (s) = 2
s−2
b) G (s) = 5
s
c) G (s) = +4
s2
3
s−1
d) G (s) = +3
+4s2
4
+4(s−3)2
e) G (s) = 5s−1
(s−2)(s+1)2
f) G (s) = s+15
( +2s+5)s2 s2
Referências
NISE, Norman S. Engenharia de Sistemas de Controle. 6.ed. São Paulo: LTC, 2013.
Próxima aula
Função de transferência a partir de uma equação diferencial;
Função de transferência de circuitos elétricos lineares invariantes no tempo;
Função de transferência de sistemas mecânicos lineares invariantes no tempo.
Explore mais
Conheça a “Tabela de Transformadas de Laplace <http://www.mat.uc.pt/~jmcosta/2/Tabela_TL.pdf> ”, uma tabela mais
extensa das transformadas de Laplace.
http://www.mat.uc.pt/~jmcosta/2/Tabela_TL.pdf