Eletromag P2 - Gabarito-Q2

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BCJ0203–Fenômenos Eletromagnéticos
Quadrimestre suplementar de 2020
Gabarito da Prova 2
Questão 2-1
Considere duas esferas metálicas concêntricas de espessura finita. A casca
esférica central (esfera 1) tem raios a < b e aquela externa (esfera 2) tem
raios c < d, como mostra a figura ao lado.
A esfera 1 está carregada com carga Q1, a esfera externa está carregada
inicialmente com carga Q2 e os raios são dados por: a, b, c e d.
(a) (4 pontos) Encontre as densidades de carga em cada uma das superf́ıcies. [Dê a resposta em
coulomb por metro ao quadrado (C/m2)]
Solução
(b) (3 pontos) Considere agora que a carga da esfera 2 é Q2 = −Q1. Determine a expressão da
diferença de potencial (V2− V1) entre as armaduras deste capacitor esférico. [Dê a respostas em
volts (V)]
Solução
(c) (3 pontos) Qual é a capacitância do capacitor esférico? [Dê a resposta em farad (F)]
Solução
1
Questão 2-2
Considere um capacitor de placas paralelas com área das placas A, separadas por uma distância d.
Utilizando uma fonte, carrega-se o capacitor com uma diferença de potencial V . Após o carregamento,
desliga-se o capacitor da fonte. Em seguida, o capacitor é imerso em um ĺıquido de constante dielétrica
κ.
(a) (2.5 pontos) Calcule a carga nas placas do capacitor. [Dê a resposta em coulomb (C)]
Solução
Q =
ε0A
d
V
(b) (2.5 pontos) Qual a capacitância do sistema imerso no ĺıquido? [Dê a resposta em farad (F)]
Solução
C =
κε0A
d
(c) (2.5 pontos) Qual a energia do capacitor imerso no ĺıquido? [Dê a resposta em joule (J)]
Solução
U =
1
2
CV 2 =
1
2
(
κε0A
d
)
V 2
(d) (2.5 pontos) O capacitor dentro do ĺıquido agora é ligado em paralelo a um capacitor idêntico,
porém no ar. Qual é a capacitância do sistema? [Dê a resposta em farad (F)]
Solução
Ceq = C1 + C2 = (1 + κ)
ε0A
d
2
Questão 2-3
A figura ao lado mostra um capacitor de placas paralelas feito de duas
placas condutoras. As placas possuem a mesma área de A e estão
separadas de d. Metade do espaço entre as placas contém ar e a outra
metade contém um material dielétrico com constante dielétrica κ igual
a 3. O capacitor é carregado utilizando uma bateria de 12 V. Utilize
ε0 = 8.85× 10−12 F/m.
(a) (3 pts) Qual é a capacitância (em F) do dispositivo?
(b) (2 pts) Qual é o módulo da carga total (em C) armazenada em uma das placas do capacitor
quando o dispositivo está totalmente carregado?
(c) (2 pts) O quanto de energia (em J) é armazenada quando o dispositivo está totalmente carregado?
(d) (3 pts) Com o capacitor totalmente carregado, a bateria é desconectada. Em seguida, um
agente externo remove o material dielétrico do interior entre as placas, mas sem alterar nenhuma
configuração geométrica do dispositivo. Calcule a energia total (em J) que fica armazenada no
dispositivo após essa operação.
Solução
3
Questão 2-4
Considere a associação de capacitores da figura, cujas capacitâncias são C1, C2, C3 e C4.
(a) (2.5 pontos) Qual a capacitância equivalente do sistema, em µF?
Resolução
Sendo um capacitor Ca equivalente à associação em paralelo C1 com C2, e Cb equivalente à
associação em paralelo C3 com C4
Ceq,a = C1 + C2
Ceq,b = C3 + C4
1
Ceq
=
1
Ceq,a
+
1
Ceq,b
=
1
C1 + C2
+
1
C3 + C4
=
C1 + C2 + C3 + C4
(C1 + C2)(C3 + C4)
Logo,
Ceq =
(C1 + C2)(C3 + C4)
C1 + C2 + C3 + C4
(b) (2.5 pontos ) Aplicando uma diferença de potencial de ∆V sobre os terminais do circuito, qual
a carga que será armazenada na associação de capacitores? Dê a resposta em µC.
Resolução
∆V =
Q
Ceq
⇒ Q = Ceq∆V =
(C1 + C2)(C3 + C4)
C1 + C2 + C3 + C4
∆V
(c) (2.5 pontos) Para essa mesma diferença de potencial, qual a energia armazenada na associação
de capacitores? Dê a resposta em µJ.
Resolução
U =
1
2
Ceq(∆V )
2 =
1
2
(C1 + C2)(C3 + C4)
C1 + C2 + C3 + C4
(∆V )2
(d) (2.5 pontos) Nessa configuração, qual a carga no capacitor C1? Dê a resposta em µC.
Resolução
∆Va =
Q
Ceq,a
=
Ceq
Ceq,a
∆V
Por outro lado,
4
∆Va =
Q1
C1
⇒ Q1 = C1∆Va
Assim,
Q1 = C1
Ceq
Ceq,a
∆V = C1
C3 + C4
C1 + C2 + C3 + C4
∆V
5
Questão 2-5
Considere o circuito mostrado na figura abaixo, onde as capacitâncias são
C1, C2, C3 e C4 e a diferença de potencial aplicada é ∆V .
(a) (2.5 pontos) Encontre a capacitância equivalente da combinação dos 4 capacitores. [Dê a resposta
em microfarad (µF)]
(b) (2.5 pontos) Calcule a diferença de potencial sobre C1 [Dê sua resposta em volts (V)]
(c) (2.5 pontos) Encontre a carga em C4 [Dê sua resposta em coulomb (C)]
(d) (2.5 pontos) Encontre a energia total armazenada no sistema. [Dê sua resposta em joule (J)]
Solução
6
7
Questão 2-6
Três capacitores com capacitâncias iguais a C1, C2 e C3 são conectados em paralelo
através de uma diferença de potencial ∆V = 12 V, como mostra a figura abaixo.
(a) (2.5 pontos) Qual a diferença de potencial, em volts, nos terminais do capacitor de capacitância
C2
(b) (2.5 pontos) Qual a energia total acumulada nos três capacitores? Dê sua resposta em J.
(c) (2.5 pontos) Suponha agora que os mesmos capacitores sejam conectados em série na mesma
bateria. Qual a diferença de potencial no capacitor de capacitância C1? Dê sua resposta em
volts.
(d) (2.5 pontos) Ainda conectados em série, qual a energia acumulada no capacitor de capacitância
C2? Dê sua resposta em µJ.
8
Questão 2-7
Considere dois capacitores, de capacitâncias C1 e C2, e uma bateria de diferença de potencial V .
(a) (2.5 pontos) Montamos um circuito em série com esses elementos. Qual o valor da tensão no
capacitor 1? Dê sua resposta em volts.
Solução Temos que a carga em cada um dos capacitores em série é
q = CeqV
onde Ceq =
C1C2
C1 + C2
. Para o capacitor 1, q = C1∆V1. Logo,
CeqV = C1∆V1 ⇒ ∆V1 =
C2
C1 + C2
V
(b) (2.5 pontos) Ainda em série, calcule o valor da energia total armazenada nos capacitores. Dê
sua resposta em joules.
Solução
U =
1
2
q2
C1
+
1
2
q2
C2
=
1
2
q2
Ceq
=
1
2
CeqV
2 ⇒ U = 1
2
C1C2
C1 + C2
V 2
(c) (2.5 pontos) Agora inserimos um dielétrico com constante dielétrica κ no capacitor C2. Qual o
valor da energia total armazenada nos capacitores? Dê sua resposta em joules.
Solução A capacitância do capacitor C2 passa a ser C
′
2 = κC2. Fazendo C2 → C ′2 = κC2 na
resposta do item (b),
U ′ =
1
2
κC1C2
C1 + κC2
V 2
(d) (2.5 pontos) Colocamos os capacitores (sem o dielétrico entre as placas de C2) em paralelo. Qual
a energia total armazenada nos capacitores? Dê sua resposta em joules.
Solução Para os capacitores em paralelo,
Uparal. =
1
2
C1V
2 +
1
2
C2V
2 ⇒ Uparal. =
1
2
(C1 + C2)V
2
9
Questão 2-8
Um capacitor preenchido com ar consiste em duas placas paralelas, cada uma com uma área A,
separadas por uma distância d. Uma diferença de potencial ∆V é aplicada às placas. Calcule:
a) (2.5 pontos) O módulo do campo elétrico entre as placas em N/C;
Gabarito
E =
∆V
d
b) (2.5 pontos) O módulo da densidade de carga superficial em C/m2;
Gabarito
σ = Eε0
c) (2.5 pontos) A capacitância em F;
Gabarito
C =
ε0A
d
d) (2.5 pontos) O módulo da carga em cada placa, em C.
Gabarito
Q = |∆V |C
10
Questão 2-9
Um fabricante dispõe de uma superf́ıcie metálica plana de área A para fazer um capacitor e ele deve
utilizar todo o material dispońıvel. Depois de feito, ele consegue preenchê-lo com hidrogênio gasoso
(� = �0).
(a) (2.5 pontos) Se é fabricado um capacitor de placas paralelas, qual a capacitância quando a
distância entre as placas é d? Dê sua resposta em farad.
(b) (2.5 pontos) A densidade de carga superficial nas placas do capacitor é |σ|. Imagine que um
pulso de laser atravesse a região entre as placas e ionize N átomos. Sendo que aproximadamente
um terço dos elétrons são recapturados pelos núcleos, estime a diferença de potencial entre as
placas na nova situação de equiĺıbrio eletrostático. Dê sua resposta em volts.(c) (2.5 pontos) Qual a capacitância na nova situação de equiĺıbrio eletrostático? Dê sua resposta
em farad.
(d) (2.5 pontos) O fabricante desiste do capacitor de placas paralelas e resolve usar o material para
fazer um capacitor esférico cuja área da superf́ıcie interna é quatro vezes menor do que a área
da superf́ıcie externa. Qual o valor da capacitância? Dê sua resposta em farad.
Soluções
(a) A área de cada placa do capacitor é metade da área dispońıvel para o fabricante, então
C =
�0A
2d
. (1)
(b) Dois terços das part́ıculas carregadas são atráıdas pelas placas e contribuem para a diminuição
da carga ĺıquida, logo
Q =
σA
2
− 2Ne
3
, (2)
∆V =
2Qd
�0A
, (3)
∆V =
d
�0
(
σ − 4Ne
3A
)
. (4)
(c) Não houve alteração na geometria do capacitor, portanto
C =
�0A
2d
. (5)
(d)
Ae = 4Ai, (6)
R2e = 4R
2
i . (7)
11
Temos também que
Ai +Ae = A, (8)
R2i +R
2
e =
A
4π
, (9)
Ri =
√
A
20π
, (10)
Re =
√
A
5π
. (11)
A capacitância é dada por
C = 4π�0
(
RiRe
Re −Ri
)
, (12)
C =
1
k
√
A
5π
. (13)
12
Questão 2-10
Considere um capacitor de placas paralelas de capacitância C, cuja separação entre as placas de área
A, é d.
(a) (2.5 pontos) Determine a constante dielétrica do material entre as placas, considerando que ele
preenche completamente o espaço interno do capacitor.
(b) (2.5 pontos) Se conectarmos os terminais desse capacitor a uma pilha de 1,5 volts, determine a
densidade de energia armazenada no campo elétrico em J/m3.
(c) (2.5 pontos) Se desconectarmos a pilha e conectarmos esse capacitor a um outro capacitor
idêntico, porém sem dielétrico entre suas placas e inicialmente descarregado, determine a di-
ferença de potencial final entre as placas dos capacitores. Dê sua resposta em volts.
(d) (2.5 pontos) Considerando a situação descrita no item anterior, determine a carga final armaze-
nada no capacitor sem dielétrico em picocoulombs (10−12 C)
Resolução
13