Escolha sob Risco e Incerteza

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07/04/2011
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Escolha do Consumidor sob 
condições de Risco e de Incerteza
Capítulo 7 – Nicholson e Snyder
Turma do Prof. Décio Kadota
Distinção entre Risco e Incerteza
Na literatura econômica, a primeira e mais importante distinção
entre situações de risco e de incerteza foi feita por Frank Knight
em 1921:
• Risco: situação na qual é possível à priori conhecer todos as
possibilidades de resultados do fenômeno incerto, bem como
associar as probabilidades de ocorrência de cada um deles.
• Incerteza: situação na qual, por alguma razão, não se
consegue dar uma abordagem estatística ao fenômeno.
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Contudo, a partir da metade do século passado a distinção entre
Risco e Incerteza passou a ser muito mais restrita, constituindo-se
em sub-classes de fenômenos que são passíveis de tratamento
estatístico através da probabilidade:
• Risco: situação na qual as probabilidades de ocorrência dos
resultados possíveis podem ser medidas de forma objetiva, ou seja,
que diferentes indivíduos concordam com as medidas das mesmas.
• Incerteza: situação na qual as probabilidades de ocorrência dos
resultados possíveis são subjetivamente determinadas por cada
indivíduo que defronta o fenômeno.
Base da análise de Risco e Incerteza
• Todas as situações que envolvem fenômenos aleatórios afetando
os ambientes de decisão dos agentes econômicos, portanto que
implicam em riscos ou incertezas na obtenção dos resultados das
decisões e ações dos mesmos, são passíveis de abordagem
estatística através de distribuições de probabilidades;
• Portanto, sempre se conhece à priori todos os resultados
possíveis dos fenômenos aleatórios envolvidos, bem como as
chances de ocorrência de cada um deles;
• O objeto de escolha de qualquer indivíduo nessas situações são
tratadas genericamente como sendo Loterias;
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• Uma loteria é definida como onde Pi
e Ti (i = 1, 2, ..., S) representam a probabilidade do evento i
ocorrer e o respectivo prêmio a ser o obtido nesse caso;
• Os prêmios podem ser objetos ou coisas de qualquer natureza,
desde que desejados pelo indivíduo que está escolhendo as loterias
(por exemplo, valores monetários, cestas com quantidades de
bens; etc);
{ }= 1 1 2 2 S SL P : T ;P : T ;......;P : T
Questão: como escolher entre duas loterias?
Considere o caso simples de situações com apenas dois eventos
possíveis, com as seguintes loterias:
• Loteria 1: L1 = {20%: R$ 5; 80%: R$ 200}
• Loteria 2: L2 = {20%: R$ 10; 80%: R$ 300}
É fácil decidir que L2 é preferível a L1
• Loteria 3: L3 = {40%: R$ 100; 60%: R$ 200}
• Loteria 4: L4 = {10%: R$ 100; 90%: R$ 200}
Também é fácil decidir que L4 é preferível a L3
Contudo, a escolha entre L1 e L3 não é mais tão fácil decidir
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O critério Maior Prêmio Esperado resolve?
Calculando-se o valor esperado do prêmio das 4 loterias, tem-se:
• Loteria 1: L1 = {20%: R$ 5; 80%: R$ 200}
• Loteria 2: L2 = {20%: R$ 10; 80%: R$ 300}
• Loteria 3: L3 = {40%: R$ 100; 60%: R$ 200}
• Loteria 4: L4 = {10%: R$ 100; 90%: R$ 200}
( ) =
1
L
E T R$ 161
( ) =
2
L
E T R$ 242
( ) =
3
L
E T R$ 160
( ) =
4
L
E T R$ 190
Em princípio, o critério do maior valor esperado do prêmio da
loteria parece funcionar:
• Ele explicita porque foi fácil escolher L2 contra L1 e L4 contra L3
• E também porque não foi fácil escolher entre L1 e L3
• Em casos como esse último, ele propicia um critério simples
para comparações de loterias com diferentes perfis de prêmios
e respectivas probabilidades. Mesmo para casos mais complica-
dos de loterias com diferentes números de eventos possíveis.
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Problema: O Paradoxo de São Petersburgo
Considere que alguém proponha a você a escolha entre as
seguintes duas loterias?
• Loteria 1 – Um bilhete de loteria com um prêmio de R$
1.000.000,00, com 50% de probabilidade de ganhar esse prêmio
e 50% de não ganhar nada;
• Loteria 2 – Um jogo em que você deve lançar repetidas vezes
uma moeda perfeita, até que obtenha pela primeira vez a face
Cara, onde o jogo termina. O seu prêmio então será de R$ 2k,
onde k representa o número total de vezes que você necessitou
lançar a moeda para encontrar a face Cara.
A resposta mais comum é a loteria 1. Qual você escolheria?
• Loteria 1:
• Loteria 2:
Prêmio R$ 1.000.000 R$ 0 
Probabilidade 50% 50% 
 
= + =
1L
E(T) 0,5.1.000.000 0,5.0 500.000 
Nº Lançamentos 1 2 3 4 …. k …. …. 
Prêmio 2
 
22
 
32
 
42
 
…. 
k2
 
…. …. 
Probabilidade 1
2 ( )212 ( )312 ( )412 …. ( )k12 …. …. 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + + + + +2 2 3 4 k2 3 4 kL 1 1 1 1 1E(T) 2. 2 . 2 . 2 . ... 2 . ....2 2 2 2 2 
ou 
= + + + + + + = ∞
2L
E(T) 1 1 1 1 ... 1 ....
 
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Função Utilidade Esperada de Von Neumann e 
Morgenstern (FUVNM)
Para todo indivíduo racional i, existe uma função utilidade iU ( )• definida 
sobre os valores dos prêmios de loterias, tal que esse indivíduo considera 
uma loteria 1 1 1 I IL {M : p ,......M : p }= no mínimo tão boa quanto uma outra 
loteria 2 1 1 J JL {N : q ,......N : q }= se e somente se i i1 2EU (L ) EU (L )≥ , onde 
I
i i
1 i i
i 1
EU (L ) p .U (M )
=
=∑ 
J
i i
2 j j
j 1
EU (L ) q .U (N )
=
=∑ 
 
OBS.: Se i i1 2EU (L ) EU (L )> , então diz que o indivíduo k prefere 
estritamente a loteria L1 à loteria L2. 
Atitude dos Indivíduos em relação ao Risco
Suponha uma situação em que alguém lhe apresenta a seguinte loteria: 
 
Prêmio R$ 500 R$ 100 
Probabilidade 50% 50% 
 
cujo valor do prêmio esperado é de: 
EP 0,5.500 0,5.100 300= + = 
 
e que lhe peça para escolher se você prefere receber a loteria L1 ou receber, 
com certeza, o valor equivalente ao prêmio esperado da mesma (R$ 300), 
ou seja, receber a loteria L2 = {300:1}. 
L1 = 
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Se você possui uma FUEVNM, a sua resposta dependerá da relação entre 
os seguintes valores: 
 
i i i
1EU (L ) 0,5.U (500) 0,5.U (100)= + 
e 
i i
2EU (L ) 1.U (300)= 
 
As relações possíveis são: 
 
• 
i i
1 2EU (L ) EU (L )< - nesse caso, você preferiria receber, com certeza, o 
valor do prêmio esperado de R$ 300 (L2), do que arriscar a receber R$ 
500 ou R$ 100 iguais probabilidades de 50% (L1). Isso significa que 
você seria um indivíduo que não gosta de aceitar riscos e é do tipo que 
se denomina de Avesso ao Risco; 
 
• 
i i
1 2EU (L ) EU (L )= - nesse caso você seria indiferente entre as loterias 
L1 e L2, ou seja, você seria do tipo que se denomina de Neutro ao Risco. 
 
• 
i i
1 2EU (L ) EU (L )> - nesse caso você seria um indivíduo que gosta do 
risco, ou seja de arriscar a ter o prêmio maior de R$ 500, mesmo ao 
custo da possibilidade de terminar com apenas R$ 100), do que receber 
com certeza o valor intermediário do prêmio esperado de R$ 300. Você 
então é do tipo que se denomina de Amante do Risco. 
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Em resumo, tem-se então que, dada uma loteria qualquer L = (T1:p1, T2:p2, 
….., TN:pN), simples ou composta, com prêmio esperado representado por 
LEP , um indivíduo i qualquer é tipificado por sua atitude em relação ao 
risco, da seguinte forma: 
 
• Avesso ao Risco se i i LEU (L) U (EP )< 
• Neutro ao Risco se i i LEU (L) U (EP )= 
• Amante do Risco se i i LEU (L) U (EP )> 
Pode-se verificar que a classificação da atitude de qualquer indivíduo em 
relação ao risco vai depender unicamente da característica da sua função 
iU (T) que está envolvida na definição da sua função utilidade esperada 
kEU (L) . 
 
• Se iU (T) é côncava (utilidade marginal do prêmio é decrescente), então 
o indivíduo é Avesso a Risco; 
• Se iU (T) é linear (utilidade marginal do prêmio é constante), então o 
indivíduo é Neutro ao Risco; 
• Se iU (T) é convexo (utilidade marginal do prêmio é crescente), então o 
indivíduo é Amante do Risco. 
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Indivíduo Avesso a Risco
 
x1 x2 
U(x)
1 2EU(L) pU(x ) (1 p)U(x )= + −
1U(x )
2U(x )
U(EX)
EX = px1 + (1-p)x2 
 
 
T1 T2 
iU (T)
i i i
1 2
iEU (L) pU (T ) (1 p)U (T ) U (ET)= + − =
i
1U (T )
i
2U (T )
ET = pT1 + (1-p)T2 
IndivíduoNeutro ao Risco
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T1 T2 
iU (T)
i i i
1 2EU (L) pU (T ) (1 p)U (T )= + −
i
1U (T )
i
2U (T )
iU (ET)
ET = pT1 + (1-p)T2 
Indivíduo Amante do Risco
Exemplo das Loterias do Paradoxo de São Petersburgo
Vamos supor que se trata de um indivíduo Avesso a Risco, cuja FUEVNM 
é tal que U(M) M= . Nesse caso tem-se que: 
 
• Loteria 1: 
1UE(L ) 0,5. 1.000.000 0,5. 0 500= + = 
 
• Loteria 2: 
( ) ( ) ( ) ( )2 3 42 3 42 1 1 1 1UE(L ) . 2 . 2 . 2 . 2 ..............2 2 2 2= + + + + 
 
onde essa soma de uma PG infinita, com razão igual a 2
2
 é 1aS
1 r
=
−
 ou: 
2
2
2 2UE(L ) 2,41
2 221 2
 
 
 
= = ≅
 
−
−  
 
 
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Suponha uma situação com um indivíduo, com as seguintes
condições:
•Ele possui uma riqueza no valor de $ 35.000;
• Ele tem a possibilidade de perder $ 10.000 devido a um sinistro,
que tem probabilidade de ocorrência de λ = 1%;
• Existe uma empresa de seguros que está disposta a oferecer um
seguro que cobre até o valor total da possível perda, cobrando um
valor de prêmio de seguro de µ% por cada unidade de valor
segurado, preço esse que é atuarialmente justo;
• Esse indivíduo possui uma função FUEVNM e é avesso a risco (ou
seja, U(.) é tal que U´(.)>0 e U´´(.)<0)
Exemplo: Demanda por Seguro
Diz-se que um contrato de seguro tem um valor de prêmio P
atuarialmente justo se o mesmo implica num lucro econômico nulo
para a Cia de seguros.
Para simplificar a análise, vamos supor que o custo unitário de
produção de uma apólice de seguro é de valor desprezível em
relação aos valores envolvidos na mesma, ou simplesmente que o
mesmo é nulo.
Portanto, o lucro esperado de uma apólice com valor segurado K é
igual a: L = Valor do Prêmio P – valor esperado da indenização
Ou L = µ.K – λK = 0 . Portanto, µ = 1%
Prêmio de Seguro Atuarialmente Justo:
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Problema desse consumidor: Escolher se irá fazer um contrato
de seguro e de qual valor K a ser segurado. Ou, escolher um dos
infinitos contratos de seguro (K; µK) com . Ou
uma das seguintes infinitas loterias:
com
0 K 10.000≤ ≤
( ) ( )i i i iL 99% : 35.000 0,01K ;1% : 35.000 10.000 K 0,01K = − − + − 
i0 K 10.000≤ ≤
Solução - Condição de 1ª ordem:
Que implica em
Como a função U(.) é estritamente côncava, essas duas derivadas
só podem ser iguais se forem calculadas no mesmo ponto.
Problema do Consumidor:
( ) ( )
K
Maximizar EU 0,99.U 35.000 0,01K 0,01.U 25.000 0,99K= − + +
( ) ( ) ( ) ( )dEU 0,99.U´ 35.000 0,01K . 0,01 0,01.U´ 25.000 0,99K . 0,99 0dK = − − + + =
( ) ( )U´ 35.000 0,01K U´ 25.000 0,99K− = +
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Ou seja, ou
Portanto ele escolhe o seguro total (K=10.000; P=100)
Conclusão: Obtêm-se o conhecido resultado “Se um indivíduo
avesso a risco tem possibilidade de comprar qualquer apólice de
seguro, pagando um prêmio atuarialmente justo, então ele
sempre escolhe a apólice com seguro total”
Ou seja, ele sempre irá procurar fugir da situação de risco,
repassando-a à Cia de Seguros, ficando com a situação (ou
loteria) sem nenhum risco:
35.000 0,01K 25.000 0,99K− = + K 10.000=
[ ] [ ]= =*L 99% : 34.900;1% : 34.900 100% : 34.900
Suponha uma situação com um indivíduo, com as seguintes
condições:
•Ele possui uma riqueza no valor de $ 100.000;
• Ele tem a possibilidade 25% do seu carro de $ 20.000 ser
roubado;
• A função FUEVNM desse indivíduo é U(W) = Ln(W);
•Como existe uma empresa de seguros que está disposta a
oferecer um seguro total da possível perda, até que valor de
prêmio esse indivíduo estará disposto a pagar para obter essa
apólice de seguro?
Exemplo 2: Disposição a Pagar por Seguro (Livro)
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Utilidade Esperada na situação sem seguro (L1):
Utilidade Esperada na situação com seguro (L2):
L2 = [75%:(100.000 – P); 25%: (80.000 + 20.000 – P)]
1EU(L ) = 0,75.Ln(100.000) + 0,25.Ln(80.000)
1EU(L ) = 0,75.(11,51293) + 0,25.(11,28978)
1EU(L ) = 11,45714
2EU(L ) = 0,75.Ln(100.000-P) + 0,25.Ln(100.000-P) = Ln(100.000-P)
P* = valor máximo do prêmio que ele está disposto a pagar:
ou P* = 5.426
Como o valor do prêmio de uma apólice atuarialmente justa é de
A Seguradora pode conseguir obter uma margem de até $ 426 pela
apólice vendida ao indivíduo.
2EU(L ) = Ln(100.000-P*) 11, 45714=
11,45714100.000 - P* = e
ˆP = 0,25.20,000 = 5.000
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Medida de Pratt para Grau de Aversão ao Risco
A medida do grau de aversão ao risco proposta por J. Pratt (1960)
é a mais comumente utilizada na literatura de escolha envolvendo
risco, e é definida da seguinte forma:
2
2
( )
"( ) ( )'
U W
U Wr W U WU
W
∂
∂
= − = − ∂
∂
Fim