AULA 01RM

Prévia do material em texto

Estática: Revisão
Prof.ª Ma. Bárbara Chagas Rachinhas
barbara.rachinhas@ufrgs.br
- Aula 01 -
Escola de Engenharia – Departamento de Engenharia Civil – ENG01140
O que veremos hoje?
1. Introdução;
1.1 Conceitos fundamentais da mecânica clássica;
1.1.1 Força;
1.1.2 Momento;
1.1.3 Partícula e corpo rígido, deformações;
1.1.4 Leis de Newton;
1.2 Sistema estaticamente equivalentes;
2. Equações de equilíbrio estático de corpo rígido;
2.1 Vínculos;
3. Estaticidade de uma estrutura;
4. Exemplos. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
Conceitos fundamentais da Mecânica Clássica
por contato: forças de atrito,
pressão de fluidos;
à distância: obtidas pela ação de
campos gravitacionais (força peso)
e eletromagnéticos.
• Gerada
Força: grandeza vetorial que representa a interação entre dois corpos de
acordo com a terceira Lei de Newton (ação e reação);
Introdução
Força
• Descrição Vetorial:
• Vetor unitário de direção:
• Vetor de posição relativa:
• Ângulos diretores:
• Componentes escalares do vetor
força:
ou
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
Forças atuantes em um corpo
• Forças externas: Representam a ação de agentes externos ao corpo;
Forma estática: quando as forças são aplicadas de maneira lenta;
Forma dinâmica: quando são considerados os efeitos inerciais do corpo
que é submetido ao carregamento;
Exemplos: cargas induzidas por
contato com outros corpos, ação do
campo gravitacional e as próprias
reações vinculares.
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Forças internas: Se desenvolvem no interior dos corpos e são
responsáveis pela manutenção do equilíbrio interno, representando a
ação mútua entre as partes que constituem um corpo.
Exemplo: forças internas na seção C.
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Cargas concentradas: são empregadas na representação de forças e
pressões atuando sobre áreas muito pequenas em comparação com as
dimensões do corpo sobre o qual elas atuam;
• Cargas distribuídas: são utilizadas para representar uma ação que se
estende sobre uma dada área da superfície de um corpo.
• As forças que representam as
ações podem ser consideradas
Concentradas;
Distribuídas sobre uma
superfície ou linha;
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Carga concentrada:
• Carga distribuída por
unidade de área:
• Carga distribuída por unidade
de comprimento:
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Carga distribuída: uma força concentrada equivalente deve ser obtida
para a determinação das reações nos apoios;
• Essa força concentrada equivalente tem sua linha de ação na direção do
próprio carregamento e passa pelo centroide da figura que representa a
distribuição de carga;
• Módulo da força equivalente: igual à área (ou volume) abaixo da curva
que define a forma de distribuição do carregamento.
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Carga distribuída por unidade de comprimento
• Força concentrada equivalente:
• Ponto de aplicação:
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Carga distribuída por unidade de área
• Força concentrada equivalente:
• Ponto de aplicação:
( , )
A
F p x y dA dV= = 
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
Momento: grandeza vetorial que mede a tendência de uma força de gerar
rotações em um corpo.
• Descrição vetorial:
Conceitos fundamentais da Mecânica Clássica
• Vetor posição relativo ao polo O:
• Mod. do vetor momento:
• Braço de alavanca:
• Direção e sentido do vetor momento: ortogonal ao plano definido por
e , com sentido segundo a regra da mão direita.
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Componentes escalares do vetor momento:
• Convenção de sinais: Sentido anti-horário
é positivo, em relação aos eixos X, Y e Z.
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Problemas planos (plano XY): o vetor momento de uma força terá
sempre sua direção dada segundo o eixo Z, com o módulo dado por .
• Teorema de Varignon: são utilizados os braços de alavanca das
componentes da força ao invés do braço de alavanca da linha de ação da
força.
1 1 2 2. . .R d F d F d=  
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
Partícula e corpo rígido, deformações: a abordagem de partícula na
Estática é empregada quando temos a concorrência das linhas de ação das
forças atuantes em um único ponto. O equilíbrio pode ser verificado
simplesmente pela obtenção de um vetor força resultante nulo.
Conceitos fundamentais da Mecânica Clássica
• Abordagem da partícula (forças concorrentes em G):
• Abordagem de corpo rígido:
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
A abordagem de corpo rígido é utilizada quando os pontos materiais que
compõe o corpo apresentam posições relativas fixas entre si, sem alteração na
forma do corpo quando submetido à ação de forças. O equilíbrio estático é
verificado através da existência de um vetor força resultante nulo e de um vetor
momento resultante nulo, uma vez que a condição estática só pode ser
confirmada neste caso pela inexistência de acelerações lineares e angulares
devido ao fato do sistema de forças atuantes ser não concorrente. Quando
deformações finitas são observadas, alterando significativamente a forma do
corpo, deve-se utilizar a Mecânica de corpos deformáveis para o estudo do
equilíbrio. Contudo, nos casos em que a configuração deformada do corpo é
muito próxima da configuração indeformada, a Mecânica de corpos rígidos
pode ser utilizada como aproximação sem prejuízos quanto à precisão dos
resultados.
“
”
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
Leis de Newton: Conjunto de axiomas que definem os princípios básicos
sobre os quais se fundamenta a Mecânica Clássica. Neste contexto,
empregam-se os conceitos absolutos de espaço e tempo (independem de
referencial) em uma descrição geométrica Euclidiana.
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• 1ª Lei: lei da inércia (conservação da quantidade de movimento) – Todo corpo
continua em seu estado de movimento uniforme em uma linha reta, a menos
que ele seja forçado a mudar aquele estado por forças imprimidas sobre ele:
• 2ª Lei: lei da superposição de forças - A mudança de movimento é proporcional
à força resultante e é produzida na direção e sentido desta força resultante:
• 3ª Lei: lei da ação e reação - Lei da gravitação:
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
Sistemas estaticamente equivalentes
• Dois sistemas de forças são estaticamente equivalentes
quando produzem a mesma resultante de forças e
momentos em um dado ponto de um corpo e as mesmas
condições cinemáticas;
• Princípio da Transmissibilidade: Deseja-se deslocar o
ponto de aplicação de uma força F sobre um dado corpo
do ponto P para o ponto E, procurando que sejam
mantidas a mesma condição cinemática e a mesma
condição de estaticidade verificada inicialmente.
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Princípio da Transmissibilidade: Garante que não há
alteração nestas condições desde que mantenha-se o
ponto de aplicação da força sobre a linha de ação
original;
• É importante ressaltar que este princípio só é válido
quando um corpo é tratado como um corpo rígido;
Introdução
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Altera-se o ponto de aplicação de uma força F do ponto P para o ponto E
do corpo, mantendo-se a mesma condição de estaticidade e cinemática
observadas inicialmente. Neste caso, deve-se transladar a força para o
novo ponto de aplicação mantendo-se o mesmo módulo, direção e
sentido originais. Além disso, aplica-se um momento equivalente ao
transporte da força. Em corpos rígidos, momentos podem ser
transladados livremente sobre o plano.
Equações de equilíbrio estático de 
corpo rígido
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Para que um corpo rígido qualquer esteja em equilíbrio estático é
necessário que as resultantes de força e momento tenham componentes
nulasnas direções em que o corpo possa apresentar movimentos de
corpo rígido;
• Caso estas resultantes não sejam nulas, o corpo apresentará movimentos
de translação (deslocamentos lineares) e rotação (deslocamentos
angulares);
• Movimentos de corpo rígido são deslocamentos que um corpo sofre
quando submetido à ação de forças e momentos sem alterar a distância
relativa entre dois pontos quaisquer pertencentes a este corpo (ou seja,
sem alterar a sua forma);
Equações de equilíbrio estático de 
corpo rígido
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• No espaço são 6 os movimentos de corpo rígido: 3 translações e 3
rotações;
• No plano há 3 movimentos de corpo rígido: 2 translações e 1 rotação.
Equações de equilíbrio estático de 
corpo rígido
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• A condição de equilíbrio estático no plano é dada pelo seguinte conjunto
de equações:
• Equações de equilíbrio alternativas também podem ser usadas desde que
sejam cumpridas algumas exigências:
Equações de equilíbrio estático de 
corpo rígido
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• 1ª condição de equilíbrio alternativa:
• Exigência: a direção a (a=x ou a=y) escolhida para o equilíbrio de forças
não pode ser perpendicular à linha que une os pontos p1 e p2.
Equações de equilíbrio estático de 
corpo rígido
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• 2ª condição de equilíbrio alternativa:
• Exigência: os pontos p1, p2 e p3 não podem ser colineares.
Equações de equilíbrio estático de 
corpo rígido
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Um elemento estrutural não pode apresentar MCR. Para isso, devem ser
usados os chamados vínculos, que são dispositivos que impedem o
movimento (translação e/ou rotação) do elemento em uma determinada
direção no ponto em que são aplicados;
• Para que um movimento seja impedido, é necessário aplicar uma força ou
momento na direção correspondente, gerando-se as chamadas reações
vinculares.
Vínculos
Equações de equilíbrio estático de 
corpo rígido
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Tipos de vínculos para problemas planos:
Apoio simples ou de 1ª ordem: impede apenas o deslocamento
linear na direção perpendicular à base de apoio;
Apoio duplo ou de 2ª ordem (rótula): impede todos os
deslocamentos lineares;
Engaste ou vínculo de 3ª ordem: impede todos os deslocamentos
lineares e rotações.
Equações de equilíbrio estático de 
corpo rígido
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• As reações surgem nas direções dos deslocamentos e/ou rotações
impedidos, como mostra a figura abaixo.
Estaticidade de uma estrutura
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Em função do número de movimentos de corpo rígido e da vinculação
existente, as estruturas podem ser classificadas da seguinte maneira:
• Estrutura hipostática ou mecanismo: o número de restrições vinculares
ou sua disposição não impedem a totalidade dos MCR da estrutura, de
modo que a mesma adquire movimento sob a ação de forças
(mecanismo). O número de equações de equilíbrio é maior que o número
de incógnitas (reações vinculares).
Estaticidade de uma estrutura
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Estrutura isostática ou estaticamente determinada: o
número e a disposição das restrições vinculares
impedem a totalidade dos MCR da estrutura. O número
de equações de equilíbrio é igual ao número de
incógnitas.
•OBS.: Não basta que o número de restrições iguale o
número de MCR. É preciso também que os vínculos
estejam convenientemente dispostos para impedir o
movimento. As estruturas ao lado apresentam 3 MCR e
3 restrições vinculares, mas os movimentos não são
totalmente impedidos.
Estaticidade de uma estrutura
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Estrutura hiperestática ou estaticamente indeterminada: o número de
restrições vinculares é maior que o número de MCR, ou seja, há mais
vínculos que o necessário para impedir os movimentos da estrutura.
• Este tipo de estrutura não pode ser resolvido somente com as equações
de equilíbrio, sendo necessário acrescentar equações ao sistema
provenientes de considerações sobre a deformação da estrutura
(exemplo: método dos deslocamentos, método das forças).
Exemplos
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Calcular as reações da viga:
1º Passo: Identificar as reações e cargas
Ha
Va
Ma
Exemplos
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
2º Passo: Calcular as forças equivalentes
3º Passo: Calcular as reações
Ha
Va
1,8 kN
1,35 kN
Ma 9 
.0, 2 1,8 
kN
m kN
m
=
9 1
.0,3 . 1,35 
2
kN
m kN
m
=
0
0
0
x
y
F
F
M
 =

 =

 =
( )0 xF• = →+
0AH =
( )0 yF• =  +
( )
1,8 1,35 0
3,15 kN 
A
A
V
V
− − =
= 
( )0 +AM• =
( )
1,8.0,1 1,35.0,3 0
0,59 kN.m +
A
A
M
M
+ − − =
=
Exemplos
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
• Calcular as reações do pórtico:
1º Passo: Identificar as reações e cargas
Exemplos
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
2º passo: Calcular as forças equivalentes, para isto, aplicar conceitos de
trigonometria;
tan
6,0
tan
3,0
tan 2,0
CO
CA



=
=
=
( )1tan 2,0
63, 43


−

=
=
cos
3,0
cos 63, 43
6,71
CA
hip
hip
hip m


=
=
=

1
50 .6,71 m. 167,75 kN
2
kN
m
=
167,75 kN
167,75 kN
180 90 63,43
26,57


  

= − −
=



Exemplos
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
Segue no 2º passo: Calcular as forças equivalentes, para isto, aplicar
conceitos de trigonometria;
'
' 1
'
6,0
tan
2,0
tan 3,0
71,57



−

=
=
=
º 2cos 71,57
6,33 m
hip
hip
=
=
40. .6,33 253, 2 
kN
m kN
m
=
'
'
253,2 kN
180 90 71,57
18,43


  

= − −
=
' '
253,2 kN
Exemplos
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
3º Passo: Calcular as reações;
2/3.3=2,0 m 1,0 m
3
,0
m 6
,0
m
3
,0
m
2
/3
.6
=
4
,0
m
Va Vd
He
75 kN
150 kN
240,2 kN
80 kN
0
0
0
x
y
F
F
M
 =

 =

 =
( )0 xF• = →+
( )
150 240,2 0
90,2 kN 
E
E
H
H
+ − − =
= − 
( )90,2 kN EH = →
Exemplos
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ENG01140
Segue no 3º Passo: Calcular as reações;
( )0 yF• =  +
( )0 +AM• =
2/3.3=2,0 m 1,0 m
3
,0
m
2
/3
.6
=
4
,0
m
Va Vd
He
75 kN
150 kN
240,2 kN
80 kN
75 80 0
155 kN
A D
A D
V V
V V
+ − − + =
+ =
( )
150.4 75.2 180 90,2.9 80.9 240,2.3 .10 0
600 150 180 811,8 720 720,6 .10 0
174,1 kN
D
D
D
V
V
V
− − − − − + + =
− − − − − + + =
= 
( )
174,1 155 kN
19 kN
A
A
V
V
+ =
= −  ( )19 kNAV = 