Questão resolvida - Uma calha horizontal possui 20 m de comprimento e tem uma secção transversal triangular isósceles de 8 cm de base no topo e 10 cm de profundidade (altura) ... - Cálculo I - UFBA

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Uma calha horizontal possui 20 m de comprimento e tem uma secção transversal 
triangular isósceles de 8 cm de base no topo e 10 cm de profundidade (altura referida 
a base na parte superior). Devido a uma pesada tempestade, a água em seu interior 
está se elevando a uma razão de 0,5 cm/min, no instante que está a 5 cm de 
profundidade. Quão rápido o volume de água em seu interior estará crescendo neste 
instante?
 
 
Resolução: 
 
Queremos a taxa de variação do volume em função do tempo, ou seja: 
dV
dt
Observe a figura seguinte:
Por semelhança de triângulo chegamos na relação;
 
 
10 cm
8 cm
seção da calha
triângulo da parte de cima
b
y - 10
b
y
= 10b = 8 y - 10 b =
8
b
10
y - 10
→ ( ) →
8 y - 10
10
( )
 
A seção da água dentro da calha forma um trapézio de base menor b, base maior 8 e altura y
Com isso, sua área é dada por :
 
A = A = A =
8 + ⋅ y
2
8 y-10
10
( )
→
8 + ⋅ y
2
4 y-10
5
( )
→
4 2 + ⋅ y
2
y-10
5
A = 2 2 + ⋅ y A = 4y + A = 4y + - 2y A = + 2y
y - 10
5
→
y - 10y
5
2
→
y
5
2
→
y
5
2
 
Derivando os 2 membros em relação ao tempo, fica :
 
= + 2
dA
dt
2y
5
dy
dt
 
V = A ⋅H Derivando V em relação ao tempo = ⋅H→ →
dV
dt
dA
dt
H = 20 m H = 2000 cm→
 
= + 2 ⋅ 2000
dV
dt
2y
5
dy
dt
 
 é a taxa de variação da altura da água em relação ao tempo, esse valor foi dado no
dy
dt
enunciado como, sendo = 0, 5 cm / min, netse instante a altura da água é de y = 5 cm. 
dy
dt
 
Substituindo, temos :
 
= + 2 ⋅ 0, 5 ⋅ 2000 = 2 + 2 ⋅ 1000 = 4 ⋅ 1000
dV
dt
2 ⋅ 5
5
→
dV
dt
( ) →
dV
dt
 
= 4000 cm /min
dV
dt
3
 
 
(Resposta )