UA 05 Matemática 2017-1

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MATEMÁTICA 
Unidade de Aprendizagem 5 
 
 
Aritmética e Álgebra (Parte 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reconhecer os números no universo dos Reais, suas 
diferentes representações e as propriedades das 
operações aritméticas enquanto elementos 
fundamentais nas atividades pessoais e profissionais. 
 
Conhecimento das formas de representações de 
números reais, operações aritméticas e 
propriedades, bem como de sua utilização em 
situações abstratas ou contextualizadas. 
 
Utilizar adequadamente números decimais, frações, 
potências e raízes no tratamento numérico requerido 
nas atividades cotidianas, inclusive com o uso de 
calculadora. 
 
 
2 
 
 
 
 
Aritmética e Álgebra (Parte 1) 
 
Apresentação 
 
Aritmética é um ramo da Matemática que trata dos números e suas 
operações. É a base para o desenvolvimento de diversas áreas da Matemática. 
Na Álgebra, parte dos números é representada por outros símbolos, geralmente 
letras, e utiliza a aritmética no seu desenvolvimento. 
Nesta Unidade de Aprendizagem você vai estudar com detalhamento os 
números reais e as propriedades das operações que são realizadas com eles. O 
domínio desse conteúdo é extremamente importante uma vez que lhe permite 
desenvolver habilidades para lidar com valores numéricos em situações abstratas 
ou contextualizadas, avaliar criticamente resultados numéricos e usar 
adequadamente a tecnologia (calculadora e planilhas de cálculo, por exemplo). 
Todos os conceitos que discutiremos devem estar sempre em mente, pois serão 
utilizados também nos cálculos algébricos. 
 
Para começar 
 
Pense num número. Vou tentar adivinhar o número que você pensou 
exatamente. 
 
 
3 
Vamos lá! Hum... você pensou em um dos números abaixo! 
 
Figura 1: Pensando em um número 
 
 
 
 
 
 
 
Não? Errei? Pois é... Sem qualquer dica sobre o número que você pensou 
fica muito difícil adivinhar. Afinal, existem muitas possibilidades de escolha. E 
certamente, você não se restringiu aos números naturais de 1 a 9 (será?), já que 
você tem os infinitos números do universo dos Reais para pensar, não é 
mesmo? 
Figura 2: Pensando em números de um conjunto bem amplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3π 
-23,7 
5
19
 
√7
3
 
4,1212… 
 
ℝ 
 
 0,0000159 
 
 
4 
 
Fizemos essa brincadeira para chamar a sua atenção para o seguinte fato: 
em geral, quando falamos em números (no cotidiano), a referência é o universo 
dos reais, embora seja bem provável que as pessoas pensem primeiramente em 
números inteiros e positivos. Quando falamos em números reais incluímos os 
racionais e os irracionais, ou seja, fazem parte os naturais, os negativos, as 
frações, as raízes, as dízimas periódicas e também as não periódicas. 
Na UA 4 você pôde perceber que os números que você usa no seu dia a 
dia para contagem, cálculos, medidas e medições, são números reais. Os 
números naturais são frequentemente utilizados para contagem e ordenação. Os 
racionais, em geral, aparecem em medidas de tempo, capacidade, valores 
monetários, distâncias, alturas, áreas, volumes, pesos, temperatura, velocidade 
etc. E os irracionais? Na seção “Vamos Praticar” da UA 4 você viu que os 
irracionais também têm significativas aplicações. 
Com isso, torna-se necessário conhecer bem esse Universo. Vamos 
explorá-lo nesta Unidade de Aprendizagem, abordando vários aspectos, para que 
você saiba lidar adequadamente com os números nas suas atividades. Vamos nos 
aprofundar um pouco mais nas formas de representações dos reais e rever as 
propriedades das operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação, radiciação). Você tomará conhecimento de muitas ideias 
interessantes e importantes, que lhe serão úteis não somente nos próximos 
assuntos da disciplina de Matemática, mas também em várias outras desse curso. 
Fique atento! 
Ao longo desta aula citaremos o uso da calculadora para realizar operações 
aritméticas. Você poderá acessar a calculadora do seu computador ou alguma 
portátil que você já tenha. Existem vários tipos de calculadoras que são 
direcionadas para finalidades específicas. Distinguimos dois tipos úteis na nossa 
disciplina: a básica (em geral, realiza apenas operações fundamentais: soma, 
subtração, multiplicação, divisão, raiz quadrada e porcentagem) e a científica 
 
 
5 
(realiza as operações básicas e diversas outras funções matemáticas). 
As Figuras 3 e 4 ilustram esses dois tipos: 
 
Figura 3: calculadora básica do Windows 
 
 
Figura 4: calculadora científica do Windows 
 
Você tem as duas opções no seu computador. Para as operações de adição, 
subtração, multiplicação e divisão, as duas são adequadas. No entanto, para as 
demais operações, precisaremos da científica. Recomendamos que use a 
científica desde já. Vamos adiante! 
 
 
6 
 
Fundamentos 
 
 
1. Representações dos números reais 
 
Na UA 4 você teve oportunidade de reconhecer formas de representação 
de números reais. Os números racionais podem ser escritos na forma fracionária 
ordinária (conhecida como fração) e também na forma fracionária decimal 
(conhecida como decimal). No cotidiano e nas atividades acadêmicas e 
profissionais, ora usamos uma forma, ora outra. A escolha depende da 
necessidade ou preferência. Ao realizar operações com uso da calculadora ou de 
planilhas de cálculo, normalmente, recorremos à forma decimal. 
Na forma de frações, cada número racional é escrito na forma 
𝑎
𝑏
, com 𝑎 
e 𝑏 inteiros, sendo 𝑏 ≠ 0. 
Na forma decimal, cada número racional apresenta uma parte inteira e 
uma parte não inteira, que são separadas por uma “ , ” (vírgula). A representação 
decimal de um racional é exata (parte não inteira finita) ou uma dízima periódica 
(parte não inteira infinita periódica). Por exemplo: 1,25 é um decimal exato, 
enquanto 1,3333... é uma dízima periódica. 
 
 
 
7 
 
ATENÇÃO 
O separador decimal pode ser um “ . ” (ponto) ou uma “ , ” (vírgula). O “ponto” é 
usado, por exemplo, nos Estados Unidos. No Brasil, formalmente, adotamos a 
“vírgula” (você usa essa representação para valores monetários, por exemplo) mas, 
na prática, usamos qualquer um dos dois recursos. No entanto, é preciso ter muito 
cuidado ao usar o “ponto” como separador, pois também o utilizamos com outras 
finalidades, como: para separar classes nos números (veremos mais adiante) e para 
a operação de multiplicação. 
Sugerimos a você que desenvolva o hábito de usar a “vírgula” como separador a fim 
de evitar confusões. Caso você utilize uma calculadora científica e ela esteja 
configurada para usar “ponto”, recomendamos que consulte o manual e faça a 
mudança da notação para “vírgula”. 
Para expressar um número racional é possível transitar pelas duas formas 
(fração e decimal), ou seja, converter uma fração para a forma decimal ou 
converter da forma decimal para forma de fração. 
ATENÇÃO 
Você pode consultar a referência (SILVA&SILVA&SILVA, 2010) para relembrar o 
processo de conversão de representações de números reais, mas saiba também que 
algumas calculadoras científicas possuem funções para realizar operações nas duas 
formas. 
Os irracionais não podem ser representados em forma de fração (de um 
inteiro dividido por outro inteiro). São expressos na forma decimal e são dízimas 
não periódicas. 
 
 
8 
Nessa Unidade, você vai recordar propriedades das operações básicas com 
os reais nas suas diferentes representações, além de receber orientações 
importantes para seu uso no cotidiano, inclusive com auxílio da calculadora. 
 
2. Operações aritméticas e suas propriedades 
 
Iniciamos lhe dando a ideia de como são formados os números decimais. 
 
2.1 Sistema de Numeração Decimal 
 
Os números que usamos habitualmente são escritos no Sistema de 
Numeração Decimal. Isso quer dizer que são representados por um 
agrupamento de símbolos, denominados algarismos ou dígitos, a partir de dez 
símbolos diferentes, quesão: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Por exemplo, o número 
1534 é composto pelos dígitos 1, 5, 3 e 4. O valor de cada dígito depende da sua 
posição relativa no número. Vamos conversar mais sobre isso? 
 
Com relação à parte inteira do número (à esquerda da vírgula): 
verificamos que um número com apenas um dígito representa quantidades de 
zero a nove unidades. Ao passar de 9 unidades, a representação simbólica é 
feita por meio de um agrupamento de mais dígitos. 
Num número com dois dígitos, o primeiro símbolo (da esquerda para a 
direita) equivale à quantidade de “dez unidades” e o segundo à de uma unidade. 
“Dez unidades” equivalem a uma dezena. Assim, o número 10 tem dois dígitos 
e representa 1 dezena e 0 unidade. Da mesma forma, o número 27 tem dois 
dígitos e representa 2 dezenas e 7 unidades, ou ainda, 27 unidades. Nos números 
 
 
9 
de três dígitos, o primeiro (da esquerda para a direita) representa a quantidade 
de “10 dezenas” ou de centenas. Dessa forma, o número 100 corresponde a 1 
centena, 0 dezena e 0 unidade. O número 358 corresponde a 3 centenas, 5 
dezenas e 8 unidades, ou ainda, 358 unidades. 
O espaço ocupado por cada dígito é comumente chamado de casa. As 
unidades, as dezenas e as centenas são chamadas de ordens. Da direita para a 
esquerda, a cada três ordens, formamos uma classe, que são: das unidades, 
dos milhares, dos milhões, dos trilhões e assim por diante. 
 
ATENÇÃO 
Para facilitar a visualização das classes, podemos separá-las por "." (ponto) ou por 
“ ” (espaço). Dessa forma, o número: cinco milhões, duzentos e quatro mil, 
quinhentos e vinte e dois pode ser escrito como 5.204.522, ou ainda, 5 204 522. 
Atenção nesse momento! Ao registrar esse ou outro número numa calculadora, o 
“ponto” não deve ser digitado! O “ponto” da calculadora, se existir, não tem a 
função de separar classes. 
Outra informação: os países que usam o “ponto” como separador decimal adotam a 
“vírgula” para separar classes. Por exemplo: o número que, para nós, se escreve 
1.000.123,45 fica escrito de modo “levemente” diferente para esses países, onde se 
escreve 1,000,123.45. 
 
Com relação à parte não inteira (à direita da vírgula): 
À direita da vírgula temos as casas conhecidas como decimais. Da 
esquerda para a direita, o dígito 1 na primeira casa indica a décima parte de uma 
unidade. Nessa casa indicamos a quantidade de décimos de unidade. O dígito 1 
na segunda casa indica a centésima parte da unidade. Nessa casa indicamos a 
quantidade de centésimos de unidade. Sequencialmente, indicamos 
os milésimos, décimos de milésimos, os centésimos de milésimos, os 
milionésimos e assim por diante. Logo, no número 0,4 o dígito 4 indica o valor 
 
 
10 
de 4 décimos de unidade. No número 0,37 temos 37 centésimos de unidade, ou 
podemos dizer ainda, 3 décimos e 7 centésimos. 
 
DICA 
Números inteiros também podem ser escritos na forma decimal indicando a parte 
não inteira. Basta acrescentar zeros depois da “vírgula”. 
Por exemplo: 2 = 2,0 = 2,00 = 2,000 
 
De uma maneira geral, a representação decimal e das respectivas casas 
que os dígitos ocupam, pode ser visualizada como se segue na Figura 5: 
 
Figura 5: Número real na forma decimal 
 Parte Inteira Parte não inteira 
 Trilhões Bilhões Milhões Milhares Unidades Unidades Milésimos Milionésimos 
 C D U C D U C D U C D U C D U , d c m d c 
 
em que U = Unidade, D = Dezena, C = Centena, d = décimo, c = centésimo e 
m = milésimo. 
 
O número 4 375 935,357 pode ser lido como 4 milhões, trezentos e setenta 
e cinco mil, novecentos e trinta e cinco inteiros e trezentos e cinquenta e sete 
milésimos de unidade; ou ainda: 4 milhões, trezentos e setenta e cinco mil, 
novecentos e trinta e cinco inteiros, 3 décimos, 5 centésimos e 7 milésimos de 
unidade. 
DICA 
A fim de reduzir o número de palavras na leitura dos números, na prática, é comum 
citarmos a parte inteira, a vírgula, e depois a parte não inteira. 
Por exemplo: 13,4587 lemos: treze vírgula quatro cinco oito sete. 
 
 
 
11 
Existem outros sistemas de numeração. Os computadores e as máquinas 
digitais, por exemplo, trabalham internamente com o Sistema de Numeração 
Binário para representar os números, usando apenas dois dígitos: 0 e 1. No 
entanto, restringiremos nosso estudo ao sistema decimal. 
Agora podemos iniciar o estudo das operações aritméticas com os números 
reais. Nosso intuito é recordar e compreender a lógica das propriedades embutida 
em cada operação. 
 
2.2 Operações aritméticas 
 
Certamente, nas situações que você precisar realizar operações 
aritméticas, você vai recorrer a uma calculadora ou a uma planilha de cálculo. E 
você pode estar questionando, nesse momento, o fato de estudá-las. Pois bem, 
apesar da tecnologia ajudar nos cálculos, e muito, ela isoladamente não vai lhe 
favorecer caso você não “informe” a ela, de forma correta, o que você deseja 
calcular, ou ainda, não faça uma leitura adequada dos resultados. Nesse sentido, 
é essencial que você conheça bem as propriedades das operações. Mesmo que 
você considere ter bom domínio de tudo isso, recomendamos que faça uma 
leitura desta Unidade e realize os exercícios disponíveis no Momento da Verdade. 
Começamos com uma dica: 
DICA 
Sobre a representação decimal de um número: 
• Na parte inteira: acrescentar zero à esquerda não altera o número. 
Exemplo: 2,35 = 02,35 = 002,35 
• Na parte não inteira: acrescentar zero à direita não altera o número. 
Exemplo: 2,35 = 2,350 = 2,3500 
 
 
 
12 
 
2.2.1 Adição (o símbolo é +) e Subtração (o símbolo é –) 
 
Não vamos discutir o algoritmo das operações de adição e de subtração. 
Vamos destacar as suas propriedades e também os “sinais dos resultados”. 
 Acompanhe as operações de adição e de subtração de números reais que 
seguem: 
 
25,34 + 2,3 + 127,183= 
 
 25,340 ⇐ parcela 
+ 2,300 ⇐ parcela 
 127,183 ⇐ parcela 
 154,823 ⇐ soma ou total 
 
25,34 − 2,3 = 
 
 
 _ 25,34 ⇐ minuendo 
 2,30 ⇐ subtraendo 
 23,04 ⇐ resto ou diferença 
1
8
+
3
8
=
1 + 3
8
=
4
8
=
1
2
 
1
4
−
5
4
=
1 − 5
4
=
−4
4
= −1 
2
3
+
5
2
=
4 + 15
6
=
19
6
 
2
3
−
5
2
=
4 − 15
6
=
−11
6
= −
11
6
 
 
 
 
Da lógica da adição podemos extrair algumas particularidades, as quais 
nós chamamos de propriedades. Para efeito de generalização, representaremos 
os números por letras, ou seja, as letras indicarão números reais quaisquer. 
 
ATENÇÃO 
Ao trabalhar com letras, você está lidando com os números que elas representam, 
mesmo que esses números não sejam conhecidos. 
 
 
 
 
 
13 
A Lei do Fechamento é válida para adição e subtração de reais: se 
somarmos ou subtrairmos dois números reais quaisquer teremos outro número 
real, ou seja: 
 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ ⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ e 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ ⇒ 𝑎 − 𝑏 ∈ ℝ. 
 
Exemplos: 
a) 4 + 5 = 9. Perceba que 4 é real, 5 é real e sua soma gera 9 que também 
é real. 
b) 4 − 5 = −1. Perceba que 4 é real, 5 é real e a subtração gera −1 que 
também é real. 
 
Para três números reais quaisquer, indicados por 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐, valem as 
seguintes propriedades da adição: 
 
1) Comutativa: Na adição, a ordem das parcelas não altera o resultado, ou 
seja: 
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 
Exemplos: 
a) 3,1 + 5,3 = 5,3 + 3,1 = 8,4 
b) 4,2 + (−3,2) = (−3,2) + 4,2 = 1,0 
 
2) Associativa: Não existe prioridade na sequência em que três ou mais 
números aparecem na adição, estes podem ser somados aleatoriamente. 
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 
Exemplos: 
a) 3 + (5 + 2) = 3 + 7 = 10 e (3 + 5) + 2 = 8 + 2 = 10 
b) 2,1 + (0,5 + 2,0) = 2,1 + 2,5 = 4,6 e (2,1 + 0,5) + 2,0 = 2,6 + 2,0 = 4,6 
 
 
 
14 
3) Elemento Neutro: Existe um único elemento que é neutro (o número 
zero), que somado a qualquer outro número 𝑎 resulta em 𝑎. 
𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 
 Exemplo: 
7
3
+ 0 = 0 +
7
3
=
7
3
 
 
4) Elemento Oposto:Dado um real 𝑎, existe um único número real 𝑥 que 
somado a 𝑎 resulta em 0 (zero). 𝑥 + 𝑎 = 𝑎 + 𝑥 = 0 
 𝑥 é o elemento oposto de 𝑎 e é indicado por – 𝑎. 
Exemplo: 
(−6) + 6 = 6 + (−6) = 0. O oposto de 6 é −6. O oposto de −6 é 6. 
 
 
A operação de subtração 𝑎 − 𝑏 equivale à soma de 𝑎 com o oposto de 𝑏, 
ou seja, 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏). Queremos dizer que a subtração pode ser vista como 
adição! Desta forma, todas as propriedades descritas para a adição, também são 
válidas para a subtração. 
DICA 
Na representação de uma operação, o encontro de dois sinais deve ser separado 
por “( )” (parênteses). Veja o exemplo: 
É correto escrever 3 + (−5) = −2 e não é correto 3 + −5 = −2. 
As calculadoras científicas possuem as funções dos parênteses. Aproveite e observe 
estes símbolos na calculadora do seu computador, e ainda, teste a operação dessa 
dica. 
 
Cabe uma discussão sobre o sinal do resultado de operações de adição e 
subtração de números reais. Exemplos com valores monetários são bons para 
entender. Vamos lá! Suponha que você tinha uma economia de R$ 1 000,00. 
Você pagou uma prestação no valor de R$ 600,00 que foi abatido da sua 
economia, assim, você ficou com: 
 
 
15 
R$ 1 000,00 + (– R$ 600,00) = R$ 400,00 ( + com – resulta em “sinal do 
maior valor”). 
Surgiu uma despesa extra de R$ 500,00, então lhe faltam R$ 100,00: 
R$ 400,00 + (– R$ 500,00) = – R$ 100,00 (+ com – resulta em “sinal do 
maior valor”). 
Ao mesmo tempo, você precisa depositar numa conta corrente a quantia 
de R$ 200,00 para cobrir um valor que estava em débito automático. Então lhe 
faltam R$ 300,00: 
– R$ 100,00 + (– R$ 200,00) = – R$ 300,00 (– com – resulta em –). 
 Um amigo paga R$ 650,00 que lhe devia, você paga sua contas e volta a 
ficar com o saldo positivo: 
– R$ 300,00 + R$ 650,00 = R$ 350,00. (– com + resulta em “sinal do maior 
valor”). 
 Você desenvolve um trabalho extra, recebe e acrescenta ao valor 
economizado a quantia de R$ 400,00. Logo, você fica com: 
R$ 350,00 + R$ 400,00 = R$ 750,00 ( + com + resulta em +). 
 
 Podemos resumir as regras de sinais da adição e da subtração conforme 
exposto na Figura 6: 
 
Figura 6: Regras de sinais – Adição e Subtração 
Regras de sinais: Adição (e Subtração) Exemplos 
 
3 + 5 = 8 
 
(-2) + (-4) = -6 
 
 
8,2 + (-3,1) = 5,1 
(-5) + 7 = 2 
4,5 + (-7,2) = - 2,7 
+ + +
- - -
+ - sinal do maior valor
+- sinal do maior valor
 
 
16 
 
2.2.2 Multiplicação (o símbolo é . ) e Divisão (o símbolo é ÷) 
 
PAPO TÉCNICO 
Adotaremos, para as operações de multiplicação e de divisão de números reais, os 
símbolos indicados no título dessa seção. Contudo, alertamos que existem outros 
símbolos com a mesma finalidade. Você pode encontrar em calculadoras ou outros 
textos: 
Para a multiplicação: * ou × 
Para a divisão: / ou : 
 
Acompanhe as operações de multiplicação e divisão nos exemplos a seguir. 
Observe que a “vírgula” é o separador decimal e o “ponto” é o símbolo da 
multiplicação. 
 
Exemplos: 
12,4 . 5,7 = 
 
 
 12,4 ⇐ fator 
x 5,7 ⇐ fator 
 70,68 ⇐produto 
12,4 ÷ 3,2 = 
 dividendo ⇒ 12,4 3,2 ⇐ divisor 
 resto ⇒ 0 3,875 ⇐ quociente 
 
3 . 4 = 12 12 ÷ 4 = 3 
4,5 . 7,0 = 31,5 24,8 ÷ 4 = 6,2 
3,2 . (−4,75) = −15,2 3,2 ÷ (−4,75) = −0,674 
(−21,02). 12 = −252,24 (−21,02) ÷ 0,5 = −42,04 
 
 
17 
(−3,25) . (−14,1) = 45,825 (−13) ÷ (−4,1) = 3,17 
3
5
∙
4
7
=
3.4
5.7
=
12
35
 
3
7
÷
4
5
=
3
7
∙
5
4
=
3.5
7.4
=
15
28
 
2
3
∙ (
−7
5
) =
2. (−7)
3.5
=
−14
15
= −
14
15
 
1
2
÷ (
−2
3
) =
1
2
. (
3
−2
) =
1.3
2. (−2)
=
3
−4
= −
3
4
 
(
−3
2
) ∙ (
7
8
) =
(−3). 7
2.8
=
−21
16
= −
21
16
 (−
4
5
) ÷ 3 = (−
4
5
) ∙ (
1
3
) = −
4.1
5.3
= −
4
15
 
(
−6
3
) ∙ (
−4
5
) =
(−6). (−4)
3.5
=
24
15
 (−
2
9
) ÷ (−
1
6
) = (−
2
9
) ∙ (−
6
1
) =
2.6
9.1
=
12
9
=
4
3
 
 
A Lei do Fechamento é válida para a multiplicação e para a divisão de 
reais: se multiplicarmos dois números reais teremos outro número real, se 
dividirmos um real por um real diferente de zero, teremos um real. Ou seja: 
 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ ⇒ 𝑎. 𝑏 ∈ ℝ e 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ∗ ⇒ 𝑎 ÷ 𝑏 ∈ ℝ. 
 
Exemplos: 
a) 3.5 = 15 . Perceba que 3 é real, 5 é real e o produto deles que resulta em 
15 também é real. 
b) 12,6 ÷ 3 = 4,2 . Perceba que 12,6 é real, 3 é real e o quociente deles que 
resulta em 4,2 também é real. 
 
Nosso intuito, agora, é destacar as propriedades da multiplicação. Para 
três números reais quaisquer, indicados por 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐, valem as seguintes 
propriedades: 
1) Comutativa: Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto, 
ou seja, 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎. 
 
 
18 
Exemplos: 
a) 3.5 = 5.3 = 15 
b) 2,4. (−5,1) = (−5,1). 2,4 = −12,24 
 
2) Associativa: Na multiplicação, não existe prioridade no produto de três 
ou mais números, estes podem ser multiplicados em ordem aleatória. 
𝑎. (𝑏. 𝑐) = (𝑎. 𝑏). 𝑐 
Exemplos: 
a) 3. (5.2) = 3.10 = 30 e (3.5). 2 = 15.2 = 30 
b) 
3
2
. (
5
7
.
1
4
) =
3
2
.
5
28
=
15
56
 e (
3
2
.
5
7
) .
1
4
=
15
14
.
1
4
=
15
56
 
 
3) Elemento Neutro: existe um único elemento que é neutro (o número 1), 
que multiplicado por qualquer outro número 𝑎 resulta em 𝑎 . 
𝑎. 1 = 1. 𝑎 = 𝑎 
Exemplos: 
a) 7.1 = 1.7 = 7 
b) (−2,3). 1 = 1. (−2,3) = −2,3 
 
4) Elemento Inverso: para todo número real 𝑎 ≠ 0 , existe um único 
número 𝑥 que multiplicado por 𝑎 resulta no elemento neutro 1. 
𝑥. 𝑎 = 𝑎. 𝑥 = 1 
O número 𝑥 é dito o inverso de 𝑎 e é indicado por 
1
𝑎
. 
Exemplos: 
a) 8.
1
8
=
1
8
. 8 = 1. Logo, 
1
8
 é o inverso de 8 e 8 é o inverso de 
1
8
 . 
b) 
3
4
.
1
3
4
=
3
4
.
4
3
= 1. Logo, 
3
4
 é o inverso de 
4
3
 e 
4
3
 é o inverso de 
3
4
 . 
 
 
 
19 
5) Distributiva: um número multiplicado por uma soma pode ser visto como 
a soma dos produtos individualizados. Observe a igualdade: 
 
Exemplos: 
a) 3. (2 + 5) = 3.2 + 3.5 = 6 + 15 = 21 
b) 2,4. (1 + 4) = 2,4 .1 + 2,4 . 4 = 2,4 + 9,6 = 12 
 
Como 𝑏 − 𝑐 = 𝑏 + (−𝑐), a propriedade distributiva também é válida para 
a multiplicação pela diferença: 
 
PAPO TÉCNICO 
Ao lidar com “as letras” numa expressão, o “ponto” que indica a operação de 
multiplicação pode ser omitido. Assim: 
𝑎. 𝑏 pode ser escrito como 𝑎𝑏 
3. 𝑥 pode ser escrito como 3𝑥 
−2. 𝑦 pode ser escrito como −2𝑦 
(−3). 𝑘 pode ser escrito como −3𝑘 
As igualdades da propriedade distributiva podem ser escritas como: 
a(b + c) = ab + ac e a(b − c) = ab − ac 
 
Vamos, agora, verificar algumas propriedades importantes que envolvem 
os números negativos na multiplicação. Para 𝑎 e 𝑏 números reais: 
 
 
20 
1) (−1). 𝑎 = −𝑎 
Essa propriedade nos diz que multiplicar -1 por um número significa trocar 
o sinal do número (encontrar o oposto do número). 
Exemplos: 
a) (-1).5 = -5 
b) (-1).(-7)=7 
 
2) −(−𝑎) = 𝑎 
Agora, trocar o sinal do número duas vezes equivale a deixar o número 
como está (o oposto do oposto é o próprio número). 
Exemplo: −(−4) = 4 
 
Das propriedades anteriores decorrem as seguintes: 
3) (−𝑎). 𝑏 = 𝑎. (−𝑏) = −(𝑎. 𝑏) 
A ideia dessa propriedade é: multiplicar por (− 𝑎) equivale multiplicar 
por (−1). 𝑎, ou seja, multiplicar por 𝑎 e trocar o sinal. 
Exemplos: 
a) (-2).3=-(2).(3)=-(2.3)=-6 
b) 2.(-3)=2.(-1).3=(-1).2.3=(-1).6=-6 
 
4) (−𝑎). (−𝑏) = 𝑎𝑏 
Veja que: (−𝑎). (−𝑏) = (−1). 𝑎. (−𝑏) = (−1). (−(𝑎. 𝑏)) = 𝑎. 𝑏. 
Exemplo: (-3).(-4)=12 
 
5) −(𝑎 + 𝑏) = −𝑎 − 𝑏 
Exemplo: -(3+4)=-3-4=-7 
 
6) −(𝑎 − 𝑏) = −𝑎 + 𝑏 
Exemplo: - (2 - 4) = - 2 + 4 = 2 
 
 
21 
 
A divisão de dois números reais 𝑎 e 𝑏 pode ser representada na forma de 
fração: 
𝑎
𝑏
 com 𝑏 ≠ 0. A fração 
𝑎
𝑏
 equivale à multiplicação 𝑎.
1
𝑏
 . A divisãode um 
número 𝑎 por outro 𝑏 ≠ 0 equivale à multiplicação de 𝑎 pelo inverso de 𝑏. 
Queremos dizer que, divisão de reais pode ser vista como multiplicação de reais. 
E por isso, as propriedades descritas para a multiplicação, também são válidas 
para a divisão (sempre que o divisor for diferente de zero). 
Dessas propriedades decorrem as regras de sinais da multiplicação e da 
divisão: multiplicação ou divisão de números com sinais iguais resulta em número 
positivo; multiplicação ou divisão de números com sinais diferentes resulta em 
número negativo. Confira tudo isso na Figura 7: 
 
Figura 7: regras de sinais – multiplicação e divisão 
Regras de sinais: Multiplicação e Divisão 
e 
e 
e 
 
e 
 
 Vejamos agora duas propriedades válidas para a divisão de números reais 
(lembrando que divisão pode ser escrita sob a forma de fração), que decorrem 
das regras de sinais. Para 𝑎 e 𝑏 números reais e 𝑏 ≠ 0: 
 
1) 
𝑎
−𝑏
=
−𝑎
𝑏
= −
𝑎
𝑏
 
2) 
−𝑎
−𝑏
=
𝑎
𝑏
 
+ + + + + +
- - + - - +
+ - - + - -
- + - - + -
 
 
22 
Exemplos: 
a) 
1
−2
=
−1
2
= −
1
2
 
b) 
−1
−2
=
1
2
 
Antes de prosseguir com novas operações, vá ao Momento da Verdade e 
resolva os exercícios pertinentes ao conteúdo visto até aqui. Em seguida, retome 
com a Potenciação. 
 
2.2.3 Potenciação 
Em muitas situações, temos a necessidade de calcular o produto de termos 
repetidos. Por exemplo, para calcular o volume de uma caixa cúbica de aresta de 
medida 5 m (5 metros). 
 Figura 8: Cubo 
 
 
 
 
Neste caso, o volume V é dado pelo produto das medidas da largura, da 
profundidade e da altura, ou seja: 𝑉 = 5.5.5 = 125. Logo, o volume é de 125 m3 
(125 metros cúbicos). 
No cálculo 5.5.5 = 125, multiplicamos o 5 três vezes. Agora, se numa 
determinada situação tivermos uma operação envolvendo 20 ou 30 vezes o 
mesmo número, imagine a extensão dessa representação! Este fato é comum, 
por exemplo, quando lidamos com operações financeiras, e queremos calcular os 
juros (compostos) acumulados num determinado período de tempo. 
A fim de simplificar a representação destas multiplicações, usamos a forma 
 
 
23 
exponencial. No exemplo dado, representamos: 
5.5.5 = 53 
Assim, o (3) acima do 5 indica a quantidade de vezes que o número 5 
aparece no produto. 
 
Generalizando, para qualquer 𝑎 ∈ ℝ e 𝑛 ∈ ℕ∗, o produto de 𝑛 números 
iguais pode ser representado na forma de potência 𝑎𝑛, onde 𝑎 é a base e 𝑛 é 
o expoente . 
 
𝑎𝑛 
 
 
 
 
Em que 𝑎𝑛 = 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎 …𝑎⏟ 
𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
 
 
Podemos ler assim: 𝑎 elevado a 𝑛. 
 
PAPO TÉCNICO 
A potência a2 tem a seguinte leitura: a ao quadrado. 
A potência a3 tem a seguinte leitura: a ao cubo. 
 
Exemplos: 
a) 5.5.5.5.5.5.5.5 = 58 
b) (
1
4
)
3
=
1
4
.
1
4
.
1
4
=
1.1.1
4.4.4
=
1
64
 
 
Base 
Expoente 
Potência 
 
 
24 
PAPO TÉCNICO 
Perceba que (−7)2 = 49, mas −72 = −49. O primeiro cálculo equivale a 
(−7)2 = (−7). (−7) = 49 enquanto o segundo cálculo pode ser entendido com a 
seguinte sequência: −72 = −(7.7) = −49 , ou ainda, você pode pensar 
 −72 = −1. 72 = −1.49 = −49. 
O uso adequado dos parênteses aqui é fundamental para diferenciar as duas 
situações. 
 
Você pode calcular potências na calculadora. Dependendo da calculadora, 
você tem representações diferentes que indicam potenciação: 
1. 
 
2. 
No caso da calculadora do seu computador, você utilizará a primeira. Por 
exemplo: para calcular 23 você deve registrar a sequência: 
2 𝑥𝑦 3 = 
Em geral, para a segunda função você deve registrar a seguinte sequência 
na calculadora: 
2 ^ 3 = 
Se a base é negativa, você deverá utilizar os parênteses. Consulte o 
manual da sua calculadora para usar adequadamente essas funções. 
 
Vamos agora aprender algumas propriedades das potências. 
 
1) Produto de potências de mesma base: 
Observe o exemplo. 
𝒙𝒚 
^
^ 
 
 
25 
Para todo 𝑎 real: 𝑎2. 𝑎3 = (𝑎. 𝑎). (𝑎. 𝑎. 𝑎) = 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎 = 𝑎5 
Perceba que o expoente 5 é igual à soma dos expoentes 2 e 3, ou seja, 
5 = 2 + 3. 
Generalizando, no produto de duas potências de mesma base, basta 
conservar a base e somar os expoentes, veja: 𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
 
2) Divisão de potências de mesma base: 
Observe o exemplo. 
Para todo 𝑎 ∈ ℝ∗: 
 3
4
7
47
1
..
.
1
.
1
.
1
....
...
......
a
aaaaaa
a
a
a
a
a
a
a
a
aaaa
aaaaaaa
a
a
aa ===== 
 
Neste caso, perceba que o expoente 3 é igual à subtração dos expoentes 
7 e 4 (7 − 4 = 3). Generalizando, na divisão potências de mesma base (base 
diferente de zero) com expoentes inteiros positivos, basta conservar a base e 
subtrair os expoentes, veja: 
𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 
Vamos dar um pouco de atenção a esta propriedade e extrair alguns 
conceitos importantes dela. Observe que, se na expressão acima tivermos 𝑚 <
𝑛, a potência terá expoente negativo (𝑚 − 𝑛 < 0). 
Exemplo: 
Para todo 𝑎 ∈ ℝ∗: 253
5
3
53 −− === aa
a
a
aa 
Por outro lado, temos: 
25
3
53 1
.
11
.
1
...
....
..
aaaaaa
a
a
a
a
a
aaaaa
aaa
a
a
aa ===== 
 
Assim, para que a propriedade seja válida quando 𝑚 < 𝑛, adotamos a 
convenção: 2
2
1 −= a
a
. 
 
Vamos generalizar a igualdade do exemplo anterior como: n
n
a
a
−=
1
, para 
 
 
26 
𝑎 ∈ ℝ∗ e 𝑛 ∈ ℤ∗. 
Isso quer dizer que, em posse de um expoente negativo, consideramos 
essa potência como divisor com mesma base e expoente positivo. Isso nos 
remete à ideia de inverso de um número, ou seja, o inverso do número 𝑎𝑛 é 
na
1
, que também pode ser escrito na mesma base com expoente negativo 
na− . 
Por exemplo: o inverso de 32 é 3−2 e podemos escrever: 3−2 =
1
32
=
1
9
 . 
Ainda sobre essa propriedade, podemos ter m = n, assim, a potência terá 
expoente zero (m− n = 0). 
Exemplo: 
Para todo 𝑎 ∈ ℝ∗: 033
3
3
33 aa
a
a
aa === − 
Por outro lado, temos: 1
..
..
3
3
33 =


==
aaa
aaa
a
a
aa 
 
Assim, para que a propriedade seja válida quando m = n, adotamos a 
convenção: 1
0 =a , para todo a ∈ ℝ∗. 
 
PAPO TÉCNICO 
O termo 00 é uma expressão sem significado matemático ou prático. É considerado 
uma forma indeterminada. 
 
 
3) Potência de potência: 
Observe o exemplo. Para todo 𝑎 ∈ ℝ: 
 
(𝑎2)4 = 𝑎2. 𝑎2. 𝑎2. 𝑎2 = (𝑎. 𝑎). (𝑎. 𝑎). (𝑎. 𝑎). (𝑎. 𝑎) = 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎 = 𝑎8 
Note que (𝑎2)4 é a multiplicação de 𝑎2 quatro vezes, logo, aplicando a 
propriedade da multiplicação, teremos: 
(𝑎2)4 = 𝑎2. 𝑎2. 𝑎2. 𝑎2 = 𝑎2+2+2+2 = 𝑎4.2 = 𝑎8 
 
 
27 
Perceba que estamos somando o expoente 2 quatro vezes, ou seja, é 
produto. Generalizando, para calcular uma potência de outra potência, basta 
manter a base e multiplicar os expoentes, ou seja: 
(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛 
Por exemplo: (23)4 = 23.4 = 212 = 4096 
 
4) Potência em que a base é produto de fatores diferentes: 
 
Observe o exemplo. Para 𝑎 𝑒 𝑏 ∈ ℝ: 
 
(𝑎. 𝑏)3 = (𝑎. 𝑏). (𝑎. 𝑏). (𝑎. 𝑏) = 𝑎. 𝑏. 𝑎. 𝑏. 𝑎. 𝑏 = 𝑎3. 𝑏3 
Generalizando, se tivermos um produto de dois (ou mais) números 
diferentes que esteja elevado a um expoente, podemos considerar cada número 
sendo elevado à potência dada: 
(𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛. 𝑏𝑛 
Exemplo: (2.3)2 = 22. 32 = 4.9 = 36 
O resultado seria o mesmo se efetuássemos o produto primeiro, veja: 
(2.3)2 = 62 = 36 
 
ATENÇÃO 
Não é verdade que (a + b)n = an + bn e (a − b)n = an − bn. 
Basta prestar atenção nos exemplos: 
(4 + 3)2 ≠ 42 + 32 e (4 − 3)2 ≠ 42 − 32 . 
Portanto, de modo geral: (a + b)n ≠ an + bn e (a − b)n ≠ an − bn. 
 
2.2.4 Radiciação (o símbolo é √ ) 
 
A radiciação pode ser vista como a operação pela qual extraímos raízes de 
números. Vamos entender melhor essa ideia recorrendo ao cotidiano do prof. 
 
 
28 
Chico. 
Você já sabe que o prof. Chico tem como hobbie cuidar de seu pomar. 
Agora, ele pretende cercar umaárea de 9 m2 (9 metros quadrados) de seu quintal 
para construir uma horta. A região a ser cercada deve ter a forma de um 
quadrado. A pergunta é: quantos metros de cerca serão utilizados na horta? 
 
Figura 9: quadrado 
 
 
 
 
Vejamos: para obter a resposta basta multiplicar a medida do 
comprimento do lado por 4, certo? Agora, resta descobrir a medida do lado. 
 Pois bem, a área 𝐴 de um quadrado de lado 𝑙 é calculada pela fórmula: 
𝐴 = 𝑙2. Para determinar o valor do comprimento do lado, é preciso encontrar um 
número positivo 𝑙 de forma que 𝑙2 = 9. 
Assim: 𝑙2 = 9 ⇒ 𝑙 . 𝑙 = 9 ⇒ 𝑙 = 3 
(3 é o número positivo que, multiplicado por ele mesmo, resulta em 9). 
Portanto, sabendo que a medida do lado é 3m, o prof. Chico sabe também 
que utilizará 12m de cerca em sua horta. 
 
Agora vamos formalizar essas ideias: 
Dizemos que 3 é a raiz quadrada (quadrada por causa do expoente 2) 
de 9 e pode ser representada por √9. Logo: √9 = 3. 
 
PAPO TÉCNICO 
O símbolo √ da operação de radiciação é chamado radical. 
 
 
 
29 
Generalizando: a raiz quadrada de um número não negativo 𝑎 é o número 
não negativo 𝑏 tal que 𝑏2 = 𝑎. Escrevemos 𝑏 = √𝑎. 
Logo: 
a) √25 = 5 pois 52 = 25 (5 é positivo). 
b) √100 = 10 pois 102 = 100 (10 é positivo). 
 
ATENÇÃO 
Você sabe que (−5)2 = 25, contudo, não se deve escrever √25 = ±5. A raiz quadrada 
de um número é definida como um número maior ou igual a zero. Nunca resulta num 
número negativo. Perceba, ainda, que √0 = 0. 
 
Podemos usar esse raciocínio para outros expoentes da potência. Perceba 
que a radiciação é a operação inversa da potenciação. Se a potência é o 
resultado do produto de números iguais, indicado por uma base elevada a um 
expoente, na radiciação buscamos a base (considerando o expoente da potência) 
que foi multiplicada para se obter uma determinada potência, ou seja, buscamos 
a raiz da potência. 
Identificamos os seguintes elementos da raiz: 
 
 
 
√𝑎
𝑛
 
 
Assim, para 𝑛 ∈ ℕ∗, podemos generalizar e definir a raiz de ordem 𝒏 (ou 
raiz 𝑛-ésima, que se lê raiz enésima) de um número 𝑎 como o número 𝑏 de forma 
que 𝑏𝑛 = 𝑎. Escrevemos 𝑏 = √𝑎
𝑛
. 
Índice 
Radicando 
Radical 
 
 
30 
Se o índice 𝑛 for um número par, então 𝑎 e 𝑏 são números não negativos. 
 
PAPO TÉCNICO 
Quando o índice é 2, não existe a necessidade da sua indicação no radical. Assim, 
radical sem índice explícito significa raiz quadrada. 
As denominações dadas às raízes são: 
√a → raiz quadrada de a 
√a
3
→raiz cúbica de a 
 
√a
4 → raiz quarta de a 
 
E na sequência serão a raiz quinta, raiz sexta, raiz sétima etc. 
 
Logo: 
a) √27
3
= 3 pois 33 = 27. 
b) √1024
10
= 2 pois 210 = 1024. 
c) √−8
3
= −2 pois (−2)3 = −8. 
d) √0,0625
4
= 0,5 pois (0,5)4 = 0,0625. 
e) √−
8
27
3
= −
2
3
 pois (−
2
3
)
3
= −
8
27
. 
 
ATENÇÃO 
√−16
4
 não está definida pois o índice é par e −16 < 0. Perceba que não existe 
número real positivo b tal que b4 = −16. E essa ideia vale para qualquer raiz de 
índice par de número negativo. 
 
Não realizaremos o algoritmo para o cálculo de raízes. A calculadora faz 
isso por nós. Dependendo da calculadora, você tem disponível uma das funções: 
1. √𝒙
𝒚
 
 
 
31 
 
2. 
 
No caso da calculadora do seu computador, você utilizará a primeira. Por 
exemplo: para calcular √8
3
 você deve registrar a sequência: 
8 √𝑥
𝑦
 3 = 
Para a segunda função você deve registrar a sequência: 
3 shift √ 
𝑥
 8 = 
De qualquer forma, consulte o manual da sua calculadora para utilizá-la 
adequadamente. 
Agora, vamos verificar as propriedades das raízes. Como a radiciação é a 
operação inversa da potenciação, as propriedades das raízes são similares às das 
potências. Não nos prenderemos às suas demonstrações, apenas enfatizaremos 
as igualdades válidas. Todas poderão ser facilmente verificadas mais adiante, 
quando trataremos da equivalência entre raízes e potências com expoentes 
fracionários. 
 
Para 𝑎 e 𝑏 números reais e 𝑚 e 𝑛 inteiros positivos, valem: 
 
1) Raiz do produto ou produto de raízes de mesmo índice: a raiz 
do produto é igual ao produto das raízes: √𝑎. 𝑏
𝑛
= √𝑎
𝑛
. √𝑏
𝑛
 
Por exemplo: √4𝑥
3
= √4
3
. √𝑥 
3
, para 𝑥 ≥ 0. 
 
 
 
2) Raiz do quociente ou quociente de raízes de mesmo índice: a 
raiz do quociente é o quociente da raízes (para denominador diferente 
de zero): √
𝑎
𝑏
𝑛
=
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 
√ 
𝑥
 
 
 
32 
Por exemplo: √
9
16
=
√9
√16
=
3
4
 
 
3) Raiz de raiz: neste caso, multiplicamos os índices das raízes, como 
segue: √ √𝑎
𝑚𝑛
= √𝑎
𝑛.𝑚
. 
Por exemplo: √√2
43
= √2
3.4
= √2
12
 
 
4) Raiz de potência (com índice e expoentes iguais): 
Se 𝑛 é ímpar: √𝑎𝑛
𝑛
= 𝑎. Por exemplo: √97
7
= 9 
Se 𝑛 é par: √𝑎𝑛
𝑛
= 𝑎 se 𝑎 ≥ 0 e √𝑎𝑛
𝑛
= −𝑎 se 𝑎 < 0 
Por exemplo: √74
4
= 7 e √(−7)4
4
= −(−7) = 7 
 
ATENÇÃO 
Cuidado com expressões do tipo: √a + b
n
 e √a − b
n
. 
Observe que: √a + b
n
≠ √a
n + √b
n
 e √a − b
n
≠ √a
n − √b
n
 
Veja, por exemplo, que: √9 + √16 = 3 + 4 = 7. 
Por outro lado, √9 + 16 = √25 = 5 e, portanto, as respostas são diferentes, ou 
seja, √9 + 16 ≠ √9 + √16. Viu bem a diferença? 
 
 
 
2.2.5 Raízes como potências com expoentes racionais 
 
Muito bem! Além do uso do radical para expressar uma raiz, podemos 
expressá-la na forma de potência com expoente fracionário. Pois é, já vimos 
como definir potências com expoentes inteiros, agora vamos definir potências 
com expoentes racionais, e essa representação está diretamente ligada às raízes. 
Além do que, a representação de raízes por meio de potências simplifica de 
 
 
33 
maneira significativa as operações que fazemos com as raízes. 
Para entender essa equivalência entre raízes e potências com expoente 
fracionário, considere um número real 𝑎 e um expoente 
1
2
 . Para fazer sentido 
(ser válida) a potência 𝑎
1
2 é necessário que ela atenda às propriedades das 
potências. Em particular, com relação à propriedade de potência de potência, 
temos o seguinte: (𝑎𝑛)
1
2 = 𝑎𝑛.
1
2 = 𝑎
𝑛
2. Se 𝑛 = 2, temos (𝑎2)
1
2 = 𝑎2.
1
2 = 𝑎1 = 𝑎. Ou 
seja, ao elevarmos 𝑎2 a 
1
2
, obtivemos o próprio valor 𝑎. Este fato coincide com 
a propriedade de raiz de potência de um número real 𝑎 ≥ 0, para 𝑛 = 2: √𝑎2 =
𝑎. 
Portanto, é razoável estabelecer, para 𝑎 ≥ 0, a igualdade: 𝑎
1
2 = √𝑎. 
Generalizando todo esse raciocínio para a raiz enésima, definimos que: 
𝑎
1
𝑛 = √𝑎
𝑛
, tendo 𝑎 ≥ 0 quando 𝑛 é par. 
 
Veja os exemplos: 
a) 5
1
2⁄ = √5 
b) 5
1
7⁄ = √5
7
 
 
Vamos voltar agora às propriedades das raízes, evidenciando a 
equivalência delas com as propriedades de potências com expoente fracionário. 
Para isso, consideraremos 𝑎 e 𝑏 números reais, 𝑚 e 𝑛 inteiros maiores que 1, 
radicandos não negativos sempre que 𝑛 for par, e denominadores diferentes de 
zero. 
 
 
Raízes Potências 
√𝑎. 𝑏
𝑛
= √𝑎
𝑛
. √𝑏
𝑛
 (𝑎. 𝑏)
1
𝑛 = 𝑎
1
𝑛. 𝑏
1
𝑛 
 
 
34 
√
𝑎
𝑏
𝑛
=
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 
(
𝑎
𝑏
)
1
𝑛
=
𝑎
1
𝑛
𝑏
1
𝑛
 
√ √𝑎
𝑚𝑛
= √𝑎
𝑛.𝑚
 (𝑎
1
𝑚)
1
𝑛
= 𝑎
1
𝑚
.
1
𝑛 = 𝑎
1
𝑚.𝑛 
 
 
Agora, generalizando um pouco mais, podemos definir a potência com 
expoente racional: 
 𝑎
𝑚
𝑛 = (𝑎𝑚)
1
𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛
= (√𝑎
𝑛
)
𝑚
, supondo que 𝑎 ≥ 0 quando 𝑛 é par. 
Observe os valores: 
 
 
 
 
𝑎
𝑚
𝑛⁄ = √𝑎𝑚
𝑛 
 
 
Acompanhe melhor essa ideia pelos exemplos de transformações de raízes 
em potências fracionárias a seguir: 
a) √35
4
= 3
5
4⁄ 
b) √62
4
= 6
2
4⁄ = 6
1
2⁄ = √6 
c) √729
3
= √36
3
= 3
6
3⁄ = 32 = 9 
 
Esta definição permite realizar cálculos com raízes de índices diferentes. 
Veja os exemplos: 
 
a) √5. √5
3
 
Como os índices são diferentes, a melhor saída é transformar a expressãoem potência fracionária e aplicar a regra do produto de potências, veja: 
√5 = √51
2
= 5
1
2⁄ 
denominador 
do expoente 
da potência 
numerador do 
expoente da 
potência 
 
 
35 
√5
3
= √51
3
= 5
1
3⁄ 
Reescrevendo as raízes na forma de potência fracionária, teremos: 
5
1
2⁄ . 5
1
3⁄ = 5
1
2
+
1
3 = 5
3+2
6 = 5
5
6⁄ 
Perceba que, aplicada a regra do produto de potência, conservando-se a 
base e somando-se os expoentes, devemos em seguida efetuar a soma das 
frações no expoente. Obtida a potência com expoente fracionário, basta agora 
escrevê-la usando o radical, lembrando que o numerador é o expoente do 
radicando e o denominador é o índice do radical: 5
5
6⁄ = √55
6
 
 
b) Na divisão seguimos a mesma lógica, só que utilizamos a regra da divisão 
de potência, veja o exemplo: 
√5 ÷ √5
3
=
√5
√5
3 =
5
1
2⁄
5
1
3⁄
= 5
1
2⁄ . 5−
1
3⁄ = 5
1
2
−
1
3 = 5
3−2
6 = 5
1
6⁄ = √51
6
= √5
6
 
 
c) Um exemplo de raiz de raiz: √√5
43
= (5
1
4⁄ )
1
3⁄
= 5
1
3
.
1
4 = 5
1.1
3.4 = 5
1
12⁄ = √5
12
 
 
Ao realizar operações numa calculadora, você pode precisar incluir 
parênteses para envolver frações, números negativos, raízes, potências. A 
inclusão adequada de parênteses para evidenciar operações não altera o 
resultado. 
 
Resumindo a discussão sobre potências e raízes, temos as seguintes 
definições: 
 
 
 
CONCEITO 
 
 
36 
Dado um número real a e um número inteiro n, a potência de base a e expoente n é 
definida por: 
an = a. a. a. a . . . a⏟ 
n fatores
 se n inteiro, n > 1. 
a0 = 1 
a1 = a 
a−n =
1
an
 com a ≠ 0. 
 
Dado um número inteiro positivo n, a raiz n-ésima de um número real b (indicada 
por √b
n
) é o número real a tal que an = b. Se o índice n for um número par, então a 
e b são números não negativos. 
 
Dados um número real a e inteiros m qualquer e n > 0, a potência de base a e 
expoente racional 
m
n
 é definida por: 
a
m
n = √am
n
= (√a
n
)
m
, 
supondo que a ≥ 0 quando n é par. 
 
Podemos estender a definição de potência de base 𝑎 e expoente 𝑛 , para 
valores reais de 𝑛, como você vai perceber quando estudar as funções 
exponenciais. Por enquanto, nos limitaremos ao exposto. 
 
Agora resolva alguns exercícios do Momento da Verdade envolvendo 
Potenciação e Radiciação. A Unidade ainda não terminou, temos alguns assuntos 
importantíssimos para discutir sobre os números reais. Retome a seção seguinte 
ao concluir os exercícios, combinado? 
 
 
 
2.2.6 Operações com o zero 
 
 
 
37 
O zero é um número intrigante e as operações que o envolvem voltam a 
incomodar vários estudantes, continuamente. Reunimos na Figura 10 as 
operações aritméticas com zero para que você tenha uma visão global de todas 
elas: 
 
Figura 10: Operações aritméticas com o zero 
Operações aritméticas com o zero 
𝟎 + 𝒂 = 𝒂 + 𝟎 = 𝒂, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒂 ∈ 𝑹 
𝟎 + 𝟎 = 𝟎 
𝟎 − 𝒂 = −𝒂 + 𝟎 = −𝒂, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒂 ∈ 𝑹 
𝟎 − 𝟎 = 𝟎 
𝒂. 𝟎 = 𝟎. 𝒂 = 𝟎, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒂 ∈ 𝑹 
𝟎. 𝟎 = 𝟎 
𝟎
𝒂
= 𝟎 , 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒂 ∈ 𝑹∗ 
𝒂
𝟎
 𝒏ã𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 , 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒂 ∈ 𝑹∗ 
𝟎
𝟎
 é 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒂 
𝟎𝒂 = 𝟎, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒂 ∈ 𝑹∗ 
𝒂𝟎 = 𝟏, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒂 ∈ 𝑹∗ 
𝟎𝟎 é 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒂 
√𝟎
𝒂
= 𝟎, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒂 ∈ 𝒁, 𝒂 > 𝟏 
 
 
 
 
 
38 
3. Expressões numéricas 
 
Começamos com uma pergunta. Qual o resultado de: 5 + 2 . 3 ? 
Realize essa “conta” nas calculadoras básica e científica do seu 
computador, inserindo números e operações na ordem em que aparecem, e 
observe os resultados: 
Calculadora básica: 5 + 2 . 3 = 21 
Calculadora científica: 5 + 2 . 3 = 11 
E agora, qual resultado está correto? Vamos conferir? 
5 + 2 . 3 = 5 + (3 + 3) = 5 + 3 + 3 = 11. 
Portanto, o resultado correto é o apresentado pela calculadora científica. 
Sim, as duas calculadoras estão funcionando bem. A questão está 
relacionada com o algoritmo de cada calculadora e a forma da entrada dos dados: 
 
Calculadora básica: o algoritmo realiza as operações conforme a sequência de 
entrada. No exemplo, calculou primeiro a adição e depois a multiplicação. 
 
Calculadora científica: o algoritmo “espera” os dados entrarem para executar 
as operações. No exemplo, calculou primeiro a multiplicação e depois a adição. 
 
Desse exemplo é possível perceber que a tecnologia em si não é suficiente 
para resolver questões matemáticas, é preciso conhecer a teoria para poder fazer 
uso adequado dela. 
Com base nas operações e propriedades das operações aritméticas, 
estabelecemos alguns símbolos e prioridades para escrever e resolver 
 
 
39 
expressões numéricas. Entenda expressão numérica como uma sequência de 
operações matemáticas envolvendo números reais. 
Quanto aos símbolos (também conhecidos como sinais de associação) e 
às operações, devemos resolvê-las de acordo com a ordem em que aparecem na 
Figura 11: 
Figura 11: Hierarquia de resolução em expressões algébricas – 
sinais e operações aritméticas 
 
Veja o exemplo: 
3 + {42 + 2. [11 − (12 ÷ 3 + 5)]} = 
3 + {16 + 2. [11 − (4 + 5)]} = 
3 + {16 + 2. [11 − 9]} = 
3 + {16 + 2.2} = 
3 + {16 + 4} = 
3 + 20 = 23 
 
 
DICA 
Na calculadora, você pode usar pares de parênteses para representar também os 
 
 
40 
colchetes e as chaves. 
 
4. Números aproximados e Erros 
Vamos calcular a área de um círculo de raio 100 m (100 metros). 
Figura 12: Círculo 
 
 
 
A área 𝐴 de um círculo de raio 𝑟 é calculada pela fórmula: 𝐴 = 𝜋𝑟2. 
Como 𝑟 = 100, vejamos como fica o cálculo da área: 
Para 𝜋 = 3,14 temos 𝐴 = 3,14 . 1002 = 31400 (𝑚2) 
Para 𝜋 = 3,1416 temos 𝐴 = 3,1416 . 1002 = 31416 (𝑚2) 
Para 𝜋 = 3,14159 temos 𝐴 = 3,14 . 1002 = 31415,9 (𝑚2) 
Para 𝜋 = 3,141592654 temos 𝐴 = 3,14 . 1002 = 31415,92654 (𝑚2) 
Apresentamos 4 respostas diferentes. E agora, qual é a correta? 
Perceba que a variedade de respostas decorre do fato de o número 
irracional 𝜋 não poder ser representado com suas infinitas casas decimais. 
Precisamos reduzir o número de casas decimais para utilizá-lo em alguma 
operação. Assim, fizemos aproximações de 𝜋 para um número finito de casas 
decimais. Desta forma, a área também será aproximada, nunca será exata. 
Quanto maior o número de dígitos na aproximação de 𝜋, melhor será a precisão 
obtida para a área do círculo. E, portanto, a última resposta é a mais precisa, 
está mais próxima do seu valor “certo”. 
De uma forma geral, na prática, usamos apenas números racionais. Nos 
 
 
41 
problemas, muitas vezes, usamos números aproximados, até porque nem 
sempre é possível determinar o valor exato do número. E essas aproximações 
geram erros. “Erro”, aqui, não significa o mesmo que “incorreto”, mas tem 
sentido de diferença entre o valor exato e valor aproximado de um número. 
Podemos ter erro de arredondamento ou de truncamento. 
 
Bem, mencionamos vários conceitos, agora vamos defini-los melhor: 
 
Número exato ou valor exato: é um número sobre o qual não existe incerteza. 
 
Número aproximado: é um número que é a aproximação de um valor exato, 
sendo que a sua diferença para este valor é considerada bem pequena. 
 
Arredondamento: consiste em utilizar um número aproximado do número 
dado, construindo esta aproximação de acordo com um critério. 
 
Critério de Arredondamento: existe mais de um critério/regra para 
arredondar números decimais. O que apresentamos e utilizaremos é o mais 
frequente nas atividades acadêmicas: 
 
1º caso – Na parte não inteira do número: Tendo determinado o 
número de casas decimais que se deseja para o número aproximado: 
• Se o valor do dígito seguinte ao último dígito for maior ou igual a 5, soma-
se uma unidade ao último e despreza-se os dígitos seguintes. 
Exemplos: 
Número exato: 23,5692 
Número aproximado (arredondamento na segunda casa decimal):23,57 
 
Número exato: 54,231502 
 
 
42 
Número aproximado (arredondamento na terceira casa decimal): 54,232 
 
• Se o valor do dígito seguinte ao último for menor que 5, os dígitos até 
esse último permanecem e os demais são desprezados. 
 
Exemplo: 
Número exato: 76,34211 
Número aproximado (arredondamento na segunda casa decimal): 76,34 
 
2º caso – Para a parte inteira do número: Tendo determinado a casa 
que se deseja arredondar para obter o número aproximado: 
• Se o valor do dígito seguinte ao último dígito desejado for maior ou igual 
a 5, somar uma unidade ao último e completar as demais casas da parte 
inteira com zero. 
 
Exemplos: 
Número exato: 23 456 784 
Número aproximado (arredondamento na centena mais próxima): 
23 456 800 
 
Número exato: 65 238 512 
Número aproximado (arredondamento na unidade de milhar mais 
próxima): 65 239 000 
 
 
• Se o valor do dígito seguinte ao último dígito desejado for menor que 5, 
manter os dígitos até o último e completar as demais casas da parte inteira 
com zero. 
 
 
 
43 
Exemplo: 
Número exato: 987 654 321 
Número aproximado (arredondamento na centena mais próxima): 
987 654 300 
 
Truncamento: consiste em utilizar um número aproximado do número dado, 
truncando-o num determinado dígito, aplicado principalmente em suas casas 
decimais (a ideia é simplesmente desprezar dígitos). 
 
Exemplos: 
Número exato: 23,5692 
Número aproximado (truncado na segunda casa decimal): 23,56 
 
Número exato: 54,231502 
Número aproximado (truncado na terceira casa decimal): 54,231 
 
Número exato: 76,34211 
Número aproximado (truncado na segunda casa decimal): 76,34 
 
Número exato: 1276,8532 
Número aproximado (truncado na unidade): 1276 
 
Erro ou erro absoluto: É a diferença entre um valor exato e um valor 
aproximado do número. É entendido como a distância entre os dois valores, 
portanto, assumimos o erro como um valor não negativo. 
 
Erro de arredondamento: erro gerado no processo de arredondamento. 
 
Erro de truncamento: erro gerado no processo de truncamento. 
 
 
44 
 
Exemplos: 
Número exato: 23,5692 
Número aproximado: 23,57 
Erro absoluto (de arredondamento): 23,57 – 23,5692 = 0,0008 
 
Número exato: 54,231502 
Número aproximado: 54,232 
Erro absoluto (de arredondamento): 54,232 - 54,231502 = 0,000498 
 
Número exato: 76,34211 
Número aproximado: 76,34 
Erro absoluto (de arredondamento ou truncamento): 
76,34211 – 76,34 = 0,00211 
DICA 
Você pode adequar o número de casas decimais na calculadora científica e o resultado 
que será fornecido estará arredondado. Verifique o manual de sua calculadora para 
configurá-la. 
Uma dica valiosa: ao utilizar os números, procure trabalhar com uma quantidade de casas 
decimais maior que a quantidade desejada, e deixe para arredondar apenas no resultado 
final. Este procedimento fará com que você minimize o erro do resultado, pois durante 
as operações os erros tendem a crescer. Ao tratar de valores monetários, por exemplo, 
os erros podem causar grandes prejuízos. 
 
 
5. Notação científica 
 
Ao lidar com os números reais, também nos deparamos com números 
 
 
45 
muito “grandes” ou muito “pequenos”. Veja alguns exemplos: 
 
A distância média da Terra ao Sol é de 149 631 000 Km (essa distância 
varia devido ao movimento elíptico da Terra em volta do Sol). 
Os brasileiros já pagaram de tributo o valor de R$ 883 327 517 600,33 em 
2014 até julho (segundo impostômetro). 
A população mundial hoje é estimada em 7 200 000 000 habitantes. 
O diâmetro de um fio de cabelo é 0,00005 metros. 
 
A representação de números muito “grandes” ou, por outro lado, muito 
próximos do zero, na forma decimal, não é agradável: é extensa, é trabalhosa 
para escrever e para ler, para realizar operações com eles, e também é 
complicada para fazer comparações. 
Todas essas desvantagens são superadas quando usamos a notação 
científica para representar esses números. Queremos dizer que expressaremos 
os números usando potências de base 10. 
 
Observe as equivalências de valores apresentadas na Figura 13: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13: Representações de números reais 
 
 
 
46 
Forma 
Decimal 
Forma Fracionária Forma de 
Potência 
Relação 
decimal/potência 
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 1
10
.
1
10
.
1
10
.
1
10
.
1
10
 
10−5 5 zeros à esquerda e 
expoente (-5) 
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏 1
10
.
1
10
.
1
10
.
1
10
 
10−4 4 zeros à esquerda e 
expoente (-4) 
𝟎, 𝟎𝟎𝟏 1
10
.
1
10
.
1
10
 
10−3 3 zeros à esquerda e 
expoente (-3) 
𝟎, 𝟎𝟏 1
10
.
1
10
 
10−2 2 zeros à esquerda e 
expoente (-2) 
𝟎, 𝟏 1
10
 
10−1 1 zero à esquerda e 
expoente (-1) 
𝟏 1 100 Nenhum zero e 
expoente (0) 
𝟏𝟎 10 101 1 zero à direita e 
expoente (1) 
𝟏𝟎𝟎 10.10 102 2 zeros à direita e 
expoente (2) 
𝟏𝟎𝟎𝟎 10.10.10 103 3 zeros à direita e 
expoente (3) 
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 10.10.10.10 104 4 zeros à direita e 
expoente (4) 
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 10.10.10.10.10 105 5 zeros à direita e 
expoente (5) 
Comparando a primeira coluna com a terceira coluna, observe que, ao 
movimentar a vírgula um dígito à direita, aumentou o expoente de 10 em uma 
unidade; e ao movimentar a vírgula um dígito à esquerda, diminuiu o expoente 
de 10 em uma unidade. 
CONCEITO 
Um número real escrito em notação científica tem a forma ±𝑚. 10𝑛 , em que 𝑚 é 
um valor maior ou igual a 1 e menor que 10, e o expoente 𝑛 é inteiro. 
 
 
47 
Com base no conceito acima, vamos ver como realizar conversões: 
 
DICA 
Para converter um número escrito na forma decimal para a notação científica, 
precisamos apenas deslocar a vírgula. Deslocando a vírgula n posições para a direita, 
devemos subtrair n unidades do expoente da potência de base 10. Deslocando a 
vírgula n posições para a esquerda, devemos somar n unidades ao expoente da 
potência de base 10. Que tal? 
 
Pode parecer difícil, mas não é! Veja os exemplos: 
a) 3159 = 3,159. 103 (3 casas para a esquerda, expoente 3) 
b) 0,00058 = 5,8. 10−4 (4 casas para a direita, expoente – 4) 
c) −234,678 = −2,34678. 102 (2 casas para a esquerda, expoente 2) 
d) 4,65 = 4,65. 100 (a parte inteira é 4, não é necessário mover a vírgula, 
então “fica no zero”, ou melhor, no expoente zero!) 
 
ATENÇÃO 
Observe os números: 25,7 . 10−1 e 5,9 . 101,5 . Perceba que eles não estão escritos 
corretamente em notação científica. Por quê? 
 
Também podemos fazer o processo inverso, ou seja, converter números 
escritos em notação científica para a forma decimal. 
DICA 
Para converter um número escrito em notação científica para a forma decimal, 
precisamos apenas deslocar a vírgula. Se o expoente de 10 for um valor positivo 𝑛, 
deslocamos a vírgula 𝑛 casas para a direita. Se o expoente de 10 for um valor 
negativo 𝑛, deslocamos a vírgula 𝑛 casas para a esquerda. 
 
 
48 
 
Veja exemplos: 
a) 3,4205. 103 = 3420,5 
b) 3,78. 10−7 = 0,000000378 
 
As calculadoras científicas, em geral, disponibilizam a representação 
científica. Você pode fazer a opção entre a representação em forma decimal ou 
de notação científica. Na calculadora do seu computador, essa opção é feita pela 
função: 
Na calculadora científica, por exemplo: 
O número 2,54. 104 pode aparecer como: 
2,54 𝐸 + 4 ou 2,54 𝑒 + 4 ou 2,54 x10 
04
 
. 
O número 2,54. 10−4 pode aparecer como: 
 2,54 𝐸 − 4 ou 2,54 𝑒 − 4 ou 2,54 x10 
−04
 
. 
O uso de notação científica é importante, mesmo para realizar operações 
com auxílio da calculadora. Perceba que o número de dígitos que você pode 
registrar na calculadora é limitado. Com o uso de notação científica para 
representar principalmente números muito grandes ou muito próximos do zero, 
você poderá representar e operar com muito mais números. 
Potências de base 10 também recebem denominações específicas 
(segundo Sistema Internacional), e são muito utilizadas nas unidades de medidas 
(Calma! Nãose assuste... são apenas exemplos, ok?): 
 
F-E 
 
 
49 
Figura 14: Prefixos das potências de base 10 
Prefixo Potência Símbolo 
iocto 10−24 y 
zepto 10−21 z 
atto 10−18 a 
femto 10−15 f 
pico 10−12 p 
nano 10−9 n 
micro 10−6 µ 
mili 10−3 m 
centi 10−2 c 
deci 10−1 d 
deca 101 da 
hecto 102 h 
quilo 103 k 
mega 106 M 
giga 109 G 
tera 1012 T 
peta 1015 P 
exa 1018 E 
zeta 1021 Z 
iota 1024 Y 
 
Pois bem, e agora? É hora do que mesmo? Do Momento da Verdade! 
Conclua, agora, os demais exercícios. Bom estudo! 
 
 
 
 
50 
ANTENA PARABÓLICA 
 
Quantos números existem no intervalo ]0;1[ ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isso mesmo, existem infinitos números reais neste intervalo. E, quanto 
mais próximo do zero, menor o número. Você acha que esses números “tão 
pequenos” são importantes? O número 𝟏𝟎−𝟗, por exemplo, está nesse intervalo. 
Como medida de distância, temos que: 𝟏𝟎−𝟗 metros = 1 nanômetro = 
0,000000001 metros. 
Pois bem, talvez você tenha ouvido falar sobre Nanotecnologia, a “ciência 
do minúsculo ou do invisível”. Nossa Antena Parabólica propõe a você assistir ao 
interessante vídeo http://www.youtube.com/watch?v=myr_nMOFOiw, que lhe 
dará uma ideia desse recente campo da ciência, aplicações e implicações na sua 
vida. 
 
 
 
http://www.youtube.com/watch?v=myr_nMOFOiw
 
 
51 
 
GLOSSÁRIO 
 
 
Álgebra: ramo da Matemática que trata dos números e suas operações de forma 
literal, de equações, inequações, polinômios e estruturas algébricas. 
Aritmética: ramo da Matemática que trata dos números e suas operações. 
Arredondamento: consiste em utilizar um número aproximado do número 
dado, construindo esta aproximação de acordo com um critério estabelecido. 
Erro ou erro absoluto: É a diferença entre um valor exato e um valor 
aproximado do número. É entendido como a distância entre os dois valores, 
portanto, assumimos o erro como um valor não negativo. 
Erro de arredondamento: erro gerado no processo de arredondamento. 
Erro de truncamento: erro gerado no processo de truncamento. 
Notação científica: forma de representação dos números decimais utilizando 
potências de base 10. 
Número aproximado: é um número que é a aproximação de um valor exato, 
sendo que a sua diferença para este valor é considerada bem pequena. 
Número exato ou valor exato: é um número sobre o qual não existe incerteza. 
Separador decimal: símbolo que, na representação decimal do número real, 
separa a parte inteira da parte não inteira. Pode ser “ponto” ou “vírgula”. 
Truncamento: consiste em utilizar um número aproximado do número dado, 
truncando-o num determinado dígito, aplicado principalmente em suas casas 
decimais (a ideia é simplesmente desprezar dígitos). 
 
 
 
 
 
52 
E AGORA JOSÉ? 
 
Agora que você domina a Aritmética, o próximo passo é explorar um pouco 
mais a Álgebra. Todas as propriedades das operações estudadas aqui serão 
utilizadas na próxima Unidade de Aprendizagem. Até lá! 
 
REFERÊNCIAS 
 
GUIDORIZZI, H. L. Matemática para Administração. Rio de Janeiro: LTC, 
2002. 
HAZZAN; MORETTIN; BUSSAB. Introdução ao Cálculo para Administração, 
Economia. São Paulo: Saraiva, 2009. 
MUROLO, A.; BONETTO, G. Matemática aplicada à Administração, 
Economia e Contabilidade. São Paulo: Thomson Pioneira, 2004. 
SILVA, F. C. M.; ABRÃO, M. Matemática básica para decisões 
administrativas. São Paulo: Atlas, 2008. 
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos 
superiores. São Paulo: Atlas, 2006. 
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática para os cursos de 
Economia, Administração e Ciências Contábeis. V. 1. 6 ed. São Paulo: 
Atlas, 2010. 
GOMES, F. M.; Matemática Básica. Disponível em 
http://www.ime.unicamp.br/~chico/ma091. Acesso em 09 de Julho de 2014. 
RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico - aspectos teóricos 
e computacionais. 2 ed. São Paulo: Makron Books, 1996. 
LIMA, E. L. Revista do Professor de Matemática n° 1. Conceitos e 
Controvérsias. Sociedade Brasileira de Matemática. 
http://www.ime.unicamp.br/~chico/ma091