Estatística - Unid 1 - Espaço Amostral - R03

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Estatística para Engenharia Civil
Unidade 1
Prof. Uendel Diego da Silva Alves
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Unidade 1
Espaço Amostral
Prof. Uendel Diego da Silva Alves
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Introdução
Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos: determinísticos e aleatórios.
Os fenômenos determinísticos são aqueles em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrências verificadas.
Se tomarmos um determinado sólido, sabemos que a uma certa temperatura haverá a passagem para o estado líquido.
Nos fenômenos aleatórios, os resultados não serão previsíveis, mesmo que haja um grande número de repetições do mesmo fenômeno.
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Introdução
Por exemplo:
Se considerarmos um pomar com centenas de laranjeiras, as produções de cada planta serão diferentes e não previsíveis, mesmo que as condições de temperatura, pressão, umidade, solo etc. sejam as mesmas para todas as árvores.
Podemos considerar os experimentos aleatórios como fenômenos produzidos pelo homem.
Nos experimentos aleatórios, mesmo que as condições iniciais sejam sempre as mesmas, os resultados finais de cada tentativa do experimento serão diferentes e não previsíveis.
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Introdução
Resumindo...
Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos: determinísticos e aleatórios.
Os fenômenos determinísticos são aqueles em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrências verificadas.
A maioria dos fenômenos de que trata a estatística são de natureza aleatória ou probabilística.
O conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo de probabilidades é uma necessidade essencial ao estudo da Estatística Inferencial.
Portanto, iremos conceituar variável aleatória e distribuições de probabilidades de variáveis discretas e contínuas.
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Experimento Aleatório / Evento Aleatório
Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso.
Observe a afirmação seguinte: “É provável que o Corinthians ganhe a partida de volta das semifinais da Copa do Brasil”.
Desta afirmação, pode resultar:
A) que, apesar do favoritismo, ele perca.
B) que, como pensamos, ele ganhe.
C) que empate.
O resultado final depende do acaso.
Fenômenos como esse são chamados de fenômenos aleatórios.
Definição: experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes, sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
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Experimento Aleatório / Evento Aleatório
A cada experimento aleatório está associado o resultado obtido, que não é previsível, chamado evento aleatório.
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Espaço Amostral
A cada experimento correspondem, em geral, vários resultados possíveis.
Assim, ao lançarmos uma moeda, há dos resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa.
Já ao lançarmos um dado, há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Ao conjunto desses resultados possíveis damos o nome de espaço amostral ou conjunto universo, representado por Ω.
Lançamento de uma moeda 
Lançamento de um dado: 
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Espaço Amostral
Cada um dos elementos de que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral.
Em outras palavras, o espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto dos resultados do experimento.
Outros exemplos:
Lançamento de duas moedas
Retirada de uma carta de um baralho completo de 52 cartas
Determinação da vida útil de um componente eletrônico
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Espaço Amostral
Eventos
Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
Assim, qualquer que seja e, se e ⊂ , então e é um evento de .
Se , é chamado de evento certo.
Se e é um conjunto unitário, é chamado evento elementar.
Se , então é chamado de evento impossível.
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Espaço Amostral
Eventos
O evento aleatório pode ser um único ponto amostral ou uma reunião deles, como veremos no exemplo a seguir:
Exemplo: lançam-se dois dados. Enumerar os seguintes eventos:
A: saída de faces iguais
B: saída de faces cuja soma seja igual a 10
C: saída de faces cuja soma seja menor que 2
D: saída de faces cuja soma seja menor que 15
E: saída de faces onde uma face é o dobro da outra
Para solucionarmos o que se pede, devemos primeiramente determinar o espaço amostral.
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Espaço Amostral
Eventos
Podemos determinar Ω através de uma tabela de dupla entrada:
Os eventos pedidos são:
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Espaço Amostral
Eventos
Uma outra maneira de determinar o espaço amostral desse experimento é usar o diagrama em árvore, que pode ser útil para a resolução de problemas futuramente.
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Classe dos Eventos Aleatórios
É o conjunto formado de todos os eventos (subconjuntos) do espaço amostral.
Para efeito de exemplo, consideremos um espaço amostral finito:
A classe dos eventos aleatórios é:
Para determinarmos o número de elementos (eventos) de , observamos que:
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Classe dos Eventos Aleatórios
 corresponde a 
 corresponde a 
 corresponde a 
 corresponde a 
 corresponde a 
Portanto,
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Classe dos Eventos Aleatórios
Genericamente, se o número de pontos amostrais de um espaço amostral finito é , então o número de eventos de é , pois:
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Operações com Eventos Aleatórios
Consideremos um espaço amostral finito 
Sejam A e B dois eventos de .
As seguintes operações são definidas:
Reunião
Definição: ou .
O evento reunião é formado pelos pontos amostrais que pertencem a pelo menos um dos eventos.
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Operações com Eventos Aleatórios
Intersecção
Definição: e .
O evento intersecção é formado pelos pontos amostrais que pertencem simultaneamente aos eventos A e B.
Obs.: Se , A e B são eventos mutuamente exclusivos.
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Operações com Eventos Aleatórios
Complementação
Definição: .
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Propriedades da Operações com Eventos Aleatórios
Sejam A, B e C eventos associados a um espaço amostral . As seguintes propriedades são válidas:
Idempotentes
Comutativas
Associativas
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Propriedades da Operações com Eventos Aleatórios
Distributivas
Absorções
Identidades
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Propriedades da Operações com Eventos Aleatórios
Complementares
“Lei das dualidades” ou “Leis de Morgan”
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Partição de um Espaço Amostral
Definição: dizemos que os eventos formam uma partição do espaço amostral se:
 para 
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